Нестандартные способы решения логарифмических уравнений

Открытый урок 11 класс «Решение логарифмических уравнений. Нестандартные приемы решения»
учебно-методический материал по алгебре (11 класс) на тему

Решение логарифмических уравнений.

Скачать:

Вложение	Размер
otkrytyy_urok_11_klass_reshenie_logarifmicheskih_uravneniy._nestandartnye_priemy_resheniya.doc	101 КБ

Предварительный просмотр:

Открытый урок по алгебре

по теме: «Решение логарифмических уравнений. Нестандартные приемы решения»

учитель математики МБОУ СОШ №72:

Урок по алгебре «Решение логарифмических уравнений. Нестандартные приемы решения»

Образовательные: Отработать умения систематизировать, обобщать свойства логарифмической функции, применять их при решении логарифмических уравнений, применять различные методы решения логарифмических уравнений.

Развивающие: Использовать ранее усвоенные знания и переносить их в новую ситуацию, развивать у обучающихся мыслительные операции, анализ, классификацию, внимание, математическую речь.

Воспитательные: Создать эмоционально-положительный комфорт( ситуацию успеха)

2. Тренинг. Устная работа.

3. Постановочно-практическое задание.

4. Рефлексия (“Что знают”, “Чего не знают”, “Что получилось?”, “Что нет”).

5. Решение проблемной ситуации.

6. Выводы. Домашнее задание.

1. Организационный момент.

На перемене на доске обучающиеся на списке уравнений, которые были заданы как

домашнее задание ставят “+” против тех уравнений, которые дома не вызвали затруднений.

1. x lg2 x+lgx5 -12 =10 2lgx
2. (x+1)log 2 3 x+4xlog 3 x-16=0
3. log 2 (4x-x 2 )=x 2 -4x+6
4. x log 3 x =81
5. (3 7×2-5 -9)log 0,3 (2-5x)=0
6. 11 2(log5x)2 -12×11 (log5x)2 +11=0
7. x 2 ×log 36 (5x 2 -2x-3)-xlog 1/6 = x 2 +x

К доске приглашаются 2 учащихся для выполнения индивидуальной работы.

Обучающиеся должны самостоятельно решить два задания. Цель этой работы: повторить свойства логарифмической функции, её область значений и решение уравнений графически

1 задание: Найти область значений функции. Определить её наименьшее значение у = log 3 (х 2 +81)

2 задание : Решить уравнение графически log 3 х = 4-х

2. Тренинг. Устная работа.

Динамичные блоки уравнений.

В ходе этой работы систематизируются знания обучающихся по свойствам логарифмической функции, основные методы решения логарифмических уравнений, предложенные в учебнике.

I блок. На слайде записаны формулы. Определить, какие из них записаны неверно. Ответ обосновать (слайд).

1. log a 1=0
2. log a a=a
3. log a xy=log a x log a y
4. log a x/y=log a x-log a y
5. log a x p =log a px
6. log ka x =klog a x
7. a logab =a b

II блок. О чём идёт речь в этом блоке? Определите метод решения этих уравнений.

Какое из уравнений отличное от остальных? (Слайд)

1. log 9 (x-1) 2 =1
2. ln(x 2 -15)=ln x
3. log 2 (x 2 -3x-10)=3
4. log 3 x=2log 3 9- log 3 27
5. ln(x-5)=0
6. log 2 log 3 log 4 x=0

III блок. О чём говорит этот блок уравнений? Определите метод решения уравнений (слайд).

1. log a x=2log a 3+log a 5
2. lg(x-9)+lg(2x+1)=2
3. log 5 (x 2 +8)-log 5 (x+1)=3log 5 2
4. 1/2log 2 (x-4)+1/2log 2 (2x-1)=log 2 3

IV блок. О чём говорит этот блок? Каким методом необходимо решать уравнения этого блока (слайд).

1. log 2 2 (x+8)-6 log 2 (x+8)=-5
2. log 2 2 x-log 2 x=2
3. lg 2 x-lgx 2 +1=0
4. log x 2- log 4 x+7/6=0
5. log x+1 (2x 2 +5x-3)=2
6. lg100x×lgx=-1

После устной работы с классом анализируется и проверяется работа учащихся на доске.

1 задание: Найти область значений функции. Определить её наименьшее значение

у = log 3 (х 2 +81)

2 задание : Решить уравнение графически

3. Постановочно-практическое задание.

Разбираем ситуацию с выполнением домашнего задания, анализируем

какие уравнения не вызвали сложности, а какие вызвали.

Дома вы проанализировали 7 уравнений из заданий ЕГЭ и вступительных задач в ВУЗы. Ваша задача дома была определить проблемные ситуации, вопросы, которые возникли при решении этих задач.

(“Что знают”, “Чего не знают”, “Что получилось?”, “Что нет”).

Через систему вопросов учителя выясняем, почему не получились уравнения

5. Решение проблемной ситуации.

Разбираем решение уравнений, которые у большинства обучающихся вызвали затруднения. Если есть обучающиеся, которые их решили, то они представляют своё решение.

У учителя все уравнения с решениями в презентации и при необходимости уравнение разбирается по готовому решению или проверяется ответ.

Источник

Применение нестандартных способов при решении показательных и логарифмических уравнений и неравенств

Разделы: Математика

Цель урока:

1. систематизировать знания о некоторых нестандартных способах решения, умение применять свойства функций, правила при решении уравнений и неравенств;
2. развивать умение видеть, умение распознавать рациональность применения того или иного способа;
3. прививать интерес к математике, воспитывать математическую грамотность ученика, как при устной, так и при письменной работе.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран.

План урока:

1. Орг. момент.
2. Устная работа.
3. Работа в группах
4. Защита решений.
5. Сам. работа.
6. Задание на дом
7. Итог урока.

Ход урока

I. Организационный момент.

• знакомство с целью урока; задачами, стоящими перед учениками в ходе уроке.
• использование при решении задач:
  – монотонности функций;
  – «правила знаков»;
  – метода оценки;
  – освобождение от логарифма.

II. Устная работа.

1. Какие из выражений имеют смысл?

а)	а) да;
б)	б) нет, т.к.
в)	в) нет, т.к. а
г)	г) да;
д)	д) нет, т.к.

2. Решить уравнение:

(Корень уравнения угадываем: х = 1. Докажем, что других корней нет. Левая часть – сумма возрастающих функций есть функция возрастающая; правая часть – постоянное число. Следовательно, уравнение имеет одно решение.)

3. Решить уравнение:

/ :

(Корень уравнения угадываем: х = 2. Докажем, что других корней нет.

Разделим обе части уравнения на

следовательно, в левой части уравнения – сумма двух убывающих показательных функций, правая часть – const. Следовательно, уравнение имеет одно решение.)

– Какое свойство функций мы использовали при решении этих уравнений?

III. Работа в группах. Решение задач.

1 группа. Решить уравнение:

– Какой способ надо применить при решении данного уравнения?

– Используем свойство монотонности убывающей функции, для этого разделим на

– Можем ли мы угадать хоть один корень?

(Можно угадать корень уравнения: х = 2.)

В левой части – сумма убывающих функций, в правой части – const. Следовательно, левая и правая части имеют одну точку пересечения:

точка пересечения, х=2.

значит, уравнение имеет одно решение,

2 группа. Решить неравенство:

– Применим теорему для функции f(f(x)).

Если функция у = f(x) – монотонно возрастающая функция, то уравнение f(x)=x равносильно f(f(x)= x.

ОДЗ:

– Выполним некоторые преобразования:

– вынесем в левой части за скобки 2, сократим:

– приведем к общему знаменателю:

т.к. , а , тогда

функция принимает вид , где — возрастающая функция, следовательно, по теореме имеем:

– Учитывая ОДЗ, получим:

3 группа. Решить неравенство:

– Решим неравенство методом оценки левой и правой частей

;

–Заметим, что .

;

– Разделим обе части уравнения на положительное выражение , получим:

;

– Выделим полный квадрат под радикалом и в показателе степени:

– Левая часть неравенства не меньше 1, а правая часть не больше 1.

– Неравенство выполняется тогда и только тогда, когда обе части неравенства будут равны 1, а равенство достигается при х = 3.

4 группа. Решить уравнение:

;

– Решим уравнение методом оценки;

– Один корень уравнения можно легко угадать, это х = 1.

– Преобразуем логарифмы в левой части;

;

;

Выделим полный квадрат в правой части;

– Правая часть меньше или равна 1;

наибольшее значение правой части равно 1 при х=1;

– В левой части докажем, что выражение под знаком логарифма больше или равно 2: подведением под общую дробную черту, выделением полного квадрата

– левая часть достигает своего наименьшего значения, равного 1 при х = 1.

– Равенство выполняется тогда и только тогда, когда обе части уравнения равны 1, а это произойдет при х = 1.

5 группа. Решить неравенство:

– Решим неравенство методом освобождения от логарифмов.

– Освободимся от логарифмов по правилу знаков:

Знак log a b совпадает со знаком произведения (а – 1)∙(в – 1).

Решение: Т.к. нас интересует только знак левой части, то от можно логарифмов освободиться по правилу знаков:

– Решим неравенство методом интервалов, рассмотрим функцию f(x):

найдем нули функции: нули функции

функция f(x) > 0 при учитывая ОДЗ, получим:

Ответ:

IV. Защита проектов.

– От каждой группы выступает 1 человек с защитой своего решения (решение на доске кратко записать, пояснения по ходу решения, либо записать на ватмане).

V. Самостоятельная работа.

– Проверим решение уравнений по готовым записям на доске:

Источник