Нестандартные способы решения тригонометрических уравнений
Для решения тригонометрических уравнений используется несколько основных формул, около 20 дополнительных, и всего 8 методов решения. Все эти методы по-своему хороши и применимы для разных видов тригонометрических уравнений. Главная задача при решении тригонометрического уравнения состоит в том, чтобы правильно преобразовать его, свести к какому-нибудь более стандартному варианту подобрать наилучших способ решения для конкретного случая. То есть, в большинстве своём, главная проблема заключается в том, что уравнения надо непременно сначала привести к какому-то виду, прежде чем применить нужный метод решения.
Итак. как я уже сказала, основным методов решения тригонометрических уравнений 8:
1)Разложение одной из частей уравнения на множители.
В данном случае мы все слагаемые переносим в левую часть, раскладываем её на множители и приравниваем каждый множитель к нулю.
Недостаток метода: может быть применён только к узкому кругу уравнений.
В данном случае уравнение приводят к такому виду, чтобы остался только один вид тригонометрической функции, а затем заменяют её на новую переменную. После решения уравнения относительно введённой переменной, остаётся только решить получившиеся простейшие тригонометрические уравнения согласно базовым формулам.
Преимущество метода: может быть применён к любому тригонометрическому уравнению (если только это целесообразно), так как все тригонометрические функции можно выразить друг через друга. Может также применяться совместно с другими методами.
Недостаток метода: Иногда, пытаясь свести всё уравнение к одному типу тригонометрической функции, мы получаем слишком сложное уравнение, так как не все функции связаны простыми зависимостями. К тому же метод нецелесообразен, когда в уравнении много разных тригонометрических функций.
3)метод решения однородных тригонометрических уравнений. В данном случае мы сначала приводим уравнения к однородному тригонометрическому уравнению. Затем делим обе части на cos x/cos2x/cos3x в зависимости от степени уравнения. Затем производим замену переменной и решаем методом замены переменной.
Преимущество метода: очень прост в применении. Одинаков для всех тригонометрических уравнений одной степени.
Недостаток метода: Далеко не все тригонометрические уравнения можно привести к виду однородных.
4) Решение уравнений вида a*cos x + b*sin x = c с помощью введения вспомогательного угла.
Недостаток метода: можно решить только уравнения определённого вида или сводимые к ним уравнения.
5) Метод подстановки.
В этом случае вместо часто повторяющейся разности или суммы двух функций подставляют переменную, решают уравнение относительно неё, а затем возвращаются к сумме или разности функций, которая была заменена.
Преимущество метода6 даёт большие результаты в комплексном использовании вместе с другими методами.
Недостаток метода: редко применим к сложным уравнениям.
6)Решение тригонометрических уравнении, содержащих обратные тригонометрические функции.
7)Метод универсальной подстановки.
Преимущество: применим для большинства уравнений. В сопряжении с другими методами едва ли не уникален.
Недостаток: после применения подстановки сужается область определения уравнения, поэтому все значения необходимо проверять.
8) ограниченность функций(графический способ). Каждая часть уравнения рассматривается как отдельная функция, причём первая из них – тригонометрическая, а вторая – алгебраическая, строятся графики этих функций, находятся их пересечения.
Преимущество метода: Наглядность, отсутствие сложных преобразований.
Недостатки: Невозможность построения некоторых графиков. Возможность неточностей в определении координат точек пересечения. Возможность ошибки в построении.
*9) Решение тригонометрических уравнений с параметрами.
также существуют общие правила решения тригонометрических уравнений. Во время решения необходимо решать задачи:
1) отсева посторонних корней,
2) потери корней,
3) пересечения решений.
Общие правила решения тригонометрических уравнений:I.
Решение тригонометрических уравнений сводится, как правило, к решению простейших уравнений: a) sin x = a.
Все решения можно описать формулой: x = (-1)k arcsin a + k, где k – число целое.
Все решения можно описать формулой: x = arccos a + 2k, где k – число целое.
Все решения можно описать формулой: x = arctg a + k, где k – число целое.
Все решения можно описать формулой: x = arcсtg a + k, где k – число целое.
Если a = 0, то для решения уравнений используются следующие частные формулы: sin x = 0, x = k, где k – число целое.
sin x = 1, x = +2k, где k – число целое.
sin x = -1, x = — + 2k, где k – число целое.
cos x = 0, x = +k, где k – число целое.
cos x = 1, x = 2k, где k – число целое.
cos x = -1, x = +k, где k – число целое.
tg x = 0, x = k, где k – число целое.
ctg x = 0, x = +k, где k – число целое.
1 метод: Разложение одной из частей уравнения на множители.
При данном методе решения всё переносится в левую часть уравнения так, чтобы в правой при этом оставался 0. Затем левая часть уравнения раскладывается на множители и далее уравнение решается согласно известному правилу: если произведение равно нулю, значит хотя бы один из множителей равен нулю. Так мы получаем из сложного уравнения совокупность простых уравнений вида cos t = a, sin t = a, tg t = a, ctg t = a, для решения которых используются вышеприведённые формулы
Примеры применения данного метода:
1) 4sin tcos t – 2cos t + 2sin t — 1 = 0
(2sin t – 1)(2cos t + 1) = 0
2sin t – 1 = 0 или 2cos t + 1 = 0 sin t = или cos t = —
Тогда: t = (-1)karcsin + k, k – число целое или t = arcos(-) a + 2k, где k – число целое.
Иначе: t = (-1)k + k, k – число целое или t = + 2k, где k – число целое.
2) 3tg2 t – 2tg t = 0 tg t (3tg t – 2) = 0 tg t = 0 или 3 tg t – 2 = 0 tg t = 0 или tg t =
Тогда: t = arctg 0 + k = k, где k – число целое или t = arctg + k, где k – число целое.
3) ctg t = ctg3 t ctg t – ctg3 t = 0 ctg t( – ctg2 t) = 0 ctg t( – ctg t)( + ctg t) = 0 ctg t = 0 или – ctg t = 0 или + ctg t = 0
Тогда: t = + k, k – число целое.
t = arcctg + k, где k– число целое t = ( – arcctg ) + k, где k – число целое.
4) 1 – sin xcos x = sin x – cos x
1 – sin xcos x – sin x + cos x = 0
(sin x -1) + cos x (sin x – 1) = 0
(cos x + 1)(sin x – 1) = 0 cos x + 1 = 0 или sin x – 1 = 0 cos x = -1 или sin x = 1 x1 = + k, где k– число целое.
x2 = + 2n, где n – число целое.
2 метод: Замена переменной.
При данном методе решения также все слагаемые переносятся в левую часть, в правой остаётся 0, а тригонометрическая функция в уравнении заменяется переменной. Далее уравнение решается как обычное квадратное уравнение относительно этой переменной. После нахождения значений необходимо заменить переменную соответствующей тригонометрической функцией и найти корни исходного уравнения по формулам.
Примеры применения данного метода:
1) 3cos2 x = 7(sin x +1)
3 – 3sin2 x – 7sin x – 7 = 0
3sin2 x + 7sin x + 4 = 0
Пусть sin x = a, тогда:
D = 49 – 4*12 = 1 a1 = = -1 a2 = = = , посторонний корень.
Т. к. a = sin x, то: sin x = -1 x = (-1)k+1 * arcsin1 + k, k – число целое.
x = (-1)k+1 * + k, k – число целое.
2) tg2 x + 2tg x – 3 = 0
Пусть tg x = a, тогда: a2 + 2a – 3 = 0
D = 4 + 12 = 16 = 42 a1 = = 1 a2 = = -3
Т. к a = tg x, то: tg x = -3 или tg x = 1 x = -arctg 3 + k или x = + k, где k – число целое.
2ctg2 x + 10 + 5ctg x – 7 = 0
2ctg2 x + 5 ctg x + 3 = 0
Пусть ctg x = a, тогда:
D = 25 – 423 = 1 a1 = = -1 a2 = = -1. 5
Т. к. a = ctg x, то: ctg x = -1 или ctg x = — 1. 5 x = – arcctg1 + k или x = – arcctg1. 5 + k, где k – число целое.
x = + k или x = – arcctg1. 5 + k, где k – число целое.
4)Перепишем уравнение в виде получили уравнение, однородное относительно и Рассмотрим два случая:
1)тогдаоткудачто невозможно, поскольку в этом случае корней нет.
2)тогда разделим обе части уравнения на Пусть Получим откуда Осталось решить уравнения и
3 метод: Применяется к однородным тригонометрическим уравнениям.
Определение однородных тригонометрических уравнений:
Уравнение вида asin x + bcos x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени.
Уравнение вида asin2 x + bsin xcos x+ ccos2 x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.
Уравнение вида asin3 x + bsin2 xcos x+ csin xcos2 x + dcos3 x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением третей степени.
А вообще тригонометрическое уравнение называют однородным, если после некоторой замены полученный многочлен от двух переменных составлен из одночленов одинаковой степени.
1)Итак, однородные тригонометрические уравнения первой степени решают так:
Сначала обе части уравнения делим почленно на cos x, получим: asin x + bcos x = 0
Выполнив преобразования, получим: atg x + b = 0 tg x =
Отсюда по формуле находим x.
2)Однородные тригонометрические уравнения второй степени решают так: asin2 x + bsin xcos x+ ccos2 x = 0 cos2 x
Выполнив преобразования, получим: atg2 x + btg x + c = 0
Далее решаем уравнение методом замены переменной. (см. пример 4) к этому методу).
3)Однородные тригонометрические уравнения третей степени решают так: asin3 x + bsin2 xcos x+ csin xcos2 x + dcos3 x = 0 cos3 x
Выполнив преобразования, получим: atg3 x + btg2 x + ctg + d = 0
Далее производим замену переменной и решаем получившееся кубическое уравнение относительно новой переменной. Затем возвращаемся к замене и вычисляем по формуле корни уравнения.
Примеры применения данного метода:
1) sin2 x + 2sin( – x) cos x – 3cos2 (2 – x) = 0
Выполнив преобразования, получим: sin2x + 2sin xcos x – 3cos2 x = 0 cos2 x
+ — = tg2x + 2tg x – 3 = 0
Получаем уравнение, уже решённое нами как пример 2 ко второму методу решения тригонометрических уравнений.
2) 3sin2 3x -2 3 sin3xcos3x + 5cos2 3x = 2
Данное уравнение не является однородным уравнением, поэтому сначала его необходимо привести к виду asin2 x + bsinxcos x+ ccos2 x = 0.
sin2t + cos2t = 1
Тогда 2sin2t + 2cos2t = 2. Заменим t на 3x. Получим равенство:
2sin23x + 2cos23x= 2
Подставим выражение из левой части в правую часть исходного уравнения. Получим:
3sin2 3x — 2sin3xcos3x + 5cos2 3x = 2sin23x + 2cos23x
3sin2 3x — 2sin3xcos3x + 5cos2 3x – 2sin23x – 2cos23x = 0 sin2 3x — 2sin3xcos3x + 3cos2 3x = 0 cos2 3x
— + = tg2 3x – 2tg3x + 3 = 0
Пусть z = tg3x, тогда: z2 – 2z + 3 = 0
(z-)2 = 0 z =, т. е. tg 3x =
Тогда по формуле 3x = arctg + k
3x = П/3 + k x = П/9 + Пk/3, где k – число целое
3) 2sin x – 3cos x = 0
2tg x – 3 = 0 tg x = 1. 5 x = arctg 1. 5 + k, где k – число целое.
4 метод: Решение уравнений вида a*cos x + b*sin x = c с помощью введения вспомогательного угла.
a*cos x + b*sin x = c
Разделим обе части уравнения на = 0.
Легко проверить, что
+ = 1 этому существует такой угол, что cos =, sin =
Если c2 a2 + b2, то найдётся такой угол n,что = cos. В этом случае получим уравнение coscos x + sinsin x = cos cos(x –) = cos, равносильное данному. Решая это уравнение, находим множество решений x = ++ , k – число целое. Если же условие c2 a2 + b2 не выполняется, то уравнение решений уравнение решений не имеет.
Примеры применения данного метода:
1) sin 2x + cos 2x + 1 = 0
+ = sin 2xcos + cos 2xsin = sin(2x + ) =
Откуда x = (-1)k+1 – + , где k – число целое.
2) 12cos x – 5sin x + 13 = 0
Разделив обе части уравнения на = 13, получим cos x – sin x = -1
Полагая cos= и sin=, записываем cos(x +) = -1, где = arccos = arcsin. Решая это уравнение, находим x + = +2k, где k – число целое x = -+ +2k, где k – число целое, откуда x = -arccos + (2k = 1), где k – число целое.
5 метод: Метод подстановки.
Иногда методом введения вспомогательного угла = решаются уравнения, содержащие одно из выражений sin x + cos x, sin x – cos x или sin xcos x. При этом вводят подстановку t = sin x + cos x или t = sin x – cos x и, учитывая, что sin 2x = 2sin xcos x = (sin x + cos x)2 – 1 = t2 – 1 или sin 2x = 1 — (sin x — cos x)2 = 1 – t2, приходят к уравнению относительно переменной t.
Примеры применения данного метода:
1) sin x + cos x = 1 – sin 2x
Обозначим t = sin x + cos x, тогда sin 2x = t2 – 1, поэтому t = 1 – (t2 – 1) t2 + t – 2 = 0,t1 = 1,t2 = -2, откуда: 1) sin x + cos x = 1, x1 = (-1)k – + k, где k – число целое
2) уравнение sin x + cos x = -2 решений не имеет, так как
Источник
Подборка заданий по теме «Методы решения нестандартных тригонометрических уравнений»
Методы решения нестандартных тригонометрических уравнений
Уравнения вида , , tg x = tg …………………. 6
Тригонометрические задачи со сложным аргументом………………………………………..7
Уравнения вида =0, где – многочлен………………….9
Применение тригонометрических подстановок в алгебраических уравнениях…………….9
Метод экстремальных значений…………………………………. 12
Решение уравнений домножением на некоторую тригонометрическую функцию……….13
Функциональные методы решения тригонометрических и комбинированных уравнений.. …………………………………………………………………………………………………..14
Решение тригонометрических уравнений с помощью скалярного произведения………..15
Главная сила математики состоит в том, что вместе
с решением одной конкретной задачи она создает
общие приемы и способы, применяемые во многих
ситуациях, которые даже не всегда можно предвидеть
Методы решения нестандартных тригонометрических уравнений
Помимо достаточно простых уравнений, решаемых с помощью стандартных методов, таких как разложение на множители, введение новой переменной, сведение к однородным уравнениям, использование вспомогательного аргумента, универсальная подстановка, существует большой класс задач, требующих специальных приемов и методов решения.
Если , то х= к arcsin +π k , kϵZ , откуда х= π k + к у. если k =2 n ,
то х-у=2π n , если k =2 n +1, то х+у=π, где nϵZ ;
если cos х= cos у , то х=± arccos + 2π k , kϵZ ,х=±у+ π k , kϵZ и х±у= 2π k , kϵ ;
если tg x = tg y , то х= arctg + π k , kϵZ , х=у+ π k , kϵZ и х-у=2π k , kϵZ .
Эти условия можно использовать для решения уравнений вида , , tg nx = tg mx .
В последних двух уравнениях достаточно одну из функций по формулам приведения заменить на родственную функцию .
1. Решить уравнение
Для первого уравнения имеем, что 4х ± 3х=2π k , nϵZ х=2π d , dϵZ и x =, mϵZ .
Второе уравнение приводим к равенствам:
4х+π-3=2π n , nϵZ , x =-π+2π n , nϵZ и 4х-π+3=2π l , lϵZ , x =+2, lϵZ .
Ответ: , -π+2π n , ,ϵ Z .
2. Решить уравнение tg с tg 6=1.
Запишем уравнение в виде tg = tg 6.
Исходя из условия равенства тангенсов, получим
=6+ π n , nϵZ
так как + 2 -≥ -, то уравнение имеет решение только при тех значениях n , для которых левая часть больше либо равна -, а именно, при n =-1,0,1,2. Решив уравнение при этих значениях n , найдем х=, nϵZ 0
Ответ:, nϵZ 0
II . Тригонометрические задачи со сложным аргументом.
Рассматриваются тригонометрические уравнения, в которых сложный аргумент — сложная функция от х. Эти задачи отсутствуют в школьных учебниках, они редко встречаются и в пособиях для поступающих в высшие учебные заведения, однако их можно встретить на вступительных экзаменах.
3. Решить уравнение tg = ctg .
Решение. Перепишем уравнение в виде tg = tg .
Пользуясь условием равенства тангенсов, получим = kπ + , откуда
=- kϵZ .
Решая уравнение, следует иметь в виду, что те корни, при которых значения тангенса представляются в виде или в виде , если они вообще существуют, не могут являться корнями первоначального уравнения, поскольку при = или теряют смысл левая и правая часть данного уравнения. Такие корни должны быть исключены. Уравнение на ОДЗ можно записать в виде x — tgx +1=0.
Решая это уравнение, найдем , при этом должно выполняться условие . т.е. ≥4. Следовательно, k ≠0,±1,-2. Кроме того должны быть исключены те k , при которых = или = . для того чтобы тангенс имел указанные значения необходимо, чтобы было квадратом целого числа, то есть чтобы =. Решая уравнение в целых числах (*), найдем k =2 и k = -3. В первом случае = = , причем следует исключить только углы, соответствующие =, а =2 приводит к решению х= arc nϵZ . во втором случае =. здесь исключаем =, а =-2 дает решение х=- arc nϵZ .
Ответ: х=± arc х= arc , k = 3,±4,±5. nϵZ .
(*) Решим уравнение в целых числах.
(2 k +1- n )(2 k +1+ n )=16, число 16 можно представить в виде произведения целых чисел следующим образом: 1·16, 2·8, 8·2, 16·1, -1·(-16), -2·(-8), -8·(-2), -16·(-1). Тогда уравнение равносильно совокупности систем, решив которые получим значения k :
4. Решить уравнение =0.
Решение. Исходное уравнение равносильно уравнению = π n , откуда =. Поскольку ≤1, то ≤1, но так как nϵZ , то n = ±2, n = ±1, n =0.
Решаем три уравнения: =1, х=π l , lϵZ ;
=, х= ±+ π k , kϵZ ;
=0, х=+ π n , nϵZ .
ответ :, mϵZ , ±+π k , kϵZ .
III . Уравнения с ограничениями.
Решение некоторых тригонометрических уравнений требует проверки условий, которым должны удовлетворять найденные корни. Это может быть условие, когда требуется найти корни, принадлежащие какому-нибудь промежутку или удовлетворяющие другому уравнению или неравенству. Во многих случаях нахождение этих корней требует решения неравенств в целых числах. подобные задания предлагаются на вступительных и выпускных экзаменах, в том числе и на ЕГЭ.
5. Решить уравнение =0.
Решение. Данное уравнение равносильно системе, которое в свою очередь равносильно системе . Корни уравнения системы задаются формулой х=+ π l , lϵZ .
Остается решить неравенство в целых числах -π+ π l π, , откуда l =-1 и l =0 и значит х = и х =.
Ответ: ;.
6. Решить уравнение +.
Область определения уравнения задается неравенством ≥1, но по определению -11х и, значит, озможные корни уравнения находятся среди корней х=2π n , nϵZ . Выполняем непосредственную подстановку х=2π n , nϵZ в исходное уравнение, получим , откуда 1, n = ±1. Итак, искомые корни данного уравнения х= ± 2π.
Ответ: ±2π.
IV . Уравнения вида =0, где – многочлен.
Уравнения вида =0, где — многочлен, решаются с помощью замен неизвестных
sinx + cosx = u =˃ sinxcosx = sinx – cosx = v =˃ sinxcosx =.
7. Решить уравнение
По условию задачи х ≠ϵ Z . Приведем уравнение к виду
= —= 0 =0. (*)
Уравнение (*) на ОДЗ равносильно совокупности уравнений
=0 -1=0.
Первое уравнение совокупности имеет решение х=+π k , k ϵ Z , а второе преобразуем к виду -=0
2 =0.
Откуда = -1 или =1. Оба уравнения решений не имеют.
Ответ : х= k ϵ Z .
V . Применение тригонометрических подстановок в алгебраических уравнениях.
Многогранность и универсальность тригонометрии позволяет использовать ее для решения уравнений никак не связанных с тригонометрией. Особенно трудно представить, что вместо переменной можно подставить тригонометрическую функцию, поскольку при этом кажется, алгебраическое уравнение усложняется. Однако известные свойства тригонометрических функций упрощают решение уравнений, с использованием следующих замен.
Если из условия уравнения следует, что ≤1, то удобно применить подстановки х=
или х= Каждая из перечисленных функций на указанных промежутках монотонна и каждое из своих значений принимает только один раз. Иногда бывают полезны подстановки х = tg ,
8. Решить уравнение 1 + = (1)
Решение. 1 способ. Это уравнение можно решить обычным способом. Запишем уравнение в виде х + =.
Возведем обе части (1) в квадрат:
Пусть =, где у > 0, тогда уравнение (2) примет вид + 2у — =.
D /4 = 1 + = > 0, у 1,2 = — 1 ± , откуда у 1 = , у 2 = — (не удовлетворяет условию у > 0). Учитывая замену, получим = , или = , 144 – 625 + 625 = 0. D = 175 2 > 0, , х = , , х = , поскольку оба корня удовлетворяют исходному уравнению.
2 способ. Запишем уравнение в виде х + = .
Так как > 0, то│х│ > 1. Кроме того, очевидно, что уравнение, записанное в виде
х(1 + ) = , дает х > 0, тогда х > 1.
Произведем подстановку х = , где > 0, .
Уравнение легко приводится к системе которая дает
или . Очевидно, что Ответ , .
Замечание. Покажем, что не произошло потери корней.
(1)
Это уравнение для рассматриваемых t равносильно уравнению
Обозначим уравнение перепишем в виде
Первое уравнение совокупности не имеет решений из промежутка так как для любого из этого промежутка Следовательно, все решения (1), удовлетворяющие условию содержатся среди решений второго уравнения совокупности.
Обозначим это уравнение для рассматриваемых t можно записать в виде
Уравнение имеет два корня: и Поэтому уравнение (1) на промежутке имеет два корня: и а это значит, что исходное уравнение имеет два корня: и
9. Решить уравнение =-+.
Решение . Левая и правая части уравнения являются четными функциями, поэтому можно положить =, где 0 ≤≤. Имеем :
Далее можно поступить как в примере 1, но мы представим другой вариант.
Выполним преобразования в левой части уравнения: =1.
Так как ≤1, то последнее равенство выполнимо, когда
или . Первая система имеет решение на отрезке . Вторая система решений не имеет. Итак, = и х= ±.
10. Решить уравнение
Решение . Так как ≤1, то положим х= где 0≤≤ тогда = или )=0, х+=+=+(*). Функция f (= является возрастающей, поскольку f ’(=1-≥0. Следовательно, уравнение (*) может иметь не более одного корня. Легко видеть, что и х=
Особенно этот метод удобен для решения нестандартных алгебраических уравнений, обычные способы решения которых, приводят к достаточно сложным выкладкам и преобразованиям.
VI . Метод экстремальных значений.
При решении некоторых тригонометрических уравнений часто используется свойство ограниченности функций sinx и cosx , то есть следующие неравенства: │ sinx │≤ 1, │ cosx │≤1, │ sinx ± cosx │≤
11. Решить уравнение sin 4 x + cos 7 x =1 ( 1)
Решение. Проведем равносильные преобразования:
sin 4 x + cos 7 x =1 sin 4 x + cos 7 x = sin 2 x + cos 2 x
sin 2 + cos 2 x =0 (2).
Так как sin 2 x ≥ 0, a sin 2 x -1 ≤ 0, то sin 2 x ≤ 0.
Так как cos 2 x ≥ 0, a cos 5 x -1≤ 0, то cos 2 x ≤ 0.
Сумма двух неположительных слагаемых в равна нулю тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю, значит, уравнение равносильно системе
(3)
Решением первой совокупности системы являются числа
x =π k /2, kϵZ , а решением второй x = π/2 +π n ; nϵZ ; x =2π n , n ϵ Z
Ответ: x = π/2 +π n ; nϵZ ; x =2π n , n ϵ Z .
12. Решить уравнение sin 1994 x + cos 1994 x =1
Решение. Используя прием, изложенный выше, сведем уравнение к равносильной системе
находя решение каждой совокупности системы, нетрудно установить, что общими будут числа x =π n /2, nϵZ .
Ответ: x =π n /2, nϵZ .
13. Решить уравнение cosπx cosπx -4=1.
Решение . Уравнение равносильно совокупности двух систем
Решением первого уравнения системы с учетом, что π x ≥0, является множество чисел x =4 k 2 , nϵZ 0 , а второго — x =4+4 n 2 , nϵZ 0 .
Решая уравнение 4k 2 =4+4 n 2 в целых неотрицательных числах, находим k=1, n=0. Следовательно, решением системы является х=4.
Решением первого уравнения системы является множество чисел х=(1+2 k ) 2 , kϵZ 0 , а второго – x = 4+(1+2 n ) 2 , nϵZ 0 . Уравнение (1+2 k ) 2 =4+(1+2 n ) 2 в целых неотрицательных числах решений не имеет, значит и система решений не имеет.
Ответ: х=4
14. Решить уравнение Решение. Легко заметить, что и ≤. Следовательно, ≤ 1, тогда ≤ 1, ≥ 1, откуда
и х=- возможные решения данного уравнения. Непосредственная подстановка х = в данное уравнение показывает, что эти числа действительно являются его корнями.
VII . Решение уравнений домножением на некоторую тригонометрическую функцию.
Рассмотрим суммы вида
S 1 =+++…+ и S 2 =+++…+.
Данные суммы можно преобразовать в произведения, домножив и разделив их на , тогда получим
S 1 = , S 2 = . Указанный прием может быть использован при решении некоторых тригонометрических уравнений, однако следует иметь в виду, что в результате возможно появление посторонних корней.
15. Решить уравнение .
Решение .
Видно, что корни уравнения =0 не являются корнями уравнения. Домножив левую и правую части уравнения на и последовательно четыре раза воспользовавшись формулой синуса двойного угла, получим = 2=0,
откуда х=, k +, mZ . Из полученных множеств решений нужно исключить х=, Z . Сравнивая выражения и , найдем, что они совпадают при k =15 l и l Z , следовательно, из первого множества решений исключаем числа, соответствующие k =15 l l Z . Поступая аналогично, определяем, что из второго множества нужно исключить числа, соответствующие m =17 l +8, lZ .
VIII . Функциональные методы решения тригонометрических
и комбинированных уравнений.
Не всякое уравнение f = g в результате преобразований может быть сведено к уравнению того или иного стандартного вида, для которого существует определенный метод решения. В таких случаях оказывается полезным использовать такие свойства функций f и g как монотонность, ограниченность, четность, периодичность и др. так, если одна из функций убывает, а вторая возрастает на промежутке Х, то при наличии у уравнения f = g корня на этом промежутке, этот корень единственный, и тогда его, например, можно найти подбором. Если, далее, функция f на промежутке Х ограничена сверху, причем = А, а функция g (х) ограничена снизу, причем , то уравнение f = g равносильно системе уравнений
16. Решить уравнение х 2 +(1+х)=.
Решение. Преобразуем уравнение к виду 2х 2 +х +2- 3=0
и решим его как квадратное относительно х, получим х = -+ и х = -1.
Решим первое уравнение. Учитывая ограниченность функции , приходим к выводу, что уравнение может иметь корень только на отрезке [1/2;5/2]. На этом промежутке функция у = х возрастает, а функция у= — + убывает. Следовательно, если уравнение имеет корень, то этот корень единственный. Подбором находим х=1.
Ответ : ±1
17. Решить уравнение +2х-х 2 )= tg 2 + с tg 2 .
Решение. Так как 3+2х-х 2 =4 — (1-х) 2 ≤ 4, +2х- х 2 ) ≤ 2, а tg 2 + с tg 2 ≥2 (сумма двух положительных взаимно обратных чисел больше либо равна 2), то первоначальное уравнение равносильно системе
.Решением первого уравнения системы является число х=1, оно также удовлетворяет второму уравнению.
Ответ: х=1.
18. Решить уравнение = .
Положим у= тогда 0≤ у ≤, а при этих значениях у функция убывает и каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента. Итак, необходимо решить систему , откуда у=, но тогда и х=±.
IX . Решение тригонометрических уравнений с помощью скалярного произведения.
Известно, что скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними .=.
так как ≤1, то ≤. Если вектора заданы в координатной форме, т.е. и , то +≤.
19. Решить уравнение +=.
Решение. Введем векторы и , тогда .=+ ≤ =.
Итак, +≤. Очевидно, что исходное уравнение можно записать в виде .=, но это равенство выполняется, когда угол между векторами равен 0 градусов, значит, векторы сонапрвлены, т.е. коллинеарны, а у коллинеарных векторов соответствующие координаты пропорциональны, т.е. =, причем имеют одинаковые знаки:
, + π n , nϵZ , x =+ n , nϵZ . Из первоначального уравнения следует, что и ˃ 0 ясно, что x = +2π n , nϵZ .
Ответ:+2π n , nϵZ .
Векторный способ позволяет решать колоссальное множество различных задач: системы уравнений, тригонометрические уравнения и неравенства, их доказательство; поиск наибольшего и наименьшего значений функции.
Основная трудность применения векторного способа, на мой взгляд, заключается в подборе координат векторов.
[1] 800 лучших олимпиадных задач по математике для подготовки к ЕГЭ : 9-11 классы / Э.Н. Балаян. – Ростов н/Д: Феникс, 2013. – 317, [2] с. – (Большая перемена)
[2] Тригонометрические уравнения: Учебное пособие / А.И. Азаров, О.М. Гладун, В,С. Федосенко/. – ООО «Тривиум», 1995. – 160 с. (Математика абитуриенту и школьнику).
[3] Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – 2-е изд., стер. – М. : Мнемозина, 2008. – 287 с.
[4] Тригонометрические уравнения и неравенства и методика их решения /П.Ф. Севрюков,, А.Н. Смоляков/ : Учебное пособие. – М.: Народное образование, Илекса; Ставпрополь: Ставропольсервисшкола, 2004. – 128 с.
[5] Задачи порвышенной трудности по алгебре и началам анализа: Учеб. Пособие для 10-11 кл. сред. шк. / Б.М. Ивлев, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын. С.И. Шварцбурд. – М.: Просвещение, 1990. – 48 с.
[6] Факультативный курс по математике: Решение задач / И.Ф. Шарыгин. – Учеб. пособие для 10 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1989. – 252 с.: ил.
[7] Факультативный курс по математике: Решение задач / И.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев. – Учеб. пособие для 11 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1991. – 384 с.
[8] Геометрические решения негеометрических задач: кн. для учителя / Г.З. Генкин. – М.- Просвещение, 2007. – 79 с. : ил. – (Библиотека учителя).
[9] Тысяча и один пример. Равенства и неравенства / А.М. Назаренко, Л.Д. Назаренко. – Пособие для абитуриентов. – МП «Монолог» г. Сумы, 1994. – 272 с.
Источник
