Определение натуральной величины способом прямоугольного треугольник

Определение натуральной величины отрезка

Если отрезок параллелен плоскости, то он проецируется на неё без искажений. В остальных случаях для нахождения его натуральной величины применяют метод прямоугольного треугольника или способы преобразования ортогональных проекций.

Метод прямоугольного треугольника

Сущность данного метода заключается в нахождении гипотенузы прямоугольного треугольника, у которого один катет равен горизонтальной (или фронтальной) проекции отрезка, а величина другого катета представляет собой разность удаления концов отрезка от горизонтальной (или, соответственно, фронтальной) плоскости проекции.

Для того чтобы найти натуральную величину отрезка AB (рисунок выше), строим прямоугольный треугольник A₀A’B’. Его первый катет A’B’ – это горизонтальная проекция AB. Второй катет A’A₀ равен величине Z_A – Z_B, то есть разности удаления точек A и B от горизонтальной плоскости П₁.

Откладываем A’A₀ = Z_A – Z_B перпендикулярно A’B’. Затем проводим гипотенузу A₀B’ треугольника A₀A’B’. На рисунке она обозначена красным цветом. Её величина соответствует настоящей длине AB.

Способ параллельного переноса

Параллельный перенос представляет собой перемещение геометрической фигуры параллельно одной из плоскостей проекций. При этом величина проекции фигуры на эту плоскость не меняется. Например, если перемещать отрезок EF параллельно горизонтальной плоскости П₁, то длина его проекции E’F’ не изменится, когда она займет новое положение E’₁F’₁ (как это показано на рисунке ниже).

Еще одно важное свойство параллельного переноса заключается в том, что при любом перемещении точки параллельно горизонтальной плоскости проекции, её фронтальная проекция движется по прямой, параллельной оси X. Если точка перемещается параллельно фронтальной плоскости, то её горизонтальная проекция движется по прямой, параллельной оси X.

Чтобы определить действительный размер отрезка EF, на свободном месте чертежа строим его новую горизонтальную проекцию E’₁F’₁ = E’F’ так, чтобы она была параллельна оси X . Затем по линиям связи находим точки E»₁ и F»₁. Расстояние между ними и есть искомая величина, поскольку мы перенесли EF в положение, параллельное фронтальной плоскости.

Метод параллельного переноса, описанный здесь, иногда называют параллельным перемещением. Посмотреть дополнительные примеры и получить более подробную информацию по данной теме можно в этой статье.

Поворот вокруг оси

Для того, чтобы отрезок стал параллелен плоскости проекции и без искажения отразился на ней, он может быть повернут вокруг проецирующей прямой, проходящей через один из его концов.

Определим длину произвольного отрезка MN. Для этого через точку N проводим горизонтально проецирующую прямую i. Вокруг неё поворачиваем MN так, чтобы его проекция M’N’ заняла положение M’₁N’₁, параллельное оси X.

По линиям связи находим точку M»₁. При этом исходим из того, что M» в процессе вращения движется параллельно горизонтальной плоскости.

Точка N не изменит своего положения, так как лежит на оси поворота. Поэтому осталось только соединить N»₁ и M»₁ искомым отрезком. На рисунке он выделен красным цветом.

Более подробную информацию о решении задач методом поворота вокруг оси вы можете получить, ознакомившись со следующим материалом.

Источник

Способ прямоугольного треугольника

Способ прямоугольного треугольника является одним из тех методов в котором находится действительная величина отрезка или расстояние между двумя точками прямой по двум проекциям. В отличие от отрезков прямых частного положения, проецирующихся хотя бы на одну из плоскостей проекций в натуральную величину, отрезок прямой общего положения на плоскости проекций проецируется с искажением. Для того чтобы найти его натуральную величину, необходимо провести ряд преобразований.

Возьмем прямую общего положения АВ и спроецируем ее на горизонтальную плоскость проекций . Через точку А проведем линию, параллельную плоскости . Таким образом в пространстве получим прямоугольный треугольник , один из катетов которого (AB₁) равен длине проекции отрезка, а угол между отрезком и этим катетом является углом наклона заданного отрезка к плоскости проекций.

Для определения натуральной величины отрезка прямой общего положения и углов наклона ее к плоскости проекций на КЧ необходимо построить прямоугольный треугольник: — первый катет этого треугольника равен проекции отрезка на плоскости проекций (обычно прямоугольный треугольник пристраивают к проекции отрезка, однако в некоторых задачах целесообразно прямоугольный треугольник строить в стороне от проекций геометрических объектов); — из проекции любого конца отрезка под прямым углом к проекции отрезка проводится луч, на котором откладывается длина второго катета, равная разности расстояний от концов отрезка до данной плоскости проекций; — гипотенуза полученного таким образом прямоугольного треугольника равна действительной величине заданного отрезка.

Ортогональная проекция отрезка общего положения всегда будет меньше его действительной величины.

Для графического определения на эпюре Монжа действительной величины отрезка или расстояния между двумя точками прямой может быть использован способ прямоугольного треугольника. Где выполняется построение прямоугольного треугольника: — за один его катет принимается горизонтальная (фронтальная, профильная) проекция отрезка; — а за другой катет — разность удаления концов отрезка от горизонтальной (или соответственно фронтальной, профильной) плоскости проекции; — гипотенуза, полученного таким образом, прямоугольного треугольника равна действительной величине заданного отрезка или расстояния между двумя точками прямой.

Графическое определение действительной величины отрезка [AB] или расстояния между двумя точками прямой A и B путем построения прямоугольных треугольников ΔA`B`B₀ или ΔA»B»A₀.

Используя способ прямоугольного треугольника, можно также решать задачу по построению на эпюре: — проекции отрезка, наперед заданной величины; — проекции расстояния между двумя точками прямой, наперед заданной величины.

Даны проекции равностороннего треугольника ABC(A`B`C`,A»B». ) .
Построить недостающие проекции треугольника.

Построение равностороннего треугольника выполняется с использованием способа прямоугольного треугольника

Другие графические способы определение действительной величины, натурального вида или натуральной величины отрезка, плоской фигуры изложены в статье: Метод преобразования. Определение действительной величины треугольника ΔABC показаны на примере решения двух задач в статье: Графическая работа 3

Способ прямоугольного треугольника применяется в статье графическая работа 1: Графическая работа 1

Если вы искали не Способ прямоугольного треугольника а: Проекции треугольника, нажмите на ссылку.

Построение треугольника в плоскости общего положения смотри: Вращение вокруг следа

Источник

Определение натуральной величины отрезка методом прямоугольного треугольника

Проекция отрезка прямой общего положения всегда меньше его натуральной величины. Но имея проекции отрезка прямой, можно определить какую он на самом деле имеет длину и как расположен в пространстве. Способов определения много, это способ замены плоскостей проекций, способ вращения, способ совмещения (частный случай способа вращения) и т.д. На данном этапе изучения начертательной геометрии, когда мы обладаем еще не большим количеством информации по этому предмету, рассмотрим способ прямоугольного треугольника.

Предположим, что в пространстве имеется отрезок общего положения АВ (рис. 21).

Рис. 21. Метод прямоугольного треугольника

в аксонометрической проекции

Опустив из точек А и В перпендикуляры на плоскость проекций ₀, найдем его проекцию на эту плоскость А₀В₀. Выполнив дополнительное несложное построение, получим прямоугольный треугольник АВ1, у которого гипотенуза является истинной величиной отрезка, один из катетов (А1) равен проекции отрезка на плоскость ₀, а второй (В1) равен разности расстояний концов отрезка от плоскости проекций. Таким образом, для того чтобы найти истинную величину отрезка прямой необходимо построить прямоугольный треугольник, один из катетов которого является его проекцией, а второй – разностью расстояний от концов отрезка до соответствующей плоскости проекций. Гипотенуза представляет собой натуральную величину.

Угол α между прямой и плоскостью проекций ₀ определяется как угол, составленный прямой с её проекцией на этой плоскости.

Предположим, на эпюре (рис. 22) задана прямая общего положения АВ, своими проекциями А’В’ – горизонтальной и А»В» – фронтальной.

Для определения натуральной величины этого отрезка построим прямоугольный треугольник А’В’1, приняв за один из катетов горизонтальную проекцию прямой А’В’, в качестве другого величину ∆Z – разность расстояний концов отрезка до горизонтальной плоскости проекций ₁. Тогда, гипотенуза этого треугольника В’1 будет представлять собой натуральную величину отрезка. Угол α – угол наклона прямой АВ к горизонтальной плоскости проекций ₁.

Рис. 22. Определение натуральной величины отрезка AB

Аналогичное построение выполнено на фронтальной проекции. Разность расстояний концов отрезка до плоскости ₂ определит величина ∆у. Угол β – угол между прямой и фронтальной плоскостью проекций.

Если прямая расположена параллельно какой-либо плоскости проекций, то она спроецируется на нее в натуральную величину.

Проекция плоскости. Следы плоскости

Положение плоскости в пространстве однозначно определяется тремя точками, а в соответствии с этим на эпюре она может быть может быть задана следующим образом (рис.23):

а) проекциями трёх точек, не лежащих на одной прямой;

б) проекциями прямой и точки, не лежащей на прямой;

в) проекциями пересекающихся прямых;

г) проекциями параллельных прямых;

Рис 23. Задание плоскости на эпюре: а) проекциями трёх точек;

б) проекциями прямой и точки вне прямой; в) проекциями пересекающихся прямых; г) проекциями параллельных прямых

Следы плоскости

Наиболее наглядный способ задания плоскости — следами.

Следы плоскости– это линии, по которым плоскость пересекается с плоскостями проекций. Соответственно у плоскости общего положения (это плоскость, которая не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций) имеется три следа – горизонтальный, фронтальный и профильный. На чертеже они обозначаются следующим образом: h₀ — горизонтальный след плоскости; f₀ — фронтальный и p₀ — профильный (рис.24).

Рис. 24. Следы плоскости общего положения:

а) в аксонометрической проекции; б) на эпюре

Плоскость, заданную любым из перечисленных выше способов, можно преобразовать в плоскость, заданную следами.

Предположим, плоскость β задана пересекающимися прямыми (рис.25). Для построения прямой, по которой плоскость β пересечет горизонтальную плоскость проекций ₁ (т.е. горизонтального следа плоскости h_0β), достаточно найти две точки, которые одновременно принадлежали бы плоскости β и плоскости ₁. Такими точками будут горизонтальные следы прямых m и n, соответственно Н _m , Н_n.

Рис. 25. Преобразование плоскости, заданной пересекающимися прямыми, в плоскость, заданную следами

Соединив точки Н_m и Н_n получим горизонтальный след плоскости h_0β. Для построения фронтального следа плоскости найдём фронтальный след прямой m — F_m и фронтальный след прямой n — F_n. Соединив полученные точки (F_m и F_n), получим фронтальный след плоскости f_0β.

х_0β – точка пересечения следов (f₀ и f_0β ) на оси Х, называемая точкой схода следов.

Угол между следами на чертеже не равен углу между следами в пространстве ( это видно из рассмотрения трёхгранного угла на рис.24 а) и б)).

Плоскости частного положения

Наряду с плоскостями общего положения существуют плоскости частного положения, которые располагаются перпендикулярно к одной из плоскостей проекций (проецирующие) либо к двум плоскостям проекций (тогда по отношению к третьей плоскости проекций они параллельны).

Если плоскость перпендикулярна к одной из плоскостей проекций, то возможны три случая ее положения.

Горизонтально-проецирующая плоскость– это плоскость перпендикулярная к горизонтальной плоскости проекций.

На рис. 26 дан пример изображения горизонтально-проецирующей плоскости: а) аксонометрическое изображение в системе ₁, ₂, ₃; б) чертёж (эпюр Монжа) в системе ₁, ₂, ₃, где угол φ – угол между плоскостью β и плоскостью проекций ₂.

Если в горизонтально-проецирующей плоскости расположена точка, то её горизонтальная проекция должна быть на горизонтальном следе плоскости ( (∙) А’ Є h_0β ). Это относится к любой системе точек, расположенных в горизонтально-проецирующей плоскости, будь то прямая линия или плоская фигура.

а)	б)

Рис. 26. Горизонтально-проецирующая плоскость:

а) аксонометрическое изображение, б) эпюр

Фронтально-проецирующая плоскость– это плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций.

На рис.27 дан пример её изображения: а) аксонометрическое изображение в системе ₁, ₂, _3; б) эпюр в системе трёх плоскостей проекций.

а)		б)

Рис. 27. Фронтально-проецирующая плоскость:

а) аксонометрическое изображение, б) эпюр

Угол α это угол между плоскостью γ и горизонтальной плоскостью проекций. Если во фронтально-проецирующей плоскости расположена точка, то её фронтальная проекция должна быть на фронтальном следе плоскости ( (∙) В» Є f_0γ).

Профильно-проецирующая плоскость– это плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций.

Пример такой плоскости приведён на рис. 28.

Если в профильно-проецирующей плоскости лежит точка, то её профильная проекция должна располагаться на профильном следе плоскости ( (∙) С»’ Є р_0α).

Если плоскости перпендикулярны к двум плоскостям, то также возможны три случая частных положений.

Горизонтальные плоскости– это плоскости, параллельные горизонтальной плоскости проекций ₁, при этом перпендикулярные ₂ и ₃. Пример такой плоскости изображен на рис.29.

Рис.29. Горизонтальная плоскость:

а) аксонометрическое изображение, б) эпюр

Фронтальные плоскости– это плоскости, параллельные фронтальной плоскости проекций ₂. При этом они перпендикулярны плоскостям ₁ и ₃ (рис.30).

Рис.30. Фронтальная плоскость:

а) аксонометрическое изображение, б) эпюр

Профильные плоскости– это плоскости, параллельные профильной плоскости проекций ₃. При этом они перпендикулярны плоскостям проекций ₁ и ₂. (рис.31).

Рис.31. Профильная плоскость:

а) аксонометрическое изображение, б) эпюр

Дата добавления: 2018-02-28 ; просмотров: 1158 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник

а)		б)