Обратный способ кодирования чисел

Обратный и дополнительный коды двоичных чисел

Пример №2 . Представить двоичное число 101.10₂ в нормализованном виде, записать в 32-битом стандарте IEEE754.
Таблица истинности

Прямой код числа кодирует только знаковую информацию и используется для хранения положительных и отрицательных чисел в ЭВМ. Прямой код двоичного числа совпадает по изображению с записью самого числа, но в знаковом разряде ставится 0, если число положительное и, 1 если число отрицательное.
Обратный и дополнительный коды используются для выполнения всех арифметических операций через операцию сложения.
Следует помнить, что положительные числа в обратном и дополнительном коде совпадают с прямым кодом.
1) Прямой код числа (кодируется только знаковая информация), “+”=0; ”-”=1.
Для прямого кода возможны два представления нуля, машинный положительный ноль, т.е. +0,110=0,110, машинный отрицательный ноль, т.е. -0,111=1,111.

Пример перевода
x₁=10101-[x₁]_пр=010101
x₂=-11101-[x₂]_пр=111101
x₃=0,101-[x₃]_пр=0,101
x₄=-0,111-[x₄]_пр=1,111
2) Обратный код числа, используется для выполнения арифметических операций вычитания, умножения, деления, через сложение. Обратный код положительного числа совпадает с его прямым кодом, обратный код отрицательного числа формируется по правилам: в знаковом разряде записывается “1”; цифровые значения меняются на противоположные.

3) Дополнительный код числа, имеет такое же назначение, как и обратный код числа. Формируется по следующим правилам: положительные числа в дополнительном коде выглядят также как и в обратном и в прямом коде, т.е. не изменяются. Отрицательные числа кодируются следующим образом: к обратному коду отрицательного числа (к младшему разряду) добавляется 1, по правилу двоичной арифметики.

Пример перевода
x₁=10101-[x₁]_доп=010101
x₂=-11101-[x₂]_обр=100010+1-[x₂]_доп=100011
x₃=0,101-[x₃]_доп=0,101
x₄=-0,111-[x₄]_обр=1,000+1-[x₄]_доп=1,001
Для выявления ошибок при выполнении арифметических операций используются также модифицированные коды: модифицированный прямой; модифицированный обратный; модифицированный дополнительный, для которых под код знака числа отводится два разряда, т.е. “+”=00; ”-”=11. Если в результате выполнения операции в знаковом разряде появляется комбинация 10 или 01 то для машины это признак ошибки, если 00 или 11 то результат верный.

Как определить, положительное или отрицательное число? Знак числа определяет старший бит: 0 — положительное число, 1 — отрицательное число. Например, для числа 1,001 сразу можно определить, что оно отрицательное (меньше нуля).

Источник

Представление целых чисел: прямой код, код со сдвигом, дополнительный код

Выбор способа хранения целых чисел в памяти компьютера — не такая тривиальная задача, как могло бы показаться на первый взгляд. Желательно, чтобы этот способ:

• не требовал усложнения архитектуры процессора для выполнения арифметических операций с отрицательными числами,
• не усложнял арифметические действия,
• хранил бы одинаковое количество положительных и отрицательных чисел.

Рассмотрим разные методы представления.

Содержание

Прямой код [ править ]

При записи числа в прямом коде (англ. Signed magnitude representation) старший разряд является знаковым разрядом. Если его значение равно нулю, то представлено положительное число или положительный ноль, если единице, то представлено отрицательное число или отрицательный ноль. В остальных разрядах (которые называются цифровыми) записывается двоичное представление модуля числа. Например, число [math] -5 [/math] в восьмибитном типе данных, использующем прямой код, будет выглядеть так: [math] 10000101 [/math] .

Таким способом в [math] n [/math] -битовом типе данных можно представить диапазон чисел [math] [-2^ + 1; 2^ — 1] [/math] .

Достоинства представления чисел с помощью прямого кода [ править ]

1. Получить прямой код числа достаточно просто.
2. Из-за того, что [math]0[/math] обозначает [math]+[/math] , коды положительных чисел относительно беззнакового кодирования остаются неизменными.
3. Количество положительных чисел равно количеству отрицательных.

Недостатки представления чисел с помощью прямого кода [ править ]

1. Выполнение арифметических операций с отрицательными числами требует усложнения архитектуры центрального процессора (например, для вычитания невозможно использовать сумматор, необходима отдельная схема для этого).
2. Существуют два нуля: [math] -0 [/math] [math](100 \ldots 000) [/math] и [math] +0 [/math] [math] (000 \ldots 000) [/math] , из-за чего усложняется арифметическое сравнение.

Из-за весьма существенных недостатков прямой код используется очень редко.

Код со сдвигом [ править ]

При использовании кода со сдвигом (англ. Offset binary) целочисленный отрезок от нуля до [math] 2^n [/math] ( [math] n [/math] — количество бит) сдвигается влево на [math] 2^ [/math] , а затем получившиеся на этом отрезке числа последовательно кодируются в порядке возрастания кодами от [math] 000 \dots 0 [/math] до [math] 111 \dots 1 [/math] . Например, число [math] -5 [/math] в восьмибитном типе данных, использующем код со сдвигом, превратится в [math] -5 + 128 = 123 [/math] , то есть будет выглядеть так: [math] 01111011 [/math] .

По сути, при таком кодировании:

• к кодируемому числу прибавляют [math] 2^ [/math] ;
• переводят получившееся число в двоичную систему исчисления.

Можно получить диапазон значений [math] [-2^; 2^ — 1][/math] .

Достоинства представления чисел с помощью кода со сдвигом [ править ]

1. Не требуется усложнение архитектуры процессора.
2. Нет проблемы двух нулей.

Недостатки представления чисел с помощью кода со сдвигом [ править ]

1. При арифметических операциях нужно учитывать смещение, то есть проделывать на одно действие больше (например, после «обычного» сложения двух чисел у результата будет двойное смещение, одно из которых необходимо вычесть).
2. Ряд положительных и отрицательных чисел несимметричен.

Из-за необходимости усложнять арифметические операции код со сдвигом для представления целых чисел используется не часто, но зато применяется для хранения порядка вещественного числа.

Дополнительный код (дополнение до единицы) [ править ]

В качестве альтернативы представления целых чисел может использоваться код с дополнением до единицы (англ. Ones’ complement).

Алгоритм получения кода числа:

• если число положительное, то в старший разряд (который является знаковым) записывается ноль, а далее записывается само число;
• если число отрицательное, то код получается инвертированием представления модуля числа (получается обратный код);
• если число является нулем, то его можно представить двумя способами: [math] +0 [/math] [math](000 \ldots 000) [/math] или [math] -0 [/math] [math] (111 \ldots 111) [/math] .

Пример: переведём число [math] -13 [/math] в двоичный восьмибитный код. Прямой код модуля [math] -13 [/math] : [math] 00001101 [/math] , инвертируем и получаем [math] 11110010 [/math] . Для получения из дополнительного кода самого числа достаточно инвертировать все разряды кода.

Таким способом можно получить диапазон значений [math] [-2^+1; 2^ — 1] [/math] .

Достоинства представления чисел с помощью кода с дополнением до единицы [ править ]

1. Простое получение кода отрицательных чисел.
2. Из-за того, что [math]0[/math] обозначает [math]+[/math] , коды положительных чисел относительно беззнакового кодирования остаются неизменными.
3. Количество положительных чисел равно количеству отрицательных.

Недостатки представления чисел с помощью кода с дополнением до единицы [ править ]

1. Выполнение арифметических операций с отрицательными числами требует усложнения архитектуры центрального процессора.
2. Существуют два нуля: [math] +0 [/math] и [math] -0 [/math] .

Дополнительный код (дополнение до двух) [ править ]

Чаще всего для представления отрицательных чисел используется код с дополнением до двух (англ. Two’s complement).

Алгоритм получения дополнительного кода числа:

• если число неотрицательное, то в старший разряд записывается ноль, далее записывается само число;
• если число отрицательное, то все биты модуля числа инвертируются, то есть все единицы меняются на нули, а нули — на единицы, к инвертированному числу прибавляется единица, далее к результату дописывается знаковый разряд, равный единице.

В качестве примера переведём число [math] -5 [/math] в дополнительный восьмибитный код. Прямой код модуля [math] -5 [/math] : [math] 0000101 [/math] , обратный — [math] 1111010 [/math] , прибавляем [math] 1 [/math] , получаем [math] 1111011 [/math] , приписываем [math] 1 [/math] в качестве знакового разряда, в результате получаем [math] 11111011 [/math] .

Также дополнительный код отрицательного числа [math] A [/math] , хранящегося в [math] n [/math] битах, равен [math] 2^n — |A| [/math] . По сути, дополнительный код представляет собой дополнение [math] |A| [/math] до [math] 0 [/math] : так как в [math] n [/math] -разрядной арифметике [math] 2^ = 0 [/math] (двоичная запись этого числа состоит из единицы и [math] n [/math] нулей, а в [math] n [/math] -разрядную ячейку помещаются только [math] n [/math] младших разрядов, то есть [math] n [/math] нулей), то верно равенство [math] 2^n — |A| + |A| = 0 [/math] .

Для получения из дополнительного кода самого числа нужно инвертировать все разряды кода и прибавить к нему единицу. Можно проверить правильность, сложив дополнительный код с самим числом: результат должен быть равен [math] 2^n [/math] . Переведём [math] 11111011 [/math] обратно. Инвертируем — [math] 00000100 [/math] , прибавляем [math] 1 [/math] , получаем [math] 00000101 [/math] — модуль исходного числа [math] -5 [/math] . Проверим: [math] 11111011 + 00000101 = 100000000 [/math] .

Можно получить диапазон значений [math] [-2^; 2^ — 1] [/math] .

Длинная арифметика для чисел, представленных с помощью кода с дополнением до двух [ править ]

Дополнительный код также удобно использовать для вычислений в длинной арифметике, особенно для операций сложения и вычитания. Это операции удобно выполнять с числами одинаковой длины, поэтому в старшие разряды меньшего числа нужно поместить нули (если число положительно) или единицы (если число отрицательно). Тогда числа будут выглядеть следующим образом: в старших разрядах бесконечное число нулей (единиц), а в младших разрядах уже встречаются и нули, и единицы, которые кодируют само число, а не знак. Удобство заключается в том, что нам не обязательно проделывать операции сложения с каждой парой бит, если мы знаем, что на этом отрезке в числах стоят либо единицы, либо нули. Таким образом, на этом отрезке в получившемся числе тоже будут либо только единицы, либо только нули. Операцию сложения можно выполнить только один раз для старших битов, таким образом мы узнаем знак получившегося числа. Вычитание тоже выполняется просто: инвертируем число, прибавляем один и получаем это число с минусом, затем просто делаем сложение. Однако умножение с числами, представленными дополнительным кодом, выполнять не всегда оптимально: алгоритм либо слишком медленный (наивный алгоритм работает за [math]O(n^2)[/math] ), либо слишком сложный. Лучше для умножение использовать прямой код (бит под знак). Тогда можно числа перевести в десятичную систему счисления, выполнить быстрое преобразование Фурье за [math]O(n \log n)[/math] , затем перевести их обратно в двоичную. Обычно такой алгоритм работает быстрее, чем выполнение операции напрямую с двоичными числами. Для деления обычно тоже лучше использовать прямой код.

Достоинства представления чисел с помощью кода с дополнением до двух [ править ]

1. Возможность заменить арифметическую операцию вычитания операцией сложения и сделать операции сложения одинаковыми для знаковых и беззнаковых типов данных, что существенно упрощает архитектуру процессора и увеличивает его быстродействие.
2. Нет проблемы двух нулей.

Недостатки представления чисел с помощью кода с дополнением до двух [ править ]

1. Ряд положительных и отрицательных чисел несимметричен, но это не так важно: с помощью дополнительного кода выполнены гораздо более важные вещи, желаемые от способа представления целых чисел.
2. В отличие от сложения, числа в дополнительном коде нельзя сравнивать как беззнаковые, или вычитать без расширения разрядности.

Несмотря на недостатки, дополнение до двух в современных вычислительных системах используется чаще всего.

Источник