Нестандартные способы решения математических задач

Решение нестандартных задач как средство познавательной активности на уроках математики

Классы: 1 , 2 , 3 , 4

«Ни один наставник не должен забывать,
что его главнейшая обязанность состоит
в приучении воспитанников к умственному
труду и что эта обязанность более важна,
нежели передача самого предмета»
К.Д.Ушинский

Одна из важных задач современной школы — создание в системе обучения таких условий, которые бы способствовали развитию ребенка, раскрытию его творческого потенциала. Дорог каждый день жизни детей, начиная с самого рождения, а тем более нельзя упустить время в первые школьные годы.

Усвоение знаний – большой и нелегкий труд. Он требует от учащихся максимальной отдачи и интеллектуальных сил, длительных и напряженных усилий, постоянной мобилизации воли и внимания. Учение требует особой мотивации, создание у учащихся побудительных сил и потребностей в приобретении знаний, то есть того, из чего складываются умения и желание учиться в школе, а затем самостоятельно овладевать знаниями. От нас, учителей, требуется определение условий, обеспечивающих высокую познавательную активность учащихся в процессе обучения. Важно не только разработать учебный материал, но и тщательно отобрать средства усвоения, обеспечив способ организации усвоения. От того, насколько сформировано мышление у ребёнка, поступающего в школу, будет во многом зависеть успешность обучения вообще, и математике в частности.

Курс математики, направленный на развитие и совершенствование познавательных способностей имеет свои особенности и одна из таких особенностей – смещение акцента на усиление роли содержательно-логических заданий для развития познавательных способностей, познавательной активности учащихся.

Познавательная активность является социально значимым качеством личности и формируется у школьников в учебной деятельности. Она отражает определенный интерес младших школьников к получению новых знаний, умений и навыков, внутреннюю целеустремленность и постоянную потребность использовать разные способы действия к наполнению знаний, расширению знаний, расширение кругозора.

Существенным педагогическим средством, направленным на развитие внутренней потребности интеллектуального роста и познавательной активности, является использование нестандартных математических задач. Речь идет не о задачах, труд­ных для решения, а о задачах, нестандартных по своей тематике. А Л.М.Фридман считает, что «Нестандартные задачи — это такие, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения».

Нестандартные задачи находят все более частое и широкое применение в обучении математике. Эти задачи можно встретить не только в учебниках математики, пособиях к ним, основной методической литературе, но и в дидактических и наглядных пособиях (диафильмах, ЦОРах, тетрадях на печатной основе и др.).

Нестандартные задачи необходимо подбирать в соответствии с возрастными особенностями школьников и требованиями программы по начальному образованию Федерального компонента государственного стандарта общего образования. Эффективность обучения младших школьников решению нестандартных задач зависит от нескольких условий.

Во-первых, задачи следует вводить в процесс обучения в определенной системе с постепенным нарастанием сложности, так как непосильная задача мало повлияет на развитие учащихся.

Во-вторых, необходимо предоставлять ученикам максимальную самостоятельность в поиске решения задач, давать возможность пройти до конца по неверному пути, убедиться в ошибке и вернуться к началу и искать другой, верный путь решения.

В-третьих, нужно помочь учащимся осознать некоторые способы, приемы, общие подходы к решению нестандартных арифметических задач.

Взяв установку на развитие у учащихся мыслительных операций, познавательной активности, обучая их приемам решения нестандартных заданий, я придерживаюсь следующей системы работы:

• Работа с числами, числовым рядом (магические квадраты).
• Работа с геометрическим материалом (танграммы).
• Работа с фигурами.
• Работа с задачами.
• Анализ результатов работы.

В своей системе работы выделяю следующие направления:

Работа с числами, числовым рядом (магические квадраты)

Числовой ряд

— После изучения чисел первого десятка я предлагаю детям задания — рассмотри ряд чисел. Что интересного заметил? Попробуй продолжить этот ряд чисел.(для выполнения этого задания дети должны хорошо знать прямой и обратный счет в пределах 10).

Нужно учитывать, что не все дети знают двузначные числа и для них это будет открытием. При выполнении этого задания ребята обращают внимание не на число, а на запись и порядок цифр в этом числе. Постепенно задание усложняется.

— Продолжи ряд чисел:

В этом ряду в числах изменяются уже две цифры.

Дальше задания еще больше усложняются (для выполнения этого задания дети должны понимать понятия увеличить и уменьшить на несколько единиц и выполнять действия в пределах 10). Формулировка задания остается такая же.

2,4,3,5,4,6,7…… (сначала увеличиваем на два, затем уменьшаем на 1)

9,6,8,5,7,4,……. (сначала уменьшаем на 3, затем увеличиваем на 2) и т. д.

Магические квадраты

На этапе подготовки, прежде всего, детям необходимо объяснить, в чем собственно заключается магия. И первыми задачами могут быть задачи с требованием проверить, является ли квадрат, магическим. Обязательно рассматриваем квадрат.

Источник

Нестандартные методы решения задач по математике
рабочая программа по математике (10, 11 класс) на тему

Рабочая программа учебного курса по математике для учащихся 10-11 классов » Нестандартные методы решения задач по математике» в рамках внеурочной деятельности (профильный уровень изучения).

Скачать:

Вложение	Размер
programma.docx	60.23 КБ

Предварительный просмотр:

Администрация города Дубны Московской области

Управление народного образования

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ГОРОДА ДУБНЫ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ,

ЛИЦЕЙ № 6 ИМЕНИ АКАДЕМИКА Г.Н. ФЛЁРОВА (ЛИЦЕЙ №6)

141986 г. Дубна, Московская область, ул. Понтекорво,16, тел/факс: 3-02-91, е-mail: school6@dubna.ru

_______________ Н.Г. Кренделева

Приказ от 30.08.2018 № 1.159

учебного курса для 10Л класса

НЕСТАНДАРТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ

Учитель высшей категории

2018 – 2019 учебный год

Основная задача обучения математике в школе – обеспечить прочное и сознательное

овладение учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в

повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену общества, достаточных для

изучения смежных дисциплин и продолжения образования.

Содержание рабочей программы элективного курса соответствует основному курсу

математики для средней (полной) школы, федеральному государственному образовательному стандарту среднего общего образования, утвержденным приказом Минобрнауки России от 17 мая 2012 г. N 413; развивает базовый курс математики на

старшей ступени общего образования, реализует принцип дополнения изучаемого

материала на уроках алгебры и начал анализа системой упражнений, которые углубляют

и расширяют школьный курс, и одновременно обеспечивает преемственность в знаниях и

умениях учащихся основного курса математики 10-11 классов, что способствует

расширению и углублению базового общеобразовательного курса алгебры и начал

Рабочая программа соответствует:

• Положению о рабочей программе учебного курса в лицее № 6,
• основной образовательная программа лицея №6,
• авторские программы СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ НЕСТАНДАРТНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ, сост. Володькин Е.Г., Кармакова Т.С., Шелягина И.Д., с учетом целей и задач основной образовательной программы , соответствующие учебно-методические комплекты

Данный элективный курс разработан для учащихся 10Л класса и направлен на формирование умений и способов деятельности, связанных с решением задач повышенного и высокого уровня сложности, получение дополнительных знаний по математике, интегрирующих усвоенные знания в систему.

Рабочая программа элективного курса отвечает требованиям обучения на старшей

ступени, направлена на реализацию личностно ориентированного обучения, основана на

деятельностном подходе к обучению, предусматривает овладение учащимися способами

деятельности, методами и приемами решения математических задач. Включение

уравнений и неравенств нестандартных типов, комбинированных уравнений и неравенств,

текстовых задач разных типов, рассмотрение методов и приемов их решений отвечают

назначению элективного курса – расширению и углублению содержания курса

математики с целью подготовки учащихся 10-11 классов к государственной итоговой

аттестации в форме ЕГЭ.

Содержание структурировано по блочно-модульному принципу, представлено в

законченных самостоятельных модулях по каждому типу задач и методам их решения и

соответствует перечню контролируемых вопросов в контрольно-измерительных

материалах на ЕГЭ.

На учебных занятиях элективного курса используются активные методы обучения,

предусматривается самостоятельная работа по овладению способами деятельности,

методами и приемами решения математических задач. Занятия проходят в форме

свободного практического урока и состоят из обобщенной теоретической и практической

частей. Рабочая программа данного курса направлена на повышение уровня математической культуры старшеклассников.

Курс призван помочь учащимся с любой степенью подготовленности в овладении

способами деятельности, методами и приемами решения математических задач, повысить

уровень математической культуры, способствует развитию познавательных интересов,

мышления учащихся, умению оценить свой потенциал для дальнейшего обучения.

С целью контроля и проверки усвоения учебного материала проводятся длительные

домашние контрольные работы по каждому блоку, семинары с целью обобщения и

систематизации. В учебно-тематическом плане определены зачетные работы по каждому

блоку учебного материала.

Структура экзаменационной работы в форме ЕГЭ требует от учащихся не только знаний на базовом уровне, но и умений выполнять задания повышенной и высокой сложности. В рамках урока не всегда возможно рассмотреть подобные задания, поэтому программа элективного курса позволяет решить эту задачу.

Курс предусматривает изучение методов решения уравнений и неравенств с модулем,

параметрами, расширение и углубление знаний учащихся по решению тригонометрических, иррациональных, показательных и логарифмических уравнений и неравенств. Большое внимание уделяется задачам с параметрами. Задания данного курса не просты в решении, что позволяет повысить учебную мотивацию учащихся.

Цель курса — создание условий для формирования и развития у обучающихся навыков анализа и систематизации полученных ранее знаний, подготовка к итоговой аттестации в форме ЕГЭ.

• обеспечение усвоения обучающимися наиболее общих приемов и способов
• решения задач;
• формирование и развитие у старшеклассников аналитического и логического
• мышления при проектировании решения задачи;
• развитие умений самостоятельно анализировать и решать задачи по образцу и в
• незнакомой ситуации;
• формирование опыта творческой деятельности учащихся через исследовательскую
• деятельность при решении нестандартных задач;
• формирование навыка работы с научной литературой, различными источниками;
• развитие коммуникативных и общеучебных навыков работы в группе,
• самостоятельной работы, умений вести дискуссию, аргументировать ответы и т.д.

– опережающая сложность (дома предлагается решить по 5-10 задач на неделю, причем 3-5 доступны всем, 1-3 – небольшой части учащихся и 1-2 – ни одному ученику);

– смена приоритетов (при решении достаточно трудных задач отдается приоритет идее; при решении стандартных, простых задач главное – правильный ответ);

– вариативность (сравнение различных методов и способов решения одного и того же

уравнения или неравенства);

– самоконтроль (регулярный и систематический анализ своих ошибок и неудач должен быть непременным элементом самостоятельной работы учащихся).

Основными формами организации учебно-познавательной деятельности на элективном курсе являются лекция, беседа, практикум, консультация, работа с компьютером.

Рабочая программа элективного курса рассчитана на два года обучения, 1 час в неделю, всего в объеме 68 часов – 34 часа в 10-м классе и 34 часа в 11-м классе.

ОСНОВНЫЕ ЗНАНИЯ И УМЕНИЯ

В результате изучения данного курса учащиеся:

• общие сведения об уравнениях, неравенствах и их системах;
• методы решения неравенств и систем уравнений;
• основные приёмы и методы решения: уравнений и неравенств с модулем и

параметрами; линейных, квадратных уравнений и неравенств с параметрами;

иррациональных, тригонометрических, показательных, логарифмических уравнений

и неравенств, в том числе с параметрами.

• применять изученные методы и приемы при решении уравнений и неравенств;
• проводить исследования при решении уравнений и неравенств с параметрами.

Требования к предметным результатам освоения углубленного курса математики должны включать требования к результатам освоения базового курса и дополнительно отражать:

1.сформированность представлений о необходимости доказательств при обосновании математических утверждений и роли аксиоматики в проведении дедуктивных рассуждений;

2.сформированность понятийного аппарата по основным разделам курса математики; знаний основных теорем, формул и умения их применять; умения доказывать теоремы и находить нестандартные способы решения задач;

3.сформированность умений моделировать реальные ситуации, исследовать построенные модели, интерпретировать полученный результат;

4.сформированность представлений об основных понятиях математического анализа и их свойствах, владение умением характеризовать поведение функций, использование полученных знаний для описания и анализа реальных зависимостей;

5.владение умениями составления вероятностных моделей по условию задачи и вычисления вероятности наступления событий, в том числе с применением формул комбинаторики и основных теорем теории вероятностей; исследования случайных величин по их распределению.

Коммуникативные учебные действия обеспечивают возможности сотрудничества: умение слышать, слушать и понимать партнера, планировать и согласованно выполнять совместную деятельность, распределять роли, взаимно контролировать действия друг друга , уметь договариваться, вести дискуссию, правильно выражать свои мысли, оказывать поддержку друг другу и эффективно сотрудничать как с учителем, так и со сверстниками.

Познавательные учебные действия включают действия исследования, поиска, отбора и структурирования необходимой информации, моделирование изучаемого содержания.

Личностные учебные действия позволяют сделать учение осмысленным, увязывая его с реальными жизненными целями и ситуациями. Личностные действия направлены на осознание, исследование и принятие жизненных ценностей, позволяют сориентироваться в нравственных нормах и правилах, выработать свою жизненную позицию в отношении мира.

Для получения информации об уровне усвоения данного курса слушателям элективного курса предлагается создание портфолио по всем темам курса, а также выполнение тестовых заданий (один раз в год), один из которых итоговый.

СОДЕРЖАНИЕ ТЕМ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА

Программа элективного курса рассчитана на два года обучения -10 и 11 классы и содержит следующие темы:

“Общие сведения об уравнениях, неравенствах и их системах” 3 часа

Основные определения. Область допустимых значений. О системах и совокупностях уравнений и неравенств. Общие методы преобразования уравнений (рациональные корни уравнения, “избавление” от знаменателя, замена переменной в уравнении). Представление о рациональных алгебраических выражениях. Дробно-рациональные алгебраические Уравнения. Общая схема решения. Метод замены при решении дробно-рациональных уравнений.

“Методы решения неравенств” 4 часа

Некоторые свойства числовых неравенств. Неравенства с переменной. Квадратичные неравенства. Метод интервалов для рациональных неравенств. Метод замены множителей. Дробно-рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения методом сведения к совокупности систем. Метод интервалов решения дробно-рациональных алгебраических неравенств.

“Методы решения систем уравнений” 3 часа

Системы алгебраических уравнений. Замена переменных. Однородные системы. Симметрические системы.

“Уравнения с модулем” 4 часа

Модуль числа. Свойства модуля. Преобразование выражений, содержащих модуль. Геометрическая интерпретация модуля. Преобразование выражений, содержащих модуль, используя его определение. График функции y = ¦x¦. Методы решения уравнений с модулем. Решение комбинированных уравнений, содержащих переменную и переменную под знаком модуля. Построение графиков функций, содержащих неизвестное под знаком модуля.

“Неравенства с модулем” 4 часа

Теорема о равносильности неравенства с модулем и рационального неравенства. Основные методы решения неравенств с модулем.

“Уравнения с параметрами” 4 часа

Понятие уравнения с параметром, примеры. Контрольные значения параметра. Основные методы решения уравнений с параметром. Линейные уравнения с параметром.

“Неравенства с параметрами” 3 часа

Понятие неравенства с параметром, примеры. Основные методы решения неравенств с параметрами. Линейные неравенства с параметрами.

“Квадратные уравнения и неравенства, содержащие параметр” 6 часов

Теорема Виета. Расположение корней квадратного трёхчлена. Алгоритм решения уравнений. Аналитический и графический способы. Решение уравнений с нестандартным условием.

“Тригонометрические уравнения и неравенства” 6 часов

Простейшие тригонометрические уравнения. Сведение тригонометрических уравнений простейшим с помощью тождественных преобразований. Сведение тригонометрического уравнения к рациональному с одним неизвестным. Метод решения тригонометрических уравнений и неравенств. Отбор корней в тригонометрических уравнениях. Примеры систем тригонометрических уравнений. Уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции. Обобщение метода интервалов на тригонометрической окружности. Решение тригонометрических неравенств методом интервалов.

“Иррациональные уравнения и неравенства” 5 часов

Представление об иррациональных алгебраических функциях. Понятие арифметических и алгебраических корней. Иррациональные алгебраические выражения и уравнения. Уравнения с квадратными радикалами. Замена переменной. Замена с ограничениями. Неэквивалентные преобразования. Сущность проверки. Метод эквивалентных преобразований уравнений с квадратными радикалами. Сведение иррациональных уравнений к системам. Освобождение от кубических радикалов. Метод оценки. Использование монотонности. Использование однородности. Иррациональные алгебраические неравенства. Почему неравенства с радикалами сложнее уравнений. Эквивалентные преобразования неравенств. Стандартные схемы освобождения от радикалов в неравенствах (сведение к системам и совокупностям систем). Дробно-иррациональные неравенства. Сведение к совокупностям систем. Метод интервалов при решении иррациональных неравенств. Замена при решении иррациональных неравенств.

“Логарифмические и показательные уравнения и неравенства” 5 часов

Методы решении показательных и логарифмических уравнений . Преобразования логарифмических уравнений. Замена переменных в уравнениях. Логарифмирование. Показательные и логарифмические неравенства. Методы решений показательных и логарифмических неравенств ( метод замены переменных, метод замены множителей). Основные типы показательных и логарифмических уравнений и неравенств. Основные способы их решения. Примеры потери корней и приобретения лишних корней. Решение показательных и логарифмических уравнений, содержащих неизвестную в основании. Использование свойств функции. Графический способ решения. Использование нескольких приёмов при решении логарифмических и показательных уравнений и неравенств.

“Нестандартные методы решения уравнений и неравенств” 5 часов

Применение свойств квадратного трехчлена. Использование свойств функции (свойство ограниченности, монотонности). Использование суперпозиций функций. Уравнения тождества. Уравнения, при решении которых используются прогрессии. Уравнения с двумя неизвестными. Показательно-степенные уравнения.

“Задачи с параметрами” 8 часов

Аналитический подход. Выписывание ответа (описание множеств решений) в задачах с параметрами. Рациональные задачи с параметрами. Запись ответов. Иррациональные задачи с параметрами. «Собирание» ответов. Задачи с модулями и параметрами. Критические значения параметра. Метод интервалов в неравенствах с параметрами. Замена в задачах с параметрами. Метод разложения в задачах с параметрами. Разложение с помощью разрешения относительно параметра. Системы с параметрами. Применение производной при анализе и решении задач с параметрами.

Решение уравнений и неравенств (повторение в конце 10 класса, 11 класса) 7 часов, из них 2 часа отводится на тестирование.

Источник