Определить угол между плоскостями применив способ замены плоскостей

Метод замены плоскостей проекций

Для решения целого ряда задач начертательной геометрии наиболее рациональным является метод замены плоскостей проекций. Например, с его помощью можно определить натуральную величину плоской фигуры, расстояние между параллельными прямыми, опорные точки пересечения поверхностей.

Замена одной плоскости проекции

Сущность метода заключается в замене одной из плоскостей проекций на дополнительную плоскость, выбранную так, чтобы в новой системе плоскостей решение поставленной задачи значительно упрощалось. Положение фигур в пространстве при этом не меняется.

Рассмотрим на примере точек A и B, как осуществляются построения на комплексном чертеже. Изначально точка A находится в системе плоскостей П₁, П₂. Введем дополнительную горизонтальную пл. П₄. Она будет перпендикулярна фронтальной плоскости проекций П₂ и пересечет её по оси x₁. Эту ось необходимо провести на комплексном чертеже с учётом цели построения. Здесь мы расположили её произвольно.

В новой системе плоскостей положение точки A» не изменится. Чтобы найти точку A’₁, которая является проекцией т. А на плоскость П₄, проведем из A» перпендикуляр к оси x₁. На этом перпендикуляре от точки его пересечения с осью x₁ отложим отрезок A_x1А’₁, равный отрезку A_xA’.

Данные построения основаны на равенстве ординат точек A’ и А’₁. Действительно, в системе плоскостей П₁, П₂ и в системе П₂, П₄ точка A удалена от фронтальной плоскости проекций П₂ на одно и то же расстояние.

Теперь осуществим перевод точки B в новую систему плоскостей П₁, П₄ (рис. ниже). Для этого введем произвольную фронтальную пл. П₄, которая будет перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций П₁ и пересечет её по оси x₁.

В системе П₁, П₄ положение точки B’ останется неизменным. Чтобы найти точку B»₁, проведем из B’ перпендикуляр к оси x₁. На этом перпендикуляре от точки его пересечения с осью x₁ отложим отрезок B_x1B»₁ равный отрезку B_xB». Описанные построения основаны на равенстве аппликат точек B» и B»₁.

Замена двух плоскостей проекций

Иногда для решения поставленной задачи требуется замена двух плоскостей проекций (рис. ниже). Пусть A’ и A» – исходные проекции точки A, находящейся в системе пл. П₁, П₂. Введем первую дополнительную плоскость П₄ и определим новую горизонтальную проекцию A’₁ точки A, как это было описано ранее.

Для осуществления второй замены плоскости проекций будем рассматривать систему пл. П₂, П₄ в качестве исходной. Введем новую фронтальную плоскость П₅ перпендикулярно горизонтальной пл. П₄. Для этого на произвольном месте чертежа проведем ось x₂ = П₄ ∩ П₅. Из точки A’₁, положение которой останется неизменным, восстановим перпендикуляр к оси x₂. На нем от точки A_x2 отложим отрезок A_x2A»₁ равный отрезку A»A_x1.

Использование метода замены при решении задач

Владея методом замены применительно к одной точке, можно построить дополнительные проекции любых фигур, поскольку они представляют собой множество точек. На рисунке ниже показан перевод отрезка AB в частное положение. Новая плоскость П₄ проведена параллельно AB, поэтому отрезок проецируется на неё в натуральную величину.

На следующем рисунке показана плоскость общего положения α, заданная следами. Переведем её в новую систему плоскостей П₁, П₄ так, чтобы α занимала проецирующее положение. Для этого перпендикулярно горизонтальному следу h_0α введем дополнительную фронтальную плоскость П₄.

Новый фронтальный след f_0α1 строится по двум точкам. Одна из них, X_α1, лежит на пересечении h_0α с осью x₁. Дополнительно возьмем точку N, принадлежащую α, и укажем её фронтальную проекцию N»₁ на плоскости П₄.

Определение расстояния между параллельными плоскостями

Параллельные плоскости α и β расположены так, как показано на рисунке. Чтобы найти расстояние между ними, необходимо из произвольной точки A, взятой на пл. α, опустить перпендикуляр AB на пл. β и определить его настоящую длину.

Для уменьшения количества геометрических построений α и β предварительно переводятся в проецирующее положение с помощью метода замены плоскостей проекций. Вспомогательная точка M используется для определения направления следов f_0β1 и f_0α1, параллельных друг другу.

Источник

Способы преобразования чертежа: Способ замены плоскостей проекций, Способы вращения: Методические рекомендации для самостоятельной работы студентов , страница 2

Часто для приведения прямой, плоской фигуры или пространственной формы в то частное положение, которое требуется для решения задачи, приходится заменять обе плоскости проекций. Переход от заданной системы плоскостей V/H к новой V₁/H₁ может быть осуществлен по одной из приведенных ниже схем:

На рисунке 12 задана точка A в системе V/H. Затем осуществлен переход от системы V/H к системе V₁/H₁: проведена новая ось проекций Х₁, найдена новая проекция а’₁ точки А. Далее система V₁/H заменена новой системой плоскостей проекции V₁/H₁ —вместо горизонтальной плоскости проекций введена новая плоскость Н₁.

Положение новых осей проекций выбирается в соответствии с конкретными условиями задачи.

Пример 6. Определить истинную фигуру треугольника ABC (рисунок 13).

Треугольник спроектируется в натуральную величину на какую-либо плоскость проекций, если он окажется параллельным этой плоскости. Для того чтобы треугольник АВС оказался параллельным одной из плоскостей проекций, необходимо выполнить двойную замену плоскостей.

Сначала заменим плоскость V на плоскость V₁. Плоскость V₁ выберем перпендикулярно плоскости треугольника АВС — новая ось проекций x₁должна быть перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали h. На новую фронтальную плоскость проекций треугольник cпроектируетcя в виде прямой линии c’₁a’₁b’₁. Затем введем новую плоскость проекций H₁ параллельно плоскости треугольника.

Горизонтальная проекция a₁b₁c₁ треугольника ABC в новой системе — истинная величина его.

Пример 7. Дана пирамида SАВС (рисунок 14). Определить величину двугранного угла при ребре АВ.

Задача сводится к построению проекции данного угла на плоскость проекций, перпендикулярную к его ребру.

Так как ребро АВ — прямая общего положения, то необходимо произвести две последовательные замены плоскостей проекций. Плоскость V заменяем плоскостью V₁, параллельной отрезку АВ.

Находим новую фронтальную проекцию s’₁a’₁b’₁c’₁ пирамиды SАВС на новой фронтальной плоскости проекций. Затем от системы V₁/H перейдем к системе V₁/H₁. Плоскость H₁ расположим перпендикулярно отрезку АВ. На плоскость Н₁ ребро АВ спроектируется в точку, а грани SАВ и САВ — в прямые. Угол s₁a₁c₁ будет искомым.

Пример 8. Дана пирамида SАВС (рисунок 15). Определить кратчайшее расстояние между ребрами SА и ВС.

Прямые SА и ВС являются скрещивающимися. Следовательно, задача сводится к определению кратчайшего расстояния между двумя скрещивающимися прямыми. Для решения задачи необходимо произвести такую замену плоскостей проекций, чтобы в новой системе одна из прямых, например ВС (рисунок 16), оказалась перпендикулярной к какой-либо плоскости проекций. Замену плоскостей проекций осуществляем по схеме V/H → V/H₁ → V₁/H₁.

Следовательно, решение задач методами преобразования сводится к выполнению четырех основных этапов:

1) преобразование прямой общего положения в прямую уровня (определение углов наклона прямой к плоскостям проекций и натуральной величины отрезков);

2. преобразование прямой уровня в проецирующую прямую (определение величины двугранного угла, расстояния между прямыми);

3. преобразование плоскости общего положения в проецирующую плоскость (определение углов наклона плоскости к плоскостям проекций, расстояния от точки до плоскости);

4. преобразование плоскости проецирующей в плоскость уровня (определяется натуральная величина плоскости).

В системе V₁H₁ прямая ВС (см. рисунок 15) проектируется в точку. Отрезок k’₁l’₁ — кратчайшее расстояние между ребрами АS и ВС. Для построения проекций кратчайшего расстояния в системе V/H находим по линии связи точку l₁ и проводим l₁k₁ параллельно оси проекций Х₂ , после чего при помощи линий связи находим основные проекции kl и k’l’.

Сущность способов вращения заключается в том, что заданная геометрическая форма путем вращения вокруг некоторой оси перемещается в пространстве до тех пор, пока она не займет частное положение по отношению к неизменной системе плоскостей проекций.

В зависимости от положения оси вращения по отношению к плоскостям проекций различают следующие способы вращения:

а) вращение вокруг осей, перпендикулярных к плоскостям проекций;

б) то же без указания положения осей вращения;

в) вращение вокруг горизонтали или фронтали;

г) вращение вокруг одного из следов плоскости (совмещение).

Рисунок 17 Рисунок 18

На эпюре (рисунок 17) изображена точка А и ось вращения Z, перпендикулярная к плоскости проекций H. При вращении вокруг оси Z точка А будет перемещаться по окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси вращения (параллельной плоскости проекций H). Если точку А переместить из положения А в положение A₁ т. е. повернуть ее вокруг оси Z, на некоторый угол α , то ее горизонтальная проекция (а) займет положение a₁, описав при этом дугу радиуса za (za — радиус вращения), а фронтальная проекция (а’) точки переместится по прямой a’a’₁, параллельной оси X.

Если ось вращения Z (рисунок 18) перпендикулярна к плоскости проекций V, то при вращении точки В вокруг этой оси фронтальная проекция траектории её перемещения будет окружностью, а горизонтальная — прямой, параллельной оси X.

Пример 9. Совместить точку А с плоскостью Р путем вращения ее вокруг заданной оси Z (рисунок 19).

При вращении вокруг оси Z, точка А опишет окружность в плоскости Q, перпендикулярной этой оси. Плоскость Q пересечет заданную плоскость Р по горизонтали NF. Очевидно, точка А окажется в плоскости Р тогда, когда окружность, описываемая точкой А, пересечет горизонталь NF. Задача, как видно из чертежа, имеет два решения.

Чтобы повернуть прямую АВ (рисунок 20) на некоторый угол α, достаточно повернуть на заданный угол две принадлежащие, ей точки. Из чертежа видно, что треугольники abz и a₁b₁z₁ равны между собой (по двум сторонам и углу между ними), а из их равенства следует, что ab = a₁b₁, т. е. величина горизонтальной проекции отрезка при вращении его вокруг оси, перпендикулярной Н, не изменяется, изменяется только ее положение относительно оси проекций. Это обстоятельство позволяет упростить построения при решении приведенного примера

Рисунок 20 Рисунок 21

На рисунке 21 для поворота прямой АВ вокруг оси Z на угол α из z, опущен перпендикуляр на ab. Затем точка с повернута на заданный угол α, через точку c₁ проведена прямая, перпендикулярная радиусу c₁z, и отложены отрезки c₁a₁=са и c₁b₁=cb.

Вращение плоскости вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций, осуществляется путем вращения на один и тот же угол в одном и том же направлении точек и прямых, которыми задана плоскость.

На рисунке 22 плоскость, заданная треугольником АВС, повернута вокруг оси Z. в положение, перпендикулярное фронтальной плоскости проекций (горизонтальная проекция горизонтали А1 заняла положение, перпендикулярное оси X).

Если же плоскость задана следами, то для поворота плоскости на некоторый угол необходимо повернуть на заданный угол один из ее следов и горизонталь или фронталь этой плоскости (рисунок 23).

Таким образом, при вращении любой пространственной формы около оси, перпендикулярной одной из плоскостей проекций, проекция ее на эту плоскость по своей величине не изменится. Изменится лишь положение этой проекции относительно оси проекций. Пользуясь этим, для решения той или иной задачи можно применять способ вращения, не изображая на чертеже осей вращения.

• АлтГТУ 419
• АлтГУ 113
• АмПГУ 296
• АГТУ 267
• БИТТУ 794
• БГТУ «Военмех» 1191
• БГМУ 172
• БГТУ 603
• БГУ 155
• БГУИР 391
• БелГУТ 4908
• БГЭУ 963
• БНТУ 1070
• БТЭУ ПК 689
• БрГУ 179
• ВНТУ 120
• ВГУЭС 426
• ВлГУ 645
• ВМедА 611
• ВолгГТУ 235
• ВНУ им. Даля 166
• ВЗФЭИ 245
• ВятГСХА 101
• ВятГГУ 139
• ВятГУ 559
• ГГДСК 171
• ГомГМК 501
• ГГМУ 1966
• ГГТУ им. Сухого 4467
• ГГУ им. Скорины 1590
• ГМА им. Макарова 299
• ДГПУ 159
• ДальГАУ 279
• ДВГГУ 134
• ДВГМУ 408
• ДВГТУ 936
• ДВГУПС 305
• ДВФУ 949
• ДонГТУ 498
• ДИТМ МНТУ 109
• ИвГМА 488
• ИГХТУ 131
• ИжГТУ 145
• КемГППК 171
• КемГУ 508
• КГМТУ 270
• КировАТ 147
• КГКСЭП 407
• КГТА им. Дегтярева 174
• КнАГТУ 2910
• КрасГАУ 345
• КрасГМУ 629
• КГПУ им. Астафьева 133
• КГТУ (СФУ) 567
• КГТЭИ (СФУ) 112
• КПК №2 177
• КубГТУ 138
• КубГУ 109
• КузГПА 182
• КузГТУ 789
• МГТУ им. Носова 369
• МГЭУ им. Сахарова 232
• МГЭК 249
• МГПУ 165
• МАИ 144
• МАДИ 151
• МГИУ 1179
• МГОУ 121
• МГСУ 331
• МГУ 273
• МГУКИ 101
• МГУПИ 225
• МГУПС (МИИТ) 637
• МГУТУ 122
• МТУСИ 179
• ХАИ 656
• ТПУ 455
• НИУ МЭИ 640
• НМСУ «Горный» 1701
• ХПИ 1534
• НТУУ «КПИ» 213
• НУК им. Макарова 543
• НВ 1001
• НГАВТ 362
• НГАУ 411
• НГАСУ 817
• НГМУ 665
• НГПУ 214
• НГТУ 4610
• НГУ 1993
• НГУЭУ 499
• НИИ 201
• ОмГТУ 302
• ОмГУПС 230
• СПбПК №4 115
• ПГУПС 2489
• ПГПУ им. Короленко 296
• ПНТУ им. Кондратюка 120
• РАНХиГС 190
• РОАТ МИИТ 608
• РТА 245
• РГГМУ 117
• РГПУ им. Герцена 123
• РГППУ 142
• РГСУ 162
• «МАТИ» — РГТУ 121
• РГУНиГ 260
• РЭУ им. Плеханова 123
• РГАТУ им. Соловьёва 219
• РязГМУ 125
• РГРТУ 666
• СамГТУ 131
• СПбГАСУ 315
• ИНЖЭКОН 328
• СПбГИПСР 136
• СПбГЛТУ им. Кирова 227
• СПбГМТУ 143
• СПбГПМУ 146
• СПбГПУ 1599
• СПбГТИ (ТУ) 293
• СПбГТУРП 236
• СПбГУ 578
• ГУАП 524
• СПбГУНиПТ 291
• СПбГУПТД 438
• СПбГУСЭ 226
• СПбГУТ 194
• СПГУТД 151
• СПбГУЭФ 145
• СПбГЭТУ «ЛЭТИ» 379
• ПИМаш 247
• НИУ ИТМО 531
• СГТУ им. Гагарина 114
• СахГУ 278
• СЗТУ 484
• СибАГС 249
• СибГАУ 462
• СибГИУ 1654
• СибГТУ 946
• СГУПС 1473
• СибГУТИ 2083
• СибУПК 377
• СФУ 2424
• СНАУ 567
• СумГУ 768
• ТРТУ 149
• ТОГУ 551
• ТГЭУ 325
• ТГУ (Томск) 276
• ТГПУ 181
• ТулГУ 553
• УкрГАЖТ 234
• УлГТУ 536
• УИПКПРО 123
• УрГПУ 195
• УГТУ-УПИ 758
• УГНТУ 570
• УГТУ 134
• ХГАЭП 138
• ХГАФК 110
• ХНАГХ 407
• ХНУВД 512
• ХНУ им. Каразина 305
• ХНУРЭ 325
• ХНЭУ 495
• ЦПУ 157
• ЧитГУ 220
• ЮУрГУ 309

Полный список ВУЗов

Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).

Источник