Проект на тему: «Необычные способы умножения натуральных чисел»
Проект на тему:
«Необычные способы умножения
натуральных чисел»
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| munitsipalnoe_byudzhetnoe_obrazovatelnoe_uchrezhdenie.doc | 340 КБ |
Предварительный просмотр:
Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
Наруксовская средняя общеобразовательная школа
«Необычные способы умножения
Работу выполнили: ученицы 5 класса
Руководитель: учитель математики
Познакомиться со старинными приемами умножения.
Расширить знания по различным приемам умножения.
Научиться выполнять действия с натуральными числами, используя старинные способы умножения .
Что такое умножение?
Это действие сложения.
Но не слишком-то приятное,
Потому что мно-го-крат-ное…
В современной жизни каждому человеку часто приходится выполнять огромное количество расчётов и вычислений. Ни один пример, ни одну задачу по математике, физике, химии нельзя решить, не обладая навыками элементарных способов вычисления. В разное время разные народы владели разными способами умножения натуральных чисел. Интересно, что наши способы умножения не является совершенными, можно придумать еще более быстрые и еще более надежные.
Давайте рассмотрим наиболее интересные и простые способы умножения.
Легко умножать нам помогают следующие свойства: умножение числа на ноль, на 1, на 10, 100,1000 , переместительное, сочетательное, распределительное свойства умножения.
1. Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр.
72 ( 11 = 7 ( 7 + 2 ) 2 = 792
35 ( 11 = 3 ( 3 + 5 ) 5 = 385
Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю ( третью) оставить без изменения.
94 ( 11 = 9 ( 9 + 4 ) 4 = 9 (13 ) 4 = (9 +1) 34 = 1034
73 ( 11 = 7 ( 7 + 3 ) 3 = 7 ( 10 ) 3 = ( 7 + 1) 03 = 803
2. Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, 44, , 99, надо последнее число представить в виде произведения однозначного числа ( от 2 до 9) на 11, т. е. 44 = 4 ( 11.
Затем произведение первых чисел умножить на 11.
48 ( 22 = 48 ( 2 ( 11 = 96 ( 11 = 9 ( 9 + 6 ) 6 = 9 ( 15) 6 = ( 9 + 1) 56 = 1056
23 ( 33 = 23 ( 3 ( 11 = 69 ( 11 = 6 ( 6 + 9 ) 9 = 6 ( 15 ) 9 = ( 6 + 1) 59 =759
16 ( 55 = 16 ( 5 ( 11 = 80 ( 11 = 8 ( 8 + 0 ) 0 = 880
3. Чтобы чётное двузначное число умножить на число, оканчивающееся на 5, следует применить правило: если один из сомножителей увеличить в несколько раз, а другое – уменьшить во столько же раз , произведение не изменится.
44 ( 5 = ( 44 : 2) ( 5 ( 2 = 22 ( 10 = 220
28 ( 15 = ( 28 : 2) ( 15 ( 2 = 14 ( 30 = 420
26 ( 35 = (26 : 2) ( 35 ( 2 = 13 ( 70 = 910
14 ( 85 = (14 : 2) ( 85 ( 2 = 7 ( 170 = 1190
4. Чтобы число умножить на 25 , надо это число разделить на 4 и умножить на 100.
( На 4 делятся те и только те числа, у которых две последние цифры числа выражают число, делящееся на 4).
124 ( 25 = 124 : 4 ( 100 = 3100
1716 ( 25 = 1716 : 4 ( 100 = 42900
5. Чтобы число разделить на 25 , надо это число разделить на 100 и умножить на 4.
12100 : 25 = 12100 : 100 ( 4 = 484
3100 : 25 = 3100 : 100 ( 4 = 124
6. Чтобы число умножить на 125 , надо это число разделить на 8 и умножить на 1000.
( На 8 делятся те и только те числа, у которых три последние цифры выражают число, делящаяся на 8).
32 ( 125 = 32 : 8 ( 1000 = 4000
3168 ( 125 = 3168 : 8 ( 1000 = 396 000
7. Чтобы число разделить на 125, надо это число разделить на 1000 и умножить на 8.
4000 : 125 = 4000 : 1000 ( 8 = 32
9000 : 125 = 9000 : 1000 ( 8 = 72
8 . Возведение в квадрат числа, оканчивающегося цифрой 5.
15 ( 15 = ( 1 ( 2) 25 = 225
25 ( 25 = ( 2 ( 3) 25 = 625
35 ( 35 = ( 3 ( 4) 25 = 1225
9. Правило. При умножении чисел, оканчивающихся на 1 , надо сначала перемножить цифры десятков и правее полученного произведения записать под этим числом сумму цифр десятков, а затем перемножить 1 на 1 и записать ещё правее. Сложив столбиком, получим ответ.
81 ( 31 = ? 81 ( 31 = 2511
21 ( 31 = ? 21 ( 31 = 651
91. ( 71 = ? 91 ( 71 = 6461
10. Умножение двухзначных чисел, близких к 100
Решение: чтобы получить необходимые последние цифры (единицы и десятки), необходимо: 100 – 94 = 6 100 – 78 = 22 и результаты перемножить 6 · 22 = 132 32 последние две цифры (1 запоминаем) Чтобы получить первые две цифры (тысячи и сотни), надо: 94 – 22 = 72 72+1 = 73 В результате имеем 94•78 = 7332
Пример: 67 • 93 100 – 67 = 33 100 – 93 = 7 33 • 7 = 231 (31 последние две цифры) 2 запоминаем 67 – 7 = 60 60 + 2 = 62 67 • 93 = 6231
11.Умножение на 9, 99, 999, 9999, 99999
786 • 9 = 786(10 — 1) = 786 • 10 – 786 = 7860 – 786 = 7074 (для умножения многозначного числа на 9 надо приписать к нему справа нуль и вычесть из результата множимое число).
При умножении на 99, приписывают два нуля, на 999, приписывают три нуля и т.д. 456 • 99 = 45600 – 456 = 45144 598 • 999 = 598000 – 598 = 597402
Умножение методом Ферроля.
Для умножения единиц произведения переумножения перемножают единицы множителей, для получения десятков, умножают десятки одного на единицы другого и наоборот и результаты складывают, для получения сотен перемножают десятки. Методом Ферроля легко перемножать устно двухзначные числа от 10 до 20.
б) 1х4+2х1=6, пишем 6
Умножение для числа 9 — 9·1, 9·2 … 9·10 — легче выветривается из памяти и труднее пересчитывается вручную методом сложения, однако именно для числа 9 умножение легко воспроизводится «на пальцах». Растопырьте пальцы на обеих руках и поверните руки ладонями от себя. Мысленно присвойте пальцам последовательно числа от 1 до 10, начиная с мизинца левой руки и заканчивая мизинцем правой руки (это изображено на рисунке).
Кто придумал умножение на пальцах
Допустим, хотим умножить 9 на 6. Загибаем палец с номером, равным числу, на которое мы будем умножать девятку. В нашем примере нужно загнуть палец с номером 6. Количество пальцев слева от загнутого пальца показывает нам количество десятков в ответе, количество пальцев справа — количество единиц. Слева у нас 5 пальцев не загнуто, справа — 4 пальца. Таким образом, 9·6=54. Ниже на рисунке детально показан весь принцип «вычисления»
Новый способ умножения.
Интересен новый способ умножения, о котором недавно появились сообщения. Изобретатель новой системы устного счёта кандидат философских наук Василий Оконешников утверждает, что человек способен запоминать огромный запас информации, главное – как эту информацию расположить. По мнению самого учёного, наиболее выигрышной в этом отношении является девятеричная система – все данные просто располагают в девяти ячейках, расположенных, как кнопочки на калькуляторе.
Считать по такой таблице очень просто. К примеру, умножим число 15647 на 5. В части таблицы, соответствующей пятёрке, выбираем числа, соответствующие цифрам числа по порядку: единице, пятёрке, шестёрке, четвёрке и семёрке. Получаем: 05 25 30 20 35
Левую цифру (в нашем примере — ноль) оставляем без изменений, а следующие цифры складываем попарно: пятёрку с двойкой, пятёрку с тройкой, ноль с двойкой, ноль с тройкой. Последняя цифра также без изменений.
В итоге получаем: 078235. Число 78235 и есть результат умножения.
Если же при сложении двух цифр получается число, превосходящее девять, то его первая цифра прибавляется к предыдущей цифре результата, а вторая пишется на «своё» место.
Умножение графическим методом (линейным, китайским)
Перемножим два двузначных числа: 15*23
Шаг 1. первое число 15:
Рисуем первую цифру – одной линией.
Рисуем вторую цифру – пятью линиями.
Шаг 2. второе число 23:
Рисуем первую цифру – двумя линиями.
Рисуем вторую цифру – тремя линиями.
Шаг 3. Подсчитываем количество точек в группах.
Шаг 4. Результат – 345
Математики тоже бывают с богатой фантазией. Когда им скучно умножать и делить в столбик, как нас всех и учили в школе, они придумывают более необычные способы математических вычислений. Кому-то они могут показаться интересными и подходящими, кому-то – сложными и неприемлемыми.
Умножение в уме крупных чисел
Способ запоминания таблицы умножения на 9
Работая над этой темой, мы узнали, что существует порядка 30 различных, забавных и интересных способов умножения. Некоторыми в различных странах пользуются до сих пор. Мы выбрали для себя некоторые интересные способы. Но не все способы удобны в использовании, особенно при умножении многозначных чисел. В общем, таблицу умножения все-таки знать нужно!
Математики тоже бывают с богатой фантазией. Когда им скучно умножать и делить в столбик, как нас всех и учили в школе, они придумывают более необычные способы математических вычислений. Кому-то они могут показаться интересными и подходящими, кому-то – сложными и неприемлемыми.
Умножение в уме крупных чисел
Способ запоминания таблицы умножения на 9
Сложение и вычитание дробей с помощью метода «бабочка»
Список использованных источников
Глейзер, Г. И. История математики в школе – М.: Просвещение, 1964.
Перельман Я. И. Занимательная арифметика: Загадки и диковинки в мире чисел. – М.: Издательство Русанова, 1994.
Аксенова М.Д. Энциклопедия для детей. – М.: Аванта+, 2003
Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 классов─М.:Просвещение,1989. ─ 287 с.
Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К. «Старинные занимательные задачи». – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985.
Источник
Нетрадиционные способы умножения многозначных чисел
Краткая аннотация исследовательской работы
Каждый школьник умеет умножать многозначные числа «столбиком». В данной работе автор обращает внимание на существование альтернативных способов умножения, доступных младшим школьникам, которые могут «нудные» вычисления превратить в весёлую игру.
В работе рассматриваются шесть нетрадиционных способов умножения многозначных чисел, используемые в различные исторические эпохи: русский крестьянский, решетчатый, маленький замок, китайский, японский, по таблице В.Оконешникова.
Проект предназначен для развития познавательного интереса к изучаемому предмету, для углубления знаний в области математики.
Оглавление
Введение 3
Глава 1. Альтернативные способы умножения 4
1.1. Немного истории 4
1.2. Русский крестьянский способ умножения 4
1.3. Умножение способом «Маленький замок» 5
1.4. Умножение чисел методом «ревность» или «решётчатое умножение» 5
1.5. Китайский способ умножения 5
1.6. Японский способ умножения 6
1.7. Таблица Оконешникова 6
1.8.Умножение столбиком. 7
Глава 2. Практическая часть 7
2.1. Крестьянский способ 7
2.2. Маленький замок 7
2.3. Умножение чисел методом «ревность» или «решётчатое умножение» 7
2.4. Китайский способ 8
2.5. Японский способ 8
2.6. Таблица Оконешникова 8
2.7. Анкетирование 8
Заключение 9
Приложение 10
«Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случаев делать его немного занимательным».
Б. Паскаль
Введение
Человеку в повседневной жизни невозможно обойтись без вычислений. Поэтому на уроках математики нас в первую очередь учат выполнять действия над числами, то есть считать. Умножаем, делим, складываем и вычитаем мы привычными для всех способами, которые изучаются в школе. Возник вопрос: а есть ли еще какие-нибудь альтернативные способы вычислений? Мне захотелось изучить их более подробно. В поисках ответа на возникшие вопросы было проведено данное исследование.
Цель исследования: выявление нетрадиционных способов умножения для изучения возможности их применения.
В соответствии с поставленной целью нами были сформулированные следующие задачи:
— Найти как можно больше необычных способов умножения.
— Научиться их применять.
— Выбрать для себя самые интересные или более легкие, чем те, которые предлагаются в школе, и использовать их при счете.
— Проверить на практике умножения многозначных чисел.
— Провести анкетирование учащихся 4-х классов
Объект исследования: различные нестандартные алгоритмы умножения многозначных чисел
Предмет исследования: математическое действие «умножение»
Гипотеза: если существуют стандартные способы умножения многозначных чисел, возможно, есть и альтернативные способы.
Актуальность: распространение знаний об альтернативных способах умножения.
Практическая значимость. В ходе работы было решено множество примеров и создан альбом, в который включены примеры с различными алгоритмами умножениями многозначных чисел несколькими альтернативными способами. Это может заинтересовать одноклассников для расширения математического кругозора и послужит началом новых экспериментов.
Источник
Проект на тему: «Необычные способы умножения»
МБОУ «СОШ с. Вольное» Харабалинский район Астраханская область
« Необычные способы умножен ия »
ученики 5 класса :
Р уководитель проекта :
Вольное 201 6 год .
«Все есть число» Пифагор
В 21 веке невозможно представить себе жизнь человека, не производящего вычислений: это и продавцы, и бухгалтера, и обыкновенные школьники.
Изучение почти любого предмета в школе предполагает хорошие знания математики, и без нее нельзя освоить эти предметы. Две стихии господствуют в математике — числа и фигуры с их бесконечным многообразием свойств и действий с ними.
Нам захотелось больше узнать об истории возникновения математических действий. Сейчас, когда стремительно развивается вычислительная техника, многие не хотят утруждать себя счётом в уме. Поэтому мы решили показать не только то, что сам процесс выполнения действий может быть интересным, но и что, хорошо усвоив приёмы быстрого счёта, можно поспорить с ЭВМ.
Актуальность данной темы заключается в том, что использование нестандартных приёмов в формировании вычислительных навыков усиливает интерес учащихся к математике и содействует развитию математических способностей.
И зучить некоторые нестандартные приёмы умножения и показать, что их применение делает процесс вычисления рациональным и интересным и для вычисления которыми, достаточно устного счета или применения карандаша, ручки и бумаги.
Е сли наши предки умели умножать старинными способами, то если изучив по данной проблеме литературу, сможет ли современный школьник этому научиться, или нужны какие-то сверхъестественные способности.
1. Найти необычные способы умножения.
2. Научиться их применять.
3. Выбрать для себя самые интересные или более легкие, чем те которые предлагаются в школе, и использовать их при счете.
4. Научить одноклассников применять новы е способ ы умножения.
Объект исследования : математическое действие умножение
Предмет исследования : способы умножения
— поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, интернета;
— исследовательский метод при определении способов умножения;
— практический метод при решении примеров;
— — анкетирование респондентов о знании нестандартных способов умножения.
Встречаются люди с необыкновенными способностями, которые по быстроте устных вычислений могут состязаться с ЭВМ. Их называют «чудо — счётчиками». И таких людей немало.
Рассказывают, что отец Гаусса, рассчитываясь со своими рабочими в конце недели, прибавлял оплату к каждому дневному заработку за сверхурочные часы. Однажды после того как Гаусс-отец закончил расчёты, следивший за операциями отца ребёнок, которому было 3 года, воскликнул: «Папа, подсчёт не верен! Вот такая должна быть сумма!» Вычисления повторили и с удивлением убедились, что мальчик указал правильную сумму.
В России в начале XX века блистал своими умениями «волшебник вычислений» Роман Семенович Левитан, известный под псевдонимом Арраго. Уникальные способности стали проявляться у мальчика уже в раннем возрасте. За несколько секунд он возводил в квадрат и куб десятизначные числа, извлекал корни разной степени. Казалось, всё это он делал с необычайной легкостью. Но эта легкость была обманчива и требовала большой работы мозга.
В 2007 году Марк Вишня, которому тогда было 2,5 года, поразил всю страну своими интеллектуальными способностями. Юный участник шоу «Минута славы» без труда считал в уме многозначные числа, опережая при вычислениях родителей и жюри, которые пользовались калькуляторами. Уже в два года он освоил таблицу косинусов и синусов, а также некоторые логарифмы.
В институте кибернетики Украинской академии наук проводились соревнования ЭВМ и человека. В соревновании участвовал молодой счётчик-феномен Игорь Шелушков и ЗВМ «Мир». Машина за несколько секунд сделала множество сложных операций, но победителем оказался Игорь Шелушков.
В Сиднейском университете в Индии тоже проходили соревнования человека и машины. Шакунтала Деви тоже опередила ЭВМ.
Большинство таких людей обладает прекрасной памятью и имеют дарование. Но некоторые из них никакими особыми способностями к математике не обладают. Они знают секрет! А секрет этот в том, что они усвоили приёмы быстрого счёта, запомнили несколько специальных формул. Значит, и мы тоже можем, пользуясь этими приёмами, быстро и точно считать.
Те способы вычислений, которыми мы пользуемся сейчас, не всегда были так просты и удобны. В старину пользовались более громоздкими и медленными приемами. И если бы школьник 21 века мог перенестись на пять веков назад, он поразил бы наших предков быстротой и безошибочностью своих вычислений. Молва о нем облетела бы окрестные школы и монастыри, затмив славу искуснейших счетчиков той эпохи, и со всех сторон приезжали бы учиться у нового великого мастера.
Особенно трудны в старину были действия умножения и деления. Тогда не существовало одного выработанного практикой приема для каждого действия.
Напротив, в ходу была одновременно чуть не дюжина различных способов умножения и деления — приемы один другого запутаннее, запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый «магистр деления» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия.
В книге В. Беллюстина «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» изложено 27 способов умножения, причем автор замечает: «весьма возможно, что есть и еще способы, скрытые в тайниках книгохранилищ, разбросанные в многочисленных, главным образом, рукописных сборниках».
И все эти приемы умножения — «шахматный или органчиком», «загибанием», «крестиком», «решеткой», «задом наперед», «алмазом» и прочие соперничали друг с другом и усваивались с большим трудом.
Давайте рассмотрим наиболее интересные и простые способы умножения.
Источник
