Нестандартные способы решения показательных уравнений

Применение нестандартных способов при решении показательных и логарифмических уравнений и неравенств

Разделы: Математика

Цель урока:

1. систематизировать знания о некоторых нестандартных способах решения, умение применять свойства функций, правила при решении уравнений и неравенств;
2. развивать умение видеть, умение распознавать рациональность применения того или иного способа;
3. прививать интерес к математике, воспитывать математическую грамотность ученика, как при устной, так и при письменной работе.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран.

План урока:

1. Орг. момент.
2. Устная работа.
3. Работа в группах
4. Защита решений.
5. Сам. работа.
6. Задание на дом
7. Итог урока.

Ход урока

I. Организационный момент.

• знакомство с целью урока; задачами, стоящими перед учениками в ходе уроке.
• использование при решении задач:
  – монотонности функций;
  – «правила знаков»;
  – метода оценки;
  – освобождение от логарифма.

II. Устная работа.

1. Какие из выражений имеют смысл?

а)	а) да;
б)	б) нет, т.к.
в)	в) нет, т.к. а
г)	г) да;
д)	д) нет, т.к.

2. Решить уравнение:

(Корень уравнения угадываем: х = 1. Докажем, что других корней нет. Левая часть – сумма возрастающих функций есть функция возрастающая; правая часть – постоянное число. Следовательно, уравнение имеет одно решение.)

3. Решить уравнение:

/ :

(Корень уравнения угадываем: х = 2. Докажем, что других корней нет.

Разделим обе части уравнения на

следовательно, в левой части уравнения – сумма двух убывающих показательных функций, правая часть – const. Следовательно, уравнение имеет одно решение.)

– Какое свойство функций мы использовали при решении этих уравнений?

III. Работа в группах. Решение задач.

1 группа. Решить уравнение:

– Какой способ надо применить при решении данного уравнения?

– Используем свойство монотонности убывающей функции, для этого разделим на

– Можем ли мы угадать хоть один корень?

(Можно угадать корень уравнения: х = 2.)

В левой части – сумма убывающих функций, в правой части – const. Следовательно, левая и правая части имеют одну точку пересечения:

точка пересечения, х=2.

значит, уравнение имеет одно решение,

2 группа. Решить неравенство:

– Применим теорему для функции f(f(x)).

Если функция у = f(x) – монотонно возрастающая функция, то уравнение f(x)=x равносильно f(f(x)= x.

ОДЗ:

– Выполним некоторые преобразования:

– вынесем в левой части за скобки 2, сократим:

– приведем к общему знаменателю:

т.к. , а , тогда

функция принимает вид , где — возрастающая функция, следовательно, по теореме имеем:

– Учитывая ОДЗ, получим:

3 группа. Решить неравенство:

– Решим неравенство методом оценки левой и правой частей

;

–Заметим, что .

;

– Разделим обе части уравнения на положительное выражение , получим:

;

– Выделим полный квадрат под радикалом и в показателе степени:

– Левая часть неравенства не меньше 1, а правая часть не больше 1.

– Неравенство выполняется тогда и только тогда, когда обе части неравенства будут равны 1, а равенство достигается при х = 3.

4 группа. Решить уравнение:

;

– Решим уравнение методом оценки;

– Один корень уравнения можно легко угадать, это х = 1.

– Преобразуем логарифмы в левой части;

;

;

Выделим полный квадрат в правой части;

– Правая часть меньше или равна 1;

наибольшее значение правой части равно 1 при х=1;

– В левой части докажем, что выражение под знаком логарифма больше или равно 2: подведением под общую дробную черту, выделением полного квадрата

– левая часть достигает своего наименьшего значения, равного 1 при х = 1.

– Равенство выполняется тогда и только тогда, когда обе части уравнения равны 1, а это произойдет при х = 1.

5 группа. Решить неравенство:

– Решим неравенство методом освобождения от логарифмов.

– Освободимся от логарифмов по правилу знаков:

Знак log a b совпадает со знаком произведения (а – 1)∙(в – 1).

Решение: Т.к. нас интересует только знак левой части, то от можно логарифмов освободиться по правилу знаков:

– Решим неравенство методом интервалов, рассмотрим функцию f(x):

найдем нули функции: нули функции

функция f(x) > 0 при учитывая ОДЗ, получим:

Ответ:

IV. Защита проектов.

– От каждой группы выступает 1 человек с защитой своего решения (решение на доске кратко записать, пояснения по ходу решения, либо записать на ватмане).

V. Самостоятельная работа.

– Проверим решение уравнений по готовым записям на доске:

Источник

Стандартные и нестандартные приёмы решения показательных уравнений.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) по теме

На уроке подробно разбирается «Метод мажорант»; в решении уравнений используется свойство монотонности функций. Работа в группах.

Скачать:

Вложение	Размер
standartnye_i_nestandartnye_priemy_resheniya.docx	148.6 КБ

Предварительный просмотр:

«Стандартные и нестандартные приемы решения

Урок оргдеятельностного типа.

• продолжить изучение методов решения показательных уравнений;
• рассмотреть решение уравнений вида Аа 2f(x) +Ba f(x) b f(x) +Сb 2f(x) =0 и вида Аа f(x) + =В;
• изучить возможность применения свойств функций к решению уравнений – ограниченность функций в методе мажорант и свойств монотонности;
• систематизировать и совершенствовать знания графического решения уравнений;
• воспитывать дисциплину умственного труда;
• развивать логическое мышление.

1. Класс разбивается за 2 недели до семинара на четыре группы:

Группа «А» работает над методом мажорант: изучает теорию под руководством учителя, подбирает уравнения, решаемые этим методом, готовит презентацию (опорный конспект по теории; примеры; используемая литература).

Группа «Б» изучает применение монотонности функций к решению уравнений, подбирает уравнения, решаемые этим способом, готовит свою презентацию.

Группа «В» отбирает уравнения, которые невозможно решить, основываясь на свойствах ограниченности и монотонности функций, и готовит сообщения о графическом решении таких уравнений, плакаты с решенными уравнениями.Презентацию.

Группа «С» подбирает уравнения вида Аа 2f(x) +Ba f(x) b f(x) +Сb 2f(x) =0 и вида Аа f(x) + =В, разбирается в методах их решения.

1. Все четыре группы на семинаре представляются как группы «специалистов».
2. Каждая группа специалистов выбирает:

• «теоретика», который на семинаре делает доклад о методе;
• двух «экспертов» — учеников, всех лучше разобравшихся в методе;
• остальные «специалисты» будут выполнять роль «экспериментаторов» — прорешивать у доски любые уравнения из предложенных.

1. На семинар приглашаются «крупные специалисты» — учителя математики – при возникновении спорных вопросов «специалисты» могут обратиться за помощью к «крупным специалистам».
2. Каждая группа получает полный список уравнений, в котором каждому уравнению присваивается номер в общем списке – при анализе способа решения все должны видеть его в общем списке.

Решение показательных уравнений стандартными методами. Выступление экспертов.

1. Доклад. «Метод мажорант». Выступление «теоретика» группы «А».
2. Эффективность метода мажорант при решении уравнений. Выступление «экспериментаторов» группы «А».
3. Доклад «Использование свойств монотонности функций». Выступление «теоретика» группы «Б».
4. Эффективность использования свойств монотонности функций:

• устная работа всех «специалистов»;
• выступление «экспериментаторов» группы «Б».

1. Разные способы решения одного уравнения.
2. Использование графического способа:

• выступление «теоретика» группы «В»;
• письменная работа всех специалистов;
• отчет «экспериментаторов» группы «В».

1. Доклад «теоретиков» группы «С».

• решение уравнений у доски «экспериментаторами» группы «С»;
• самостоятельно всеми группами решение уравнений, предложенных группой «С».

1. Подведение итогов семинара.

Рекомендации участникам семинара.

1. Вступительное слово учителя.

«Я рада вам представить четыре группы «специалистов»:

— «специалисты» в методе мажорант – представление каждого;

— «специалисты» в использовании свойств монотонности функций…;

— «специалисты» графического способа решения уравнений…;

— «крупные специалисты» в использовании всех перечисленных методов.

• На семинаре каждая группа будет «обучать» всех остальных применению своего метода, показывая его эффективность.

Но начнем мы с небольшой разминки. У каждой группы специалистов список уравнений урока:

Источник