Нестандартные способы решения тригонометрических уравнений исследовательская работа

Содержание

«Нестандартные способы решения тригонометрических уравнений графическим методом»
Скачать:
Предварительный просмотр:
Предварительный просмотр:
Построение графика функции y= sin x
Построение графика функции y= cos x
Преобразования графика функции y= sin x
Преобразования графика функции y= cos x
Подписи к слайдам:
Исследовательская работа на тему» Тригонометрические уравнения в заданиях ЕГЭ»
Чётность
Непрерывность
Периодичность
Знаки тригонометрических функций по четвертям

«Нестандартные способы решения тригонометрических уравнений графическим методом»

Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений. И именно графический метод был один из первых. Почему?

В древности тригонометрия возникла в связи с потребностями астрономии, землемерия и строительного дела, то есть носила чисто геометрический характер и представляла главным образом «исчисление хорд».

Древние наблюдали за движением небесных светил. Ученые обрабатывали данные измерений, чтобы вести календарь и правильно определять время начала сева и сбора урожая, даты религиозных праздников.

В 10 классе мы уже немало знаем о тригонометрических уравнениях, знакомы с разнообразными способами решения. Поэтому мы теперь можем применить наши знания и оптимизировать способы графического решения подобных задач с помощью информационных технологий, таких, например, как программа GeoGebra.

Скачать:

Вложение	Размер
osnovnye_tseli_raboty.docx	16.6 КБ
rabochiy_list.docx	60.85 КБ
nestandartnye_sposoby_resheniya_trigonometricheskih_uravneniy_graficheskim_metodom.pptx	2.94 МБ

Предварительный просмотр:

Тема: «Нестандартные способы решения тригонометрических уравнений графическим методом».

Актуальность: высокая практическая значимость работы для использования в учебном процессе и при подготовке к ЕГЭ

Основные цели работы:

освоить способы создания динамических чертежей с помощью программы GeoGebra;
изучить возможности использования программы GeoGebra в учебном процессе при подготовке к ЕГЭ и при подготовке докладов для научно-практических конференций;
отработать технологию решения тригонометрических уравнений графическим способом с помощью динамической программы GeoGebra;

Объект исследования: Тригонометрические уравнения

Предмет исследования: изменение тригонометрической функции при различных значениях аргумента и других дополнительных параметров

Предположение исследования: программа GeoGebra позволяет визуально проследить изменение поведения функции при различных значениях аргумента и других дополнительных параметров.

Использовать современные информационные технологии в ходе решения математических задач.
Отработать алгоритм решения простейших тригонометрических уравнений графическим способом;
Выработать прочные навыки решения простейших тригонометрических уравнений графическим способом;
Рационально подходить к выбору прикладных программ для решения поставленных задач.
Развивать логическое мышление, память, математическую речь.

Методы: эмпирический (практическая работа в программе); аналитический (анализ полученных результатов)

1. Знакомство с синтаксисом программы GeoGebra.

2. Освоение опций и функций программы.

3. Практическая работа: построение графиков. Сравнение графического и аналитического методов.

4. Анализ и описание полученных результатов.

Предполагается, что в результате работы будут:

1. Изучены (в первом приближении) основные возможности программы GeoGebra по созданию динамических чертежей.

2. Собрана (с использованием возможностей Интернета) библиотека файлов, содержащих графические иллюстрации к задачам типа С5 с параметрами.

3 Сформулированы основные принципы использования программы GeoGebra для иллюстрации решений тригонометрических уравнений графическим способом:

динамическое изменение параметра позволяет демонстрировать взаимодействие графиков в режиме реального времени;
функция «паузы» позволяет зафиксировать положение графиков при критических значениях параметра, которые потом необходимо вычислить аналитически;
введение дополнительного параметра в условие задачи, отличного от заданного, позволяет продемонстрировать принципиальные изменения в исходной конфигурации, которые приводят к появлению новых критических значений параметра.

Предварительный просмотр:

Рабочая карта учащегося

Тема: «Нестандартные способы решения тригонометрических уравнений графическим методом».

Решите самостоятельно уравнение графическим методом в интерактивной среде Geogebra;

Откройте Geogebra(Пуск – Все программы – Geogebra)
Настойте координатную плоскость(по оси аргумента – единичный отрезок π/2);
Введите через строку ввода соответствующие функции;

Для того, чтобы решить данное уравнение, нам также необходимо построить два графика функций и .

Для этого не потребуется строить таблицы, но понадобится подготовить координатную плоскость. Правой клавишей мыши щелкните по координатной плоскости. В появившемся диалоговом окне поставьте флажок «шаг» и выберите значение π/2. Закройте диалоговое окно. Внесем функции через строку ввода. Для построения первой функции вводим следующее: . Для построения второй функции вводим .

Построение графика функции y= sin x

Построение графика функции y= cos x

Преобразования графика функции y= sin x

Руководство: используя ползунки, выясните, как влияет на график функции

y= sin x
1) амплитуда А;
2) частота w;
3) начальная фаза φ_0;
4) свободный член b?

Преобразования графика функции y= cos x

Руководство: используя ползунки, выясните, как влияет на график функции y= cos x
1) амплитуда A;
2) частота w;
3) начальная фаза φ_0;
4) свободный член b?

Решите следующие уравнения графическим методом и аналитическим путем.

Упростите левую часть уравнения;
Окройте интерактивную среду Geogebra;
Выполните построение;

Графический метод решения в Geogebra

Аналитический метод решения

Не требуется знать формулы

Требуется знать формулы

Необходимо уметь набирать функции

Нет необходимости учиться набирать функции

Операция «Спасение».

«Пираты решили захватить главнокомандующий боевой крейсер, не подозревая о существовании эскадрильи из трех боевых кораблей. Вы находитесь на одном из них. Ваша задача: выяснить, в каких точках вашего маршрута вы пересечетесь с пиратским кораблем и сможете его обезвредить. Ваш маршрут движения задан графиком . Маршрут движения пиратов задан графиком функции g(x)=1 ».

Задание. Создать динамическую модель для иллюстрации поведения функции y=a cos(bx+c) в зависимости от параметров а, b и с. Рисуем график квадратичной функции в зависимости от ее коэффициентов. Изменение любого из трех коэффициентов изменяет поведение параболы. Модель можно посмотреть, перейдя по ссылке http://ggbtu.be/m221351 К онечный результат представлен на рисунке.

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Тема: «Нестандартные способы решения тригонометрических уравнений графическим методом» Выполнила: Быстрова Карина Ученица 10 класса

Актуальность: высокая практическая значимость работы для использования в учебном процессе и при подготовке к ЕГЭ Основные цели работы: освоить способы создания динамических чертежей с помощью программы GeoGebra; изучить возможности использования программы GeoGebra в учебном процессе при подготовке к ЕГЭ и при подготовке докладов для научно-практических конференций; отработать технологию решения тригонометрических уравнений графическим способом с помощью динамической программы GeoGebra;

Задачи Использовать современные информационные технологии в ходе решения математических задач. Отработать алгоритм решения простейших тригонометрических уравнений графическим способом; Выработать прочные навыки решения простейших тригонометрических уравнений графическим способом; Рационально подходить к выбору прикладных программ для решения поставленных задач. Развивать логическое мышление, память, математическую речь.

Введение Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений. И именно графический метод был один из первых. Почему? В древности тригонометрия возникла в связи с потребностями астрономии, землемерия и строительного дела, то есть носила чисто геометрический характер и представляла главным образом «исчисление хорд». Древние наблюдали за движением небесных светил. Ученые обрабатывали данные измерений, чтобы вести календарь и правильно определять время начала сева и сбора урожая, даты религиозных праздников.

Ее возможности: Построение кривых: Построение графиков функций Построение сечений Окружности Параболы Гиперболы и др. Вычисления: Сложение, умножение Вычисления с комплексными числами Вычисление определителя А также работа с таблицами, создание анимации и многое другое.

При исследовании программы и работе с ресурсами интернета на официальном сайте GeoGebra я нашла простейшее построение графиков функции y= sinx и y= cosx , благодаря различным возможностям программы и анимации, мы можем увидеть как меняются графики при некотором изменении параметров , что очень облегчает работу при решении тригонометрических функций. Благодаря работам других людей я также с легкостью научилась преобразовывать графики функций, что значительно облегчило мне дальнейшее исследование программы. Построение графика функции y= sin x Построение графика функции y= cos x Преобразования графика функции y= sin x Преобразования графика функции y= cos x

Отработка практических навыков. Задание №1 Необходимо решить уравнения: 1. 2. cos x = -1 Решение: Для того, чтобы решить данное уравнение, нам также необходимо построить два графика функций и Для этого не потребуется строить таблицы, но понадобится подготовить координатную плоскость (по оси аргумента – единичный отрезок π /2). Для построения первой функции мы вводим в строку ввода следующее: На экране появляется первый график:

Далее для построения второй функции вводим: и при помощи функций программы отмечаем точки пересечения двух построенных графиков. Конечный результат: Практические\1. ggb

2. Аналогично решаем и второе уравнение. В строку ввода вводим необходимые данные y = sin x и y =1/2, определяем точки пересечения графиков, это и будет являться решением данного уравнения. Конечный результат представлен на рисунке: Практические\2. ggb

Задание №2. Операция «Спасение» Решим это задание графическим методом, опираясь на полученные знания.

Как и в предыдущем задании нам необходимо построить два графика: и y =1 . Отметив точки пересечения графиков мы найдём место пересечения нашего корабля и корабля пиратов. Это и будет являться решением. В нашем случае это точки А (со значением – π ), В(3 π ) и С ( π ) Практические\корабль синих. ggb

Миноносец «Боевой» Аналогичным способом решаем и эту задачу. В строку ввода вводим заданные формулы в соответствии с синтаксисом программы и ищем точки пересечения.

Практические\корабль красных. ggb Построив графики, мы сразу видим решение задачи. Точки А , В , С и D – точки пересечения кораблей.

Миноносец «Внушительный» Также в строку ввода вводим необходимые функции и ищем точки пересечения кораблей.

Точки пересечения кораблей – А и В . Практические\корабль желтых. ggb

Задание № 3. Создание динамической модели. Задание. Создать динамическую модель для иллюстрации поведения функции y = a cos ( bx + c ) в зависимости от параметров а , b и с . Для выполнения этого типа задания нам потребуются ползунки, которые отвечают за динамическое изменение параметров функции при различных значениях в режиме реального времени. Для начала рисуем график квадратичной функции (вводим формулу в строку ввода в соответствии с синтаксисом программы), затем создаем ползунки для параметров a , b и c .

При изменении любого из этих коэффициентов изменяется и поведение параболы. Это в свою очередь позволяет нам наглядно представить изменение графика, а функция «паузы» позволяет зафиксировать поведения графика при критических значениях параметра. Конечный результат представлен на рисунке, а саму модель можно посмотреть, перейдя по ссылке. Практические\динамическая модель. ggb

Основные выводы работа с программой GeoGebra в динамическом режиме активизирует сильных учеников, делает их подготовку более целенаправленной и индивидуальной; работа с программой GeoGebra очень удобна для демонстрации трудностей, возникающих при использовании графического метода решения задач с параметрами; работа с программой GeoGebra требует минимального уровня информационно-компьютерной грамотности учителя и учащихся и разумных временных затрат для получения желаемого результата.

Источник

Исследовательская работа на тему» Тригонометрические уравнения в заданиях ЕГЭ»

МБОУ « Мордовско-Паёвская СОШ» Инсарского района РМ

Выполнила: Пантилейкина Надежда,

ученица 11 класса

Руководитель: Кадышкина Н.В.,

Глава I. О тригонометрических уравнениях…………………………………..…5

1) Основные типы тригонометрических уравнениях и методы их решения:

1. Уравнения, сводящиеся к простейшим. …………………………………..5

2. Уравнения, сводящиеся к квадратным…………………………………….5

3. Однородные уравнения acosx + b sin x = 0………………………………. 6

4.Уравнения вида acosx + b sin x = c , с≠ 0…………………………………7

5. Уравнения, решаемые разложением на множители…………………. ….7

6. Нестандартные уравнения………………………………………………….8

Глава II. Основные понятия и формулы тригонометрии…………………….8-10

Глава II I . Уравнения предлагавшиеся на ЕГЭ прошлых лет…………. ……10-14

«Единственный путь, ведущий к знаниям — это деятельность. »

Бернард Шоу

Через несколько месяцев я заканчиваю школу.

Чтобы не было проблем с дальнейшим выбором жизненного пути, необходимо получить школьный аттестат, а для того чтобы получить школьный аттестат, необходимо сдать два обязательных экзамена в форме ЕГЭ — и один из них математика . Что уж там говорить, выпускные экзамены — ответственный период в жизни любого школьника, от которого зависит не только итоговая оценка в аттестате, но и его профессиональное будущее, доход и карьера.

Единый Государственный Экзамен – это важный тест перед переходом в новую жизнь и поступлением в университет или колледж. Особенно важно сдать его на хорошие баллы. ЕГЭ по математике — серьезное испытание и без хорошей базы ученик не сможет претендовать на приличный результат.

Как не допустить провала на экзамене и получить хорошие баллы? Для этого необходимо хорошо решить задания. Я не претендую на максимальный балл, тем не менее старательно готовлюсь. И заметила, что даже на первом задании части С, а, именно, на решении тригонометрических уравнениях и их системах допускаю ошибки. На первый взгляд, задача С1 – это относительно несложное уравнение или система уравнений, которое может содержать тригонометрические функции, одним из основных подходов к решению которых состоит в их последовательном упрощении с целью сведения к одному или нескольким простейшим. Так почему я ошибаюсь?

Актуальность темы определяется тем, что учащиеся должны разбираться в тех или иных способах решения тригонометрических уравнений.

Поэтому, перед собой я поставила следующую цель:

Систематизировать, расширить знания и умения, связанные с применением методов решения тригонометрических уравнений.

Объектом исследования является изучение тригонометрических уравнений в заданиях ЕГЭ.

Предмет исследования — является решение тригонометрических уравнений

Таким образом, основной целью написания данной курсовой работы является изучение тригонометрических уравнений и их систем, способы их решения.

В соответствии с целями, объектом и предметом исследования определены следующие задачи:

1). Изучить все задания, связанные с решением тригонометрических уравнений, предлагавшиеся на ЕГЭ работ предыдущих лет и при выполнении диагностических работ;

2) Изучить методы решения тригонометрических уравнений.

3). Выявить основные возможные ошибки при решении таких уравнений;

4). Выяснить причину допущения таких ошибок.

5)Рассмотреть рекомендации по решению тригонометрических уравнений;

6). Сделать выводы.

В своей работе я решу несколько тригонометрических уравнений, покажу возможные ошибки при их решении и постараюсь ответить на следующие вопросы:

1). Можно ли избежать ошибок при выполнении заданий типаС1

2) Если я буду тренироваться в решении уравнений такого типа, то я смогу

ли безошибочно выполнять такие задания?

Для этой цели я изучила все демонстрационные и тренировочные задания, проводимые с нами, материалы ЕГЭ предыдущих лет;

изучила справочные источники;

самостоятельно решала задания из Интернета;

консультировалась со своим учителем в случае затруднения;

училась анализировать и правильно оформлять результаты.

Глава I . О тригонометрических уравнениях.

1) Определение 1. Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрических функций.

Простейшие тригонометрические уравнения — это уравнения вида sin x = a ,

cos x=a, tg x=a, ctg x = a.

В таких уравнениях переменная находится под знаком тригонометрической функции, а — данное число.

2)Основные типы тригонометрических уравнений.

Уравнения, сводящиеся к простейшим.

Решение:

Ответ:

Уравнения, сводящиеся к квадратным.

1) Решить уравнение 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Ответ:

Однородные уравнения : asinx + bcosx = 0

a sin 2 x + b sinxcosx + c cos 2 x = 0.

Решить уравнение 2sinx – 3cosx = 0

Решение: Пусть cosx = 0, тогда 2sinx = 0 и sinx = 0 – противоречие с тем,

что sin 2 x + cos 2 x = 1. Значит cosx ≠ 0 и можно поделить уравнение на cosx.

Ответ:

Уравнения вида a sinx + b cosx = с, с ≠ 0.

Пример: Решить уравнение

Решение:

Ответ:

Уравнения, решаемые разложением на множители.

Припер: Решить уравнение sin2x – sinx = 0.

Решение: Используя формулу sin2x = 2sinxcosx, получим

2sinxcosx – sinx = 0,

sinx (2cosx – 1) = 0.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Ответ:

Решить уравнение cosx = х 2 + 1.

Глава II . Основные понятия и формулы тригонометрии.

Тригонометрические уравнения — обязательная тема любого экзамена по математике.

О х, сколько мучений доставляет ученикам изучение тригонометрии.

Определенные сложности возникают даже в том случае, если рядом учитель по математике и объясняет каждую мелочь. Это и понятно, одних только базовых формул существует более двадцати. А уж если считать их производные … Ученик путается в вычислениях и никак не может запомнить механизмы, при помощи которых эти формулы позволяют найти, например, .

Вы знаете формулы — вам легко решать. Не знаете — не поймете, даже если дадут формулу.
Формулу нужно не просто тупо знать, а знать куда ее можно применить, как раскрыть и в чем суть формулы, а для этого вам нужно решать примеры именно для тех задач, которые даются с трудом.

Мне поначалу казалось, тригонометрия — это скучный набор формул и графиков. Однако, знакомясь с новыми понятиями тригонометрии и методами решения тригонометрических уравнений, каждый раз убеждалась, насколько интересен и увлекателен мир тригонометрии.

Во- первых, для успешного решения тригонометрических уравнений нужно хорошо знать тригонометрические формулы, причем не только основные, но и дополнительные (преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму, формулы понижения степени и другие), так как использование на ЕГЭ шпаргалок и мобильных телефонов запрещается

Во- вторых , мы должны четко знать стандартные формулы корней простейших тригонометрических уравнений (полезно помнить или уметь получать с помощью тригонометрической окружности упрощенные формулы для корней уравнений)

Каждое из таких уравнений решается по формулам, которые следует знать. Вот эти формулы:

а) Функция y = sin x . Функция ограниченная: находится в пределах [-1; 1]. Это значит, что при решении уравнений типа sinx =2 или sinx =-5 в ответе получается: нет корней. Формулы для функции у= sinx

1) sinx =a, x= (-1) n arc sin a +n,nZ

2) sinx = — a, x= (-1) n+1 arc sin a +n,nZ

Также, нужно знать частные случаи: 1) sinx =- 1,

2) sinx =0,

3) sinx = a ,

Также нужно уметь решение в виде двух серий корней

2 . Функция y = cos x . Функция ограниченная: находится в пределах [-1; 1]. Это значит, что при решении уравнений типа cos x =2 или cos x =-5 в ответе получается: нет корней. Формулы для функции у= cos x :

1. cosx =a, X=± arccos a+2n,nZ

2. cos x=-a, X=±(  — arccos a)+2n,nZ

Частные случаи: 1. cosx =-1, X =  +2 n , nZ

2. cosx =0,

3. cosx =1, X= 2n,nZ

3. Функция y = tg x .

Тут всего одна формула, без частных случаев: tg x = ± a .

х = ± arctg a+n,nZ

В-третьих, надо знать значения тригонометрических функций;

В- четвёртых, Если в уравнении тригонометрическая функция находится под знаком радикала, то такое тригонометрическое уравнение будет иррациональным. В таких уравнениях следует соблюдать все правила, которыми пользуются при решении обычных иррациональных уравнений (учитывается область допустимых значений как самого уравнения, так и при освобождении от корня четной степени).

V . Уравнения, предлагавшиеся на ЕГЭ прошлых лет.

«Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и впоследствии подтвердить это, — что, следуя этому методу, мы достигнем цели».

1. Уравнения, сводящиеся к квадратному.

С1. Решить уравнение:

Решение: Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, перепишем уравнение в виде

Заменой cos = t уравнение сводится к квадратному:2 t 2 + 9 t -5 =0, которое имеет корни t ₁ = ½ и t ₂ = -5. Возвращаясь к переменной х, получим ,

Второе уравнение корней не имеет так как | cosx |≥1, а из первого x =±+6 k , kZ

Ответ: =±+6 k , kZ

Вывод: вводя новую переменную, нужно учитывать, что значения sin x и cos x ограничены отрезком , а иначе появятся посторонние корни.

2. Уравнения, решаемые разложением на множители

Задание С1 ( 2011 г.)

а) Решить уравнение

б) Указать корни уравнения, принадлежащие отрезку

Решение: а) решаем разложением левой части на множители:

группируем и выносим общий множитель за скобки, получим

Уравнение 1) решений не имеет.

Второе уравнение однородное, решается делением почленно на cosx ≠0, получим , откуда

б)

Ответ: а) б)

1.При решении уравнения такого вида, во – первых, нужно знать, что | sin х|≤1 и | cosx |≤1, и уравнение sinx =-2 решений не имеет;

2.Во – вторых, обосновать деление на cosx ≠о ( так как , если cosx =0,то sin х=0 , а это невозможно;

в- третьих, обоснованно произвести отбор корней, принадлежащие данному промежутку

3.Уравнение на применение формул приведения

С1 ( 2010 г.) Дано уравнение

а) решить уравнение;

б) Указать корни, принадлежащие отрезку

Решение: Используя формулы приведения, получим :

sin 2 x – cos x =0,

2 sinx cosx- cosx =0,

с osx (2 sinx -1 )=0, откуда cosx= 0 или sinx =½,

б) Найдем значения к, при которых корни будут принадлежать

указанному промежутку. Для того, чтобы выбрать корни. принадлежащие заданному промежутку, решение представим в виде :

б) Найдем значения к, при которых корни будут принадлежать указанному промежутку .

Решая это неравенство, целого

значения к не получим.

Ответ: а)

б)

При решении уравнения такого вида, необходимо знать формулы приведенного уравнения и правильно её применить; уметь представлять решениена две серии корней; правильно выбрать корни, принадлежащие заданному отрезку.

4. Системы тригонометрических уравнений

С1 (2010). Решить систему уравнений

Решение: О.Д.З

Дробь равна нулю, если числитель равен 0, а знаменатель не равен 0.

Из уравнения 2 sin 2 x – 3 sinx +1 =0, решая методом введения новой переменной, находим

или sin x =1.

1)Пусть , тогда и у = cos x = ›0 ( используя основное тригонометрическое тождество)

либо и — нет решения.

2) Пусть sinx = 1, тогда у = cos x = 0 – нет решения.

Ответ: и у =

Вывод: 1) нужно учитывать ограниченность тригонометрических

2) Записывать и учитывать О.Д.З.

5. С1 ( ЕГЭ 2011 г.) Решить уравнение:

О.Д.З. – cos x ≥ 0, sin х ≤ 0.

4sin 2 x + 12 sinx + 5 = 0 или cos x =0

sinx = t

4 t 2 + 12 t + 5=0, откуда t ₁=-½ , t ₂ = —

sinx = -½ sinx =- — не имеет решения

х =

с учётом О.Д.З. х =

Ответ: х =

Вывод: Ответ записать с учётом О.Д.З.

В проделанной мною работе были изучены решения тригонометрических уравнений, рассмотрены рекомендации по решению тригонометрических уравнений, методы решения тригонометрических уравнений и рассмотрены ошибки, которые возможны при их решении.

Я пришла к следующим выводам:

1. Задания типа С1 проверяют умение решать тригонометрические уравнения. Эти задания являются, действительно, несложными, что придаёт лишнюю самоуверенность и усыпляют внимательность. Единственной сложностью этих заданий является то, что, решив уравнение или систему уравнений, отбросить посторонние корни.

2. Задача С1 – это самая простая задача группы С. При ее решении не должны возникать громоздкие преобразования и сложные вычисления. Если же они появились – немедленно нужно остановиться, проверить решение и попробовать понять, что же здесь не так.

3. В конечном итоге, главное требование — решение должно быть математически грамотным, из него должен быть понятен ход рассуждений. Нужно постараться записать свое решение кратко и понятно, но главное – правильно!

4. И самое главное — чтобы научиться без ошибок решать уравнения , надо их решать! Ведь, как говорил Пойа, « Если хотите научиться плавать, то смело ныряйте в воду, а если хотите научиться решать задачи, надо их решать!»

Приложение 1 ( основные формулы тригонометрии)

1) основное тригонометрическое тождество sin 2 α + cos 2 α= 1,

Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем