Общие способы решения уравнения это

Методы решения уравнений — обзор

В этой статье дан краткий обзор всех основных методов решения уравнений. Здесь также приведены ссылки на материалы с подробной информацией по каждому методу. Это дает возможность познакомиться со всеми методами решения уравнений, а в случае необходимости — изучить методы решения уравнений углубленно.

Метод введения новой переменной (замены переменной)

Метод введения новой переменной, он же метод замены переменной, позволяет решать уравнения f(g(x))=0 или f₁(g(x))=f₂(g(x)) , где f , f₁ и f₂ – некоторые функции, а x – неизвестная переменная, а также уравнения, которые могут быть приведены к указанному виду. Состоит метод во введении новой переменной t=g(x) . Введение переменной позволяет от исходного уравнения f(g(x))=0 или f₁(g(x))=f₂(g(x)) перейти к уравнению с новой переменной f(t)=0 или f₁(t)=f₂(t) соответственно. Дальше находятся корни полученного уравнения с новой переменной: t₁, t₂, …, t_n . После этого осуществляется возврат к старой переменной, для чего составляется совокупность уравнений g(x)=t₁, g(x)=t₂, …, g(x)=t_n . Решение этой совокупности дает интересующее нас решение исходного уравнения.

Например, метод введения новой переменной позволяет решить уравнение . Здесь стоит принять . Это позволяет перейти от исходного уравнения к квадратному уравнению t 2 −3·t+2=0 с новой переменной t , которое имеет два корня t₁=1 и t₂=2 . Обратная замена происходит путем составления совокупности двух уравнений и . Это рациональные уравнения. Решением первого является x=2 , а решением второго является x=1,5 . Так методом введения новой переменной получено решение исходного уравнения: 1,5 , 2 .

Подробное описание метода введения новой переменной, включающее обоснование метода, алгоритм решения уравнений этим методом и примеры решения характерных уравнений, дано в этой статье.

Метод разложения на множители

Метод разложения на множители предназначен для решения уравнений f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0 , где f₁(x), f₂(x),…, f_n(x) – некоторые выражения, x – переменная. То есть, методом разложения на множители решаются уравнения, в левой части которых находится произведение нескольких выражений, а в правой – нуль. Суть метода состоит в замене решения уравнения f₁(x)·f₂(x)·…·f_n(x)=0 решением совокупности уравнений f₁(x)=0, f₂(x)=0, …, f_n(x)=0 на области допустимых значений (ОДЗ) для исходного уравнения.

Приведем простой пример. Уравнение может быть решено методом разложения на множители. Переходим от исходного уравнения к совокупности двух уравнений и . Иррациональное уравнение имеет единственное решение x₁=1 . Логарифмическое уравнение тоже имеет единственное решение x₂=4 . Значит, совокупность уравнений имеет два решения x₁=1 , x₂=4 . Но области допустимых значений для исходного уравнения, которой является множество (3, +∞) , принадлежит лишь одно из решений x₁=1 , x₂=4 , а именно, x₂=4 . Оно и является единственным корнем уравнения .

Подробное описание этого метода и решения других характерных примеров смотрите в статье «метод разложения на множители».

Метод решения уравнений «дробь равна нулю»

Из названия понятно, что этот метод используется при решении уравнений f(x)/g(x)=0 . Например, он позволяет решить уравнение . Метод состоит в переходе от решения уравнения f(x)/g(x)=0 к решению уравнения f(x)=0 на ОДЗ для исходного уравнения. Следовательно, чтобы решить уравнение , надо решить уравнение (x−1)·(x 2 −4)=0 на ОДЗ для исходного уравнения.

Обоснование метода и примеры с решениями смотрите здесь.

Метод решения уравнений через преобразования

Метод базируется на преобразовании уравнений с целью выстраивания последовательностей равносильных уравнений и уравнений-следствий со сравнительно простыми последними уравнениями, по решениям которых находятся решения исходных уравнений.

Например, для решения уравнения 3·x 4 −48=0 последовательно проводятся два преобразования: переносится слагаемое −48 из левой части уравнения в правую с противоположным знаком, после чего проводится деление обеих частей уравнения на число 3 . В результате получается равносильное уравнение x 4 =16 , причем очень простое в плане решения. Оно имеет два корня x₁=−2 и x₂=2 . Они и составляют решение исходного уравнения.

Вот другой пример. Замена выражения в левой части уравнения тождественно равным выражением (x−1)·(x+2) дает уравнение-следствие (x−1)·(x+2)=0 , имеющее два корня x₁=1 и x₂=−2 . Проверка показывает, что только первый корень является корнем исходного уравнения, а второй корень – посторонний.

Какие преобразования используются при решении уравнений? Когда нужно делать проверку для отсеивания посторонних корней, а когда такую проверку делать необязательно? Ответы на эти и многие другие вопросы по теме есть в этом материале.

Метод решения уравнений, сводящихся к числовым равенствам

Иногда в результате преобразования уравнений получаются числовые равенства. Например, уравнение сводится к верному числовому равенству 0=0 , а уравнение сводится к неверному числовому равенству 0=5 . Решением уравнений, сводящихся к верным числовым равенствам, является множество, совпадающее с ОДЗ для исходного уравнения. Так, решением уравнения является множество x≥0 . А уравнения, сводящиеся к неверным числовым равенствам, не имеют решений. То есть, уравнение не имеет решений.

Здесь есть один нюанс. Если среди преобразований, приводящих уравнение к верному числовому равенству, есть возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, то нельзя утверждать, что решением уравнения является любое число из ОДЗ. Этот нюанс разобран в статье «решение уравнений, сводящихся к числовым равенствам».

Функционально-графический метод

Обзор методов решения уравнений продолжаем функционально-графическии методом. Этот метод предполагает использование функций, отвечающих частям решаемого уравнения, а точнее, их графиков и свойств. Можно выделить три основных направления функционально-графического метода:

• Графический метод
• Метод, базирующийся на возрастании-убывании функций
• Метод оценки

Давайте рассмотрим их.

Графический метод

Первое направление базируется на использовании графиков функций. Это так называемый графический метод решения уравнений. По этому методу, во-первых, выполняется построение в одной прямоугольной системе координат графиков функций, отвечающих частям уравнения. Во-вторых, по чертежу определяется количество точек пересечения графиков, сколько точек пересечения – столько и корней у решаемого уравнения. В-третьих, определяются абсциссы точек пересечения – это значения корней.

Например, графически можно решить уравнение . Из чертежа, приведенного ниже, видно, что графики имеют единственную точку пересечения с абсциссой 2 . Это единственный корень уравнения.

Метод, базирующийся на возрастании-убывании функций

Второе направление в своей основе имеет использование свойств возрастающих и убывающих функций. Соответствующий метод используется тогда, когда есть возможность подобрать корень уравнения и доказать возрастание функции, отвечающей одной из частей уравнения, и убывание функции, отвечающей другой части уравнения. В этом случае подобранный корень является единственным.
Приведем пример. Для уравнения 3 (1−x) 3 +1=2 x несложно подобрать корень, им является число 1 . Также несложно обосновать убывание функции, соответствующей левой части уравнения, и возрастание функции, отвечающей правой части уравнения. Это доказывает единственность подобранного корня.

За более полной информацией следуйте сюда

Метод оценки

Третье направление основано на использовании свойств ограниченности функций. Это так называемый метод оценки. Согласно этому методу, в первую очередь нужно оценить значения выражений, находящихся в левой и правой части уравнения. Если множества, соответствующие полученным оценкам, не пересекаются, то уравнение не имеет корней. Если множества имеют конечное число общих элементов t₁ , t₂ , …, t_n , то решение уравнения f(x)=g(x) заменяется решением совокупности систем , , …, . Если же множества, соответствующие оценкам имеют бесконечно много общих элементов, то надо либо уточнять оценки, либо искать другой метод решения.

Например, методом оценки можно решить уравнение . Значения левой части этого уравнения не превосходят нуля, а значения правой части не меньше нуля. Это позволяет перейти к системе , решение которой дает искомое решение уравнения.

Метод освобождения от внешней функции

Метод освобождения от внешней функции используется для решения уравнений h(f(x))=h(g(x)) , где f , g и h – функции, причем функция y=h(t) принимает каждое свое значение по одному разу, в частности, строго возрастает или строго убывает, а x – независимая переменная. Этот метод состоит в переходе от уравнения h(f(x))=h(g(x)) к уравнению f(x)=g(x) на ОДЗ для исходного уравнения.

Например, методом освобождения от внешней функции можно решить уравнение . Здесь в качестве внешней функции выступает y=h(t) , где . Эта функция возрастающая как сумма двух возрастающих функций и , значит, каждое свое значение она принимает по одному разу. Это позволяет перейти от исходного уравнения к уравнению . Равносильные преобразования позволяют привести последнее уравнение к квадратному уравнению x 2 +x−2=0 , которое имеет два корня x₁=−2 и x₂=1 . Из этих корней только x₁=−2 принадлежит ОДЗ для исходного уравнения. Следовательно, x₁=−2 – единственный корень исходного уравнения.

Рекомендуем детально разобраться с этим методом решения уравнений, обратившись к материалу статьи «метод освобождения от внешней функции».

Метод решения уравнений через ОДЗ

Через ОДЗ решаются уравнения, области допустимых значений которых являются либо пустыми множествами, либо состоят из конечного количества чисел. Когда ОДЗ есть пустое множество, уравнение не имеет решений. Когда ОДЗ состоит из конечного количества чисел, то следует по очереди проверить эти числа через подстановку. Те из них, которые удовлетворяют решаемому уравнению являются его корнями, остальные – не являются.

Например, уравнение не имеет решений, так как ОДЗ для него есть пустое множество. А для уравнения ОДЗ состоит из двух чисел −1 и 7 . Проверка подстановкой показывает, что −1 является корнем уравнения, а 7 – не является.

Более полная информация по этому методу решения уравнений содержится в этой статье.

Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень

Этот метод, в основном, используется для решения иррациональных уравнений. Он заключается в возведении обеих частей уравнения в одну и ту же степень с целью избавления от корней. Например, возведение обеих частей уравнения в квадрат дает уравнение без корня 1−5·x=(x−3) 2 . Возведение в нечетную степень дает равносильное уравнение. Возведение в четную степень в общем случае дает уравнение-следствие, поэтому, при этом необходимо позаботиться об отсеивании посторонних корней. Причем отсеивание следует проводить способом, не связанным с ОДЗ, обычно, через проверку подстановкой, так как возведение частей уравнения в четную степень может приводить к появлению посторонних корней в рамках ОДЗ.

Аналогично разбираемый метод может использоваться и для решения уравнений, в которых фигурируют степени с рациональными и иррациональными показателями. Решения соответствующих примеров смотрите здесь.

Метод решения уравнений по определению логарифма

По определению логарифма, как правило, решают уравнения следующего вида log_h(x)f(x)=g(x) , например, log₂(x 2 +4·x+3)=3 , log₂(9−2 x )=3−x , log_x(3·x lgx +4)=2·lgx и т.п.

Согласно методу решения уравнений по определению логарифма, решение уравнения log_h(x)f(x)=g(x) заменяется решением уравнения f(x)=(h(x)) g(x) на ОДЗ переменной x для исходного уравнения. Например, от уравнения log_x(3·x lgx +4)=2·lgx можно перейти к уравнению 3·x lgx +4=x 2·lgx на ОДЗ для исходного уравнения.

Более полная информация содержится в основной статье.

Метод потенцирования

Методом потенцирования решаются логарифмические уравнения, обе части которых являются логарифмами по одному и тому же основанию, например, lgx=lg(3·x+5) , и т.п. Метод заключается в замене решения уравнения log_h(x)f(x)=log_h(x)g(x) решением уравнения f(x)=g(x) на ОДЗ для исходного уравнения. По этому методу от уравнения lgx=lg(3·x+5) следует перейти к уравнению x=3·x+5 на ОДЗ для исходного уравнения, которая определяется двумя условиями: x>0 , 3·x+5>0 .

Обоснование метода и примеры с подробными решениями смотрите в этой статье.

Метод логарифмирования

Метод подразумевает логарифмирование обеих частей уравнения по одному и тому же основанию. К нему следует прибегать тогда, когда логарифмирование позволяет избавиться от степеней с переменной в показателях. В частности, его можно использовать для решения показательных уравнений, обе части которых являются степенями с одинаковыми основаниями, например, 5 1−x =5 2·x+1 . Почленное логарифмирование этого уравнения дает очень простое уравнение 1−x=2·x+1 , решение которого дает решение исходного уравнения.

Также метод подходит для решения показательных уравнений, степени в которых имеют разные основания и отличающиеся показатели, например, . Более того, метод логарифмирования является чуть ли не основным методом решения показательно-степенных уравнений, вроде таких x lgx−1 =100 , .

Более детальная информация и примеры с решениями есть в этом материале.

Источник

Общие методы решения уравнений
план-конспект по алгебре

Общие методы решения уравнений

Скачать:

Вложение	Размер
obshchie_metody_resheniya_uravneniy.docx	207.49 КБ
26._obshchie_metody_resheniya_uravneniy.ppt	833.5 КБ

Предварительный просмотр:

Тема урока «Общие методы решения уравнений»

«Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и впоследствии подтвердить это, что, следуя нашему методу, мы достигли цели»

Методы решения уравнений – это способы, приемы, с помощью которых можно решить то или иное уравнение.

Общие методы решения уравнений – это такие способы, приемы, с помощью которых можно решить уравнения разного типа.

Рассмотрим первый метод: метод замены уравнения h(f(х))= h(g(х)) уравнением f(х)=g(х).

Этот способ основан на монотонности функции h(х):

если функция h(х) монотонная, то она принимает каждое свое значение только один раз. Тогда от уравнения h(f(х))= h(g(х)) можно перейти к простому f(х)=g(х).

Запомни: если функция h(х) немонотонная, то такой метод применять нельзя, т.к. возможна

Решить уравнение (3х – 7) 5 = (2х+3) 5 .

Так как функция h(х)=х 5 монотонная(возрастающая), то данное уравнение равносильно уравнению

Выполнили равносильные преобразования, проверку делать не нужно.

Решить уравнение (8- 2х) 2 =(х 2 +5) 2 .

Так как функция h(х)=х 2 немонотонная, то применять этот метод нельзя.

Решить уравнение log 3 (х+1)+ log 3 (х+3)=1.

ОДЗ задается системой неравенств: х+1>0,

Воспользуемся свойством логарифма и

1= log 3 3, получим уравнение

log 3 (х+1) (х+3)= log 3 3.

Так как функция h(х)= log 3 х монотонная (возрастающая), то данное уравнение равносильно уравнению (х+1) (х+3)=3

Решая квадратное уравнение х 2 +4х=0, получим корни х 1 =0,х 2 =-4.

Сделаем вывод: рассмотренный метод применяется в случае монотонных функций h(х), например при решении:

при переходе к уравнению f(х)=g(х);

при переходе к уравнению f(х)=g(х);

при переходе к уравнению f(х)=g(х)

Рассмотрим второй метод — метод разложения на множители .

Он заключается в том, что уравнение

f(x)g(x)h(x)=0 заменяют совокупностью уравнений f(x)=0, g(x)=0, h(x)=0. Решив эти уравнения, вычислив корни, обязательно их нужно проверить.

Решить уравнение sinх + sin2х+ sin3х=0

ОДЗ уравнения множество всех действительных чисел.

(sinх + sin3х) + sin2х=0, или

2 sin2хcosх+ sin2х=0, или

Тогда данное уравнение сводится к совокупности уравнений:

1 ) sin2х=0, 2х= πn(где n Z) и х= ,(где n Z);

2) 2cosх +1=0,х=±arccos ,(где k Z)

Ответ: х= ,(где n Z); х=±arccos ,

Метод введения новой переменной.

Суть его заключается в следующем:

если уравнение f(x)=0 имеет вид ( или может быть приведено к виду)p( g(х)), то вводят новую переменную

u= g(х), получают уравнение p( u)=0, решают его и находят корни (u 1 , u 2 ,… n). Возвращаются к старой переменной и получают совокупность уравнений

Решая эту совокупность, находят корни данного уравнения.

Решить уравнение 4 х -10·2 х-1 =24.

Заменим 4 х =2 2х , 10·2 -1 = 5, получим:

Заменим 2 х =t, t >0 , получим t 2 — 5t- 24=0.

Корень t 1 =-3 является посторонним, т.к. не удовлетворяет условию, t >0

Возвращаемся к замене 2 х =t, получим 2 х =8, х=3.

Решить уравнение log 2 5 х- log √5 х-3=0.

Перейдем во втором слагаемом к основанию 5 и сделаем замену переменной t= log 5 х, тогда

Теперь данное уравнение перепишется в виде

Решая уравнения замены log 5 х=3 и log 5 х= -1,

Находим х=5 3 =125 и х=5 -1 =0,2

Функционально-графический метод решения уравнения f(х)=g(х).

Суть этого метода такова: строят графики функций у= f(х) и у = g(х). Затем находят точки пересечения этих графиков, определяют их абсциссы. Они и являются корнями данного уравнения. Этот метод позволяет определить число корней, их приближенные, а иногда и точные значения.

Решить уравнение 2cosπх= 2х-1

Построим в одной системе координат графики функций у=2cosπх и у=2х-1.

Точка пересечения графиков (0,5;0)

Значит, уравнение имеет один корень х=0,5.

Не всякое уравнение вида f(x)=g(x) в результате преобразований может быть приведено к уравнению того или иного стандартного вида, для которого подходят обычные методы решения.

В таких случаях имеет смысл использовать такие свойства функций f(x) и g(x), как

• монотонность,
• ограниченность,
• четность,
• периодичность
• если одна из функций возрастает, а другая убывает на определенном промежутке, то уравнение f(x) = g(x) не может иметь более одного корня, который, в принципе, можно найти подбором.
• если функция f(x) ограничена сверху, а функция g(x) – снизу так, что f(x) мах =А g(x) мin =A, то уравнение f(x)=g(x) равносильно системе уравнений

Данное уравнение рационально решать функциональным методом. Рассмотрим функцию f(x)= cos В силу ограниченности функции косинуса. Наибольшее значение функции f(x) равно А=1 Очевидно, функция g(x)= x 2 + 1наименьшее значение равно А=1.

Поэтому данное уравнение равносильно системе

Очевидно, что корень второго уравнения равен х=0.

проверка х=0 удовлетворяет и первому уравнению. Следовательно, система уравнений ( а также исходное уравнение) имеет единственный корень х=0.

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

«Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и впоследствии подтвердить это, что, следуя нашему методу, мы достигли цели». Готфрид Лейбниц 01.07.1646 – 14.11.1716 гг.

Методы решения уравнений – это способы, приёмы, с помощью которых можно решить то или иное уравнение.

Общие методы решения уравнений – это такие способы, приёмы, с помощью которых можно решить уравнения разного типа.

Общие методы решения уравнений Функционально-графический метод Метод разложения на множители Метод введения новой переменной

Метод замены уравнения h ( f (х)) = h ( g (х)) уравнением f (х) = g (х) Если функция h (х) монотонная , то она принимает каждое своё значение только один раз .

Пример 1. Решить уравнение (3х – 7) 5 = (2х + 3) 5 . Решение. 3х – 7 = 2х + 3 ; 3х – 2х = 3 + 7 ; х = 10 ; Ответ: 10 .

Пример 2 . Решить уравнение (8 – 2х) 2 = (х 2 + 5) 2 . Решение. Так как функция h (х) = х 2 немонотонная , то применять этот метод нельзя .

Пример 3 . Решить уравнение log 3 (х + 1) + log 3 (х +3) = 1 . Решение. ОДЗ : х + 1 > 0 х + 3 > 0 ⇒ х > – 1 ; log 3 (х + 1)(х + 3) = log 3 3 ; (х + 1)(х + 3) = 3 ; х 2 + 4х = 0 ; х 1 = 0, х 2 = – 4 ; Ответ: 0 .

— показательного уравнения; — логарифмического уравнения; — иррационального уравнения;

Метод разложения на множители f(x) g(x) h(x) = 0 заменяют совокупностью уравнений f(x) = 0 , g(x) = 0 , h(x) = 0 .

Пример 4. Решить уравнение sin х + sin 2х+ sin 3х = 0 . Решение. ( sin х + sin 3х) + sin 2х = 0 ; 2 sin 2х cos х + sin 2х = 0 ; sin 2х (2 cos х + 1) = 0 ;

Метод введения новой переменной

Пример 5 . Решить уравнение 4 х – 10 · 2 х-1 = 24 . Решение. 2 2х – 5 · 2 х – 24 = 0 ; 2 х = t , t > 0 ; t 2 – 5 t – 24 = 0 ;

Решение. t = log 5 х ; t 2 – 2 t – 3 = 0 ; Ответ: 125 ; 0,2 .

Функционально-графический метод решения уравнения f (х) = g (х) C троят графики функций у = f (х) и у = g (х) . Затем находят точки пересечения этих графиков, определяют их абсциссы.

Пример 7 . Решить уравнение 2 cos π х = 2х – 1 . Решение. Ответ: х = 0,5 . 1 2 3 4 – 1 – 2 – 3 2 4 – 2 – 4 у = 2 cos π х у = 2х – 1

Монотонность ; ограниченность ; чётность ; периодичность ; если одна из функций возрастает, а другая убывает на определённом промежутке, то уравнение f ( x ) = g ( x ) не может иметь более одного корня который, в принципе, можно найти подбором ; если функция f ( x ) ограничена сверху, а функция g ( x ) – снизу так, что f ( x ) мах = А g ( x ) м in = A , то уравнение f ( x ) = g ( x ) равносильно системе уравнений: f(x) = A g(x) = A .

Решение. Ответ: 0.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Общие методы решения уравнений

В школьном курсе математики решаются различные уравнения: линейные, иррациональные, логарифмические, показательные, тригонометрические и другие.

Разработка урока по теме «Общие методы решения уравнений» 11 класс

Обобщение и систематизация знаний о методах решения уравнений.

Урок-практикум по теме «Общие методы решения уравнений» п.56, «Алгебра и начала анализа 10-11 классы», авт.А.Г. Мордкович и презентации по данной теме.

Цели: Систематизировать, обобщить знания и умения учащихся по применению различных методов решения уравнений.Развивать умение наблюдать, обобщать, классифицировать, анализировать математич.

методическая разработка урока «Общие методы решения уравнений»

Способы решения уравнений, которые предлагаются учащимся в школьных учебниках, усваиваются достаточно хорошо. Поэтому при повторении решили пользоваться различными пособиями по элементарной математике.

Разработка урока по теме: «Общие методы решения уравнений»

Разработка содержит:-конспект урока;-презентацию к уроку;-работы учащихся.

Развёрнутый конспект урока в логике ФГОС в 11 классе по теме: «Общие методы решения уравнения».

Развёрнутый конспект урока в логике ФГОС в 11 классе по теме: «Общие методы решения уравнения».Тип урока: урок отработки умений и рефлексии.УМК: ,Алгебра и начала математического анализа. 10 -11 класс.

Общие методы решения уравнений 11 класс

Презентация для проведения обобщающего урока по теме «Общие методы решения уравнений».

Источник