VMath
Инструменты сайта
Основное
Навигация
Действия
Содержание
Обратная матрица
Для квадратной матрицы $ A_<> $ матрица $ B_<> $ называется левой обратной, если $ BA=E_<> $, где $ E_<> $ — единичная матрица; для матрицы $ A_<> $ матрица $ C_<> $ называется правой обратной если $ AC=E $.
Теорема. Для того, чтобы существовала левая обратная матрица для матрицы $ A_<> $ необходимо и достаточно, чтобы $ \det A_<> \ne 0 $. В этом случае, левая обратная матрица будет единственной и совпадает с правой обратной: $ AB=BA=E $.
Доказательство. Необходимость условия $ \det A_<> \ne 0 $ для существования, например, левой обратной матрицы следует из условия $$ \det (B \cdot A)= \det E \quad \iff \quad (\det B) (\det A) =1 \ . $$
При выполнении условия $ \det A_<> \ne 0 $ можем взять $$ A^<-1>=\frac< \operatorname(A) ><\det A>= \left( \begin \frac> <\det A>& \frac> <\det A>& \dots & \frac> <\det A>\\ &&& \\ \frac> <\det A>& \frac> <\det A>& \dots & \frac> <\det A>\\ &&& \\ \vdots & & & \vdots \\ \frac> <\det A>& \frac> <\det A>& \dots & \frac> <\det A>\end \right) \ . $$ Пока что мы получили правую обратную матрицу: доказано, что она удовлетворяет условию $ A C = E_<> $. Проверка того, что полученная матрица будет являться и левой обратной, т.е. удовлетворяет условию $ C A=E $, производится снова с использованием теоремы о сумме произведений элементов столбца матрицы $ A_<> $ на алгебраические дополнения к другому столбцу той же матрицы (см. теорему $ 2 $ ☞ ЗДЕСЬ ). Теперь покажем, единственность полученной обратной матрицы. Предположим, что каким-то другим способом найдена еще одна матрица $ C_1 $ обладающая тем же самым свойством $ A C_1 = E $. Домножим это равенство слева на матрицу $ C_<> $: $$ C(AC_1) = C E \ . $$ Операция умножения матриц подчиняется ассоциативному закону, поэтому $$ (CA) C_1 = C , $$ но, по доказанному ранее, $ CA=E_<> $. И мы получили равенство $ C_1 = C $, доказывающее единственность правой обратной матрицы. Аналогично доказывается единственность и левой обратной. ♦
Обратную матрицу к матрице $ A_<> $ обозначают $ A_<>^ <-1>$, а сама процедура нахождения такой матрицы называется обращением матрицы $ A_<> $. Матрица, определитель которой отличен от нуля, называется неособенной или невырожденной или обратимой.
Способы построения
1. Первый способ следует из доказательства предыдущей теоремы. Вычислим все алгебраические дополнения к элементам матрицы $ A_<> $, составим из них новую матрицу порядка $ n_<> $ и транспонируем ее. Полученная матрица $$ \operatorname(A) =\left(\left[A_ \right]_^n \right)^ <\top>= \left( \begin A_ <11>& A_<21>& \dots & A_ \\ A_ <12>& A_ <22>& \dots & A_ \\ \dots & & & \dots \\ A_ <1n>& A_ <2n>& \dots & A_ \end \right) $$ называется взаимной или союзной матрице $ A_<> $. При условии $ \det A_<> \ne 0 $ будем иметь: $$ A^<-1>=\frac<\tilde A ><\det A>= \left( \begin \frac> <\det A>& \frac> <\det A>& \dots & \frac> <\det A>\\ &&& \\ \frac> <\det A>& \frac> <\det A>& \dots & \frac> <\det A>\\ &&& \\ \vdots & & & \vdots \\ \frac> <\det A>& \frac> <\det A>& \dots & \frac> <\det A>\end \right) $$
Пример. Вычислить
$$ \left( \begin 4&7& 1 &5 \\ 3 & 4 & 0 &-6 \\ -11 & 8 & 2 & 9\\ -12 & -10 &0 & 8 \end \right)^ <-1>\ . $$
Решение. Вычисляем определитель этой матрицы: $ \det A = -226 \ne 0 $. Обратная матрица существует. Вычисляем алгебраические дополнения элементов: $$ \overbrace<\left| \begin 4 & 0 &-6 \\ 8 & 2 & 9\\ -10 &0 & 8 \end \right|>^>=-56, \ \overbrace<-\left| \begin 3 & 0 &-6 \\ -11 & 2 & 9\\ -12 &0 & 8 \end \right|>^>=96, \overbrace<\left| \begin 3 & 4 &-6 \\ -11 & 8 & 9\\ -12 &-10 & 8 \end \right|>^>=-854, \overbrace<-\left| \begin 3 & 4 & 0 \\ -11 & 8 & 2 \\ -12 & -10 &0 \end \right|>^>=36, $$ $$ A_<21>=-58,\ A_<22>=164,\ A_<23>=-1506,\ A_<24>=118, \dots, A_<44>=58 \ . $$ Cоставляем из них матрицу: $$ \left( \begin -56 & 96 & -854 & 36 \\ -58 & 164 & -1506 & 118 \\ 28&-48 & 314& -9 \\ -40& 117 & -949 & 58 \end \right) \ . $$ и не забываем ее транспонировать, а также поделить на определитель!
2. Второй способ нахождения $ A^<-1>_<> $ часто называют методом Гаусса-Йордана 2) или методом приписывания единичной матрицы. Он, фактически, заключается в одновременном решении семейства систем линейных уравнений $$ AX_1=E_<[1]>, AX_2=E_<[2]>,\dots, AX_n=E_ <[n]>$$ где $ E_<[1]>, E_<[2]>,\dots, E_ <[n]>$ – столбцы единичной матрицы: $$ E_<[1]>=\left( \begin 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end \right),\ E_<[2]>=\left( \begin 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end \right),\dots, E_<[n]>=\left( \begin 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end \right),\ $$ Левые части этих систем одинаковы, поэтому метод исключения переменных Гаусса, примененный к одной, будет действителен и для другой — различия будут проявляться лишь в правых частях. Строго формальное обоснование метода следующее. Рассмотрим систему линейных уравнений относительно неизвестных $ x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n $: $$ AX=Y \ . $$ Здесь $ X=(x_1,\dots,x_n)^<\top>, Y=(y_1,\dots,y_n)^ <\top>$. Если $ A_<>^ <-1>$ существует, то эту систему можно разрешить относительно столбца переменных $ X_<> $: $$ X=A^<-1>Y \ . $$ С другой стороны, перепишем ту же систему в матричном виде: $$AX=Y \quad \iff \quad AX=EY \quad \iff \quad \left[A \mid E \right] \left(\begin X \\ -Y \end \right)= \mathbb O_ <2n\times 1>\ ; $$ здесь $ E_<> $ — единичная матрица порядка $ n_<> $. Элементарными преобразованиями над строками матрицы $ \left[A \mid E \right] $ добиваемся того, чтобы в левой ее половине возникла единичная матрица: $ \left[E \mid Q \right] $ (этого всегда можно добиться при условии $ \det A_<>\ne 0 $). Поскольку элементарные преобразования приводят систему линейных уравнений к эквивалентной ей системе (т.е. имеющей то же множество решений), то $$ \left[A \mid E \right] \left(\begin X \\ -Y \end \right)= \mathbb O \quad \iff \quad \left[E \mid Q \right] \left(\begin X \\ -Y \end \right)= \mathbb O \quad \iff \quad X=QY \ . $$ Сравнивая два представления решений системы, приходим к равенству $$ A^<-1>Y = QY $$ справедливому для любого столбца $ Y_<> $. Выбираем $ Y_<> $ из множества столбцов единичной матрицы, получаем: $$ A^<-1>E_<[1]>= QE_<[1]>,\ A^<-1>E_<[2]>= QE_<[2]>,\dots, A^<-1>E_<[n]>= QE_ <[n]>\quad \iff \quad A^<-1>E=QE \quad \iff \quad A^<-1>=Q \ . $$
Алгоритм обращения матрицы посредством приписыванием к ней единичной
1. Осуществляем конкатенацию матриц $ A $ и единичной матрицы $ E $ того же порядка: формируем расширенную $ n\times 2n_<> $-матрицу $ \left[A \mid E \right] $.
2. Элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы, добиваемся, чтобы в левой ее половине получилась единичная матрица.
3. Если это удается сделать, то матрица, получившаяся в правой половине и будет $ A_<>^ <-1>$. Если это сделать невозможно, то $ \det A_<>=0 $, т.е. $ A_<>^ <-1>$ не существует.
Пример. Вычислить
$$ \left( \begin 4& 5 &1 \\ 1 & 3 &-2 \\ 3 & 1 & 2 \end \right)^ <-1>$$ приписыванием единичной матрицы.
Решение. $$\left(\begin 4& 5 &1&1&0&0\\ 1 & 3 &-2&0&1&0\\ 3 & 1 & 2&0&0&1 \end\right)\to \left(\begin 1 & 3 &-2&0&1&0\\ 4& 5 &1&1&0&0\\ 3 & 1 & 2&0&0&1 \end\right) \to $$ $$ \to \left(\begin 1&3&-2&0&1&0\\ 0&-7&9&1&-4&0\\ 0&-8&8&0&-3&1 \end\right) \to \left(\begin 1&3&-2&0&1&0\\ 0&-8&8&0&-3&1\\ 0&-7&9&1&-4&0 \end\right) \to $$ $$ \to \left(\begin 1&3&-2&0&1&0\\ 0&-1&1&0&-3/8& 1/8\\ 0&-7&9&1&-4&0 \end\right)\to \left(\begin 1&3&-2&0&1&0\\ 0&-1&1&0&-3/8& 1/8\\ 0&0&2&1&-11/8&-7/8 \end\right) \to $$ $$ \to \left(\begin 1&3&-2&0&1&0\\ 0&-1&1&0&-3/8& 1/8\\ 0&0&1&1/2&-11/16& -7/16 \end\right)\to $$ $$ \to \left(\begin 1&3&-2&0&1&0\\ 0&-1&0&-1/2& 5/16& 9/16\\ 0&0&1&1/2&-11/16&-7/16 \end\right)\to $$ $$ \to \left(\begin 1&0&0&-1/2& 9/16 &13/16\\ 0&1&0&1/2&-5/16& -9/16\\ 0&0&1&1/2&-11/16&-7/16 \end\right) . $$
Ответ. $$ \left( \begin -1/2& 9/16 & 13/16 \\ 1/2&-5/16 & -9/16 \\ 1/2&-11/16 &-7/16 \end \right) $$
Алгоритм шифрования Rijndael, используемый в мобильной телефонии, имеет в одной из стадий следующее преобразование байтов
$$ \begin y_0 \\ y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \\ y_5 \\ y_6 \\ y_7 \end = \begin 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end \begin x_0 \\ x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \\ x_6 \\ x_7 \end + \begin 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end \pmod <2>$$ Найти обратное преобразование.
Ответ ☞ ЗДЕСЬ.
3. Этот способ основан на теореме Гамильтона-Кэли. Если найден характеристический полином матрицы $ A_<> $: $$ \det(A-\lambda E)\equiv (-1)^n (\lambda^n + a_1 \lambda^ + \dots + a_\lambda + a_n ) \, $$ то при условии $ a_n \ne 0 $ матрица $ A_<> $ обратима и $$ A^<-1>= — \frac<1> \left( A^+a_1 A^ + \dots + a_ E \right) \ , $$ т.е. $ A^ <-1>$ может быть вычислена посредством возведения в степень матрицы $ A_<> $.
Свойства операции обращения
Если в левой части каждого каждого из следующих равенств операции определены, то равенства справедливы:
Использование для решения систем линейных уравнений
Рассмотрим систему линейных уравнений с квадратной матрицей $ A $, т.е. такую, у которой число уравнений совпадает с числом неизвестных: $$ \left\<\begin a_<11>x_1 +a_<12>x_2+\ldots+a_<1n>x_n &=&b_1\\ a_<21>x_1 +a_<22>x_2+\ldots+a_<2n>x_n &=&b_2\\ \ldots& & \ldots \\ a_x_1 +a_x_2+\ldots+a_x_n &=&b_n \end\right. \quad \iff \quad AX= <\mathcal B>$$ Теорема Крамера утверждает, что такая система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы этой системы отличен от нуля: $ \det A \ne 0 $. Это же условие является необходимым и достаточным и для существования обратной матрицы $ A^ <-1>$. Но тогда решение системы можно записать в матричной форме: $$ X=A^ <-1> <\mathcal B>\ , $$ и такое представление бывает удобно в тех задачах, в которых требуется решить семейства систем с одинаковой матрицей $ A $, но различными столбцами правых частей $ <\mathcal B>$. Как соотносятся формулы Крамера и только что полученная формула? — Для пояснения, распишем первую компоненту решения, воспользовавшись представлением обратной матрицы по способу 1 ( см. ☞ ЗДЕСЬ ). Имеем: $$ x_1 = \frac> <\det A>b_1 + \frac> <\det A>b_2 + \dots + \frac> <\det A>b_n $$ Но полученное выражение совпадает с разложением определителя $$ \frac<1> <\det A>\left| \begin b_ <1>& a_ <12>& \dots & a_ <1n>\\ b_ <2>& a_ <22>& \dots & a_ <2n>\\ \dots &&& \dots \\ b_ & a_ & \dots & a_ \end \right| $$ по первому столбцу, т.е. мы получили первую из формул Крамера.
Обратные к конкретным типам матриц
1. треугольной матрице (верхней или нижней), если существует, то будет треугольной матрицей (того же типа);
2. симметричной матрице, если существует, то будет симметричной матрицей;
3. кососимметричной матрице нечетного порядка не существует, а в случае четного порядка, если существует, то будет кососимметричной матрицей;
4. ортогональной матрице $ Q_<> $ всегда существует и получается транспонированием матрицы: $ Q^ <-1>= Q^ <\top>$.
5. квадратной матрице Вандермонда $$ \left( \begin 1& 1& \ldots& 1\\ x_1& x_2& \ldots& x_n\\ x_1^2& x_2^2& \ldots& x_n^2\\ \vdots& \vdots& & \vdots \\ x_1^& x_2^& \ldots& x_n^ \end \right) $$ существует тогда и только тогда, когда все $ x_1,\dots,x_n $ различны. Выражение ☞ ЗДЕСЬ.
В некоторых приложениях важно по виду матрицы быстро определить существует ли у нее обратная — без непосредственного нахождения этой обратной. Для некоторых типов матриц можно получить «вычислительно дешевые» критерии отличия их определителей от нуля.
Следующая теорема основана на связи определителя матрицы с ее собственными числами.
Теорема. Матрица $ A_<> $, у которой элементы каждой строки обладают свойством
$$ |a_|>|a_|+\dots+|a_|+|a_|+\dots+|a_| \quad npu \quad \forall j\in \ <1,\dots,n\>$$ (модуль элемента на главной диагонали больше суммы модулей остальных элементов строки) называется матрицей с диагональным доминированием (преобладанием). Такая матрица всегда обратима.
Доказательство следует из того факта, что $ \det A_<> \ne 0 $ тогда и только тогда, когда в наборе собственных чисел матрицы 3) $ A_<> $ нет нулевого (см. следствие к теореме 1 ☞ ЗДЕСЬ ). Локализовать собственные числа матрицы можно с помощью теоремы Гершгорина: любое собственное число $ \lambda_<> $ матрицы $ A_<> $ должно удовлетворять хотя бы одному неравенству $$ |\lambda — a_| ♦
Обращение блочных матриц
Теорема [Фробениус]. 4) . Пусть имеется блочная квадратная матрица вида
$$ \left( \begin A & B \\ C & D \end \right) \quad , $$ где матрица $ A_<> $ — квадратная порядка $ k_<> $, а матрица $ D_<> $ — квадратная порядка $ \ell_<> $. Тогда $$\left( \begin A & B \\ C & D \end \right)^<-1>= \left( \begin A^ <-1>+A^<-1>BK^<-1>CA^ <-1>& -A^<-1>BK^ <-1>\\ -K^<-1>CA^ <-1>& K^ <-1>\end \right) \ , $$ где матрица $$ K=D-CA^<-1>B $$ называется шуровским дополнением 5) к подматрице $ A_<> $. Здесь предполагается, что матрицы $ A_<> $ и $ K_<> $ — неособенные.
При $ B=\mathbb O $ имеем:
$$ \left( \begin A & \mathbb O \\ C & D \end \right)^<-1>= \left( \begin A^ <-1>& \mathbb O \\ -D^<-1>CA^ <-1>& D^ <-1>\end \right) \ , $$ если матрицы $ A_<> $ и $ D_<> $ — неособенные.
Доказательство. Будем искать $$ \left( \begin A & \mathbb O \\ C & D \end \right)^ <-1>$$ в виде $$ \left( \begin X & Y \\ U & V \end \right)_ $$ при $ k\times k $-матрице $ X $ и $ \ell\times \ell $-матрице $ V $. Разбиваем матричное равенство $$ \left( \begin X & Y \\ U & V \end \right) \left( \begin A & \mathbb O \\ C & D \end \right) =\left( \begin E_k & \mathbb O \\ \mathbb O & E_ <\ell>\end \right) $$ на четыре отдельных $$ \begin XA+YC=E_k, & YD=\mathbb O, \\ UA+VC=\mathbb O, & VD=E_ <\ell>\end \quad \Rightarrow \quad \begin Y=\mathbb O, \\ V=D^<-1>. \end $$ Подставляем полученное в два оставшихся равенства: $ X=A^ <-1>$, $ U=-D^<-1>CA^ <-1>$. ♦
Найти обратную матрицу для матрицы Фробениуса
$$ <\mathfrak F>= \left( \begin 0 & 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ \dots& &&&\ddots & & \dots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ a_n & a_ & a_ & & \dots & a_2 & a_1 \end \right)_ $$
Решение и ответ ☞ ЗДЕСЬ
Обращение «возмущенных» матриц
Довольно часто ставится задача нахождения обратной к матрице $ A+B_<> $ при условии, что известна матрица $ A^ <-1>$ и доступна некоторая дополнительная информация о «возмущении» — о матрице $ B_<> $.
Следующий результат формулируем только для случая вещественных матриц, хотя существует его обобщение для комплексных.
Теорема [Шерман, Моррисон]. [3]. Пусть матрицы
Особенно полезен этот результат для случая возмущения матрицы $ A_<> $ посредством матриц одноранговых:
Вычислить $ (A+B)^ <-1>$ для
$$ A=\left(\begin -7 & 22 & — 55 \\ -94 & 87 & -56 \\ 0 & -62 & 97 \end \right), \ B=\left(\begin 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end \right) \ , $$ если известно, что $$ A^ <-1>= \frac<1> <154713>\left(\begin -4967 & -1276 & — 3553 \\ -9118 & 679 & -4778 \\ -5828 & 434 & -1459 \end \right) \ . $$
Используется в модифицированном симплекс-методе, в котором на каждом шаге требуется вычислять обратную матрицу для матрицы, которая отличается от матрицы, полученной на предыдущем шаге только в одном столбце [4].
Псевдообратная матрица
Эта матрица определяется не только для квадратной матрицы $ A_<> $.
Пусть сначала матрица $ A_<> $ порядка $ m\times n_<> $ — вещественная и $ m \ge n_<> $ (число строк не меньше числа столбцов). Если $ \operatorname (A) = n $ (столбцы матрицы линейно независимы), то псевдообратная к матрице $ A_<> $ определяется как матрица $$ A^<+>=(A^<\top>A)^ <-1>A^ <\top>\ . $$ Эта матрица имеет порядок $ n \times m_<> $. Матрица $ (A^<\top>A)^ <-1>$ существует ввиду того факта, что при условии $ \operatorname (A) = n $ будет выполнено $ \det (A^ <\top>A) > 0 $ (см. теорему $ 2 $ в пункте ☞ ТЕОРЕМА БИНЕ-КОШИ или же пункт ☞ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ГРАМА ). Очевидно, что $ A^ <+>\cdot A = E_ $, т.е. псевдообратная матрица является левой обратной для матрицы $ A_<> $. В случае $ m=n_<> $ псевдообратная матрица совпадает с обратной матрицей: $ A^<+>=A^ <-1>$.
Пример. Найти псевдообратную матрицу к матрице $$ A= \left( \begin 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end \right) \ . $$
Решение. $$ A^<\top>= \left( \begin 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end \right) \quad \Rightarrow \quad A^ <\top>\cdot A = \left( \begin 2 & 1 \\ 1 & 2 \end \right) \quad \Rightarrow \quad (A^ <\top>\cdot A)^ <-1>= \left( \begin 2/3 & -1/3 \\ -1/3 & 2/3 \end \right) \ \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \ A^ <+>= (A^ <\top>\cdot A)^ <-1>A^ <\top>= \left( \begin 2/3 & -1/3 & 1/3 \\ -1/3 & 2/3 & 1/3 \end \right) \ . $$ При этом $$ A^ <+>\cdot A = \left( \begin 1 & 0 \\ 0 & 1 \end \right),\quad A \cdot A^ <+>= \left( \begin 2/3 & -1/3 & 1/3 \\ -1/3 & 2/3 & 1/3 \\ 1/3 & 1/3 & 2/3 \end \right) \ , $$ т.е. матрица $ A^ <+>$ не будет правой обратной для матрицы $ A_<> $. ♦
Вычислить псевдообратную матрицу для $$ \mathbf\ \left( \begin 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \end \right) \quad ; \quad \mathbf\ \left( \begin x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end \right) \ . $$
Концепция псевдообратной матрицы естественным образом возникает из понятия псевдорешения системы линейных уравнений. Если $ A^ <+>$ существует, то псевдорешение (как правило, переопределенной и несовместной!) системы уравнений $ AX=\mathcal B_<> $ находится по формуле $ X= A^ <+>\mathcal B $ при любом столбце $ \mathcal B_<> $. Верно и обратное: если $ E_<[1]>, E_<[2]>,\dots, E_ <[m]>$ – столбцы единичной матрицы $ E_m $: $$ E_<[1]>=\left( \begin 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end \right),\ E_<[2]>=\left( \begin 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end \right),\dots, E_<[m]>=\left( \begin 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end \right),\ $$ а псевдорешение системы уравнений $ AX=E_ <[j]>$ обозначить $ X_ $ (оно существует и единственно при условии $ \operatorname (A) = n $), то $$ A^<+>=\left[X_1,X_2,\dots,X_m \right] \ . $$
Теорема. Пусть $ A \in \mathbb R^ $, $ m \ge n_<> $ и $ \operatorname (A) = n $. Тогда псевдообратная матрица $ A^ <+>$ является решением задачи минимизации
$$ \min_> ||AX-E_m||^2 $$ где $ || \cdot || $ означает евклидову норму (норму Фробениуса) матрицы : $$ ||[h_]_||^2=\sum_ h_^2 \ . $$ При сделанных предположениях решение задачи единственно.
С учетом этого результата понятно как распространить понятие псевдообратной матрицы на случай матрицы $ A \in \mathbb R^ $, у которой число строк меньше числа столбцов: $ m ☞ ЗДЕСЬ.
Источники
[1]. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.ГИФМЛ.1960, с.187-192
[2]. Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. М.Наука.1983, с.187-234
[3]. Gill P.E., Murray W., Wright M.H. Numerical Linear Algebra and Optimization. V.1. Addison-Wesley, NY, 1991
[4]. Таха Х. Введение в исследование операций. Т.1, глава 7. М.Мир. 1985
Источник
