Лекция Способы задания векторов. Деление отрезка в заданном отношении. Скалярное произведение двух векторов и его основные свойства.
1.4. Способы задания векторов
Вектор может быть задан следующими способами:
1. Координатами вектора
2 . Координатами начальной
z
и конечной точек.
3. Модулем вектора и углами
, M
которые он образует с координатными осями.
При этом значения
называются направляющими косинусами . O y
Между этими способами задания a z
векторов существует определённая связь. a x
Например, переход от (2) к (1) x a y
осуществляется следующим образом :
т ак как
, то z A
.
Переход от (3) к (1) и наоборот
осуществляется по формулам: B
x O y
1.5. Деление отрезка в заданном отношении
Р ассмотрим следующую задачу : даны две точки
и
. Требуется найти точку
такую, что отно-шение
z А
Построим векторы : М
Из условия коллинеарности векторов
и
имеем
В
Полученное равенство представим в
координатной форме х Оу
(1)
Замечание 1. Из формул (1) следует частный случай деления отрезка пополам
П ример 1. Треугольник задан координатами своих вершин
Найти его центр тяжести . z В
Известно, что центр тяжести треугольника
лежит на пересечении его медиан и, если
точка К середина стороны ВС , то по А М К
свойству медиан у
Определим вначале координаты х С
точки К :
далее по формулам (1) получим координаты точки М :
Тема 2: Скалярное произведение
2.1. Скалярное произведение двух векторов и его основные свойства
Определение. Скалярным произведением двух векторов и
называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними и обозначается
(2)
Замечание 2. Формулу (2) можно представить в другой форме
(3)
Рассмотрим механический смысл скалярного произведения. Если постоянная сила, а
вектор перемещения, то
работа силы
на перемещении
Из определения скалярного произведения следуют его свойства:
1. скалярное произведение коммутативно.
2. , если векторы
и
перпендикулярны (ортогональны), или хотя бы один из них является нулевым вектором.
3.
Если воспользоваться замечанием 1 из лекции 4 и формулами (3), то легко доказать следующее свойство:
4.
Таким образом, операции со скалярным произведением аналогичны операциям с многочленами.
2.2. Скалярное произведение векторов, заданных координатами
Из определения и свойства (1) скалярного произведения следуют формулы : .
Аналогично получаем :
(4)
2.3. Длина вектора. Угол между двумя векторами.
По формулам (2) и (4) получаем
(5)
Из определения скалярного произведения и формул (4), (5) следует
(6)
(7)
Если в формуле (7) положить , то найдем
.
Аналогично можно получить выражения для оставшихся двух направ-ляющих косинусов
;
. (8)
Замечание 3. Формулу (5) для модуля вектора можно было получить, исходя из геометрического смысла координат вектора, используя теоре-му Пифагора.
Замечание 4. Из выражений (8) для направляющих косинусов следует их основное свойство
Пример 2. Даны два вектора Найти их скалярное произведение и угол между ними.
По формулам (5) и (7) получаем
Пример 3*. Найти координаты единичного вектора, который перпенди-кулярен вектору и образует угол
с вектором
Из свойства направляющих косинусов следует, что координаты еди-ничного вектора равны значениям соответствующих направляющих косинусов и поэтому из условия задачи получаем следующую систему уравнений
Из второго уравнения системы получаем
Тогда из первого уравнения имеем
. Если полученные выражения подставить в третье уравнение системы, то приходим к квадратному уравнению
Из этого уравнения и
. Тогда окончательно нахо-дим два единичных вектора
, удовлетворяющих условию задачи.
Источник