Понятие функции. Способы задания функции
Понятие функции является одним из основных понятий современной математики. С этим понятием часто встречаются при изучении реальных процессов в природе, науке и технике. С помощью различных функций могут быть описаны многие процессы и явления реального мира.
Определение. Отображения 
, где 
будем называть (вещественной) функцией действительного переменного. 
— область определения — совокупность всех значений независимой переменной х, для которых функция определена.
— множество значений f или образ f.
Определение. Если каждому элементу х множества X ( 
) ставится в соответствие вполне определенный элемент у множества Y 
, то говорят, что на множестве X задана функция.
y = f(x), y = F(x) — функциональная зависимость х и у.
f, F — характеристики функции, х — независимая переменная (аргумент),
у — зависимая переменная.
Рассматривают три способа задания функции: аналитический, табличный и графический.
Способ задания функции при помощи формулы называется аналитическим.Этот способ является основным в мат. анализе, но на практике не удобен.
2. Табличный способ задания функции .
Функцию можно задать с помощью таблицы, содержащей значения аргумента и соответствующие им значения функции.
3. Графический способ задания функции .
Функция у = f(х) называется заданной графически, если построен ее график. Такой способ задания функции дает возможность определять значения функции только приближенно, так как построение графика и нахождение на нем значений функции сопряжено с погрешностями
Классификация функций.
Элементарные функции разделяют на алгебраические и неалгебраические (трансцендентные).
Алгебраической называют функцию, в которой над аргументом производится конечное число алгебраических действий.
К ним относятся:
— целая рациональная функция (многочлен, полином)
— дробно-рациональная функция – отношение двух многочленов
— иррациональная функция (среди действий над аргументом есть извлечение корня).
К трансцендентным относятся: показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
Четные и нечетные функции.
Функция у = f(х) называется четной или нечетной, если она определена на множестве симметричном относительно нулевой точки и обладает на нем свойством f(-x)=f(x) или свойством f(-x) = -f(x). В противном случае функцией общего вида. График четной функции симметричен относительно оси ординат, график нечетной симметричен относительно начала координат.
Произведения двух четных или двух нечетных функций есть функция четная, произведения четной функции на нечетную есть нечетная функция
Монотонные функции.
Пусть (a,b) промежуток с концами в точках a и b, где a
Функция у = f(х) называется возрастающей (убывающей) на промежутке (a,b), если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.
Пусть 
и 
.
Тогда функция возрастает на промежутке X, если 
(запись 
на (a,b)) и убывает, если 
(запись 
на (a,b)) (см. рис. 1).
Запись 
и 
Функции возрастающие и убывающие называется монотонными. К монотонным функциям относятся также неубывающие и невозрастающие функции.
Ограниченные функции.
Функция называется ограниченной на промежутке (a,b), если 
такое, что
.
В противном случае функция называется неограниченной.
Периодическая функция.
Функция называется периодической с периодом 
, если 
справедливо 
.
Источник
Тема 1. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1.1. Определение функции одной переменной
Определение. Пусть даны два множества X и Y. Если каждому элементу x из множества X по некоторому правилу f соответствует единственный элемент y из множества Y, то говорят, что на множестве X определена функция y = f ( x ) с областью определения X = D( f ) и областью изменения Y = E ( f ). При этом x считают независимой переменной, или аргументом функции, а y – зависимой переменной или функцией.
Частным значением функции y = f ( x ) при фиксированном значении аргумента x = x0 называют y 0 = f ( x 0 ).
Графиком функции y = f ( x ) называют геометрическое место точек M ( x ; f ( x )) на плоскости Oxy , где x Î D ( f ) и f ( x ) Î E ( f ).
1.2. Способы задания функции
1) Аналитический способ – способ задания функции с помощью формулы.
Различают несколько способов аналитического задания функции:
а) Функция задана явно формулой y = f ( x ).
Например: 
, где D( y ) = (– ∞;1) 
(1;+∞).
б) Функция задана неявно уравнением, связывающем x и y : F( x ; y ) = 0.
Например: 
– уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом r . Если из этого уравнения выразить y через x , то получится две функции:
и 
,
которые имеют область определения 
, а области значений этих функций будут: для первой – 
, для второй – 
.
в) Функция задана параметрически с помощью некоторого параметра t , причём и аргумент x , и функция y зависят от этого параметра:
Например: можно задать окружность 
с помощью параметрических уравнений:
2) Табличный способ задания функции – например, таблицы Брадиса задают функции y = sin x , y = cos x и др.
3) Графический способ задания функции, когда зависимость функции от её аргумента задаётся графически.
1.3. Сложная и обратная функции
Определение 1 . Пусть функция y = f ( U) определена на множестве D( f ), а функция U = g ( x ) определена на D( g ), причём E( g ) 
D( f ).
Тогда функция y = F( x ) = f ( g ( x )) называется сложной функцией (или функцией от функции, или суперпозицией функций f и g ) .
Определение 2 . Пусть задана функция y = f ( x ) взаимно однозначно отображающая множество X = D ( f ) на множество Y = E ( f ). Тогда функция x = g ( y ) называется обратной к функции y = f ( x ), т. е. любому y 
E( f ) соответствует единственное значение x D ( f ), при котором верно равенство y = f ( x ).
Замечание. Графики функций y = f ( x ) и x = g ( y ) представляют одну и ту же кривую. Если же у обратной функции независимую переменную обозначить x , а зависимую y , то графики функций y = f ( x ) и y = g ( x ) будут симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.
1.4. Элементарные функции
Основные элементарные функции:
y = const ( постоянная функция), D ( y ) = R ; E ( y ) = c .
( линейная функция), D ( y ) = R ; E ( y ) = R .
y = 
( степенная функция), α Î R , E( y ), D ( y ) зависят от α .
y = 
( показательная функция), a > 0, a ≠ 1, D ( y ) = R , E ( y ) = ( 0; +∞).
y = 
( логарифмическая функция) ), a > 0, a ≠ 1, D ( y ) = (0;+∞), E ( y ) = R .
y = sin x , D ( y ) = R , E ( y ) = 
.
y = cos x, D( y) = R, E( y) = .
y = tg x, D( y) = 
, E( y) = R.
y = ctg x, D( y) = 
, E( y) = R.
Обратные тригонометрические функции :
y = arcsin x , D ( y ) = , E ( y ) = 
.
y = arccos x, D( y) = , E( y) = 
.
y = arctg x , D ( y ) = R , E ( y ) = 
.
y = arcctg x , D ( y ) = R , E ( y ) = 
.
Элементарной функцией называется функция, составленная из основных элементарных функций с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и суперпозиции.
Например: 
– элементарная функция.
Графики обратных тригонометрических функций:
Источник
