Лекция Способы задания векторов. Деление отрезка в заданном отношении. Скалярное произведение двух векторов и его основные свойства.
1.4. Способы задания векторов
Вектор может быть задан следующими способами:
1. Координатами вектора 
2 
. Координатами начальной 
z
и конечной 
точек.
3. Модулем вектора 
и углами 
, M
которые он образует с координатными осями. 
При этом значения 
называются направляющими косинусами . O y
Между этими способами задания 
a z
векторов существует определённая связь. a x
Например, переход от (2) к (1) x a y
осуществляется следующим образом :
т 
ак как 
, то z A
.
Переход от (3) к (1) и наоборот
о
существляется по формулам: B
x O y
1.5. Деление отрезка в заданном отношении
Р 
ассмотрим следующую задачу : даны две точки и . Требуется найти точку 
такую, что отно-шение 
z А
Построим векторы : 
М
Из условия коллинеарности векторов
и 
имеем 
В
Полученное равенство представим в
координатной форме х Оу
(1)
Замечание 1. Из формул (1) следует частный случай деления отрезка пополам 
П 
ример 1. Треугольник задан координатами своих вершин 
Найти его центр тяжести . z В
Известно, что центр тяжести треугольника
лежит на пересечении его медиан и, если
точка К середина стороны ВС , то по А М К
свойству медиан 
у
Определим вначале координаты х С
точки К : 
далее по формулам (1) получим координаты точки М :
Тема 2: Скалярное произведение
2.1. Скалярное произведение двух векторов и его основные свойства
Определение. Скалярным произведением двух векторов и 
называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними и обозначается
(2)
Замечание 2. Формулу (2) можно представить в другой форме
(3)
Рассмотрим механический смысл скалярного произведения. Если 
постоянная сила, а 
вектор перемещения, то 
работа силы 
на перемещении 
Из определения скалярного произведения следуют его свойства:
1. 
скалярное произведение коммутативно.
2. 
, если векторы и перпендикулярны (ортогональны), или хотя бы один из них является нулевым вектором.
3. 
Если воспользоваться замечанием 1 из лекции 4 и формулами (3), то легко доказать следующее свойство:
4. 
Таким образом, операции со скалярным произведением аналогичны операциям с многочленами.
2.2. Скалярное произведение векторов, заданных координатами
Из определения и свойства (1) скалярного произведения следуют формулы : 
.
Аналогично получаем : 
(4)
2.3. Длина вектора. Угол между двумя векторами.
По формулам (2) и (4) получаем
(5)
Из определения скалярного произведения и формул (4), (5) следует
(6)
(7)
Если в формуле (7) положить 
, то найдем
.
Аналогично можно получить выражения для оставшихся двух направ-ляющих косинусов
; 
. (8)
Замечание 3. Формулу (5) для модуля вектора можно было получить, исходя из геометрического смысла координат вектора, используя теоре-му Пифагора.
Замечание 4. Из выражений (8) для направляющих косинусов следует их основное свойство
Пример 2. Даны два вектора 
Найти их скалярное произведение и угол между ними.
По формулам (5) и (7) получаем
Пример 3*. Найти координаты единичного вектора, который перпенди-кулярен вектору 
и образует угол 
с вектором 
Из свойства направляющих косинусов следует, что координаты еди-ничного вектора 
равны значениям соответствующих направляющих косинусов и поэтому из условия задачи получаем следующую систему уравнений
Из второго уравнения системы получаем 
Тогда из первого уравнения имеем 
. Если полученные выражения подставить в третье уравнение системы, то приходим к квадратному уравнению 
Из этого уравнения 
и 
. Тогда окончательно нахо-дим два единичных вектора 
, удовлетворяющих условию задачи.
Источник
