Определить среднюю величину по способу моментов

Решения задач методом моментов

Для оценивания неизвестных параметров статистических распределений наравне с методом наибольшего правдоподобия используют метод моментов.

Суть метода: выразить числовые параметры теоретического распределения через моменты распределения, оценненные по выборки. Число моментов должно соответствовать числу неизвестных параметров распределения (чаще всего используют первые два момента). После вычисления приравниваем теоретические и выборочные моменты друг к другу и выражаем оценки параметров.

Данный метод прост в в реализации, дает неплохие оценки и удобен для отработки навыков. Про свойства оценок: состоятельность оценок выполняется при непрерывной зависимости от параметра, асимптотическая эффективность оценок, полученных по ММП всегда лучше чем у ММ, оценки по ММ чаще всего смещенные (требуется проверка).

Примеры нахождения оценок по методу моментов для разных распределений вы найдете ниже. Удачи!

Примеры решений

Пример 1. Число семян сорняков в пробах зерна подчинено закону Пуассона. Имеется выборка проб зерна. Результаты записаны в таблице Т1. Найти параметр $\lambda$ по выборке методом моментов.

Пример 2. При условии равномерного распределения случайной величины $Х$ произведена выборка
3 5 7 9 11 13 15 17 19 21
21 16 15 26 22 14 21 22 18 25
Найти оценку параметров $a$ и $b$ по методу моментов.

Пример 3. Найти методом моментов по выборке $x_1, x_2, . x_n$ точечную оценку параметра $p$ биномиального распределения $P_m(x_i)=C_^ p^ (1-p)^$, где $x_i$ — число появлений события в $i$-ом опыте ($i=1,2. n$), $m$ — количество испытаний в одном опыте.

Пример 4. Найти методом моментов по выборке $x_1, x_2, . x_n$ точечные оценки неизвестных параметров $a$ и $\sigma$ нормального распределения.

Пример 5. Пусть случайная величина $\xi$ имеет плотность $p(x)=1/(b-a)$, если $x\in(a;b)$, и $p(x)=0$, иначе. Произведена выборка. Используя метод моментов, найти $a$ и $b$.

Теория по методу моментов

Хотите немного больше знать о теоретических основах метода моментов для чайников? Материалов в интернете к сожалению не так много, подойдут классические учебники по математической статистике и конечно же лекция Черновой Н. по методу моментов с теоретическими основами и примерами решений.

Источник

Решаем проверочные задачи по статистике

Тема: «Средние величины»

1. Задача на определение средней арифметической

Рассчитать средний возраст студентов в группе из 20 человек:

== 19,4 года

Если сгруппировать данные, то получим ряд распределения:

= = 19 , 4 года

2. Задача на нахождение средней арифметической взвешенной

Распределение рабочих по выработке деталей

Выработка деталей за смену одним рабочим, шт., Х _i

Число рабочих, fi

= = 19,4 деталей

3. Задача на в ычисление средней по групповым средним или по частным средним.

Распределение рабочих по среднему стажу работы

Средний стаж работы, лет.

Число рабочих, чел.,

==6,85 года

4. Задача на в ычисление средних в рядах распределения (интервальный ряд).

Распределение рабочих АО по уровню ежемесячной оплаты труда

Группы рабочих по оплате труда у.е.

Число рабочих, чел.

Середина интервала, х i

=(450*5+550*15+650*20+750*30+850*16+950*14)/100= 729 у.е.

Задача 5 . Вычисление средних в интервальных рядах методом моментов

Распределение малых предприятий региона по стоимости основных производственных фондов

Группы предприятий по стоимости ОПФ, у.е.

Для упрощения расчетов средней идут по пути уменьшения значений вариантов и частот.

Один из вариантов, обладающий наибольшей частотой принимают за А, i — величина интервала.

А- начало отсчета «способ отсчета от условного нуля», «способ моментов». Все варианты уменьшим на А, затем разделим на I , получим новый вариационный ряд распределения новых вариантов х _{i .} Средняя арифметическая их новых вариантов- момент первого порядка m _{i = = 0/25=0}

= m _I* I+ А =0*2+19=19 у . е .

Задача 6 на определение Средней гармонической.

Заработная плата предприятий АО

Численность промышленно- производственного персонала, чел

Месячный фонд заработной платы, тыс руб.

Средняя заработная плата, руб.

Определить среднюю з/п по всем предприятиям.

Составим логическую формулу средней: средняя з/п по всем предприятиям =

1) Пусть мы располагаем данными гр.1 и 2. Нам известен числитель и знаменатель логической формулы.

Искомая средняя величина определяется по средней агрегатной: _{= =}

2) Пусть мы располагаем данными гр.1 и 3 , нам известен числитель логической формулы, а знаменатель числитель не известен, но может быть найден путем умножения средней з/п на численность ППП. Искомая средняя определяется по средней арифметической взвешенной.

_{= =(1046*540+1210*275+1130*458)/1273=1112 руб.}

3) Пусть мы располагаем данными гр.2 и 3 , нам известен числитель логической формулы, а знаменатель не известен, но может быть найден путем деления фонда з/п на среднюю з/п логической формулы. Искомая средняя определяется по средней гармонической взвешенной:

Все ответы верны.

Задача 7. Определить среднюю цену моркови по всем магазинам.

Цена и выручка от реализации по трем коммерческим магазинам.

Цена моркови., руб за кг.

Выручка от реализации, руб.

Решение.

Логическая формула средней: средняя цена моркови =;

нам известен числитель логической формулы, а знаменатель не известен, но может быть найден путем деления выручки от реализации на цену моркови.

Искомая средняя определяется по средней гармонической взвешенной:

Задача 8 по статистике с решением: средние величины.

Информация о вкладах в банке

Число вкладов, тыс., f

Средний размер вклада, руб., x

Сумма вкладов, млн. руб., F

Средний размер вклада, x

Определить средний размер вклада по двум видам.

1) Пусть в октябре известен средний размер вкладов каждого вида и число вкладов. По формуле средней арифметической взвешенной:

_{= =}

2) Пусть в ноябре известен средний размер вкладов каждого вида и сумма вкладов. По формуле средней гармонической взвешенной:

Задача 9: Удельная материалоемкость по двум предприятиям, изготавливающим один и тот же вид продукции составила соответственно 2,5 и 3 кг. Вычислить среднюю удельную материалоемкость изделия по двум предприятиям при условии, что каждым предприятием израсходовано на изготовления одного изделия по 60 тонн стали.

1) Решение задачи по средней арифметической простой:

= = 2,75 кг/ед

2) решение по средней арифметической взвешенной

_{= =} 2,75 кг/ед

Оба решения не имеют логического смысла, чтобы правильно выбрать формулу средней величины необходимо составить логическую формулу задачи, отражающую ее смысл.

Логическая формула: средняя удельная материалоемкость по двум предприятиям = общему расходу материала на двух предприятиях/ на количество произведенных изделий→ средняя гармоническая взвешенная

3)

Источник

Вычисление средней арифметической по способу моментов

При большом числе наблюдений или при большом числовом значении вариант применяют

упрощенный способ вычисления средней арифметической- способ моментов.

где М — средняя арифметическая; А — условная средняя; i — интервал между группами вариант;

S — знак суммирования.; а- условное отклонение каждой варианты от условной средней;

р — частота встречаемости вариант; n — число наблюдений.

Пример вычисления средней арифметической по способу моментов (средней массы тела

юношей в возрасте 18 лет)

V(n в кг)	Р	а (V-А)	а . Р
+2	+4
+1	+3
Мо=62
-1	-6
-2	-8
-3	-3
п = 25	Sар = — 10кг

Этапы расчета средней по способу моментов:

1) за условную среднюю А рекомендуется принять Моду или Медиану, например А = 62кг, так как 62 кг было у 9 юношей из 25;

2) определяем «а» — условное отклонение варианты от условной средней, для этого из каждой варианты вычитаем условную среднюю: а = V — А, ( например, а = 64 — 62 = +2 и т.д.).

3) умножаем условное отклонение «а» на частоту «р» каждой варианты и получаем произведение а р;

4) находим сумму Sа . р = — 10кг

5) рассчитываем среднюю арифметическую по способу моментов:

М = А + i SаР = 62 — 1×0,4 = 61,6кг

Таким образом, можно сделать вывод, что в изучаемой нами группе юношей средняя масса тела

Средняя арифметическая сама по себе ничего не говорит о том вариационном ряде, из которого

она была вычислена. На ее типичность (достоверность) влияет однородность рассматриваемого

материала и колеблемость ряда.

Пример: даны два одинаковых по числу наблюдений вариационных ряда, в которых

представлены данные измерений окружности головы детей в возрасте от 1 года до 2-х лет

Ряд 1	Ряд 2
Окружность головы(в см) Частота	41, 45, 46, 47, 48 7, 8, 25, 6, 2	42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50 1, 2, 4, 6, 14, 10, 3, 0, 2

Имея одинаковое число наблюдений и одинаковые средние арифметические (М= 46 см), ряды

имеют различия в распределении внутри. Так варианты первого ряда отклоняются в целом от

средней арифметической с меньшим значением, чем варианты второго ряда, что дает

возможность предположить, что средняя арифметическая (46 см) более типична для первого

ряда, чем для второго.

В статистике для характеристики разнообразия вариационного ряда употребляют среднее

квадратическое отклонение (s)

Существует два способа расчета среднего квадратического отклонения: среднеарифметический

способ и способ моментов. При среднеарифметическом способе расчета применяют формулу:

где d истинное отклонение каждой варианты от истиной средней М. Формула используется при

Источник

Определение средней арифметической по способу моментов. Свойства средней арифметической

Где А – условный нуль, равный варианте с максимальной частотой (середина интервала с максимальной частотой), h – шаг интервала,

Назначение сервиса . С помощью онлайн-калькулятора вычисляется среднее значение по способу моментов. Результат решения оформляется в формате Word .

Инструкция . Для получения решения необходимо заполнить исходные данные и выбрать параметры отчета для оформления в Word.

Алгоритм нахождения средней по способу моментов

Пример . Затраты рабочего времени на однородную технологическую операцию распределялись между рабочими следующим образом:

Требуется определить среднюю величину затрат рабочего времени и среднеквадратическое отклонение по способу моментов; коэффициент вариации; моду и медиану.
Таблица для расчета показателей.

Группы	Середина интервала, x i	Кол-во, f i	x i ·f i	Накопленная частота, S	(x-x ) 2 ·f
5 — 10	7.5	20	150	20	4600.56
15 — 20	17.5	25	437.5	45	667.36
20 — 25	22.5	50	1125	95	1.39
25 — 30	27.5	30	825	125	700.83
30 — 35	32.5	15	487.5	140	1450.42
35 — 40	37.5	10	375	150	2200.28
150	3400	9620.83

Мода

где x 0 – начало модального интервала; h – величина интервала; f 2 –частота, соответствующая модальному интервалу; f 1 – предмодальная частота; f 3 – послемодальная частота.
Выбираем в качестве начала интервала 20, так как именно на этот интервал приходится наибольшее количество.

Наиболее часто встречающееся значение ряда – 22.78 мин.
Медиана
Медианным является интервал 20 — 25, т.к. в этом интервале накопленная частота S, больше медианного номера (медианным называется первый интервал, накопленная частота S которого превышает половину общей суммы частот).

Таким образом, 50% единиц совокупности будут меньше по величине 23 мин.
.

Находим А = 22.5, шаг интервала h = 5.
Средний квадрат отклонений по способу моментов .

x ц	x * i	x * i f i	2 f i
7.5	-3	-60	180
17.5	-1	-25	25
22.5	0	0	0
27.5	1	30	30
32.5	2	30	60
37.5	3	30	90
5	385

мин.

Среднее квадратическое отклонение .
мин.
Коэффициент вариации — мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.

Поскольку v>30% ,но v . С помощью онлайн-калькулятора вычисляется среднее значение по способу моментов. Результат решения оформляется в формате Word .

Инструкция . Для получения решения необходимо заполнить исходные данные и выбрать параметры отчета для оформления в Word.

Алгоритм нахождения средней по способу моментов

Пример . Затраты рабочего времени на однородную технологическую операцию распределялись между рабочими следующим образом:

Требуется определить среднюю величину затрат рабочего времени и среднеквадратическое отклонение по способу моментов; коэффициент вариации; моду и медиану.
Таблица для расчета показателей.

Группы	Середина интервала, x i	Кол-во, f i	x i ·f i	Накопленная частота, S	(x-x ) 2 ·f
5 — 10	7.5	20	150	20	4600.56
15 — 20	17.5	25	437.5	45	667.36
20 — 25	22.5	50	1125	95	1.39
25 — 30	27.5	30	825	125	700.83
30 — 35	32.5	15	487.5	140	1450.42
35 — 40	37.5	10	375	150	2200.28
150	3400	9620.83

Мода

где x 0 – начало модального интервала; h – величина интервала; f 2 –частота, соответствующая модальному интервалу; f 1 – предмодальная частота; f 3 – послемодальная частота.
Выбираем в качестве начала интервала 20, так как именно на этот интервал приходится наибольшее количество.

Наиболее часто встречающееся значение ряда – 22.78 мин.
Медиана
Медианным является интервал 20 — 25, т.к. в этом интервале накопленная частота S, больше медианного номера (медианным называется первый интервал, накопленная частота S которого превышает половину общей суммы частот).

Таким образом, 50% единиц совокупности будут меньше по величине 23 мин.
.

Источник