Определить величину угла способом вращения

Метод вращения вокруг оси

Одним из наиболее эффективных методов определения метрических характеристик плоских фигур является вращение вокруг оси, в качестве которой обычно используют линию уровня или проецирующую прямую.

Способ вращения вокруг проецирующей прямой

Перемещение точки при её вращении вокруг проецирующей прямой является частным случаем параллельного перемещения и подчиняется следующим правилам.

1. Траектория движения точки – дуга окружности с центром, расположенным на оси вращения. Радиус окружности равен расстоянию между точкой и осью вращения.
2. При вращении точки вокруг прямой, перпендикулярной фронтальной плоскости проекции, фронтальная проекция точки перемещается по дуге окружности, а горизонтальная – параллельно оси X.
3. При вращении точки вокруг прямой, перпендикулярной горизонтальной плоскости проекции, горизонтальная проекция точки перемещается по дуге окружности, а фронтальная – параллельно оси X.

Руководствуясь рассмотренными правилами, повернем отрезок CD в положение, параллельное фронтальной плоскости проекции. В качестве оси вращения i будем использовать горизонтально проецирующую прямую, проведенную через точку D.

При повороте отрезка положение точки D не изменится, поскольку она лежит на оси i. Точку C’ переместим по дуге окружности радиусом C’D’ в положение C’₁ так, чтобы выполнялось условие C’₁D’₁ || X. Для нахождения точки C»₁ из C» проведем прямую, параллельную оси X, до пересечения её с линией связи, восстановленной из т. C’₁.

На следующем рисунке показан способ перевода отрезка в горизонтально проецирующее положение. Построения выполнены в два этапа и описаны ниже.

Сначала вращением вокруг оси i₁ CD перемещают в положение C₁D₁, параллельное фронтальной плоскости проекции. После этого вращением вокруг оси i₂ отрезок переводится в искомое положение C₂D₂, где он перпендикулярен горизонтальной плоскости проекции.

Расположение осей вращения выбирают исходя из удобства дальнейших построений. В нашей задаче горизонтально проецирующая прямая i₁ проходит через точку D, а проекция i»₂ фронтально проецирующей прямой i₂ лежит на продолжении отрезка C»₁D»₁.

Способ вращения вокруг линии уровня

Действенным и наиболее рациональным приемом решения задач, в которых требуется определить натуральную величину угла, является способ вращения вокруг линии уровня.

Основные правила построения

1. Радиус вращения точки равен расстоянию между точкой и линией уровня, выполняющей роль оси. Натуральную величину радиуса определяют методом прямоугольного треугольника.
2. При вращении вокруг горизонтали h точка перемещается по окружности, которая проецируется на горизонтальную плоскость в отрезок прямой, перпендикулярный горизонтальной проекции горизонтали h’. На фронтальную плоскость окружность, по которой движется точка, проецируется в эллипс. Строить его нет необходимости.
3. При вращении вокруг фронтали f точка перемещается по окружности, которая проецируется на фронтальную плоскость в отрезок прямой, перпендикулярный фронтальной проекции фронтали f». Вместе с тем горизонтальная проекция линии перемещения представляет собой эллипс, строить который не обязательно.

Рассмотрим, как определить действительную величину угла между прямыми a и b, пересекающимися в точке A. Построения представлены на рисунке и выполнены согласно алгоритму, который описан ниже.

1. Проводим фронтальную проекцию h» горизонтали h. Она пересекает прямые a» и b» в точках 1» и 2». Определяем горизонтальные проекции 1′ и 2′ и через них проводим h’.
2. Находим центр вращения O. Его горизонтальная проекция O’ лежит на пересечении прямой h’ с перпендикуляром, проведенным из A’ к h’.
3. Определяем натуральную величину радиуса вращения R = O’A’₀. Для этого строим прямоугольный треугольник O’A’A’₀, катет которого A’A’₀ равен расстоянию от A» до h».
4. Проводим дугу окружности радиусом R до пересечения её с прямой O’A’ в точке A’₁. Соединяем A’₁ с точками 1′ и 2′. Искомый угол ϕ построен.

Источник

Построение угла между прямой и плоскостью

Углом между прямой и плоскостью называется угол, который прямая образует со своей проекцией на данную плоскость. Его величина может быть определена графически в соответствии с приведенным ниже алгоритмом.

1. Из произвольной точки, взятой на прямой, проводят перпендикуляр к заданной плоскости.
2. Способом вращения вокруг линии уровня определяют величину угла β° между построенным перпендикуляром и прямой.
3. Вычисляют искомый угол α° = 90° – β°.

Рассмотрим, как осуществляется описанный нами алгоритм на практике. На рисунке ниже приведены построения, с помощью которых вычислен угол α° между прямой a и плоскостью γ, заданной параллельными прямыми c и d.

1. Строим проекции фронтали f и горизонтали h плоскости γ. Для этого используем вспомогательные точки 1 и 2, 3 и 4.
2. Из произвольной точки K, лежащей на прямой a, опускаем перпендикуляр b на плоскость γ. Как видно на рисунке, проекция b’⊥h’, а b»⊥f».
3. Определяем величину угла β° между прямыми a и b способом поворота вокруг линии уровня. Для этого сначала строим горизонталь h₁ и перпендикулярно её проекции h’₁ проводим луч K’O’. Центр поворота O’ = K’O’ ∩ h’₁.
   Определяем радиус вращения R как гипотенузу прямоугольного треугольника K₀K’O’, катет которого K₀K’ равен величине Z_O – Z_K. После этого по дуге окружности переводим точку K₀ в положение K’₁, как это показано на рисунке выше. Угол β° находится при вершине K’_1.
4. Вычисляем значение искомого ∠α° = 90° – ∠β°.

В данном примере прямая e занимает общее положение, а плоскость γ задана следами. В отличие от предыдущей задачи здесь нет необходимости достраивать горизонталь и фронталь, поскольку их роль выполняют следы h_0γ и f_0γ.

1. На прямой e возьмем произвольную точку N и из неё опустим перпендикуляр m на плоскость γ. Проекцию m’ нужно провести перпендикулярно h_0γ, а m»⊥f_0γ соответственно.
2. Определяем величину угла β° между прямыми m и е способом вращения вокруг линии уровня, в качестве которой в нашей задаче была использована горизонталь h.
3. Вычисляем величину искомого ∠α° = 90° – ∠β°.

Источник

Определение натуральной величины угла

Чтобы определить натуральную величину угла, нужно перевести его в положение, в котором его стороны будут параллельны плоскости проекции. Наиболее рациональный путь решения данной задачи – использовать способ вращения вокруг линии уровня. Более трудоемкими вариантами являются метод замены плоскостей проекций и параллельное перемещение.

Приведенный ниже пример иллюстрирует нахождение угла между пересекающимися прямыми m и n способом вращения вокруг фронтали.

1. В произвольном месте чертежа проводим фронталь f. Она пересекает прямые m и n в точках 1 и 2. Определяем их недостающие проекции.
2. Через точку K» проводим перпендикуляр к f». На пересечении этого перпендикуляра с фронталью находится проекция центра вращения O». По линии связи определяем положение т. O’.
3. Находим величину радиуса R поворота точки K. Для этого перпендикулярно O»K» откладываем отрезок K»K₀ = y_k – y_o. Таким образом, R равен O»K₀ – гипотенузе прямоугольного треугольника O»K»K₀.
4. Проводим дугу радиусом R до её пересечения с перпендикуляром O»K» в точке K»₁. Соединяем K»₁ c точками 1» и 2». Натуральная величина угла между прямыми m и n равна углу ϕ при вершине K»₁.

Более подробную информацию о методе вращения вокруг линии уровня, который мы здесь использовали, вы можете найти на следующей странице.

Определение угла между скрещивающимися прямыми

Углом между скрещивающимися прямыми называют плоский угол, стороны которого параллельны данным прямым. На изображении, приведенном ниже, прямые e и d скрещивающиеся и друг с другом не пересекаются. Чтобы найти угол между ними, выполним ряд графических построений:

• На любом свободном месте чертежа отмечаем точку S. Располагаем её произвольно (проекции S» и S’ показаны на рисунке).
• Через точку S проводим прямые a и b так, чтобы они были параллельны e и d. В нашем случае a||e, b||d соответственно.
• Строим горизонталь h, которая будет играть роль оси вращения. Перпендикулярно h’ из точки S’ проводим прямую. Она пересекает h’ в т. O’ – горизонтальной проекции центра вращения.
• Определяем радиус поворота R как гипотенузу треугольника O’S’S₀. При этом катет S’S₀ равен разности удаления точек S» и O» от горизонтальной плоскости.
• Находим т. S’₁ на пересечении дуги радиуса R с прямой S’O’. Соединяем S’₁ c точками 1′ и 2′, которые своего положения не меняют. Угол ϕ при вершине S’₁ искомый. Задача решена.

Источник

Лекция 4. Способы преобразования ортогонального чертежа

4.1. Способ перемены плоскостей проекций

Чаще всего геометрические объекты расположены относительно плоскостей проекций в общем положении, и при решении задач для достижения поставленной цели необходимо выполнять много построений.

Количество построений можно значительно сократить, если геометрические элементы будут расположены в частном положении относительно плоскостей проекций.

Существуют два основных способа преобразования чертежа, при которых:

1. Объект остаётся неподвижным, при этом меняется аппарат проецирования;
2. Условия проецирования не меняются, но изменяется положение объекта в пространстве.

К первому способу относится способ перемены плоскостей проекций.

Ко второму – способ вращения (вращение вокруг линии уровня и вращение вокруг проецирующей прямой); способ плоскопараллельного перемещения.

Рассмотрим наиболее часто используемые способы при решении задач.

Способ перемены плоскостей проекций или способ введения дополнительных плоскостей проекций (ДПП) позволяет перейти от заданной системы плоскостей проекций к новой системе, более удобной для решения той или иной задачи.

Рассмотрим положение точки А относительно известной системы плоскостей проекций π₂⊥π₁ (Рисунок 4.1, а и б).

Введём π₄⊥π₁, при этом получим новую систему двух взаимно перпендикулярных плоскостей. Положение точки А на эпюре будет в этом случае задано проекциями А₁ и А₄.

Правила перемены плоскостей проекций:

1. Новая плоскость проекций вводится перпендикулярно, по крайней мере, одной из заданных на чертеже плоскостей проекций;
2. ДПП располагается относительно проецируемого объекта в частном положении, удобном для решения поставленной задачи;
3. Новую плоскость совмещаем вращением вокруг новой оси проекций с плоскостью, которой она перпендикулярна на свободное место так, чтобы проекции не накладывались друг на друга.

а б

Рисунок 4.1 – Способ перемены плоскостей проекций

1. На чертеже новая проекция геометрического элемента находится на линии связи, перпендикулярной новой оси проекций:

1. Расстояние от А₄ до π₁/π₄ равно расстоянию от А₂ до π₂/π₁, так как величина этих отрезков (отмечены ○) определяет расстояние от точки А до плоскости проекций π₁.

При решении задачи необходимо заранее обдумать, как расположить новую плоскость проекций относительно заданных геометрических объектов (прямой, плоскости и др.), и как на чертеже провести новую ось проекций, чтобы в новой системе плоскостей заданные объекты заняли бы частные положения по отношению к новой плоскости проекций.

Упражнение

1. Спроецировать отрезок общего положения АВ в точку.

1. Введём ДПП π₄//А₁В₁ и π₄⊥π₁ (Рисунок 4.2). В новой системе двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций π₁/π₄ отрезок АВспроецируется на π₄ в натуральную величину и по этой проекции можем определить угол наклона отрезка к плоскости проекций π₁

Упражнение

2. Дана плоскость общего положения – σ, заданная треугольником АВС (Рисунок 4.3).

Определить истинную величину треугольника.

1. Введём ДПП π₄⊥σ и π₄⊥π₁, для чего построим горизонталь в плоскости треугольника и проведём новую ось проекций π₁/π₄⊥g₁согласно теореме о перпендикуляре к плоскости. На π₄ плоскость σ спроецируется в прямую, что означает σ⊥πp₄.
2. Введём ДПП π₅//σ (π₄/π₅//А₄В₄С₄) и π₄⊥π₅. На π₅ проекция А₅В₅С₅ – есть истинная величина треугольника.

4.2. Способ вращения

Сущность способа вращения состоит в том, что положение системы плоскостей проекций считается неизменным в пространстве, а положение проецируемого объекта относительно неподвижных плоскостей изменяется.

Из сравнения сущности обоих способов видно, что решение задач, которые требуют применения преобразования ортогонального чертежа, может быть выполнено любым из этих способов, результат при этом должен получиться одинаковым. Основа выбора того или иного способа – рациональность решения.

Вращение заданных элементов будем осуществлять вокруг проецирующей прямой, то есть прямой, перпендикулярной какой-либо плоскости проекций, при этом все точки заданных элементов поворачиваются в одну и ту же сторону на один и тот же угол (Рисунок 4.4, а и б). Ось вращения и объект вращения составляют твёрдое тело.

А – точка в пространстве;

О – центр вращения точки А;

АО – радиус вращения

а б

Рисунок 4.4 – Способ вращения вокруг прямой, перпендикулярной π₂

Точка описывает в пространстве окружность радиусом АО. Плоскость окружности перпендикулярна оси вращения (σ⊥m).

Так как m⊥π₂ , то σ//π₂, следовательно, σ⊥π₁, ⇒ σ₁⊥m₁, и поэтому σ проецируется на π₁ в виде прямой, перпендикулярной проекции оси вращения, а на π₂ траектория вращающейся точки проецируется в виде окружности с центром О₂≡m₂.

Пусть ось вращения m⊥π₁ (Рисунок 4.5, а и б). Плоскость окружности σ⊥m.

а б
Рисунок 4.5 – Вращение вокруг прямой, перпендикулярной π₁
\left.\begin\sigma\parallel\pi_1\\\sigma\perp \pi_2\\\end\right\> npu\;m\perp\pi_1\Longrightarrow\sigma_2\perp m_2
Свойства проекций

1. На плоскость проекций, перпендикулярную оси вращения, траектория вращающейся вокруг этой оси точки проецируется без искажения, то есть в окружность с центром, совпадающим с проекцией оси вращения на эту плоскость и радиусом, равным расстоянию от вращаемой точки до оси вращения.
2. На плоскость проекций, параллельную оси вращения, траектория вращающейся точки проецируется в отрезок, перпендикулярный проекции оси вращения на эту плоскость.
3. На плоскость проекций, перпендикулярную оси вращения, проекция вращаемого объекта своих размеров и формы не меняет.

Упражнение

Дано : отрезок общего положения – АВ.

Определить : способом вращения истинную величину отрезка и углы наклона его к плоскостям проекций.

1. Выберем ось вращения m⊥π₁ и проходящую через точку В (Рисунок 4.6).

На плоскости проекций π₂ проекция траектории перемещения точки А – прямая,

A_2 \overline\perp m_2\;u\;A_2\overline\parallel\pi_2/\pi_1

На плоскости проекций π₁ проекция траектории перемещения точки А – окружность радиусом |А₁В₁|.

Повернем отрезок до положения, параллельного плоскости проекций π₂. Получим натуральную величину отрезка.

Угол наклона отрезка АВ к плоскости проекций π₁ будет угол
\alpha=\angle\widehat_2> .

Для того, чтобы определить угол наклона АВ к плоскости проекций π₂, надо ввести новую ось вращения перпендикулярно π₂ и повторить построения.

4.3. Определение истинной величины треугольника способом вращения

Пусть плоскость σ задана треугольником. Необходимо определить истинную величину треугольника (Рисунок 4.7).

Одним поворотом вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций, истинную форму треугольника получить нельзя (так же как и введением одной ДПП).

Вращая вокруг оси m, перпендикулярной π₁ можно расположить плоскость ΔАВС⊥π₂ (а вращая вокруг оси n⊥π₂ можно расположить плоскость ΔАВС⊥π₁).

Рисунок 4.7

1. Положим σ’ должна быть перпендикулярна π₂. Для чего построим CD – горизонталь h плоскости σ. Введём первую ось вращения m⊥π₁, например, через точку С.
2. Повернём треугольник вокруг m до положения, когда
   \overline\perp\pi_2\Rightarrow\overline_1\overline_1\perp\pi_2/\pi_1
   На основании 3-го свойства, новая горизонтальная проекция треугольника \overline по величине должна равняться A₁B₁C₁, а фронтальная проекция треугольника будет представлять отрезок.
3. Введём вторую ось вращения n⊥π₂ через точку \overline_2 . Повернём фронтальную проекцию \overline в новое положение \overline<\overline\overline\overline>\parallel\pi_2/\pi_1 . На π₁ получим треугольник \overline<\overline\overline\overline> , равный истинной величине треугольника АВС.

4.4. Задачи для самостоятельной работы

Двумя способами преобразования ортогонального чертежа:

1. Определить расстояние от точки D до отрезка АВ – общего положения (Рисунок 4.8).

Рисунок 4.8

2. Определить расстояние между двумя параллельными прямыми общего положения (АВ//CD) (Рисунок 4.9).

Рисунок 4.9

3. Определить расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, заданными отрезками АВ и CD (Рисунок 4.10).

Рисунок 4.10

4. Построить недостающую проекцию точки D при условии, что задана σ=ΔАВС – общего положения и первая проекция точки D₁, Dотстоит от плоскости σ на 30 мм (Рисунок 4.11).

Рисунок 4.11

5. Дан отрезок АВ – общего положения. Ось вращения не проходит через АВ (Рисунок 4.12). Определить способом вращения истинную величину АВ.

Рисунок 4.12

6. Задана прямая общего положения m и точка А вне прямой. Построить плоскость, проходящую через точку А и перпендикулярную прямой m (Рисунок 4.13).

Рисунок 4.13

Источник