Определение момента инерции махового колеса способом колебаний

Определение момента инерции махового колеса способом колебаний

Работа № 8 . Определение момента инерции махового колеса методом колебаний

Цель работы : Исследование методов измерений момента инерции тел .

Приборы : Лабораторный стенд, маховое колесо, дополнительный груз ( m = 91г ), масштабная линейка, штангенциркуль.

Теория: Если на обод колеса при помощи винта прикрепить вспомогательный груз, имеющийся при приборе, то безразличное равновесие системы заменяется устойчивым. Поэтому маховое колесо, выведенное из положения равновесия, начинает совершать колебания с некоторым периодом Т .

Если угловая амплитуда колебаний равна α 0 , то угловую скорость системы при прохождении точки равновесия можно определить следующим образом.

Допуская, что колебания махового колеса следуют по закону гармонического движения, можно определить угловое смещение α в момент времени t .

Начальную фазу колебания считаем равной нулю. Дифференцируя это выражение по t , находим угловую скорость ϖ колеблющейся точки

При прохождении колеблющейся точки положения равновесия фаза колебания становится равной нулю и косинус в предыдущем выражении получает значение равное единице. Таким образом, угловая скорость махового колеса при прохождении положения равновесия оказывается равной:

Кинетическая энергия Е К системы в этот момент времени будет равна:

,

где I и I 0 — момент инерции махового колеса и вспомогательного груза относительно оси вращения.

С другой стороны потенциальная энергия равна:

,

где m — масса вспомогательного груза, h — высота его подъема по отношению к начальному положению равная:

,

где — расстояние от центра груза до оси вращения, т. е. равна радиусу махового колеса R , сложенному с полувысотой вспомогательного цилиндра.

Используя тригонометрические преобразования последнее выражение можно привести к виду:

.

Для небольших амплитуд косинус можно принять равным единице cos =1, а синус — равным самому углу sin = . Т.е. можно считать:

тогда потенциальная энергия системы в крайнем положении будет равна:

Если пренебречь силами трения и сопротивления воздуха, то на основании закона сохранения энергии можно определить момент инерции махового колеса следующим методом:

,

Величины m, l, T доступны непосредственному измерению, что касается величины I 0 — момента инерции вспомогательного цилиндра относительно оси вращения системы, то на основании теории Штейнера:

r — радиус цилиндра,

l — расстояние от его центра тяжести до оси вращения.

1. Измерить радиус махового колеса R и высоту вспомогательного цилиндра a .
2. Определить массу цилиндра m и закрепить его на ободе махового колеса.
3. Сообщить системе небольшие колебания (20 0 ). И определив по секундомеру t десяти полных колебаний к, вычислите период одного колебания.

1. Определить момент инерции по формуле (1) для цилиндра.
2. Измерения, начиная с пункта 3, повторить не менее трех раз.
3. Результаты измерений занести в таблицу.
4. Переместить цилиндр на маховом колесе к центру и закрепить. Повторить пункты 3, 4, 5, 6, 8.
5. Определить абсолютные погрешности T, I.
6. Сделать выводы.

1. Математический и физический маятник.
2. Уравнение колебательного движения.
3. Период физического и математического маятника.

Источник

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАХОВОГО КОЛЕСА СПОСОБОМ КОЛЕБАНИЙ

Цель работы: измерение момента инерции махового колеса методом колебаний.

И ВЫВОД РАБОЧИХ ФОРМУЛ

Приборы и принадлежности: маховое колесо на станине, вспомогательные тела, штангенциркуль, секундомер, весы.

Экспериментальная установка (см. рис. 2) представляет собой массивное маховое колесо 1, которое может вращаться с малым трением вокруг горизонтальной оси. Ось вращения проходит через центр тяжести махового колеса, поэтому оно находится в безразличном равновесии. Если на ободе махового колеса закрепить вспомогательное тело 2, система переходит в состояние устойчивого равновесия. Если теперь повернуть маховое колесо на угол a_m и а затем отпустить, оно начнет совершать колебания с некоторым периодом Т. При малых углах a_m колебания махового колеса можно считать гармоническими: a = a_m sinw₀t .

При прохождении положения равновесия угловая скорость системы достигает максимального значения a_mw₀, и следовательно, ее максимальная кинетическая энергия равна:

.

В данном случае момент инерции системы I складывается из момента инерции махового колеса I_ки момента инерции вспомогательного тела I_т.

С другой стороны, потенциальная энергия системы равна: E = mgh, где m — масса вспомогательного тела, h — высота его подъема из положения равновесия. Из рис. 3 очевидно, что

,

где d расстояние от центра махового колеса до центра масс вспомогательного тела.

В случае малых колебаний (в нашем случае только их можно считать гармоническими) можно заменить sina на a. Если пренебречь силами трения, то на основании закона сохранения механической энергии, мы можем приравнять максимальные значения кинетической и потенциальной энергий. Выразив w₀ через период колебаний, для момента инерции махового колеса получим:

. (13)

Все величины в правой части этого выражения доступны непосредственному измерению, что касается величины I_т,ее можно рассчитать на основании теоремы Гюйгенса-Штейнера:

. (14)

Момент инерции вспомогательного тела I₀ относительно оси параллельной оси вращения и проходящей через его центр масс можно найти, зная геометрические размеры тела, по формулам из таблицы 1.

1. Взвесьте вспомогательное тело.

2. Определите штангенциркулем размеры вспомогательного тела и расстояние d.

3. По формуле (14), используя таблицу (1), рассчитайте момент инерции вспомогательного тела I_т.

4. Закрепите тело на ободе махового колеса.

5. Отклоните маховое колесо на небольшой угол и отпустите его: колесо будет совершать колебания.

6. Определите по секундомеру время t, как можно большего числа полных колебаний. Рассчитайте среднее значение периода одного колебания T.

7. Рассчитайте момент инерции махового колеса по формуле (13). Оцените погрешность эксперимента.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ К РАБОТЕ.

1. Запишите уравнение движения махового колеса с грузом, оцените при каких углах решение этого уравнения можно считать гармонической функцией в рамках точности имеющихся приборов.

2. Получите формулу (13).

3. Как влияет сила трения на результаты измерения? Какие конструктивные особенности установки позволяют пренебрегать силой трения?

4. Как влияют момент инерции и масса вспомогательного тела на точность измерения? Какие условия накладываются на вспомогательное тело?

5. Сравните этот метод определения момента инерции, использованный в работе, с другими вам известными.

6. Изобразите примерные графики зависимости угловой координаты, угловой скорости, углового ускорения колеса с шариком и момента силы тяжести относительно оси вращения от времени.

7. *Оцените по порядку величины момент инерции махового колеса, измеряя его размеры и делая предположения о плотности материала, из которого оно сделано.

8. *Как, зная момент инерции махового колеса, определить момент инерции тела, которое можно укрепить на нем? Проведите опыт с одним из вспомогательных тел. Оцените точность.

Источник

Описание установки и вывод рабочей формулы. Определение момента инерции махового колеса методом колебаний производят следующим образом

Определение момента инерции махового колеса методом колебаний производят следующим образом. К ободу колеса прикрепляют некоторый груз весом Р (рис.1). Колесо выводят из положения равновесия и затем отпускают. Система начинает совершать колебания, которые при достаточно малых углах отклонения можно считать гармоническими. Так как ось вращения проходит через центр тяжкести колеса, то при отклонении груза от положения равновесия потенциальная энергия системы равна потенциальной энергии груза Р , поднятого на высоту h:

где m- масса груза. При прохождении положения равновесия эта энергия полностью переходит в кинетическую энергию колеса и груза. Следовательно, можем записать

W_kин=

где J- момент инерции всей системы относительно оси вращения О, — угловая скорость системы в момент прохождения положения равновесия.

Запишем закон сохранения энергии

mgh= . (8)

Так как h и непосредственно измерить трудно, выразим их через другие измеряемые величины. Из рис.1. видно, что

h=L(1-cos )=2L sin 2

Синусы малых углов можно заменять самими углами в радианах, поэтому sin 2 . Тогда . При гармонических колебаниях угловое смещение определяется формулой

sin ,

где -амплитуда колебаний; Т— период колебаний .Угловая скорость равна

cos .

Подставляя выражения для h и амплитудного значения угловой скорости в (8), получим:

Т=2 . (9)

Эта формула определяет период физического маятника.

Момент инерции J системы равен сумме момента инерции колеса и момента инерции J₁ добавочного груза относительно оси вращения системы

Момент инерции груза относительно оси вращения системы согласно теореме Штейнера определяется так:

где J_0l— момент инерции груза относительно оси О / , проходящей через центр тяжести груза, параллельно оси О; L— расстояние между осями.Если добавочный груз имеет форму цилиндра, геометрическая ось которого расположена параллельно оси О, то

J₀₁= , (12)

где r- радиус груза.

С учетом (10)-(12) уравнение (9) можно переписать в виде

Т 2 = . (13)

Из (13) находим момент инерции колеса

J₀= . (14)

Для определения момента инерции махового колеса методом колебаний по формуле (14) необходимо измерить массу m и радиус r груза, расстояние L от центра тяжести груза до оси вращения и период гармонических колебаний колеса с грузом Т.

Порядок выполнения работы

1. Начертить в тетради таб. 1.

№ измерен.	m	n	t	Tср	L	r	J0
1. 2. 3. 4. 5.

2. Запустить программу 4К.ЕХЕ. Для этого указать курсором на 4К.ЕХЕ и щелкнуть левой кнопкой мыши (в дальнейшем эту команду обозначим L’ на 4К.ЕХЕ). Изучить информацию на экране.

3. Задать значения массы груза m, расстояния между осями L и радиус груза r.

4.L’ на команде «Обновить» 4.

5. Нажать левой кнопкой мышки на груз и не отпуская установить угол отклонения груза.

7. L’ на Зафиксировать время 10 колбаний.

8. L’ на Зафиксировать время 20 колбаний.

9. Повторить пункты 5-8 еще 4 раза.

11. Вычислить средний момент инерции по формуле:

J_ср= .

12. Вычислить абсолютную и относительную ошибки измерений.

13. Данные таблицы переписать в тетрадь.

14. Закрыть программу 4К.ЕХЕ.

Контрольные вопросы и задания.

1. Сформулируйте теорему Штейнера.

2. Приведите вывод рабочей формулы.

3. Как вычисляются моменты инерции цилиндра ?

Источник