Определение способ замены плоскостей проекций

Метод замены плоскостей проекций

Для решения целого ряда задач начертательной геометрии наиболее рациональным является метод замены плоскостей проекций. Например, с его помощью можно определить натуральную величину плоской фигуры, расстояние между параллельными прямыми, опорные точки пересечения поверхностей.

Замена одной плоскости проекции

Сущность метода заключается в замене одной из плоскостей проекций на дополнительную плоскость, выбранную так, чтобы в новой системе плоскостей решение поставленной задачи значительно упрощалось. Положение фигур в пространстве при этом не меняется.

Рассмотрим на примере точек A и B, как осуществляются построения на комплексном чертеже. Изначально точка A находится в системе плоскостей П₁, П₂. Введем дополнительную горизонтальную пл. П₄. Она будет перпендикулярна фронтальной плоскости проекций П₂ и пересечет её по оси x₁. Эту ось необходимо провести на комплексном чертеже с учётом цели построения. Здесь мы расположили её произвольно.

В новой системе плоскостей положение точки A» не изменится. Чтобы найти точку A’₁, которая является проекцией т. А на плоскость П₄, проведем из A» перпендикуляр к оси x₁. На этом перпендикуляре от точки его пересечения с осью x₁ отложим отрезок A_x1А’₁, равный отрезку A_xA’.

Данные построения основаны на равенстве ординат точек A’ и А’₁. Действительно, в системе плоскостей П₁, П₂ и в системе П₂, П₄ точка A удалена от фронтальной плоскости проекций П₂ на одно и то же расстояние.

Теперь осуществим перевод точки B в новую систему плоскостей П₁, П₄ (рис. ниже). Для этого введем произвольную фронтальную пл. П₄, которая будет перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций П₁ и пересечет её по оси x₁.

В системе П₁, П₄ положение точки B’ останется неизменным. Чтобы найти точку B»₁, проведем из B’ перпендикуляр к оси x₁. На этом перпендикуляре от точки его пересечения с осью x₁ отложим отрезок B_x1B»₁ равный отрезку B_xB». Описанные построения основаны на равенстве аппликат точек B» и B»₁.

Замена двух плоскостей проекций

Иногда для решения поставленной задачи требуется замена двух плоскостей проекций (рис. ниже). Пусть A’ и A» – исходные проекции точки A, находящейся в системе пл. П₁, П₂. Введем первую дополнительную плоскость П₄ и определим новую горизонтальную проекцию A’₁ точки A, как это было описано ранее.

Для осуществления второй замены плоскости проекций будем рассматривать систему пл. П₂, П₄ в качестве исходной. Введем новую фронтальную плоскость П₅ перпендикулярно горизонтальной пл. П₄. Для этого на произвольном месте чертежа проведем ось x₂ = П₄ ∩ П₅. Из точки A’₁, положение которой останется неизменным, восстановим перпендикуляр к оси x₂. На нем от точки A_x2 отложим отрезок A_x2A»₁ равный отрезку A»A_x1.

Использование метода замены при решении задач

Владея методом замены применительно к одной точке, можно построить дополнительные проекции любых фигур, поскольку они представляют собой множество точек. На рисунке ниже показан перевод отрезка AB в частное положение. Новая плоскость П₄ проведена параллельно AB, поэтому отрезок проецируется на неё в натуральную величину.

На следующем рисунке показана плоскость общего положения α, заданная следами. Переведем её в новую систему плоскостей П₁, П₄ так, чтобы α занимала проецирующее положение. Для этого перпендикулярно горизонтальному следу h_0α введем дополнительную фронтальную плоскость П₄.

Новый фронтальный след f_0α1 строится по двум точкам. Одна из них, X_α1, лежит на пересечении h_0α с осью x₁. Дополнительно возьмем точку N, принадлежащую α, и укажем её фронтальную проекцию N»₁ на плоскости П₄.

Определение расстояния между параллельными плоскостями

Параллельные плоскости α и β расположены так, как показано на рисунке. Чтобы найти расстояние между ними, необходимо из произвольной точки A, взятой на пл. α, опустить перпендикуляр AB на пл. β и определить его настоящую длину.

Для уменьшения количества геометрических построений α и β предварительно переводятся в проецирующее положение с помощью метода замены плоскостей проекций. Вспомогательная точка M используется для определения направления следов f_0β1 и f_0α1, параллельных друг другу.

Источник

Определение способ замены плоскостей проекций

Способ замены плоскостей проекций состоит в том, что проецируемый объект остается неподвижным, а одна из плоскостей проекций П₁, П₂ или П₃ заменяется новой, расположенной так, чтобы проецируемый объект по отношению к новой плоскости занял частное положение. При этом каждая новая плоскость проекций должна быть перпендикулярна незаменяемой плоскости проекций. Кроме того, на новые плоскости проекций объект проецируется ортогонально. Таким образом, при решении задач способом замены плоскостей проекций необходимо выполнять следующие условия:

• каждая новая система должна представлять собой систему двух взаимно перпендикулярных плоскостей;

• на новые плоскости объект проецируется ортогонально;

• расстояние от точки до незаменяемой плоскости сохраняется.

Чтобы определить натуральную величину отрезка способом замены плоскостей проекций (рис. 128, 129), необходимо выбрать новую плоскость проекций таким образом, чтобы в новой системе плоскостей проекций отрезок занял положение линии уровня:

1. Зафиксировать положение системы плоскостей П₁/П₂ с помощью оси x₁₂⊥A₁A₂.

2. Определить положение плоскости П₄ с помощью оси x₁₄. Чтобы отрезок в системе плоскостей П₁/П₄ занял положение линии уровня, ось x₁₄ проводится параллельно горизонтальной проекции отрезка [A₁B₁].

3. Ортогонально спроецировать отрезок [AB] на плоскость П4. Для этого линии связи проводят перпендикулярно оси x₁₄, затем от оси x₁₄ откладывают расстояние до незаменяемой плоскости – координаты z точек A и B.

Чтобы преобразовать плоскость общего положения в проецирующую, новую плоскость проекций строят перпендикулярно линии уровня этой плоскости.

Рассмотрим преобразование плоскости общего положения α(ABC) во фронтально-проецирующую плоскость (рис. 130). Для решения этой задачи способом замены плоскостей проекций необходимо выполнить замену плоскости П₂ на П₄:

1. Зафиксировать положение системы плоскостей проекций П₁/П₂ с помощью оси x₁₂⊥A₁A₂;

2. Построить в плоскости α(ABC) фронталь;

3. В соответствии с теоремой о проекциях прямого угла, построить новую ось x₂₄⊥f₁(C₂ 1₂);

4. Ортогонально спроецировать фронталь на плоскость П₄. Для этого провести линию связи (12,14) перпендикулярно x₂₄ и отложить от оси x₂₄ расстояние до незаменяемой плоскости – координату y точек 1 и С. Поскольку y₁=y_c, фронталь в системе плоскостей проекций П₁/П₄ займет положение горизонтально-проецирующей прямой.

5. Проекция плоскости α(ABC) на П₄ определится фронталью и точкой A. В системе плоскостей проекций П₂/П₄ плоскость α(ABC) займет горизонтально-проецирующее положение. Проекцию точки B можно построить по координате y_b или на пересечении следа плоскости α(ABC) на П₄ с линией связи (B₂B₄).

При решении некоторых задач необходимо определить натуральную величину плоских объектов. Любой плоский объект проецируется без искажения на параллельную ему плоскость. Чтобы определить натуральную величину грани призмы способом замены плоскостей проекций, необходимо (рис. 131):

1. Зафиксировать положение системы плоскостей П₁/П₂ с помощью оси x₁₂=A₂D₂ K₂;.

2. Плоскость грани ABCD занимает горизонтально-проецирующее положение, поэтому выполняется замена плоскости П₂ на плоскость П₄, параллельную грани ABCD. Новую ось x₁₄ проводят параллельно A₁B₁C₁D₁.

3. Ортогонально спроецировать все вершины призмы на плоскость П4. Для этого проводят линии связи перпендикулярно оси x₁₄, затем от оси x₁₄ откладывают расстояние до незаменяемой плоскости – координаты z вершин призмы. Координаты z вершин нижнего основания A, D и K равны нулю, следовательно, точки , и лежат на оси x₁₄. Координаты z вершин верхнего основания равны (A₂B₂).

4. В системе плоскостей П₁/П₄ грань ABCD занимает положение фронтальной плоскости уровня, следовательно, проецируется на П₄ в натуральную величину.

Источник

58. Способ замены плоскостей проекций

Сущность этого способа заключается в том, что заменяют одну из плоскостей на новую плоскость, расположенную под любым углом к ней, но перпендикулярную к незаменяемой плоскости проекции. Новая плоскость должна быть выбрана так, чтобы по отношению к ней геометрическая фигура занимала положение, обеспечивающее получение проекций, в наибольшей степени удовлетворяющих требованиям условий решаемой задачи. Для решения одних задач достаточно заменить одну плоскость, но если это решение не обеспечивает требуемого расположения геометрической фигуры, можно провести замену двух плоскостей.

Применение этого способа характеризуется тем, что пространственное положение заданных элементов остается неизменным, а изменяется система плоскостей проекций, на которых строятся новые изображения геометрических образов. Дополнительные плоскости проекций вводятся таким образом, чтобы на них интересующие нас элементы изображались в удобном для конкретной задачи положений.

Рассмотрим решение четырех исходных задач способом замены плоскостей проекций.

1. Преобразовать чертеж прямой общего положения так, чтобы относительно новой плоскости проекций прямая общего положения заняла положение прямой уровня.

Новую проекцию прямой, отвечающей поставленной задаче, можно построить на новой плоскости проекций П₄, расположив ее параллельно самой прямой и перпендикулярно одной из основных плоскостей проекций, т. е. от системы плоскостей П₁_|_П₂ перейти к системе П₄ _|_ П₁ или П₄ _|_ П₂. На чертеже новая ось проекций должна быть параллельна одной из основных проекций прямой. На рис. 108 построено изображение прямой l (А, В) общего положения в системе плоскостей П₁ _|_ П₄, причем П₄ || l. Новые линии связи A₁A₄ и В₁В₄проведены

перпендикулярно новой оси —П₁/П₄ параллельной горизонтальной проекции l₁.

Новая проекция прямой дает истинную величину А₄В₄отрезка АВ (см. § 11) и позволяет определить наклон прямой к горизонтальной плоскости проекций (а = L₁П₁). Угол наклона прямой к фронтальной плоскости проекций (b = L₁П₂) можно определить, построив изображение прямой на другой дополнительной плоскости П4_|_П₂ (рис. 109).

2. Преобразовать чертеж прямой уровня так, чтобы относительно новой плоскости проекций она заняла проецирующее положение.

Чтобы на новой плоскости проекций изображение прямой было точкой (см. § 10), новую плоскость проекций нужно расположить перпендикулярно данной прямой уровня. Горизонталь будет иметь своей проекцией точку на плоскости П₄_|_ П₁. (рис. 110), а фронталь f— на П₄_|_ П₂

Если требуется построить вырожденную в точку проекцию прямой общего положения, то для преобразования чертежа потребуется произвести две последовательные замены плоскостей проекций. На рис. 111 исходный чертеж прямой l (А,В) преобразован следующим образом: сначала построено изображение прямой на плоскости П₄_|_ П₂, расположенной параллельно самой прямой l. В системе плоскостей П₂_|_ П₄, прямая заняла положение линии l уровня (А₂А₄ _|_П₂/П₁;

П₄ _|_П₅, причем вторая новая плоскость проекций П₅ перпендикулярна самой прямой l. Так как точки А и В прямой находятся на одинаковом расстоянии от плоскости П₄, то на плоскости П₅ получаем изображение прямой в виде точки (А₅ = B₅ = l₅).

3. Преобразовать чертеж плоскости общего положения так, чтобы относительно новой плоскости она заняла проецирующее положение.

Для решения этой задачи новую плоскость проекций нужно расположить перпендикулярно данной плоскости общего положения и перпендикулярно одной из основных плоскостей проекций. Это возможно сделать, если учесть, что направление ортогонального проецирования на новую плоскость проекций должно совпадать с направлением соответствующих линий уровня данной плоскости общего положения. Тогда все линии этого уровня на новой плоскости проекций изобразятся точками, которые и дадут «вырожденную» в прямую проекцию плоскости (см. § 47).

На рис. 112 дано построение нового изображения плоскости 0 (ABC) в системе плоскостей П₄ _|_П₁. Для этого в плоскости 0 построена горизонталь h(A, 1), и новая плоскость проекций П₄ расположена перпендикулярно горизонтали h. Графическое решение третьей исходной задачи приводят к построению изображения плоскости в виде прямой линии, угол наклона которой к новой оси проекции П₁/П₄, определяет угол наклона а плоскости Q(ABC) к горизонтальной плоскости проекций (а = Q ^ П₁).

Построив изображение плоскости общего положения в системе П₂ _|_П₄, (П₄ расположить перпендикулярно фронтали плоскости),

можно определить угол наклона Р этой плоскости к фронтальной плоскости проекций.

4. Преобразовать чертеж проецирующей плоскости так, чтобы относительно новой плоскости она заняла положение плоскости уровня.

Решение этой задачи позволяет определить величину плоских фигур.

Новую плоскость проекций нужно расположить параллельно заданной плоскости. Если исходное положение плоскости было фронтально проецирующим, то новое изображение строят в системе и П₂ _|_П₄, а если горизонтально проецирующим, то в системе П₁ _|_П₄. Новая ось проекций будет расположена параллельно вырожденной проекции проецирующей плоскости (см. § 47). На рис. 113 построена новая проекция А₄В₄С₄горизонтально проецирующей плоскости Sum (ABC) на плоскости П₄ _|_П₁

Если в исходном положении плоскость занимает общее положение, а нужно получить изображение ее как плоскости уровня, то прибегают к двойной замене плоскостей проекций, решая последовательно задачу 3; а затем задачу 4. При первой замене плоскость становится проецирующей, а при второй — плоскостью уровня (рис. 114).

В плоскости А(DEF) проведена горизонталь h (D — 1). По отношению к горизонтали проведена первая ось П₁ / П₄ _|_h₁. Вторая новая ось

проекций параллельна вырожденной проекции плоскости, а новые линии связи — перпендикулярны вырожденной проекции плоскости. Расстояния для построения проекций точек на плоскости П₅ нужно замерить на плоскости П₁от оси П₁ / П₂и откладывать по новым линиям связи от новой оси П₄ /П₅. Проекция D₅E₅F₅треугольника DEF конгруэнтна самому треугольнику ABC.

С применением способа замены плоскостей можно решать ряд других задач как самостоятельных, так и отдельных частей задач, включающих большой объем графических решений.

Источник