Вычисление определенного интеграла способом подстановки
При вычислении определённого интеграла так же приходится применять различные приёмы, в том числе и способ подстановки. Подстановка в определённом интеграле делается аналогично подстановке в неопределённом интеграле, но, кроме того, для получающегося интеграла нужно находить новые пределы интегрирования.
Правило:
1) Определить, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл;
2) Определить, какую часть подынтегральной функции необходимо заменить новой переменной, записать эту замену;
3) Вычислить дифференциал новой переменной и выразить через него оставшуюся без замены часть подынтегрального выражения;
4) Найти пределы интегрирования для новой переменной;
5) Выполнить замены под знаком интеграла;
6) Вынести за знак интеграла постоянный множитель;
7) Вычислить полученный табличный интеграл;
8) В полученное его выражение подставить вместо новой переменной сначала верхний предел интегрирования, а затем нижний, из первого результата вычесть второй.
Замечание: В отличие от неопределенного интеграла после подстановки новой переменной и замены пределов интегрировании в определённом интеграле все вычисления проводят с новой переменной и к старой переменной не возвращаются.
Пример: Вычислить:
1. 
;
Решение:
1) 
;
2) 
;
3) 
; 
;
4)
| х | |
Ответ: 
.
2. 
;
;
1) 
;
2) 
;
3) 
; 
;
4)
| х | |
 |
;
;
1) 
;
2) 
;
3) ; ;
4)
| х | |
 |
;
;
Ответ: 
.
3. 
;
1) 
;
2) 
;
3) 
; 
;
| х | |
 |
4)
Ответ: 
.
Упражнения: Вычислить определённые интегралы:
1)  ; | 2)  ; | 3)  ; |
4)  ; | 5)  ; | 6)  ; |
7)  ; | 8)  ; | 9)  ; |
10)  ; | 11)  ; | 12)  ; |
13)  ; | 14)  ; | 15)  ; |
16)  ; | 17)  ; | 18)  ; |
19)  ; | 20)  ; | 21)  ; |
22)  ; | 23)  ; | 24)  ; |
25)  ; | 26)  ; | 27)  . |
Ответы:
1)  ; | 2)  ; | 3)  ; | 4) 2; | 5)  ; | 6)  ; |
7)  ; | 8)  ; | 9) 3; | 10)  ; | 11)  ; | 12) 2; |
| 13) 2; | 14)  ; | 15) ; | 16)  ; | 17)  ; | 18)  ; |
19)  ; | 20)  ; | 21)  ; | 22)  ; | 23) ; | 24) 2; |
25)  ; | 26)  ; | 27)  ; |
Дата добавления: 2016-04-11 ; просмотров: 3357 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
Источник
Вычисление определенного интеграла методом подстановки.
Вычисление определенного интеграла методом подстановки состоит в следующем:
1) часть подынтегральной функции заменить новой переменной;
2) найти новые пределы определенного интеграла;
3) найти дифференциал от обеих частей замены;
4) все подынтегральное выражение выразить через новую переменную (после чего должен получиться табличный интеграл);
5) вычислить полученный определенный интеграл.
Пример 18.Вычислить интеграл 
.
Решение. Введем подстановку 
, тогда 
, 
. Определим пределы интегрирования для переменной t. При x=0 получаем 
, при x=7 получаем 
.
Выразив подынтегральное выражение через t и dt и перейдя к новым пределам, получим
.
Пример 19.Вычислить интеграл 
.
Решение. Произведем подстановку 
, тогда 
, 
. Определим пределы интегрирования для переменной t. При x=1 получаем 
, при x=2 получаем 
.
Выразив подынтегральное выражение через t и dt и перейдя к новым пределам, получим
.
Пример 20.Вычислить интеграл 
.
Решение. Положим 
, тогда 
и 
. Определим пределы интегрирования для переменной t: 
, 
.
Выразив подынтегральное выражение через t и dt и перейдя к новым пределам, получим
Пример 21.Вычислить интеграл 
.
Решение. Пусть 
, 
, 
, 
.
Пример 22.Вычислить интеграл 
.
Решение. Сначала преобразуем подынтегральное выражение:
.
Затем вычислим интеграл от разности функций, заменив его разностью определенных интегралов от каждой функции:
.
Вычислим каждый интеграл отдельно:
;
Пусть 
, 
, 
, 
, 
.
.
Источник
