Определить аналитическим способом принадлежит ли функция пространствам непрерывных функций

Содержание

Определить аналитическим способом принадлежит ли функция пространствам непрерывных функций
Непрерывность функций с примерами решения и образцами выполнения
Действия над непрерывными функциями
Свойства функций, непрерывных на сегменте
Решение на тему: Непрерывная функция
Непрерывность функций

Определить аналитическим способом принадлежит ли функция пространствам непрерывных функций

Пусть функция `y=f(x)` определена на некотором интервале, содержащем точку `ain R`, за исключением, быть может, самой точки `a`.

Число `A` называется пределом функции `y=f(x)` в точке `a`, если для любой последовательности `(x_n)` из области её определения такой, что `x_n!=a` и `lim_(n->oo)x_n=a` выполняется равенство `lim_(n->oo)f(x_n)=A`.

Обозначение: `lim_(n->oo)f(x)=A`, или `f(x)->A` при `x->a`.

В определении предела рассматриваются значения `x_n`, не равные `a`, поэтому в самой точке `a` функция `y=f(x)` может быть не определена; если значение `f(a)` определено, то оно не обязано совпадать с `A`. К тому же, поскольку последовательность `(f(x_n))` имеет не более одного предела, получаем, что если функция `y=f(x)` имеет предел при `x->a`, то этот предел единственный.

На рис. 2 изображена лишь одна последовательность `(x_n)`, которая к тому же является монотонной. Важно понимать, что `lim_(n->oo)f(x_n)=A` для любой последовательности `(x_n)` с условием `x_n!=a` и `lim_(n->oo)x_n=a`.

Доказать, что `lim_(n->oo)x=a`.

Очевидно, функция `f(x)=x` определена на любом интервале, содержащем `a`. Выберем произвольную последовательность `(x_n)` такую, что `x_n!=a` и `lim_(n->oo)x_n=a`. Тогда `f(x_n)=x_n` и, значит, `lim_(n->oo)f(x_n)=a`.

Доказать, что при `a>0lim_(n->a)sqrtx=sqrta`.

Функция `f(x)=sqrtx` определена при `x>=0` и, следовательно, определена на некотором интервале, содержащем `a`. Выберем произвольную последовательность неотрицательных чисел `x_n!=a`, что `lim_(n->oo)x_n=a`. Нам нужно показать, что `lim_(n->oo)sqrtx_n=sqrta`. Фиксируем произвольное `epsilon>0`, тогда найдётся такое число `k`, что при `n>k` выполняется неравенство `|x_n-a| 1)(x^2-1)/(x-1)=2`.

Функция `f(x)=(x^2-1)/(x-1)` определена на любом интервале, содержащем `x=1`, кроме этой точки. Поскольку при `x!=1` имеет место равенство `f(x)=x+1`, то для любой последовательности `(x_n)` такой, что `x_n!=1` и `lim_(n->oo)x_n=1` выполняется `lim_(n->oo)f(x_n)=lim_(n->oo)x_n+1=2`.

Пусть функции `y=f(x)`, `y=g(x)` определены на некотором интервале, содержащем точку `a in R`, за исключением, быть может, самой точки `a`, `lim_(x->a)f(x)=A` и `lim_(x->a)g(x)=B`. Тогда

3) если дополнительно `g(x)!=0` при `x!=a`, `B!=0`, то `lim_(x->a)(f(x))/(g(x))=A/B`.

Эти свойства вытекают из арифметических операций над пределами последовательностей (теорема 2.2). Приведём доказательство для свойства 2. Остальные доказываются аналогично.

Пусть некоторая произвольная последовательность `(x_n)` из интервала, на котором определены функции, такова что `x_n!=a` и `lim_(n->oo)x_n=a`. Тогда по определению предела функции `lim_(n->oo)f(x_n)=A` и `lim_(n->oo)g(x_n)=B`. По пункту 2 теоремы 2.2 `lim_(n->oo)f(x_n)g(x_n)=AB`. По определению предела функции получаем, что `lim_(x->a)f(x)g(x)=AB`.

Пусть функция `y=f(x)` определена на некотором интервале, содержащем точку `a`. Функция `y=f(x)`называется непрерывной в точке `a`, если `lim_(x->a)f(x)=f(a)`, т. е. если для любой последовательности `(x_n)` из области определения функции такой, что `lim_(n->oo)x_n=a`, выполняется равенство `lim_(n->oo)f(x_n)=f(a)`.

Отметим два обстоятельства, связанных с определением непрерывности. Во-первых, оговорка `x_n!=a` здесь не нужна, т. к. при `x_n=a` значения `f(x_n)` равны `f(a)`. Во-вторых, важно понимать, что если функция `y=f(x)` непрерывна в точке `a`, то

1) она определена в точке `a`;

2) существует `lim_(x->a)f(x)=A` и

Если хотя бы один из пунктов 1) – 3) не выполнен, то функция не является непрерывной в точке `a`.

Многочлен является непрерывной на всей числовой прямой функцией.

Пусть `P(x)=a_nx^n+a_(n-1)x^(n-1)+. +a_1x+a_0` — многочлен степени `n, a in R`. Нам нужно показать, что `lim_(x->a)P(x)=P(a)`. В силу примера 3.1 `lim_(x->a)x=a`,, а в силу примера 2.1 для константы `c` ‑ `lim_(x->a)c=c`. Последовательно применяя пункт 2 теоремы 3.1, получаем, что `lim_(x->a)cx^m=ca^m` при любом натуральном `m`. Осталось `n+1` раз применить пункт 1 теоремы 3.1 и заключить, что `lim_(x->a)P(x)=P(a)`.

Из теоремы 3.1 вытекает, что если функции `y=f(x)`, `y=g(x)` непрерывны в точке `a`, то функции `y=f(x)+-g(x)`, `y=f(x)g(x)`, `y=f(x)//g(x)` `(g(a)!=0)` также непрерывны в `a`.

Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Функция `y=|x|` непрерывна на всей числовой прямой.

Функция `y=|x|` на промежутке `(-oo;0)` совпадает с функцией `y=-x`, а на промежутке `(0;+oo)` — с функцией `y=x`, которые непрерывны на этих промежутках. Осталось исследовать на непрерывность данную функцию в точке `x=0`. Поскольку `||x_n|-0|=|x_n-0|`, то для любой последовательности `(x_n)` такой, что `lim_(n->oo)x_n=0` верно `lim_(n->oo)|x_n|=0`. По определению `lim_(x->0)|x|=0`, функция `y=|x|` непрерывна в точке `x=0`.

Вообще, все элементарные функции, изучаемые в школьном курсе, непрерывны в каждой точке, в окрестности которой эти функции определены.

Источник

Непрерывность функций с примерами решения и образцами выполнения

Непрерывность функции:

Непрерывные функции, точки разрыва и их классификация, действия над непрерывными функциями, свойства функций, непрерывных на сегменте.

Определение:

Функция у = f(x) называется непрерывной в точке х₀, если:

функция определена в точке x₀ и в некоторой ее окрестности, содержащей эту точку;
функция имеет предел при х → x₀;
предел функции при х → x₀ равен значению функции в точке x₀:
(10.1)

Если в точке x₀ функция непрерывна, то точка x₀ называется точкой непрерывности функции.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию в точке х = 1.

Решение:

Чтобы доказать, что функция непрерывна в точке х = 1, необходимо проверить выполнение трех следующих условий (определение непрерывности):

функция определена в точке х = 1 ⇒ f(1) = e;
существует ;
этот предел равен значению функции в точке х = 1 :

Таким образом, доказано, что функция непрерывна в точке х = 1.

Замечание:

Формулу (10.1) можно записать в виде
(10.2)
так как . Это значит, что при нахождении предела непрерывной функции можно переходить к пределу под знаком функции.

Введем понятие непрерывности функции в точке х₀ справа и слева.
Если, существует f(x) = f(x₀), то функция называется непрерывной в точке x₀ слева. Аналогично определяется непрерывность функции справа.

Так как ∆x = x-x₀, a ∆y = f(x)-(x₀), то условие (10.1) равносильно следующему:

Определение:

Функция у = f(x) называется непрерывной в точке х₀, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции
(10.3)

Пример:

Показать, что функция у = х³ непрерывна для любого значения аргумента х.

Решение:

Найдем приращение функции ∆y.

Используя теоремы о пределе суммы и произведения функции, получим
(3x²∆x 4- 3x∆x² + ∆x³) = 0.

Следовательно, функция у = х³ непрерывна при — ∞ Точки разрыва функции и их классификация

Определение:

Точка х₀ называется точкой разрыва функции у = f(x), если она принадлежит области определения функции или ее границе и не является точкой непрерывности.

Так, например, функция (рис. 89) терпит разрыв при х = 1. Эта функция не определена в точке х = 1, и не существует предела функции в этой точке.

Рис. 89. График функции

Определение:

Точка разрыва x₀ функции у = f(x) называется точкой устранимого разрыва, если существуют оба односторонних предела в точке x₀ и они равны, т. е.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

В точке x=-1 функция не определена, так как, выполнив подстановку, получаем неопределенность . В других точках дробь можно сократить на (1 + х), так как в них 1 + х ≠ 0. Легко видеть, что односторонние пределы слева и справа в точке х = — 1 равны между собой и их можно вычислить:

Таким образом, при x = -1 данная функция имеет устранимый разрыв.
Он будет устранен, если положить, что при x = -1 ⇒ у == 3.

Определение:

Если в точке x₀ односторонние пределы слева и справа существуют, но не равны, точка x₀ называется точкой разрыва I рода.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию
(рис. 90).

Рис. 90. График функции

Решение: Вычислим односторонние пределы функции в точке ее разрыва х = 4.

Предел слева —.
Предел справа — .
Пределы слева и справа существуют, но не равны, следовательно, точка x = 4 для данной функции — точка разрыва I рода (точка скачка).

Определение:

Точки разрыва, не являющиеся точками разрыва I рода, называются точками разрыва II рода.

В точках разрыва II рода не существует хотя бы один из односторонних пределов. Функция , представленная на рис. 89, не имеет ни левого, ни правого конечного предела в точке х = 1. Следовательно, для данной функции x = 1 является точкой разрыва II рода.

Действия над непрерывными функциями

Теорема:

Непрерывность суммы, произведения и частного непрерывных функций. Если функции ϕ(x) и ψ(x) непрерывны в точке Хо, то их сумма и произведение также непрерывны в точке x₀. Если, кроме того, знаменатель в рассматриваемой точке не равен нулю, то частное непрерывных функций есть функция непрерывная.

Докажем непрерывность произведения.

Дано: непрерывность функций в точке x₀:
и

Доказать, что f(x) — ϕ(x) ∙ ψ(x) есть функция непрерывная в точке x₀, т. е. f(x) — f(x₀).

Доказательство:
f(x) = [ϕ(x) ∙ ψ(x)] = ϕ(x) ∙ ψ(x) = ϕ(x₀) ∙ ψ(x₀) = f(x₀).

Можно строго доказать, что все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях х, для которых они определены.

Например, степенная у = xⁿ, показательная у = , тригонометрические у = sin х и у = cos х функции непрерывны на всей числовой оси (х ∈ R), логарифмическая функция непрерывна при х > 0, а тригонометрическая у = tg x непрерывна в каждом из интервалов и терпит разрыв II рода в точках (k = 0; ±1; ±2;…).

Теорема:

Непрерывность сложной функции. Если функция и = ϕ(x) непрерывна в точке x₀, а функция у = f(u) непрерывна в точке и₀ = ϕ(x₀), то сложная функция у = f [ϕ(x)] непрерывна в точке x₀.

В заключение этого раздела рассмотрим два предела, которые нам понадобятся в дальнейшем.

Пример:

Вычислить

Решение:

Заметим, что при х → 0 числитель и знаменатель одновременно стремятся к нулю, т.е. имеет место неопределенность вида . Выполним преобразование

Так как данная логарифмическая функция непрерывна в окрестности точки х = 0, то можно перейти к пределу под знаком функции ( f(x)= f (x)).

но — второй замечательный предел.

Следовательно,
(10.4)

В частности, при а = е
(10.5)

Таким образом, у = ln( 1 + х) и у = х — эквивалентные бесконечно малые функции при х → 0.

Пример:

Вычислить

Решение:

Здесь мы имеем дело с неопределенностью вида . Для нахождения предела сделаем замену переменной, положив — 1 = t. Тогда . При х → 0 также и t → 0.

Так как на основании результата, полученного в предыдущем примере, то
(10.6)

В частности, если а = е, имеем

т.е. у = — 1 и y = x — эквивалентные бесконечно малые функции при х → 0.

Свойства функций, непрерывных на сегменте

Определение:

Функция у = f(x) непрерывна на сегменте [а, b], если она непрерывна во всех внутренних точках Этого сегмента, а на концах сегмента (в точках a и b) непрерывна соответственно справа и слева.

Теорема:

Если функция у = f(x) непрерывна на сегменте [а, b], то она достигает на этом сегменте своего наибольшего и(или) наименьшего значения.

Простым доказательством этой теоремы, является геометрическая иллюстрация функции у = f(x) на рисунке 91. Непрерывная на сегменте [α, b] функция достигает наименьшего своего значения в точке х = x₁= а, а наибольшего значения в точке х₂.

Рис. 91. Геометрическая иллюстрация условий теоремы 10.3

Следствие:

Если функция у = f(x) непрерывна на сегменте [a, b], то она ограничена на этом сегменте.

Действительно, если по теореме 10.3 функция достигает на сегменте наибольшего M и наименьшего т значений, то имеет место неравенство m ≤ f(x) ≤ M для всех значений функции на рассматриваемом сегменте. Т. е. |f(x)| ≤ M и, следовательно, функция у = f(x) ограничена на сегменте [а, b].

Теорема:

Теорема Больцано-Коши. Если функция у = f(x) непрерывна на сегменте [а, b] и на ее концах принимает значения разных знаков, то внутри этого сегмента найдется, по крайней мере, одна тонка С, в которой функция равна нулю.

Геометрический смысл теоремы заключается в следующем: если точки графика функции у = f(x), соответствующие концам сегмента [a, b], лежат по разные стороны от оси ОХ, то этот график хотя бы в одной точке сегмента пересекает ось OX. На данном рисунке 92 это три точки x₁, x₂, x₃.

Рис. 92. Геометрическая иллюстрация условий теоремы 10.4

Теорема:

О промежуточных значениях функции. Если функция у = f(x) непрерывна на сегменте [α, b] и f(α) = A и f(b) = В, то для любого числа С, заключенного между A и B, найдется внутри этого сегмента такая точка с, что f(c) = С.

Из графика на рисунке 93 видно, что непрерывная функция, переходя от одного значения к другому, обязательно проходит через все промежуточные значения.

Рис. 93. Геометрическая иллюстрация условий теоремы 10.5

Теорема:

О непрерывности обратной функции.) Если функция у = f(x) непрерывна на сегменте [а, b] в возрастает (убывает) на этом сегменте, то обратная функция х = f⁻¹(y) на соответствующем сегменте оси OY существует и является также непрерывной возрастающей (убывающей) функцией.

Эту теорему мы принимаем без доказательства.

Решение на тему: Непрерывная функция

Пример:

Показать, что функция у = 4x² непрерывна в точке х = 2.

Решение:

Для этого необходимо показать, что в точке х = 2 выполняется все три условия непрерывности функции:

1) функция у = 4х² определена в точке х = 2 ⇒ f(2) = 16;
2) существует f(x) = 4x²= 16;
3) этот предел равен значению функции в точке х = 2

f(x) = f(2) = 16.

Пример:

Показать, что функция у = sin x непрерывна для любого значения аргумента х.

Решение:

Найдем приращение функции ∆y, используя формулы тригонометрических тождеств

Так как то при любом х имеем

Следовательно, функция у = sin x непрерывна при -∞ Рис. 94. График функции примера 10.3

Эта функция (рис. 94) определена во всех точках сегмента [0,4] и ее значение при х = 3 ⇒ у = 2. Функция терпит разрыв, так как она не имеет предела при х → 3 :

Следовательно, точка х = 3, точка разрыва первого рода. При этом в граничных точках исследуемого сегмента [0,4], функция f(x) непрерывна справа (х = 0) и непрерывна слева (х = 4).

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

В точке х = 5 функция не определена, т.к., выполнив подстановку, получаем неопределенность вида 0/0. Легко доказать, что

Следовательно, точка х = 5 точка устранимого разрыва.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

В точке х = 0 функция (рис. 95) терпит разрыв, так как она не определена в этой точке. Пределы функции слева и справа от точки х = 0 равны ∞. Следовательно, точка х = 0 для данной функции является точкой разрыва второго

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

В точке х = 0 функция терпит разрыв 1-го рода, так как односторонние пределы существуют в этой точке, но не равны:
предел слева
предел справа

Рис. 95. График функции

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию .

Решение:

Функция определена для всех значений х, кроме x = 0.B этой точке она имеет разрыв. Точка х = 0 есть точка разрыва II рода, так как при х → 0 как справа, так и слева, функция , колеблясь между -1 и 1, не приближается ни к какому числовому значению. График ее приведен на рис. 96.