Однородные дифференциальные уравнения 1 го порядка способы их решений
Однородное дифференциальное уравнение можно решить с помощью подстановки \(y = ux,\) которая преобразует однородное уравнение в уравнение с разделяющимися переменными.
Дифференциальное уравнение вида \[\left( <x + y + > \right)dx + \left( <x + y + > \right)dy = 0\] преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными посредством переноса начала системы координат в точку пересечения прямых линий, заданных в уравнении. Если указанные прямые параллельны, то дифференциальное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными путем замены переменной: \[z = ax + by.\]
Нетрудно заметить, что многочлены \(P\left( \right)\) и \(Q\left( \right),\) соответственно, при \(dx\) и \(dy,\) являются однородными функциями первого порядка. Поэтому, данное дифференциальное уравнение также будет однородным.
Положим \(y = ux,\) где \(u\) − некоторая новая функция, зависящая от \(x.\) Тогда \[dy = d\left( \right) = udx + xdu.\] Подставляя это в дифференциальное уравнение, получаем \[\left( <2x + ux>\right)dx — x\left( \right) = 0.\] Следовательно, \[\require 2xdx + \cancel — \cancel — du = 0. \] Разделим обе части уравнения на \(x:\) \[xdu = 2dx\;\;\text<или>\;\;du = 2\frac<>.\] Выполняя деление на \(x,\) мы могли потерять решение \(x = 0.\) Прямая подстановка показывает, что \(x = 0\) действительно является одним из решений нашего уравнения.
Интегрируем последнее выражение: \[\int = 2\int <\frac<>> \;\;\text<или>\;\;u = 2\ln \left| x \right| + C,\] где \(C\) − постоянная интегрирования.
Возвращаясь к старой переменной \(y,\) можно записать: \[y = ux = x\left( <2\ln \left| x \right| + C>\right).\] Таким образом, уравнение имеет два решения: \[y = x\left( <2\ln \left| x \right| + C>\right),\;\;x = 0.\]
Заметим, что корень \(x = 0\) не принадлежит области определения заданного дифференциального уравнения. Перепишем уравнение в следующей форме: \[y’ = \frac\ln \frac= f\left( <\frac> \right).\] Как видно, уравнение является однородным.
Сделаем замену \(y = ux.\) Следовательно, \[y’ = <\left( \right)^\prime > = u’x + u.\] Подставляем полученное выражение в дифференциальное уравнение: \[x\left( \right) = ux\ln \frac<>.\] Разделим обе части на \(x \ne 0:\) \[ \;\; <\Rightarrow \frac<><>x = u\ln u — u,>\;\; <\Rightarrow \frac<><>x = u\left( <\ln u - 1>\right).> \] В результате мы получаем уравнение с разделяющимися переменными: \[\frac<> <\right)>> = \frac<>.\] На следующем шаге проинтегрируем левую и правую части уравнения: \[ <\int <\frac<> <\right)>>> = \int <\frac<>> ,>\;\; <\Rightarrow \int <\frac<\right)>><<\ln u - 1>>> = \int <\frac<>> ,>\;\; <\Rightarrow \int <\frac<\right)>><<\ln u - 1>>> = \int <\frac<>> .> \] Следовательно, \[\ln\left| <\ln u - 1>\right| = \ln \left| x \right| + C.\] Постоянную \(C\) здесь можно записать как \(\ln \;\left( <> 0> \right).\) Тогда \[ <\ln\left| <\ln u - 1>\right| = \ln \left| x \right| + \ln ,>\;\; <\Rightarrow \ln\left| <\ln u - 1>\right| = \ln \left| <x> \right|,>\;\; <\Rightarrow \ln u - 1 = \pm x,>\;\; <\Rightarrow \ln u = 1 \pm x>\;\; <\text<или>\;\;u = x>>.> \] Таким образом, мы получили два решения: \[u = x>>\;\;\text<и>\;\;u = x>>.\] Если \( = 0,\) то ответом является функция \(y = xe.\) Легко убедиться, что эта функция будет также и решением дифференциального уравнения. В самом деле, подставляя \[y = xe,\;\;y’ = e\] в дифференциальное уравнение, находим: \[ e>><\cancel>,>\;\; <\Rightarrow xe = xe\ln e,>\;\; <\Rightarrow xe = xe.>\] Таким образом, все решения дифференциального уравнения можно представить одной формулой: \[y = x>,\] где \(C\) − произвольное действительное число.
Здесь мы снова встречаемся с однородным уравнением. В самом деле, запишем его в виде: \[ >><>> > = <\frac<<\frac<<>><<>>>><<\frac<><<>> + \frac<<>><<>>>> > = <\frac<<<<\left( <\frac> \right)>^2>>><<\frac+ <<\left( <\frac> \right)>^2>>> > = > \right).> \] Сделаем подстановку \(y = ux.\) Тогда \(y’ = u’x + u.\) Подставляя \(y\) и \(y’\) в исходное уравнение, получаем: \[ <\left( > \right)\left( \right) = ,>\;\; <\Rightarrow u\left( \right)\left( \right) = .> \] Разделим обе части уравнения на \(u.\) Заметим, что корень \(x = 0\) не является решением, но можно убедиться, что корень \(u = 0\) (или \(y = 0\)) будет одним из решений данного дифференциального уравнения.
В результате получаем: \[ <\left( \right)\left( \right) = u,>\;\; <\Rightarrow u'x\left( \right) + + u = u,>\;\; <\Rightarrow u'x\left( \right) = — ,>\;\; <\Rightarrow \left( <\frac<1> + \frac<1><<>>> \right)du = — \frac<>.> \] Интегрируя, находим общее решение: \[ <\int <\left( <\frac<1> + \frac<1><<>>> \right)du> = — \int <\frac<>> ,>\;\; <\Rightarrow \ln \left| u \right| - \frac<1> = — \ln \left| x \right| + C.> \] Учитывая, что \(u = \large\frac\normalsize,\) последнее выражение можно записать в форме \[ <\ln \left| <\frac> \right| — \frac<1><<\frac>> = — \ln \left| x \right| + C,>\;\; <\Rightarrow \ln \left| y \right| - \cancel<\ln \left| x \right|>— \frac= — \cancel <\ln \left| x \right|>+ C,>\;\; <\Rightarrow y\ln \left| y \right| = Cy + x.>\] Обратная функция \(x\left( y \right)\) имеет явный вид: \[x = y\ln \left| y \right| — Cy.\] Поскольку \(C\) − произвольное число, знак «минус» перед этой константой можно заменить на знак «плюс». Тогда получаем: \[x = y\ln \left| y \right| + Cy.\] Таким образом, дифференциальное уравнение имеет решения: \[x = y\ln \left| y \right| + Cy,\;\;y = 0.\]
Видно, что числитель и знаменатель в правой части соответствуют пересекающимся прямым . Поэтому данное дифференциальное уравнение можно преобразовать в однородное путем соответствующего преобразования координат. Пусть новые и старые координаты связаны соотношениями: \[x = X + \alpha ,\;\;y = Y + \beta .\] Константы \(\alpha\) и \(\beta\) мы определим позже. В новых координатах производная имеет вид \[ ><> > = <\frac<\right)>> <\right)>> > = <\frac<><>,> \] а само уравнение записывается как \[ <\frac<><> = \frac <<2\left( \right) + 1>> <<3\left( \right) + X + \alpha + 2>> > = <\frac<<2X + 2\alpha + 1>><<3Y + X + \alpha + 3\beta + 2>>.> \] Данное уравнение будет однородным, если коэффициенты \(\alpha\) и \(\beta\) будут удовлетворять системе уравнений \[\left\< \begin2\alpha + 1 = 0\\ \alpha + 3\beta + 2 = 0 \end \right..\] Решая данную систему уравнений относительно \(\alpha\) и \(\beta,\) находим: \[\left\< \begin\alpha = — \frac<1><2>\\ \beta = — \frac<1> <2>\end \right..\] При указанных значениях \(\alpha\) и \(\beta\) дифференциальное уравнение записывается следующим образом: \[\frac<><> = \frac<<2X>><<3Y + X>>.\] Мы получили однородное уравнение. Далее делаем замену: \(Y = uX,\) где \(u\) − некоторая функция \(X.\) Следовательно, \(dY = Xdu + udX.\) В итоге мы имеем: \[ <\frac<><> = \frac<<2X>><<3Y + X>>,>\;\; <\Rightarrow X\frac<><> + u = \frac<2><<3u + 1>>.> \] Разделим числитель и знаменатель в правой части на \(X.\) Можно проверить, что \(X = 0\) или \(x = X + \alpha = — \large\frac<1><2>\normalsize\) не является решением дифференциального уравнения.
Перепишем решение через переменные \(X\) и \(Y:\) \[ <-\frac<2><5>\ln \left| <\frac+ 1> \right| — \frac<3><5>\ln \left| <2 - 3\frac> \right| > = <\ln \left| X \right| + \ln C,>\] \[ <\Rightarrow -\frac<2><5>\ln \left| <\frac<>> \right| — \frac<3><5>\ln \left| <\frac<<2X - 3Y>>> \right| > = <\ln \left| X \right| + \ln C,>\] \[ <\Rightarrow -\frac<2><5>\ln \left| \right| + \cancel<\frac<2><5>\ln \left| X \right|> — \frac<3><5>\ln \left| <2x - 3y>\right| + \cancel<\frac<3><5>\ln \left| X \right|> > = <\cancel<\ln \left| X \right|>+ \ln C,> \] \[ <\Rightarrow 2\ln \left| \right| + 3\ln \left| <2x - 3y>\right| > = <-5\ln C.>\] Далее удобно обозначить: \(-5\ln C = \ln ,\) где \(\) − произвольное положительное число. Таким образом, решение можно записать в виде: \[2\ln\left| \right| + 3\ln \left| <2x - 3y>\right| = \ln .\] Теперь мы можем вернуться к первоначальным переменным \(x, y.\) Так как \[X = x — \alpha = x + \frac<1><2>,\;\;Y = y — \beta = y + \frac<1><2>,\] то получаем: \[ <2\ln\left| <2>+ x + \frac<1><2>> \right| > + <3\ln \left| <2\left( <2>> \right) — 3\left( <2>> \right)> \right| > = <\ln ,> \] \[ <\Rightarrow 2\ln\left| \right| > + <3\ln \left| <2x - 3y \frac<1><2>> \right| > = <\ln ,> \] \[ <\Rightarrow 2\ln\left| \right| > + <3\ln \left| <\frac<<4x - 6y - 1>><2>> \right| > = <\ln ,> \] \[ <\Rightarrow 2\ln\left| \right| > + <3\ln \left| <4x - 6y 1>\right| > — <3\ln 2>= <\ln ,> \] \[ <\Rightarrow \ln \left| <<<\left( \right)>^2> <<\left( <4x - 6y 1>\right)>^3>> \right| > = <\ln + 3\ln 2.> \] Правую часть можно снова несколько упростить: \[\ln + 3\ln 2 = \ln \;\;\left( <> 0> \right).\] Тогда окончательное общее решение исходного дифференциального уравнения выражается следующей неявной формулой: \[ <<<\left( \right)>^2> <<\left( <4x - 6y 1>\right)>^3>> = \pm = .\] где постоянная \(\) − любое число, не равное нулю.
Можно заметить, что уравнения прямых в числителе и знаменателе в правой части соответствуют параллельным прямым . Поэтому, сделаем следующую замену переменных: \[z = x — y,\;\; \Rightarrow y = x — z,\;\;y’ = 1 — z’.\] В результате дифференциальное уравнение принимает вид: \[ <1 - z' = \frac<>,>\;\; <\Rightarrow 1 - z' = 1 + \frac<3>,>\;\; <\Rightarrow z' = - \frac<3>.> \] Как видно, мы получили простое уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим ответ: \[ <\frac<><> = — \frac<3>,>\;\; <\Rightarrow zdz = - 3dx,>\;\; <\Rightarrow \int = — 3\int ,>\;\; <\Rightarrow \frac<<>> <2>= — 3x + C,>\;\; <\Rightarrow <\left( \right)^2> = 2C — 6x.> \] Из последнего выражения можно вывести явную функцию \(y\left( x \right):\) \[x — y = \pm \sqrt <2c - 6x>.\] Поскольку \(C\) − произвольное число, то можно заменить: \(2C \to C.\) Таким образом, \[y = x \pm \sqrt .\]
Источник
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Определение
Как определить однородное дифференциальное уравнение
Для того, чтобы определить, является ли дифференциальное уравнение первого порядка однородным, нужно ввести постоянную t и заменить y на ty и x на tx : y → ty , x → tx . Если t сократится, то это однородное дифференциальное уравнение. Производная y′ при таком преобразовании не меняется. .
Пример
Определить, является ли данное уравнение однородным
Делаем замену y → ty , x → tx .
Делим на t 2 .
. Уравнение не содержит t . Следовательно, это однородное уравнение.
Метод решения однородного дифференциального уравнения
Однородное дифференциальное уравнение первого порядка приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки y = ux . Покажем это. Рассмотрим уравнение: (i) Делаем подстановку: y = ux , где u — функция от x . Дифференцируем по x : y′ = ( ux ) ′ = u′ x + u ( x ) ′ = u′ x + u Подставляем в исходное уравнение (i). , , (ii) . Разделяем переменные. Умножаем на dx и делим на x ( f ( u ) – u ) .
При f ( u ) – u ≠ 0 и x ≠ 0 получаем:
Интегрируем:
Таким образом, мы получили общий интеграл уравнения (i) в квадратурах:
Заменим постоянную интегрирования C на ln C , тогда
Опустим знак модуля, поскольку нужный знак определяется выбором знака постоянной C . Тогда общий интеграл примет вид:
Далее следует рассмотреть случай f ( u ) – u = 0 . Если это уравнение имеет корни, то они являются решением уравнения (ii). Поскольку уравнение (ii) не совпадает с исходным уравнением, то следует убедиться, что дополнительные решения удовлетворяют исходному уравнению (i).
Всякий раз, когда мы, в процессе преобразований, делим какое-либо уравнение на некоторую функцию, которую обозначим как g ( x, y ) , то дальнейшие преобразования справедливы при g ( x, y ) ≠ 0 . Поэтому следует отдельно рассматривать случай g ( x, y ) = 0 .
Пример решения однородного дифференциального уравнения первого порядка
Проверим, является ли данное уравнение однородным. Делаем замену y → ty , x → tx . При этом y′ → y′ . , , . Сокращаем на t .
Постоянная t сократилась. Поэтому уравнение является однородным.
Делаем подстановку y = ux , где u – функция от x . y′ = ( ux ) ′ = u′ x + u ( x ) ′ = u′ x + u Подставляем в исходное уравнение. , , , . При x ≥ 0 , |x| = x . При x ≤ 0 , |x| = – x . Мы пишем |x| = ± x подразумевая, что верхний знак относится к значениям x ≥ 0 , а нижний – к значениям x ≤ 0 . , Умножаем на ± dx и делим на .
При u 2 – 1 ≠ 0 имеем:
Интегрируем:
Интегралы табличные, .
Применим формулу: ( a + b )( a – b ) = a 2 – b 2 . Положим a = u , . . Возьмем обе части по модулю и логарифмируем, . Отсюда .
Таким образом имеем: , . Опускаем знак модуля, поскольку нужный знак обеспечивается выбором знака постоянной C .
Умножаем на x и подставляем ux = y . , . Возводим в квадрат. , , .
Теперь рассмотрим случай, u 2 – 1 = 0 . Корни этого уравнения . Легко убедиться, что функции y = ± x удовлетворяют исходному уравнению.
Использованная литература: Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 19-07-2012 Изменено: 24-02-2015
Источник
Однородные дифференциальные уравнения 1 го порядка способы их решений
Однородное дифференциальное уравнение можно решить с помощью подстановки \(y = ux,\) которая преобразует однородное уравнение в уравнение с разделяющимися переменными.
Дифференциальное уравнение вида \[\left( <x + y + > \right)dx + \left( <x + y + > \right)dy = 0\] преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными посредством переноса начала системы координат в точку пересечения прямых линий, заданных в уравнении. Если указанные прямые параллельны, то дифференциальное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными путем замены переменной: \[z = ax + by.\]
Нетрудно заметить, что многочлены \(P\left( \right)\) и \(Q\left( \right),\) соответственно, при \(dx\) и \(dy,\) являются однородными функциями первого порядка. Поэтому, данное дифференциальное уравнение также будет однородным.
Положим \(y = ux,\) где \(u\) − некоторая новая функция, зависящая от \(x.\) Тогда \[dy = d\left( \right) = udx + xdu.\] Подставляя это в дифференциальное уравнение, получаем \[\left( <2x + ux>\right)dx — x\left( \right) = 0.\] Следовательно, \[\require 2xdx + \cancel — \cancel — du = 0. \] Разделим обе части уравнения на \(x:\) \[xdu = 2dx\;\;\text<или>\;\;du = 2\frac<>.\] Выполняя деление на \(x,\) мы могли потерять решение \(x = 0.\) Прямая подстановка показывает, что \(x = 0\) действительно является одним из решений нашего уравнения.
Интегрируем последнее выражение: \[\int = 2\int <\frac<>> \;\;\text<или>\;\;u = 2\ln \left| x \right| + C,\] где \(C\) − постоянная интегрирования.
Возвращаясь к старой переменной \(y,\) можно записать: \[y = ux = x\left( <2\ln \left| x \right| + C>\right).\] Таким образом, уравнение имеет два решения: \[y = x\left( <2\ln \left| x \right| + C>\right),\;\;x = 0.\]
Заметим, что корень \(x = 0\) не принадлежит области определения заданного дифференциального уравнения. Перепишем уравнение в следующей форме: \[y’ = \frac\ln \frac= f\left( <\frac> \right).\] Как видно, уравнение является однородным.
Сделаем замену \(y = ux.\) Следовательно, \[y’ = <\left( \right)^\prime > = u’x + u.\] Подставляем полученное выражение в дифференциальное уравнение: \[x\left( \right) = ux\ln \frac<>.\] Разделим обе части на \(x \ne 0:\) \[ \;\; <\Rightarrow \frac<><>x = u\ln u — u,>\;\; <\Rightarrow \frac<><>x = u\left( <\ln u - 1>\right).> \] В результате мы получаем уравнение с разделяющимися переменными: \[\frac<> <\right)>> = \frac<>.\] На следующем шаге проинтегрируем левую и правую части уравнения: \[ <\int <\frac<> <\right)>>> = \int <\frac<>> ,>\;\; <\Rightarrow \int <\frac<\right)>><<\ln u - 1>>> = \int <\frac<>> ,>\;\; <\Rightarrow \int <\frac<\right)>><<\ln u - 1>>> = \int <\frac<>> .> \] Следовательно, \[\ln\left| <\ln u - 1>\right| = \ln \left| x \right| + C.\] Постоянную \(C\) здесь можно записать как \(\ln \;\left( <> 0> \right).\) Тогда \[ <\ln\left| <\ln u - 1>\right| = \ln \left| x \right| + \ln ,>\;\; <\Rightarrow \ln\left| <\ln u - 1>\right| = \ln \left| <x> \right|,>\;\; <\Rightarrow \ln u - 1 = \pm x,>\;\; <\Rightarrow \ln u = 1 \pm x>\;\; <\text<или>\;\;u = x>>.> \] Таким образом, мы получили два решения: \[u = x>>\;\;\text<и>\;\;u = x>>.\] Если \( = 0,\) то ответом является функция \(y = xe.\) Легко убедиться, что эта функция будет также и решением дифференциального уравнения. В самом деле, подставляя \[y = xe,\;\;y’ = e\] в дифференциальное уравнение, находим: \[ e>><\cancel>,>\;\; <\Rightarrow xe = xe\ln e,>\;\; <\Rightarrow xe = xe.>\] Таким образом, все решения дифференциального уравнения можно представить одной формулой: \[y = x>,\] где \(C\) − произвольное действительное число.
Здесь мы снова встречаемся с однородным уравнением. В самом деле, запишем его в виде: \[ >><>> > = <\frac<<\frac<<>><<>>>><<\frac<><<>> + \frac<<>><<>>>> > = <\frac<<<<\left( <\frac> \right)>^2>>><<\frac+ <<\left( <\frac> \right)>^2>>> > = > \right).> \] Сделаем подстановку \(y = ux.\) Тогда \(y’ = u’x + u.\) Подставляя \(y\) и \(y’\) в исходное уравнение, получаем: \[ <\left( > \right)\left( \right) = ,>\;\; <\Rightarrow u\left( \right)\left( \right) = .> \] Разделим обе части уравнения на \(u.\) Заметим, что корень \(x = 0\) не является решением, но можно убедиться, что корень \(u = 0\) (или \(y = 0\)) будет одним из решений данного дифференциального уравнения.
В результате получаем: \[ <\left( \right)\left( \right) = u,>\;\; <\Rightarrow u'x\left( \right) + + u = u,>\;\; <\Rightarrow u'x\left( \right) = — ,>\;\; <\Rightarrow \left( <\frac<1> + \frac<1><<>>> \right)du = — \frac<>.> \] Интегрируя, находим общее решение: \[ <\int <\left( <\frac<1> + \frac<1><<>>> \right)du> = — \int <\frac<>> ,>\;\; <\Rightarrow \ln \left| u \right| - \frac<1> = — \ln \left| x \right| + C.> \] Учитывая, что \(u = \large\frac\normalsize,\) последнее выражение можно записать в форме \[ <\ln \left| <\frac> \right| — \frac<1><<\frac>> = — \ln \left| x \right| + C,>\;\; <\Rightarrow \ln \left| y \right| - \cancel<\ln \left| x \right|>— \frac= — \cancel <\ln \left| x \right|>+ C,>\;\; <\Rightarrow y\ln \left| y \right| = Cy + x.>\] Обратная функция \(x\left( y \right)\) имеет явный вид: \[x = y\ln \left| y \right| — Cy.\] Поскольку \(C\) − произвольное число, знак «минус» перед этой константой можно заменить на знак «плюс». Тогда получаем: \[x = y\ln \left| y \right| + Cy.\] Таким образом, дифференциальное уравнение имеет решения: \[x = y\ln \left| y \right| + Cy,\;\;y = 0.\]
Видно, что числитель и знаменатель в правой части соответствуют пересекающимся прямым . Поэтому данное дифференциальное уравнение можно преобразовать в однородное путем соответствующего преобразования координат. Пусть новые и старые координаты связаны соотношениями: \[x = X + \alpha ,\;\;y = Y + \beta .\] Константы \(\alpha\) и \(\beta\) мы определим позже. В новых координатах производная имеет вид \[ ><> > = <\frac<\right)>> <\right)>> > = <\frac<><>,> \] а само уравнение записывается как \[ <\frac<><> = \frac <<2\left( \right) + 1>> <<3\left( \right) + X + \alpha + 2>> > = <\frac<<2X + 2\alpha + 1>><<3Y + X + \alpha + 3\beta + 2>>.> \] Данное уравнение будет однородным, если коэффициенты \(\alpha\) и \(\beta\) будут удовлетворять системе уравнений \[\left\< \begin2\alpha + 1 = 0\\ \alpha + 3\beta + 2 = 0 \end \right..\] Решая данную систему уравнений относительно \(\alpha\) и \(\beta,\) находим: \[\left\< \begin\alpha = — \frac<1><2>\\ \beta = — \frac<1> <2>\end \right..\] При указанных значениях \(\alpha\) и \(\beta\) дифференциальное уравнение записывается следующим образом: \[\frac<><> = \frac<<2X>><<3Y + X>>.\] Мы получили однородное уравнение. Далее делаем замену: \(Y = uX,\) где \(u\) − некоторая функция \(X.\) Следовательно, \(dY = Xdu + udX.\) В итоге мы имеем: \[ <\frac<><> = \frac<<2X>><<3Y + X>>,>\;\; <\Rightarrow X\frac<><> + u = \frac<2><<3u + 1>>.> \] Разделим числитель и знаменатель в правой части на \(X.\) Можно проверить, что \(X = 0\) или \(x = X + \alpha = — \large\frac<1><2>\normalsize\) не является решением дифференциального уравнения.
Перепишем решение через переменные \(X\) и \(Y:\) \[ <-\frac<2><5>\ln \left| <\frac+ 1> \right| — \frac<3><5>\ln \left| <2 - 3\frac> \right| > = <\ln \left| X \right| + \ln C,>\] \[ <\Rightarrow -\frac<2><5>\ln \left| <\frac<>> \right| — \frac<3><5>\ln \left| <\frac<<2X - 3Y>>> \right| > = <\ln \left| X \right| + \ln C,>\] \[ <\Rightarrow -\frac<2><5>\ln \left| \right| + \cancel<\frac<2><5>\ln \left| X \right|> — \frac<3><5>\ln \left| <2x - 3y>\right| + \cancel<\frac<3><5>\ln \left| X \right|> > = <\cancel<\ln \left| X \right|>+ \ln C,> \] \[ <\Rightarrow 2\ln \left| \right| + 3\ln \left| <2x - 3y>\right| > = <-5\ln C.>\] Далее удобно обозначить: \(-5\ln C = \ln ,\) где \(\) − произвольное положительное число. Таким образом, решение можно записать в виде: \[2\ln\left| \right| + 3\ln \left| <2x - 3y>\right| = \ln .\] Теперь мы можем вернуться к первоначальным переменным \(x, y.\) Так как \[X = x — \alpha = x + \frac<1><2>,\;\;Y = y — \beta = y + \frac<1><2>,\] то получаем: \[ <2\ln\left| <2>+ x + \frac<1><2>> \right| > + <3\ln \left| <2\left( <2>> \right) — 3\left( <2>> \right)> \right| > = <\ln ,> \] \[ <\Rightarrow 2\ln\left| \right| > + <3\ln \left| <2x - 3y \frac<1><2>> \right| > = <\ln ,> \] \[ <\Rightarrow 2\ln\left| \right| > + <3\ln \left| <\frac<<4x - 6y - 1>><2>> \right| > = <\ln ,> \] \[ <\Rightarrow 2\ln\left| \right| > + <3\ln \left| <4x - 6y 1>\right| > — <3\ln 2>= <\ln ,> \] \[ <\Rightarrow \ln \left| <<<\left( \right)>^2> <<\left( <4x - 6y 1>\right)>^3>> \right| > = <\ln + 3\ln 2.> \] Правую часть можно снова несколько упростить: \[\ln + 3\ln 2 = \ln \;\;\left( <> 0> \right).\] Тогда окончательное общее решение исходного дифференциального уравнения выражается следующей неявной формулой: \[ <<<\left( \right)>^2> <<\left( <4x - 6y 1>\right)>^3>> = \pm = .\] где постоянная \(\) − любое число, не равное нулю.
Можно заметить, что уравнения прямых в числителе и знаменателе в правой части соответствуют параллельным прямым . Поэтому, сделаем следующую замену переменных: \[z = x — y,\;\; \Rightarrow y = x — z,\;\;y’ = 1 — z’.\] В результате дифференциальное уравнение принимает вид: \[ <1 - z' = \frac<>,>\;\; <\Rightarrow 1 - z' = 1 + \frac<3>,>\;\; <\Rightarrow z' = - \frac<3>.> \] Как видно, мы получили простое уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим ответ: \[ <\frac<><> = — \frac<3>,>\;\; <\Rightarrow zdz = - 3dx,>\;\; <\Rightarrow \int = — 3\int ,>\;\; <\Rightarrow \frac<<>> <2>= — 3x + C,>\;\; <\Rightarrow <\left( \right)^2> = 2C — 6x.> \] Из последнего выражения можно вывести явную функцию \(y\left( x \right):\) \[x — y = \pm \sqrt <2c - 6x>.\] Поскольку \(C\) − произвольное число, то можно заменить: \(2C \to C.\) Таким образом, \[y = x \pm \sqrt .\]
