Нестандартные способы решения тригонометрических уравнений проект 10 класс

Содержание

«Нестандартные способы решения тригонометрических уравнений графическим методом»
Скачать:
Предварительный просмотр:
Предварительный просмотр:
Построение графика функции y= sin x
Построение графика функции y= cos x
Преобразования графика функции y= sin x
Преобразования графика функции y= cos x
Подписи к слайдам:
Исследовательская работа по метематике для 10 класса на тему «Решение тригонометрических уравнений»

«Нестандартные способы решения тригонометрических уравнений графическим методом»

Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений. И именно графический метод был один из первых. Почему?

В древности тригонометрия возникла в связи с потребностями астрономии, землемерия и строительного дела, то есть носила чисто геометрический характер и представляла главным образом «исчисление хорд».

Древние наблюдали за движением небесных светил. Ученые обрабатывали данные измерений, чтобы вести календарь и правильно определять время начала сева и сбора урожая, даты религиозных праздников.

В 10 классе мы уже немало знаем о тригонометрических уравнениях, знакомы с разнообразными способами решения. Поэтому мы теперь можем применить наши знания и оптимизировать способы графического решения подобных задач с помощью информационных технологий, таких, например, как программа GeoGebra.

Скачать:

Вложение	Размер
osnovnye_tseli_raboty.docx	16.6 КБ
rabochiy_list.docx	60.85 КБ
nestandartnye_sposoby_resheniya_trigonometricheskih_uravneniy_graficheskim_metodom.pptx	2.94 МБ

Предварительный просмотр:

Тема: «Нестандартные способы решения тригонометрических уравнений графическим методом».

Актуальность: высокая практическая значимость работы для использования в учебном процессе и при подготовке к ЕГЭ

Основные цели работы:

освоить способы создания динамических чертежей с помощью программы GeoGebra;
изучить возможности использования программы GeoGebra в учебном процессе при подготовке к ЕГЭ и при подготовке докладов для научно-практических конференций;
отработать технологию решения тригонометрических уравнений графическим способом с помощью динамической программы GeoGebra;

Объект исследования: Тригонометрические уравнения

Предмет исследования: изменение тригонометрической функции при различных значениях аргумента и других дополнительных параметров

Предположение исследования: программа GeoGebra позволяет визуально проследить изменение поведения функции при различных значениях аргумента и других дополнительных параметров.

Использовать современные информационные технологии в ходе решения математических задач.
Отработать алгоритм решения простейших тригонометрических уравнений графическим способом;
Выработать прочные навыки решения простейших тригонометрических уравнений графическим способом;
Рационально подходить к выбору прикладных программ для решения поставленных задач.
Развивать логическое мышление, память, математическую речь.

Методы: эмпирический (практическая работа в программе); аналитический (анализ полученных результатов)

1. Знакомство с синтаксисом программы GeoGebra.

2. Освоение опций и функций программы.

3. Практическая работа: построение графиков. Сравнение графического и аналитического методов.

4. Анализ и описание полученных результатов.

Предполагается, что в результате работы будут:

1. Изучены (в первом приближении) основные возможности программы GeoGebra по созданию динамических чертежей.

2. Собрана (с использованием возможностей Интернета) библиотека файлов, содержащих графические иллюстрации к задачам типа С5 с параметрами.

3 Сформулированы основные принципы использования программы GeoGebra для иллюстрации решений тригонометрических уравнений графическим способом:

динамическое изменение параметра позволяет демонстрировать взаимодействие графиков в режиме реального времени;
функция «паузы» позволяет зафиксировать положение графиков при критических значениях параметра, которые потом необходимо вычислить аналитически;
введение дополнительного параметра в условие задачи, отличного от заданного, позволяет продемонстрировать принципиальные изменения в исходной конфигурации, которые приводят к появлению новых критических значений параметра.

Предварительный просмотр:

Рабочая карта учащегося

Тема: «Нестандартные способы решения тригонометрических уравнений графическим методом».

Решите самостоятельно уравнение графическим методом в интерактивной среде Geogebra;

Откройте Geogebra(Пуск – Все программы – Geogebra)
Настойте координатную плоскость(по оси аргумента – единичный отрезок π/2);
Введите через строку ввода соответствующие функции;

Для того, чтобы решить данное уравнение, нам также необходимо построить два графика функций и .

Для этого не потребуется строить таблицы, но понадобится подготовить координатную плоскость. Правой клавишей мыши щелкните по координатной плоскости. В появившемся диалоговом окне поставьте флажок «шаг» и выберите значение π/2. Закройте диалоговое окно. Внесем функции через строку ввода. Для построения первой функции вводим следующее: . Для построения второй функции вводим .

Построение графика функции y= sin x

Построение графика функции y= cos x

Преобразования графика функции y= sin x

Руководство: используя ползунки, выясните, как влияет на график функции

y= sin x
1) амплитуда А;
2) частота w;
3) начальная фаза φ_0;
4) свободный член b?

Преобразования графика функции y= cos x

Руководство: используя ползунки, выясните, как влияет на график функции y= cos x
1) амплитуда A;
2) частота w;
3) начальная фаза φ_0;
4) свободный член b?

Решите следующие уравнения графическим методом и аналитическим путем.

Упростите левую часть уравнения;
Окройте интерактивную среду Geogebra;
Выполните построение;

Графический метод решения в Geogebra

Аналитический метод решения

Не требуется знать формулы

Требуется знать формулы

Необходимо уметь набирать функции

Нет необходимости учиться набирать функции

Операция «Спасение».

«Пираты решили захватить главнокомандующий боевой крейсер, не подозревая о существовании эскадрильи из трех боевых кораблей. Вы находитесь на одном из них. Ваша задача: выяснить, в каких точках вашего маршрута вы пересечетесь с пиратским кораблем и сможете его обезвредить. Ваш маршрут движения задан графиком . Маршрут движения пиратов задан графиком функции g(x)=1 ».

Задание. Создать динамическую модель для иллюстрации поведения функции y=a cos(bx+c) в зависимости от параметров а, b и с. Рисуем график квадратичной функции в зависимости от ее коэффициентов. Изменение любого из трех коэффициентов изменяет поведение параболы. Модель можно посмотреть, перейдя по ссылке http://ggbtu.be/m221351 К онечный результат представлен на рисунке.

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Тема: «Нестандартные способы решения тригонометрических уравнений графическим методом» Выполнила: Быстрова Карина Ученица 10 класса

Актуальность: высокая практическая значимость работы для использования в учебном процессе и при подготовке к ЕГЭ Основные цели работы: освоить способы создания динамических чертежей с помощью программы GeoGebra; изучить возможности использования программы GeoGebra в учебном процессе при подготовке к ЕГЭ и при подготовке докладов для научно-практических конференций; отработать технологию решения тригонометрических уравнений графическим способом с помощью динамической программы GeoGebra;

Задачи Использовать современные информационные технологии в ходе решения математических задач. Отработать алгоритм решения простейших тригонометрических уравнений графическим способом; Выработать прочные навыки решения простейших тригонометрических уравнений графическим способом; Рационально подходить к выбору прикладных программ для решения поставленных задач. Развивать логическое мышление, память, математическую речь.

Введение Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений. И именно графический метод был один из первых. Почему? В древности тригонометрия возникла в связи с потребностями астрономии, землемерия и строительного дела, то есть носила чисто геометрический характер и представляла главным образом «исчисление хорд». Древние наблюдали за движением небесных светил. Ученые обрабатывали данные измерений, чтобы вести календарь и правильно определять время начала сева и сбора урожая, даты религиозных праздников.

Ее возможности: Построение кривых: Построение графиков функций Построение сечений Окружности Параболы Гиперболы и др. Вычисления: Сложение, умножение Вычисления с комплексными числами Вычисление определителя А также работа с таблицами, создание анимации и многое другое.

При исследовании программы и работе с ресурсами интернета на официальном сайте GeoGebra я нашла простейшее построение графиков функции y= sinx и y= cosx , благодаря различным возможностям программы и анимации, мы можем увидеть как меняются графики при некотором изменении параметров , что очень облегчает работу при решении тригонометрических функций. Благодаря работам других людей я также с легкостью научилась преобразовывать графики функций, что значительно облегчило мне дальнейшее исследование программы. Построение графика функции y= sin x Построение графика функции y= cos x Преобразования графика функции y= sin x Преобразования графика функции y= cos x

Отработка практических навыков. Задание №1 Необходимо решить уравнения: 1. 2. cos x = -1 Решение: Для того, чтобы решить данное уравнение, нам также необходимо построить два графика функций и Для этого не потребуется строить таблицы, но понадобится подготовить координатную плоскость (по оси аргумента – единичный отрезок π /2). Для построения первой функции мы вводим в строку ввода следующее: На экране появляется первый график:

Далее для построения второй функции вводим: и при помощи функций программы отмечаем точки пересечения двух построенных графиков. Конечный результат: Практические\1. ggb

2. Аналогично решаем и второе уравнение. В строку ввода вводим необходимые данные y = sin x и y =1/2, определяем точки пересечения графиков, это и будет являться решением данного уравнения. Конечный результат представлен на рисунке: Практические\2. ggb

Задание №2. Операция «Спасение» Решим это задание графическим методом, опираясь на полученные знания.

Как и в предыдущем задании нам необходимо построить два графика: и y =1 . Отметив точки пересечения графиков мы найдём место пересечения нашего корабля и корабля пиратов. Это и будет являться решением. В нашем случае это точки А (со значением – π ), В(3 π ) и С ( π ) Практические\корабль синих. ggb

Миноносец «Боевой» Аналогичным способом решаем и эту задачу. В строку ввода вводим заданные формулы в соответствии с синтаксисом программы и ищем точки пересечения.

Практические\корабль красных. ggb Построив графики, мы сразу видим решение задачи. Точки А , В , С и D – точки пересечения кораблей.

Миноносец «Внушительный» Также в строку ввода вводим необходимые функции и ищем точки пересечения кораблей.

Точки пересечения кораблей – А и В . Практические\корабль желтых. ggb

Задание № 3. Создание динамической модели. Задание. Создать динамическую модель для иллюстрации поведения функции y = a cos ( bx + c ) в зависимости от параметров а , b и с . Для выполнения этого типа задания нам потребуются ползунки, которые отвечают за динамическое изменение параметров функции при различных значениях в режиме реального времени. Для начала рисуем график квадратичной функции (вводим формулу в строку ввода в соответствии с синтаксисом программы), затем создаем ползунки для параметров a , b и c .

При изменении любого из этих коэффициентов изменяется и поведение параболы. Это в свою очередь позволяет нам наглядно представить изменение графика, а функция «паузы» позволяет зафиксировать поведения графика при критических значениях параметра. Конечный результат представлен на рисунке, а саму модель можно посмотреть, перейдя по ссылке. Практические\динамическая модель. ggb

Основные выводы работа с программой GeoGebra в динамическом режиме активизирует сильных учеников, делает их подготовку более целенаправленной и индивидуальной; работа с программой GeoGebra очень удобна для демонстрации трудностей, возникающих при использовании графического метода решения задач с параметрами; работа с программой GeoGebra требует минимального уровня информационно-компьютерной грамотности учителя и учащихся и разумных временных затрат для получения желаемого результата.

Источник

Исследовательская работа по метематике для 10 класса на тему «Решение тригонометрических уравнений»

Выбранный для просмотра документ Тригонометрические уравнения.docx

Российская Федерация

Ямало-Ненецкий автономный округ

муниципальное образование пуровский район

МУНИЦИПАЛЬНОЕ КАЗЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ШКОЛА-ИНТЕРНАТ СРЕДНЕГО (ПОЛНОГО) ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ»

с. САМБУРГ ПУРОВСКОГО РАЙОНА

Худи Татьяна, ученица 10б класса

Вовк Ирина Анатольевна,

2. Методы решения тригонометрических уравнений………………………..4

2.1. Иррациональные тригонометрические уравнения…………………4

2.2. Решение уравнений понижением степени………………………….6

2.3. Использование ограниченности функции…………………………..8

При изучении тригонометрических уравнений в общеобразовательной школе не хватает времени на рассмотрение уравнений, решаемых нетрадиционными способами. Поэтому мне стало интересно рассмотреть решения таких уравнений, тем более такие уравнения я встречала на олимпиадных заданиях и эти знания мне пригодятся в дальнейшем.

С точки зрения стандартных школьных методов решения тригонометрических уравнений, рассмотрю новые методы, не изучаемые в школьном курсе. Задача называется стандартной , если при ее решении применяется известный алгоритм или ее можно решить по образцу.

Задача называется нестандартной , если при ее решении трудно сказать на какой теоретический материал она опирается, если неизвестно каким способом она решается. В ходе решения таких задач необходимо сначала провести поиск плана решения задачи, определить теоретический материал, который дает ключ к решению задачи. Решать такие задачи интересно и увлекательно. С помощью нестандартных задач можно самостоятельно установить какой-либо математический факт, более глубоко вникнуть в теоретический материал. Решение задач творческого характера помогают развивать математическое мышление, ведь математика — это наука для молодых, она — гимнастика ума.

Многим школьникам изучать математику нелегко. Это напряженная, сложная работа. Для ее выполнения нужны физические и умственные усилия, усилия воли, памяти и воображения. А еще нужно вдохновение! У выдающихся математиков есть немало высказываний о красоте математики.

Александров А.Д.: «В науке и технике, в формулах и тонких экспериментах, в теоретических построениях и машинах есть своя внутренняя красота и поэзия».

Жуковский Н.Е.: « В математике тоже есть своя красота, как в живописи и поэзии».

Поль Дирак: «Общие законы природы, когда они выражены в математической форме, обладают математической красотой в очень высокой степени».

Заинтересовавшись темой решения тригонометрических уравнений, я самостоятельно стала пробовать решать уравнения из сборников по математике повышенной сложности, сборников олимпиадных задач и поняла, что моих знаний не хватает для решения многих типов тригонометрических уравнений. Постараюсь как можно лучше раскрыть нестандартные методы решения тригонометрических уравнений путем приведения решений таких уравнений.

Тема исследования: « Решение тригонометрических уравнений оригинальными способами ».

Объект исследования: учебный процесс при изучении темы «Тригонометрические уравнения» в средней школе.

Предмет исследования : организация деятельности учащихся по овладению методами решения тригонометрических уравнений.

Гипотеза: если научиться решать тригонометрические уравнения различными способами, то результаты обучения будут лучше и расходы времени на решение будут минимальными.

Цель исследования: овладеть методами решения тригонометрических уравнений, не рассматриваемых в школьном курсе математики.

Изучить учебную, научно-популярную литературу.

Выявить, изучить, описать методы решения тригонометрических уравнений .

Создать методический и дидактический материалы.

Применяемые методы исследования:

эмпирические: изучение литературы; обработка материалов и результатов;

теоретические: сравнение; классификация; анализ; обобщение.

Новизна исследования состоит в том, что показана возможность эффективного решения отдельных тригонометрических уравнений. Данная проблема в пределах Самбурга исследовалась впервые.

изучение учебной, научно-популярной литературы;

сбор и решение нестандартных тригонометрических уравнений;

анализ и обобщение результатов исследования, составление рекомендаций, методических и дидактических материалов.

База исследования: муниципальное казенное общеобразовательное учреждение «Школа-интернат среднего (полного) общего образования» с.Самбург, 10б класс (2011-2012 учебный год).

Структура работы: работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложения.

Методы решений тригонометрических уравнений

Лучше всего организовать работу, посвященную решению нестандартных тригонометрических уравнений, основываясь на решении разнообразных уравнений.

Иррациональные тригонометрические уравнения

При решении иррациональных тригонометрических уравнений обычно применяется метод равносильных преобразований. Следует внимательно следить за соблюдением всех сформированных в ходе решения задачи условий, например за соблюдением условия при переходе от уравнения к уравнению . Вместе с тем решать неравенство не нужно. Надо лишь отобрать среди решений уравнения те значения , для которых .

Пример № 1. Решить уравнение .

Решение.

Сделаем в уравнении замену и отметим, что Получим Корни этого уравнения: и . Корень посторонний, так как . Следовательно, получаем уравнение . Общая формула его решений: Однако здесь общая формула неудобна, её следует разбить на две серии решений: и Так как должно выполняться неравенство , то уравнению удовлетворяет и не удовлетворяет .

Ответ:

Пример № 2. Решить уравнение

Т.к. то значение – 2 не подходит.

Это решение разобьем на две серии:

Условию удовлетворяет только

Ответ:

О Д З : (x + 18) cos x  0.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

, =0.

Решим данное уравнение (cos x  0,см. ОДЗ ).

cos 2 x ( x + 18) — ( x + 18) = 0,

(cos 2 x — 1) ( x + 18) = 0,

cos x = + 1, cos x = — 1 или x = — 18.

Произведем отбор корней в соответствии с О Д З.

1) х = -18, (18 + 18) cos 18  0, cos 18  0 (заметим, что угол, выраженный в радианах, принадлежит четвертой четверти, 18  5,7 ).

cos 18  0 — верно.

2) х = 2к, (2k + 18) cos2k  0,

т.к. cos 2 k = 1, то

3) х =  + 2 m , ( + 2 m + 18) cos ( + 2 m )  0,

т.к. cos ( + 2m ) = -1, то

Ответ: — 18, 2к, к = -2, -1, 0, 1 ,…;  + 2m, m = -4, -5, -6, -7,… .

2.2. Решение тригонометрических уравнений понижением степени

Тригонометрических уравнений очень много и все они решаются различными способами. Довольно часто анализ уравнения показывает, что трудность его решения бывает связана с высокими степенями, с которыми тригонометрические функции входят в уравнение. Отсюда формулируется дополнительная задача понизить степень уравнения. В том случае, если степени четные, то понижение может быть выполнено с помощью формул понижения степени:

Третью степень можно понизить, опираясь на формулы:

Пример № 1. Решить уравнение sin 2 x + cos 2 2 x + sin 2 3 x = 1,5.

sin 2 x + cos 2 2 x + sin 2 3 x = 1,5,

1 – cos2x + 1 + cos4x + 1 – cos6x = 3, (cos2x + cos6x) – cos4x = 0.

Воспользуемся формулой cosx + cosy = 2 cos cos

2cos4x cos(-2x) – cos 4x = 0, cos4x (2cos2x – 1) = 0,

cos4x = 0 или 2cos2x – 1 = 0

4 x = cos 2 x =

x = 2 x =

x =

Ответ:

Пример № 2. Решить уравнение sin 8 x – cos 8 x = 0,5 cos 2 2 x – 0,5 cos 2 x .

sin 8 x – cos 8 x = 0,5cos 2 2x – 0,5cos2x,

(sin 4 x – cos 4 x)(sin 4 x + cos 4 x) = 0,5cos2x(cos2x – 1),

(sin 2 x – cos 2 x)(sin 2 x + cos 2 x)((sin 2 x) 2 + 2sin 2 xcos 2 x + (cos 2 x) 2 — 2sin 2 xcos 2 x) = 0,5cos2x(cos2x – 1),

— cos2x ((sin 2 x + cos 2 x) 2 — 2sin 2 xcos 2 x) = 0,5 cos2x (- 2 sin 2 x),

— cos2x (1 – 0,5sin 2 2x) = — 0,5cos2x 2sin 2 x,

0,5cos2x sin 2 2x – cos2x + cos2x sin 2 x = 0; cos2x (0,5sin 2 2x – 1 + sin 2 x) = 0,

cos2x (0,5sin 2 2x – cos 2 x) = 0; cos2x (2 sin 2 x cos 2 x – cos 2 x) = 0,

cos2x cos 2 x (2sin 2 x – 1) = 0,

cos2x = 0 или cos 2 x = 0 или 2sin 2 x = 1

2x = х = sin 2 x = 0,5

x = sinx = — или sinx =

x = (-1) k+1 x= (-1) k

Ответ: (-1) k +1 (-1) k .

Пример № 3. Решить уравнение

По формулам понижения степени получаем

Еще раз применив формулу понижения степени, получим , отсюда

; ,

_Ответ:

2.3. Использование ограниченности функции

При решении уравнений свойство ограниченности снизу или сверху на некотором множестве часто играет определяющую роль. Например, если для всех х из некоторого множества М справедливы неравенства f (х)>А и g (х) f (х)= g (х) решений не имеет. Заметим, что роль числа А часто играет нуль, в этом случае говорят о сохранении знака функции f (х) и g (х) на множестве М.

Пример № 1. Решите уравнение sin (х 3 +2х 2 +1)=х 2 +2х+3.

Для любого действительного числа х имеем sin (х 3 +2х 2 +1)≤1, х 2 +2х+3=(х+1) 2 +2≥2. Поскольку для любого значения х левая часть уравнения не превосходит единицы, а правая часть всегда больше либо равна двум, то данное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Пример № 2. Решить уравнение х 3 – х – sin пх=0.

Очевидно, что х=0, х=1, х= — 1 являются решениями данного уравнения. Для нахождения других решений уравнения (1) в силу нечетности функции f (х)=х 3 – х – sin пх достаточно найти его решения в области х > 0, х ≠ 1, поскольку если х _о > 0 являются его решением, то и (- х _о ) также являются его решением.

Разобьем множество х>0, х≠1, на два промежутка: (0;1) и (1;+∞).

Перепишем данное уравнение в виде х 3 – х= sin пх. На промежутке (0;1) функция g (х)=х 3 – х принимает только отрицательные значения, поскольку х 3 h (х)= sin пх только положительные значения, значит на этом промежутке уравнение не имеет решений.

Пусть х принадлежит промежутку (1;+∞). Для каждого из таких значений х функция g (х)=х 3 – х принимает положительные значения, функция h (х)= sin пх принимает значения разных знаков, причем на промежутке (1;2] функция h (х) = sin пх неположительная, значит на промежутке (1;2] уравнение решений не имеет.

Если же х>2, то │ sin пх│≤ 1, х 3 – х = х(х 2 – 1) > 2*3=6, а это означает, что и на промежутке (2;+∞) уравнение (1) также не имеет решений. Итак, х=0, х=1 и х= — 1и только они являются решениями исходного уравнения.

Пример № 3. Решить уравнение х + 5 sin x = x + 5.

Данное уравнение равносильно совокупности систем

(x+5) sin x = x+5. — (x+5) sin x = x+5.

Решением первой системы является Решением второй системы являются

х = -5, а также корни уравнения корни уравнения sin x = -1

sin x = 1, удовлетворяющие удовлетворяющие условию

условию x  -5, т . е . х т . е .

x =  /2 + 2  k, k  Z. x = — /2 + 2m, mZ.

 /2 + 2  k  -5, полагая — /2 + 2m

5  5/3  , имеем -5  -5/3, имеем

к  -13/12, k  Z. m = -1 ,-2, -3,… .

Исследование показало, что школьникам нравится та работа, которая пронизана творческими элементами, учение наполняется радостью, когда приходится самостоятельно думать, искать, находить. Учащихся привлекает активная работа мысли, поиск правильного и красивого решения, участие в творческой работе, преодоление трудностей.

Проделав данную исследовательскую работу, я пришла к выводу, что данные методы во многих случаях очень удобны, так как позволяют избежать громоздких преобразований и исключают потерю корней.

Не хочу останавливаться на достигнутом и в будущем планирую изучение других методов решения тригонометрических уравнений.

Н.И.Зильберберг «Методы решения тригонометрических уравнений», Псков, 1994 год.

А.Н.Коломогоров «Алгебра и начала анализа», Москва, «Просвещение», 2008 год.

Вавилов В. В., Мельников И. И., Олехник С. Н.. «Задачи по математике. Уравнения и неравенства».

Боревский Л.Я. «тригонометрия». Курс математики для школьников и абитуриентов. – М.; ИНТЭК ЛТД, 1997 – 160 с.

Игудисман О. С. «Математика на устном экзамене».

Лурье М. В., Александров Б. И. «Задачи на составление уравнений».

Олехник С. Н., Потапов М. К., Пасиченко П. И. «Уравнения и неравенства».

Потапов М. К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю. В. «Математика. Методы решения задач».

Смолич Б. А., Ефимов Г. Н., Соловьёв А. Ф. «Уравнительные вычисления».

Источник