Неявный способ задания функции

Кусочно-заданные функции

Иногда рассматриваемая функция может быть задана несколькими формулами, действующими на различных участках области ее определения, в которой изменяется аргумент функции. Например: $$ y = \begin x ^ 2,

Преимущества явного аналитического задания функции

Отметим, что явный аналитический способ задания функции достаточно компактен (формула, как правило, занимает немного места), легко воспроизводим (формулу нетрудно записать) и наиболее приспособлен к выполнению над функциями математических действий и преобразований.

Некоторые из этих действий — алгебраические (сложение, умножение и др.) — хорошо известны из школьного курса математики, другие (дифференцирование, интегрирование) будем изучать в дальнейшем. Однако этот способ не всегда нагляден, так как не всегда четок характер зависимости функции от аргумента, а для нахождения значений функции (если они необходимы) требуются иногда громоздкие вычисления.

Неявное задание функции

Функция %%y = f(x)%% задана неявным аналитическим способом, если дано соотношение $$F(x,y) = 0,

(1)$$ связывающее значения функции %%y%% и аргумента %%x%%. Если задавать значения аргумента, то для нахождения значения %%y%%, соответствующего конкретному значению %%x%%, необходимо решить уравнение %%(1)%% относительно %%y%% при этом конкретном значении %%x%%.

При заданном значении %%x%% уравнение %%(1)%% может не иметь решения или иметь более одного решения. В первом случае заданное значение %%x%% не принадлежит области определения неявно заданной функции, а во втором случае задает многозначную функцию, имеющую при данном значении аргумента более одного значения.

Отметим, что если уравнение %%(1)%% удается явно разрешить относительно %%y = f(x)%%, то получаем ту же функцию, но уже заданную явным аналитическим способом. Так, уравнение %%x + y^5 — 1 = 0%%

и равенство %%y = \sqrt[5]<1 - x>%% определяют одну и ту же функцию.

Параметрическое задание функции

Когда зависимость %%y%% от %%x%% не задана непосредственно, а вместо этого даны зависимости обоих переменных %%x%% и %%y%% от некоторой третьей вспомогательной переменной %%t%% в виде

$$ \begin x = \varphi(t),\\ y = \psi(t), \end

t \in T \subseteq \mathbb,

(2) $$то говорят о параметрическом способе задания функции;

тогда вспомогательную переменную %%t%% называют параметром.

Если из уравнений %%(2)%% удается исключить параметр %%t%%, то приходят к функции, заданной явной или неявной аналитической зависимостью %%y%% от %%x%%. Например, из соотношений $$ \begin x = 2 t + 5, \\ y = 4 t + 12, \end,

t \in \mathbb, $$ исключением параметра %%t%% получим зависимость %%y = 2 x + 2%%, которая задает в плоскости %%xOy%% прямую.

Графический способ

Пример графического задания функции

Приведенные выше примеры показывают, что аналитическому способу задания функции соответствует ее графическое изображение, которое можно рассматривать как удобную и наглядную форму описания функции. Иногда используют графический способ задания функции, когда зависимость %%y%% от %%x%% задают линией на плоскости %%xOy%%. Однако при всей наглядности он проигрывает в точности, поскольку значения аргумента и соответствующие им значения функции можно получить из графика лишь приближенно. Возникающая при этом погрешность зависит от масштаба и точности измерения абсциссы и ординаты отдельных точек графика. В дальнейшем графику функции отведем роль только иллюстрации поведения функции и поэтому будем ограничиваться построением «эскизов» графиков, отражающих основные особенности функций.

Табличный способ

Отметим табличный способ задания функции, когда некоторые значения аргумента и соответствующие им значения функции в определенном порядке размещаются в таблице. Так построены известные таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и т.п. В виде таблицы обычно представляют зависимость между величинами, измеряемыми при экспериментальных исследованиях, наблюдениях, испытаниях.

Недостаток этого способа состоит в невозможности непосредственного определения значений функции для значений аргумента, не входящих в таблицу. Если есть уверенность, что непредставленные в таблице значения аргумента принадлежат области определения рассматриваемой функции, то соответствующие им значения функции могут быть вычислены приближенно при помощи интерполяции и экстраполяции.

Пример

Алгоритмический и словесный способы задания функций

Функцию можно задать алгоритмическим (или программным) способом, который широко используют при вычислениях на ЭВМ.

Наконец, можно отметить описательный (или словесный) способ задания функции, когда правило соответствия значений функции значениям аргумента выражено словами.

Например, функцию %%[x] = m

\forall , m \in \mathbb%%, называемую целой частью %%x%% (или «антье от %%x%%»), описывают обычно словами: «Наибольшее целое число, не превосходящее %%x%%».

Источник

Неявный способ задания функции

Элементы теории множеств. Основные понятия

Одним из основных понятий современной математики является понятие множества. Оно принадлежит к числу первичных, не определяемых через более простые понятия Дадим описательное понятие множества.

Множество – это совокупность (собрание, набор, семейство…) некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Объекты, которые образуют множество, называются элементами этого множества.

Примерами множеств являются: множество студентов вуза, множество предприятий некоторой отрасли, множество натуральных чисел и т.п.

Множества обозначаются прописными буквами латинского алфавита, а их элементы – строчными буквами.

Рассмотрим некоторые понятия и обозначения из теории множеств. Если есть элемент множества , то используется запись , а если не является элементом данного множества, то пишут х Ï X .

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом Æ .

Если множество B состоит из части элементов множества A или совпадает с ним, то множество B называется подмножеством множества A и обозначается B Ì A .

Если, например, A – множество всех студентов вуза, а В – множество студентов-первокурсников этого вуза, то В есть подмножество множества А, т.е. В Ì А .

Множества A и B называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов (А = В).

Объединением двух множеств А и В называют третье множество С, составленное из элементов множества А с добавлением элементов множества В, не входящих в A . Объединение обозначают так: А В (рис.1.1).

Пересечением , или общей частью двух множеств А и В (А В), называют множество D = А В, составленное из всех элементов, входящих и в А, и в В (рис.1.2).

Разностью множеств А и В называется множество Е, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству B , т.е. Е = А\В (рис.1.3).

Дополнением множества А Ì В называется множество А в , состоящее из всех элементов множества В, не принадлежащих А
(рис. 1.4.)

Введенные выше обозначения во многом облегчают математические записи. Также полезно знать некоторые обозначения из математической логики:

– любой, для любого; – существует, найдется. Знаки , , означают следующее: I Þ II – из утверждения I следует (вытекает) утверждение II ; I Ü II – из II следует I ; I Û II – утверждения I и II равносильны (эквивалентны).

Утверждение I: , – катеты прямоугольного треугольника с гипотенузой . Утверждение II : – теорема Пифагора. I Þ II – запись теоремы Пифагора.

Числовые множества. Множество действительных чисел

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми. Из школьного курса алгебры известны
множества:

N = <1; 2; 3; …; n ; …>– множество натуральных чисел;

Q = – множество рациональных чисел;

I – множество иррациональных чисел;

R – множество действительных (вещественных) чисел.

Всякое рациональное число выражается или конечной десятичной дробью, или бесконечной периодической дробью.

Иррациональные числа определяются как числа, выражающиеся бесконечными непериодическими десятичными дробями.

Множество R содержит рациональные и иррациональные числа.

Очевидно, что N Ì Z ₀ Ì Z Ì Q Ì R , I Ì R , .

Множество действительных (вещественных) чисел геометрически изображается точками числовой прямой. Напомним, что числовой прямой, или числовой осью, называется прямая с заданными на ней положительным направлением, единицей масштаба и началом отсчета (рис.1.5).

Модуль действительного числа. Окрестность точки

Модуль действительного числа х определяется так:

Отметим свойства абсолютных величин:

1. | x + y | £ | x | + | y |;

2. | x – y | ³ | x | – | y |;

4. .

Числовые промежутки. Множество X , элементы которого удовлетворяют: неравенству a £ x £ b , называется отрезком (сегментом) и обозначается [а, b ] , неравенству a x b – интервалом (а, b ) ; неравенствам a £ x b или a x £ b , называются полуинтервалами и обозначаются соответственно [а, b ) и
(а, b ] .

Окрестность точки определим как всякий интервал, содержащий эту точку. Чаще в анализе употребляется понятие e – окрестности точки.

Пусть число e > 0; e – окрестностью точки а называют интервал
( а – e , а + e ).

Очевидно, что эта окрестность имеет длину 2 e и определяется неравенствами а – e e (рис.1.6).

Функции. Основные понятия

При рассмотрении количественных отношений явлений реального мира приходится иметь дело с численными значениями различных величин, например времени, скорости, пути, объема производства и т.д. В зависимости от рассматриваемых условий одни из величин имеют постоянные числовые значения, у других эти значения переменные. Такие величины называются соответственно постоянными и переменными.

Если величина сохраняет постоянное значение лишь в условиях данного явления (процесса), то в этом случае она называется параметром.

Приведем пример. При равномерном движении скорость v постоянна, время t и путь S переменные, причем .

Изучение окружающих нас явлений показывает, что переменные величины не всегда изменяются не независимо друг от друга, а изменение численных значений одних из них влечет за собой изменение значений других. В дальнейшем будут рассматриваться лишь пары переменных, значения одной (зависимой) из которых изменяются в зависимости от значений другой (независимой). В приведенном выше примере t – независимая переменная, S – зависимая переменная, а v – постоянная
(параметр).

Подчеркнем, что в данном примере каждому значению независимой переменной соответствует только одно значение зависимой переменной.

Перейдем к понятию функции.

Если дано некоторое множество Х и указан некоторый закон (правило), обозначаемый буквой f , по которому каждому значению величины х из множества Х ставится в соответствие одно вполне определенное значение величины y множества Y , то говорят, что на множестве Х задана функция вида .

При этом х называется независимой переменной (или аргументом), у – зависимой переменной.

Замечание: Не следует думать, что для записи функции, ее аргумента и значения употребляются лишь буквы f , x , и y .

Множество Х называют областью определения (или существования) функции и обозначают , а множество Y обозначают и называют областью значений функции.

Мы будем изучать действительные функции действительной переменной: т.е. множество Х состоит из таких действительных чисел, которым соответствуют действительные значения функции.

Если множество Х специально не оговорено, то под областью определения функции подразумевается область допустимых значений независимой переменной х , то есть множество таких значений х , при которых функция вообще имеет смысл (отсутствует деление на нуль, отрицательное число под знаком радикала и т.д.).

В качестве примера найдем область определения функций:

1.

При любом действительном значении независимой переменной х функция у принимает действительные значения. Следовательно, областью определения заданной функции является множество (–∞; +∞), или х Î (–∞; +∞).

2.

При любом действительном значении х функция у принимает действительные значения, кроме тех значений х , при которых знаменатель дроби равен нулю, т.е., когда 3х – 1 = 0 . Найдем это значение:

Таким образом, заданная функция определена (то есть принимает действительные значения) при всех значениях х , кроме Отсюда следует, что областью определения заданной функции является следующее множество:

3.

Область определения заданной функции определяется неравенством . Отсюда находим, что функция у принимает действительные значения только при х Î (2; +∞), что и является ее областью определения.

4.

Область определения заданной функции определяется неравенством , так как известно, что логарифмы отрицательных чисел не существуют.

Решением заданного неравенства является множество , что и является областью определения заданной функции.

Частное значение функции при записывают так: .

Например, пусть .

Найдем ее частные значения при х = 0 ; х = 1 :

,

.

Способы задания функций

Наиболее распространенными являются следующие три способа задания функции: аналитический, графический и табличный.

1. Аналитический способ : функция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений.

Например: 1) 2)

3)

2. Табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента х и соответствующие им значения функции f (х). Примерами табличного задания функции являются таблицы квадратов, кубов, квадратных корней и т.д.

3. Графический способ. Графики функций обычно связывают с прямоугольной декартовой системой координат на плоскости. Напомним, что эта система координат представляет собой совокупность двух взаимно перпендикулярных числовых осей с общим началом отсчета О и общей единицей масштаба.

Графический способ состоит в изображении графика функции – множества точек (х, у) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента х , а ординаты – соответствующие им значения функции .

Основные характеристики функции

1. Четность и нечетность. Функция называется четной, если для любых значений х из области определения выполняется равенство , и нечетной, если . В противном случае функция называется функцией общего вида.

Например, функция является четной, так как

, а функция – нечетной,
так как

.

В то же время, например, функция является функцией общего вида, так как и .

График четной функции симметричен относительно оси ординат (см., например, график функции нa рис.1.7), а график нечетной функции симметричен относительно начала координат (см., например, график функции на рис.1.8).

2. Монотонность. Функция называется возрастающей (убывающей) на множестве X , если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции, т.е. из неравенства следует неравенство

.

Функции возрастающие или убывающие называются монотонными функциями.

Так, например, функция (см. рис. 1.7) при х Î (– ¥ ; 0) убывает и при х Î ( 0; + ¥ ) возрастает (см. рис. 1.7).

В точке функция не является ни возрастающей, ни убывающей, так как в любой ее окрестности не выполняются условия возрастания или убывания.

3. Ограниченность. Функция называется ограниченной на промежутке X , если существует такое положительное число М , что для любого . В противном случае функция называется неограниченной.

Например, функция ограничена на всей числовой оси, ибо для любого .

4 . Периодичность. Функция называется периодической, если существует такое число , что для всех х и из области определения выполняется равенство . Наименьшее число Т их всех таких чисел t называется периодом функции .

Например, период функции равен , так как для любых х области определения этой функции выполняется равенство .

Число , для которого выполняется это равенство, является наименьшим. Возьмем фиксированную точку . Найдем значение в этой точке: . Это значение, равное 1, может повторить только через радиан. Следовательно, не может иметь периода, меньшего .

Элементарные функции. Классификация функций

Если функция задана аналитическим уравнением , связывающим переменные x , y , то есть разрешенным относительно у, то такое задание функции называется явным.

Примерами явного задания функции являются: ; .

Если функция задана уравнением вида , связывающим переменные x , и y , при этом не разрешенным относительно у, то такое задание функции называется неявным.

Примеры неявно заданных функций:

1) , 2) .

Всякую явно заданную функцию можно записать как неявно заданную уравнением . Обратное не всегда возможно. Например, неявно заданную функцию уравнением нельзя задать в явном виде, т.к. последнее уравнение не разрешимо относительно у .

Если у является функцией переменной u на множестве U – , а u является функцией переменной х – с областью определения Х и областью изменения U , то у называется сложной функцией, или функцией от функции (суперпозицией функций) переменной х . Символически сложная функция обозначается так .

Здесь х – независимая переменная, u – промежуточная переменная, у – сложная функция.

Например, функция является суперпозицией функции и функции на множестве .

Обратная функция. Пусть дана функция с областью определения Х и областью значений Y . Если каждому соответствует только одно значение , то на множестве Y определена функция , называемая обратной к функции Символически обратную функцию обозначают еще так: . Функции и называются взаимно обратными.

Отметим, что графики взаимно обратных функций и одинаковы. Однако если в обратной функции обозначения функции х и аргумента у изменить соответственно на у и х, то графики функций и будут симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. На рисунке 1.9 показаны графики взаимно обратных функций и с измененным обозначением.

Чтобы найти функцию , обратную к функции , достаточно решить уравнение относительно х , если это возможно.

Элементарные функции. Основными элементарными функциями называются следующие функции:

a) постоянная функция ;

b) степенная функция ;

c) показательная функция ;

d) логарифмическая функция где ;

e) тригонометрические функции ;

f) обратные тригонометрические функции

.

Всякая функция, которая получается из основных элементарных функций путем выполнения над ними конечного числа арифметических операций и операции составления из них сложной функции, называется элементарной функцией.

Примерами элементарных функций могут служить функции

.

Классификация функций. Элементарные функции делятся на алгебраические и неалгебраические (трансцендентные).

Алгебраической называется функция, в которой над аргументом проводится конечное число алгебраических действий. К числу алгебраических функций относятся:

– целая рациональная функция ;

– дробно-рациональная функция – отношение двух многочленов;

Всякая неалгебраическая функция называется трансцендентной. К таким функциям относятся функции: показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические.

Источник