Нестандартные способы решения иррациональных уравнений проект

Урок по теме: » Нестандартные методы решения иррациональных уравнений»

Нестандартные методы решения иррациональных уравнений

Образовательная: расширить и углубить знания учащихся по данной теме познакомив их с нестандартными методами решения иррациональных уравнений, научить применять эти методы, повысить уровень понимания и практической подготовки учащихся при решении иррациональных уравнений.

Развивающая: развитие умения самостоятельно приобретать и применять знания;

способствовать развитию математического кругозора, логического мышления.

Воспитательная – содействовать воспитанию интереса к иррациональным уравнениям, воспитывать чувство коллективизма, самоконтроля, ответственности.

1. Повторить определение и основные методы решения иррациональных уравнений.

2. Продемонстрировать нестандартные методы решения иррациональных уравнений; формировать умение выбирать рациональные пути решения.

3. Освоение всеми учащимися алгоритмов решения иррациональных уравнений, закрепление теоретических знаний при решении конкретных примеров.

4. Приобщение учащихся к исследовательской работе.

Тип урока : урок исследования

Форма урока: групповая работа

Оборудование: презентация в Pover Point, интерактивная доска, раздаточный материал.

1. Организационный момент.

Эйнштейн говорил так: “Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако, уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует для данного момента, а уравнения будут существовать вечно”.

Вот и мы займемся уравнениями.

Чтобы узнать о каких уравнениях пойдет речь, мы обратимся к домашнему заданию.

При правильном выполнении домашнего задания у вас получился знак радикала.

Как можно это связать с нашим уроком?

Какие цели мы поставим перед собой на уроке?

— Узнать новые нестандартные методы решения иррациональных уравнений.

— Рассмотреть применение новых методов при решении иррациональных уравнений.

— Расширить и углубить свои знания о иррациональных уравнениях.

На сегодняшнем уроке вы будите работать в творческих группах. У каждого из вас лежит оценочный лист, запишите свою фамилию. Максимальный балл за урок -10 баллов.

1. Основные вопросы теории открытия иррациональности.

Что вы знаете об иррациональности?

1. Иррациональное в переводе с греческого “Уму непостижимое, неизмеримое, немыслимое” .

2. Открытие иррациональности опровергало теорию Пифагора, что “всё есть число”.

3. История развития теории иррациональности знает много ученых – исследователей. Евклид, Декарт, Ньютон( Он ввёл современное изображение корня) .

2. Основные методы решения иррациональных уравнений.

Метод возведения в степень, равную показателю корня, метод «пристального взгляда», метод введения новой переменной, метод разложения на множители, функционально – графический метод.

Какой этап содержат в основном все эти методы? ( Проверка)

3. Работа в группах. Исследовательская работа.

Целью исследования является изучение нестандартных методов решения иррациональных уравнений.

Гипотеза : Если знать нестандартные методы решения иррациональных уравнений, то это позволит повысить качество выполнения некоторых олимпиадных и тестовых заданий ЕНТ.

Нестандартные методы решения иррациональных уравнений.

1. Умножение на сопряжённое выражение.

Если в левой части иррационального уравнения сумма или разность корней, а подкоренное выражение – линейная функция одинаковыми линейными коэффициентами,

а в правой части некоторое число, то левую и правую части уравнения умножают на выражение, сопряженное выражению в левой чисти ( + и — ) — сопряженные).

Рассмотрите решение иррационального уравнения методом умножения на сопряженное выражение.

Решить уравнение

Умножим обе части уравнения на выражение, сопряженное левой части исходного уравнения. Получим:

Сложим последнее уравнение с исходным. Получим:

т. е.

Последнее уравнение возводим в квадрат. Получаем квадратное уравнение

Решая его, находим корни Проверка.

Приходим к ответу:

Ответьте на вопросы:

1. Что лежит в основе данного способа решения иррациональных уравнений.

2. Каков алгоритм решения иррациональных уравнений данным способом?

Теперь согласно истине такой “Теория мертва, без практики живой”

2 группа

3 группа

Источник

Нестандартные способы решения иррациональных уравнений

Урок математики в 11-м классе по теме:

«Нестандартные методы решения иррациональных неравенств»

Гугучкина Татьяна Геннадьевна, учитель математики.

Цель урока

1. Познакомить учащихся с нестандартными методами решения иррациональных неравенств;

научить применять эти методы, уметь их классифицировать.

2. Развивать логическое мышление и интуицию при решение задач.

3. Воспитывать интерес к предмету, коллективизм и самоконтроль.

Оборудование.

1. Таблица с алгоритмом решения стандартных иррациональных неравенств.

2. Карточки — задания.

3. Задачи из сборников подготовки к ЕГЭ.

Ход урока

I . Организационный момент.

II . Актуализация знаний.

III . Объяснение нового материала.

IV . Закрепление изученного материала.

V . Подведение итогов.

VI . Задание на дом.

I . Организационный момент

II . Актуализация знаний.

Цель нашего урока познакомиться с нестандартными методами решения иррациональных неравенств, уметь классифицировать и применять их. Но мы сначала повторим основные моменты решения стандартных иррациональных неравенств. К доске вызываются два ученика для выполнения задания по карточкам. Два ученика выполнят тест, сидя за партой, а остальные выполняют устные задания.

1. Решение иррационального неравенства стандартного вида

1) > 0,

2) > 2х + 3.

Эти неравенства взяты из заданий ЗФТШ, № 1 за 2012 – 2013 учебный год, 10-й класс.

2. Самостоятельная работа – тест.

Вариант 1 Вариант 2

1) Найти значение выражения

А) 45 Г) 15 С) 75 Б) 50 Е) 81 Г) 75

2) Внести множитель под знак корня

в в 0 а > 0

О) 2а К) 0 Р) а К) 2а П) 0 М) 3

4) Сравните числа

Н ) С) = П) > М) = К) 4 – 1 = 0

К) 1 А) -1 и 1 Е) -1

6) Решите уравнение

Ответы1) Г; 2) Е; 3) О; 4) Н Ответы: 1) Г; 2) И;3) П; 4) П; 5) А; 6) С.

3. Устная работа.

1) Упростите выражение.

а); б); в); г) Ответы: а); б); в); г), т.к. а 0

2) внести множитель под знак корня

а) ; б); в); г) Ответы: а); б); в); г) а > 0,

а 0, —

3) Решите уравнение

а); б) в)

Ответы: а)1, -4; б) 2, 8 в) 1, т.к. -3,5 не удовлетворяет ОДЗ

г)

Ответ: решения нет, так как при каждом допустимом значении переменной сумма двух не отрицательных чисел не может быть равна -2

д)

Ответ: решения нет, так как при всех допустимых значениях переменной, значение корня отрицательному числу равняться не может.

4) Решите неравенство.

а) -1

Ответ: решения нет, так как по определениюнеотрицательное число, при всех допустимых значениях, меньше отрицательного быть не может.

б) > -8

Ответ:

в)> -3

Ответ:

III . Объяснение нового материала .

Нестандартные методы решения иррациональных неравенств не рассматриваются в школьном курсе алгебры и начал анализа. Мы познакомимся с методом рассуждения, методом оценки, метод интервалов.

1. Метод рассуждения

С помощью цепочки логических рассуждений приходим к более простому выражению, решение которого не требует усилий.

Рассуждаем с учителем.

Так как по определению неотрицательное число, при всех допустимых значениях х ≥ 0, то произведение двух множителей неотрицательно, когда принимает неотрицательные значения, то есть решением неравенства является промежуток .

Ответ: .

Выходят учащиеся к доске и решают неравенства.

а) 2 Метод оценки.

Метод состоит в том, что оцениваются границы, в которых могут лежать значения выражений в каждой из частей неравенства.

Рассуждаем с учителем

В неравенстве присутствуют функции разного вида. Справа сумма квадратичной функции и квадратного корня, а в левой части тригонометрическая функция. Правая часть имеет смысл при у – х 2 — 1≥0, то есть у>х 2 +1, а х 2 +1≥1 следовательно у≥1, то есть , но ׀ cos x ׀ ≤ 1, при всех действительных значениях х выполняется неравенство , поэтому неравенство наше может быть выполнено только если , то есть это выполняется при х = 0, у = 1.

Это задание взято из вступительных тестов МГУ 2012.

Выходят учащиеся к доске и решают неравенства.

а) .

В неравенстве присутствуют функции разного вида, значит решим методом оценки. По определению ≥ 0, ≥ 1, а ׀ cos x ׀ ≤ 1, при всех допустимых значениях х ≥ 0 выполняется неравенство cos x ≤ . Решение неравенства х ≥ 0.

б)

cos x ≤ 1. , но

Ответ: решений нет.

Это задание взято из вступительных тестов МГУ 2012.

3.Метод интервалов

Рассуждаем с учителем

а)

Рассмотрим функцию . Область определения , нуль функции 6. Функция на промежутках определена, непрерывна и не обращается в нуль, поэтому сохраняет постоянный знак. Определим знак значение функции в каждом из интервалов: f (3) f (11)>0. Значит решением неравенства является промежуток

Ответ:

Это же неравенство можно решить простым способом.

ОДЗ: х – 2 ≥ 0, х ≥ 2

В области определения х может принимать положительные значения, значит

Ответ:

Выходит учащийся к доске и решает неравенство.

Учитывая, что при , то

Ответ: .

4. Решите неравенство ,содержащее три и более корней

1) Решить неравенство.

Обе части неравенства имеют смысл для тех и только тех значений х, которые удовлетворяют системе неравенств

Легко видеть, что система имеет одно решение х = 5/2. Подстановкой в неравенство убеждаемся, что х = 5/2 является решением.

2)

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ: .

V . Подведение итогов

Историческая справка

При выполнении теста у учащихся получились два имени: Геон и Гиппас. Их имена связаны с открытием иррациональных чисел. Открыв новый математический объект пифагорийцы пришли в замешательство. В основе всеобщей гармонии мира, считали они должны лежать целые числа и их отношения, ни каких других чисел они не знали. И вдруг эта гармония рушится – существуют величины, которые отношением целых чисел в принципе не являются. Они держали свое открытие в секрете. Гиппас из Метапонта разгласил людям «ужасную» тайну о существовании несоизмеримых величин. И небо покарало его, он утонул в море во время шторма.

VI . Задание на дом

1) , 3) , 5).

2) , 4) ,

1. Задания ЗФТШ, № 1 за 2012 – 2013 учебный год, 10-й класс.

2. Сборник задач по математике. Под редакцией М.И. Сканави.

3. 3000 конкурсных задач по математике. Авторы: Е.Д. Куланин, В.П. Норин.

4. Решение задач методом оценки. Автор: А.А. Аксенов.

Источник