Несколько человек садятся за круглый стол будем считать что два способа рассадки совпадают

Комбинаторика и Круги Эйлера

Комбинаторика изучает комбинации и перестановки предметов, расположение элементов, обладающее заданными свойствами.

Комбинаторика— это раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения

Например, если на столе лежат 3 красных карандаша и 4 зеленых, то выбрать один карандаш можно 3+4=7 способами.

Правило произведения

Если некоторый элемент А можно выбрать m способами, а элемент В-n способами, то пару А и В можно выбрать m*n способами.

Например, если на столе лежат 3 красных карандаша и 4 зеленых, то выбрать один красный и один зеленый карандаш можно 3 *4 =12 способами.

Правило произведения верно и в том случае, когда рассматриваются элементы некоторых множеств.

Например, если есть 2 разных конверта, 3 разные марки и 4 разные открытки, то выбрать конверт, марку и открытку можно 24 способами (2*3 * 4 = 24).

ЗАДАЧА: «Этот вечер свободный можно так провести. »:

пойти погулять к реке, на площадь или в парк и потом пойти в гости к Вити или к Вике. А можно остаться дома, сначала посмотреть телевизор или почитать книжку, а потом поиграть с братом или разобраться у себя на письменном столе. Сколько всего вариантов существует для проведения данного вечера?

Всего 10 вариантов.

ЗАДАЧА: Есть три шарика — красный, синий и зеленый. Сколькими способами можно эти шарики выложить в ряд?

Решение: Данная задача решается с помощью построения дерева возможных вариантов.

Выложить шары в ряд можно 6 способами.

Данную задачу можно решить, применяя одно из основных правил комбинаторики.

Основные правила комбинаторики — это правило суммы и правило произведения.

Если некоторый элемент А можно выбрать m способами, а элемент В — n способами, то выбор «либо А, либо В» можно сделать n+m способами.

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называется n факториалом и обозначается символом n! n!=1*2*3*4*5*6***n.

1. Из города А в город В ведут пять дорог, а из города В в город С — три дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?
2. Из двух спортивных обществ, насчитывающих по 100 фехтовальщиков каждое, надо выделить по одному фехтовальщику для участия в состязании. Сколькими способами может быть сделан этот выбор?
3. Имеется пять видов конвертов без марок и четыре вида марок одного достоинства. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для посылки письма?
4. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «камзол»?
5. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «здание»?
6. Бросают игральную кость с шестью гранями и запускают волчок, имеющий восемь граней. Сколькими различными способами могут они упасть?
7. На вершину горы ведут пять дорог. Сколькими способами турист может подняться на гору и спуститься с нее? То же самое при условии, что спуск и подъем происходят по разным путям.
8. На ферме есть 20 овец и 24 свиньи. Сколькими способами можно выбрать одну овцу и одну свинью? Если такой выбор уже сделан, сколькими способами можно сделать его еще раз?
9. Сколькими способами можно указать на шахматной доске два квадрата — белый и черный? А если нет ограничении на цвет выбранных квадратов?
10. Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске белый и черный квадраты, не лежащие на одной и той же горизонтали и вертикали?
11. Из 12 слов мужского рода, 9 женского и 10 среднего надо выбрать по одному слову каждого рода. Сколькими способами может быть сделан этот выбор?
12. Имеется 6 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну — на правую руку так, чтобы эти перчатки были различных размеров?
13. Из 3 экземпляров учебника алгебры, 7 экземпляров учебника геометрии и 7 экземпляров учебника тригонометрии надо выбрать по одному экземпляру каждого учебника. Сколькими способами это можно сделать?
14. В букинистическом магазине лежат 6 экземпляров романа И. С. Тургенева «Рудин», 3 экземпляра его же романа «Дворянское гнездо» и 4 экземпляра романа «Отцы и дети». Кроме того, есть 5 томов, содержащих романы «Рудин» и «Дворянское гнездо», и 7 томов, содержащих романы «Дворянское гнездо» и «Отцы и дети». Сколькими способами можно сделать покупку, содержащую по одному экземпляру каждого из этих романов?
15. В букинистическом магазине лежат 6 экземпляров романа И. С. Тургенева «Рудин», 3 экземпляра его же романа «Дворянское гнездо» и 4 экземпляра романа «Отцы и дети». Кроме того, есть 5 томов, содержащих романы «Рудин» и «Дворянское гнездо», 7 томов, содержащих романы «Дворянское гнездо» и «Отцы и дети» и 3 тома, в которые входят «Рудин» и «Отцы и дети». Сколькими способами можно сделать покупку, содержащую по одному экземпляру каждого из этих романов?
16. В корзине лежат 12 яблок и 10 апельсинов. Ваня выбирает из нее яблоко или апельсин, после чего Надя берет и яблоко, и апельсин. В каком случае Надя имеет большую свободу выбора: если Ваня взял яблоко или если он взял апельсин?
17. Имеются три волчка с 6, 8 и 10 гранями соответственно. Сколькими различными способами могут они упасть? Та же задача, если известно, что по крайней мере два волчка упали на сторону, помеченную цифрой 1.
18. Сколькими способами можно выбрать три различные краски из имеющихся пяти?
19. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, если имеется материал 5 различных цветов? Та же задача, если одна из полос должна быть красной?
20. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из пяти языков: русского, английского, французского, немецкого, итальянского, на любой другой из этих пяти языков?
21. На сколько больше словарей придется издать, если число различных языков равно 10 (смотрите задачу 20)?
22. Сколькими способами можно выбрать из полной колоды карт по одной карте каждой масти? То же самое при условии, что среди вынутых карт нет ни одной пары одинаковых, то есть двух королей, двух десяток и так далее.
23. Сколькими способами можно выбрать из полной колоды карт (содержащей 52 карты) по одной карте каждой масти так, чтобы карты красных мастей и карты черных мастей образовывали пары (например, девятки пик и треф и валеты бубен и червей)?
24. У англичан принято давать детям несколько имен. Сколькими способами можно назвать ребенка, если общее число имел равно 300, а ему дают не более трех имен?
25. Несколько человек садятся за круглый стол. Будем считать, что два способа рассадки совпадают, если каждый человек имеет одних и тех же соседей в обоих случаях. Сколькими различными способами можно посадить четырех человек? А семь человек? Во скольких случаях два данных человека из семи оказываются соседями? Во скольких случаях данный человек (из семи) имеет двух данных соседей?
26. Пять девушек и трое юношей играют в городки. Сколькими способами они могут разбиться на две команды по 4 человека в каждой команде, если в каждой команде должно быть хотя бы по одному юноше?
27. Надо послать 6 срочных писем. Сколькими способами это можно сделать, если для передачи писем можно послать трех курьеров и каждое письмо можно дать любому из курьеров?
28. У одного человека есть 7 книг по математике, а у другого — 9 книг. Сколькими способами они могут обменять книгу одного на книгу другого?
29. У одного человека есть 7 книг по математике, а у другого — 9 книг. Сколькими способами они могут обменять две книги одного на две книги другого?
30. На собрании должны выступить 5 человек: А, Б, В, Г и Д. Сколькими способами можно расположить их в списке ораторов при условии, что Б не должен выступать до того, как выступит А?
31. На собрании должны выступить 5 человек: А, Б, В, Г и Д. Сколькими способами можно расположить их в списке ораторов при условии, что А должен выступить непосредственно перед Б?
32. Сколькими способами можно посадить за круглый стол 5 мужчин и 5 женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом?
33. Сколькими способами можно посадить на карусель 5 мужчин и 5 женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом. Способы, переходящие друг в друга при вращении карусели, считаются совпадающими.

Задачи на круги Эйлера

Задача. Все мои подруги выращивают в своих квартирах. какие-нибудь растения. Шестеро из них разводят кактусы, а пятеро — фиалки. И только у двоих есть и кактусы и фиалки. Угадайте, сколько у меня подруг?

Обратимся к кругам Эйлера:

Изобразим два круга, так как у нас два вида цветов. В одном будем фиксировать владелиц кактусов, в другом — фиалок. Поскольку у некоторых подруг есть и те, и другие цветы, то круги нарисуем так, чтобы у них была общая часть. В этой общей части ставим цифру 2, так как кактусы и фиалки у двоих. В оставшейся части «кактусового» круга ставим цифру 4 (6-2 =4).

В свободной части «фиалкового» круга ставим цифру 3 (5-2=3) А теперь рисунок сам подсказывает, что всего у меня

Задача. В футбольной команде «Спартак» 30 игроков, среди них 18 нападающих. 11 полузащитников, 17 защитников и вратари. Известно, что трое могут быть полузащитники и защитниками, 10 защитниками и нападающих, 6 нападающими и полузашитниками, а 1 и нападающим, и защитником, и полузащитником. Вратари не заменимы.

Источник

21. Задачи

А) ,

Б) ,

В) ,

Г) ,

Д) ,

Е) .

Ответ: а); б) 4; в) 1; г) 42; д) 4; е) .

А) ,

Б) ,

В) ,

Г) ,

Д) ,

Е) .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

3. Решить уравнения (nÎ¥):

А) ,

Б) ,

В) ,

Г) ,

Д) ,

Е) .

Ответ: а) 8; б) 4; в) 10; г) 8; д) 5; е) 4.

4. Найти все n΢, удовлетворяющие условию:

А) ,

Б) ,

В) ,

Г) ,

Д) ,

Е) .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

5. Доказать справедливость равенств:

А) ,

Б) ,

В) ,

Г) ,

Д) ,

Е) .

6. Разложить по формуле бинома Ньютона и упростить:

А) ,

Б) ,

В) ,

Г) .

Ответ: а) ;

Б) ; в) ;

Г) .

7. Найти средние члены разложения:

А) ,

Б) .

Ответ: а) и ; б) .

8. Решите уравнения:

А) б) в)

Ответ: а) 4; б) 5; в) 9.

9. У одного человека есть 7 книг по математике, а у другого – 9 книг. а) Сколькими способами они могут обменять книгу одного на книгу другого? б) То же самое, но меняются две книги одного на две книги другого.

Ответ: а) ; б) .

10. Несколько человек садятся за круглый стол. Будем считать, что два способа рассадки совпадают, если каждый человек имеет одних и тех же соседей в обоих случаях. а) Сколькими различными способами можно посадить четырех человек? б) семь человек? в) Во скольких случаях два данных человека из семи оказываются соседями? г) Во скольких случаях данный человек (из семи) имеет двух данных соседей?

Решение: а) Отношение соседства сохраняется при циклических перестановках и при симметричном отражении. В случае четырех человек мы имеем 2×4=8 преобразований, сохраняющих отношение соседства. Т. к. общее число перестановок 4 человек равно 4!=24, то имеем 24/8=3 различных способа рассадки.

Б) Если за столом сидят 7 человек, то имеем 7!/14=360 способов, вообще, а в случае n человек (n–1)!/2 способов.

В) Число способов, при которых 2 данных человека сидят рядом, вдвое больше числа способов посадить 6 человек (в силу возможности поменять этих людей местами). Значит оно равно .

Г) Находится аналогичным образом: .

11. Сколькими способами можно посадить за круглый стол 5 мужчин и 5 женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом? Если они садятся не за круглый стол, а за карусель и способы, переходящие друг в друга при вращении карусели, считаются совпадающими.

Ответ:, .

12. Из колоды, содержащей 52 карты, вынули 10 карт. Во скольких случаях среди этих карт окажется хотя бы один туз? Во скольких случаях ровно один туз? Во скольких случаях не менее двух тузов? Ровно два туза?

Ответ:, , , .

13. В купе ж/д вагона имеется два противоположных дивана по 5 мест в каждом. Из 10 пассажиров четверо желают сидеть лицом к паровозу, а трое – спиной, остальным безразлично как сидеть. Сколькими способами могут разместиться пассажиры?

Решение: Сначала выберем, кто из трех пассажиров, кому безразлично как сидеть, сядет лицом к паровозу. Этот выбор можно сделать 3 способами. На каждом диване можно пересаживать пассажиров 5! Способами. Всего получаем способов.

14. У мамы 2 одинаковых яблока и 3 одинаковых груши. Каждый день в течение пяти дней подряд она выдает по одному фрукту. а) Сколькими способами это можно сделать? б) Если яблок m, а груш n. в) 2 яблок,3 груши, 4 апельсина.

Ответ: а) ; б) , в) .

15. У отца есть 5 различных апельсинов, которые он выдает своим 8 сыновьям так, что каждый получает либо один апельсин, либо ничего. Сколькими способами можно это сделать? Решите эту задачу при условии, что число апельсинов, получаемых каждым сыном, неограниченно.

Ответ: ; .

16. Из группы, состоящей из 7 мужчин и 4 женщин. Надо выбрать 6 человек так, чтобы среди них было не меньше 2 женщин. Сколькими способами можно это сделать?

Ответ: .

17. Найти сумму всех трёхзначных чисел, которые можно написать с помощью цифр 1, 2, 3, 4. А если никакая цифра не должна появляться дважды в записи каждого числа?

Решение: Всего таких чисел , в них цифр, каждая из 4 цифр употребляется раза – в каждом из трёх разрядов раз, поэтому сумма цифр первого разряда даст 16 (1+2+3+4)=160, второго –1600 и третьего –16000. Сумма равна 17760.

Если цифры не повторяются, то таких чисел , в них 72 цифры, каждая из 4 цифр употребляется в каждом из 3 разрядов 6 раз, поэтому сумма 6(1+2+3+4)(1+10+100)=6660.

18. Сколько различных четырехзначных чисел, делящихся на 4, можно составить из цифр 1,2, 3, 4, 5, если каждая цифра может встречаться в записи числа несколько раз? А если каждая цифра встречается лишь один раз?

Решение: Число должно оканчиваться: 12, 24, 32, 44, 52; первые же две цифры могут быть произвольными. Всего получаем чисел. Во втором случае число должно оканчиваться на одну из четырёх комбинаций: 12, 32, 52, 24; первые же две цифры могут быть выбраны из оставшихся трёх способами. Всего получаем 24 числа.

19. Компания из 7 юношей и 10 девушек танцует парами. а) Если в каком-либо танце участвуют все юноши, то сколько имеется вариантов участия девушек в этом танце? Сколько имеется вариантов, если учитывать лишь то, какие девушки остались неприглашенными? б) Решить те же вопросы, если относительно двух девушек можно с уверенностью утверждать, что они будут приглашены на танец.

Ответ: а) , . б) , .

20. Рота состоит из 3 офицеров, 6 сержантов, 60 рядовых. Сколькими способами можно выделить из них отряд, состоящий из одного офицера, двух сержантов и 20 рядовых? Решить эту задачу, при условии, что в отряд должны войти командир роты и старший из сержантов.

Ответ: ; .

21. На школьном вечере присутствуют 12 девушек и 15 юношей. Сколькими способами можно выбрать из них 4 пары для танца?

Ответ: .

22. Сколькими способами можно расставить 20 книг в книжном шкафу с 5 полками, если каждая полка может вместить все 20 книг?

Ответ: Добавим к 20 книгам 4 одинаковых разделительных предмета и рассмотрим все перестановки полученных объектов. Их число равно .

23. Сколькими способами можно надеть 5 различных колец на пальцы одной руки, исключая большой палец?

Ответ: Точно так же как предыдущей задаче .

24. 30 человек голосуют по 5 предложениям. Сколькими способами могут распределиться голоса, если каждый голосует за одно предложение и учитывается лишь число голосов, полученных за каждое предложение?

Решение: Так как учитывается лишь число голосов, поданных за каждое предложение, то надо распределить 30 одинаковых «предметов» по 5 «ящикам». Для этого добавим 4 одинаковых разделительных предмета и рассмотрим все перестановки полученных объектов. Их число равно . Каждой перестановке соответствует своё распределение голосов.

25. Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красный, зеленый и коричневый переплеты. Сколькими способами он может это сделать, если в каждый цвет должны быть переплетены хотя бы одна книга?

Решение: 12 книг можно переплести в переплеты трёх цветов способами. Из них в случаях книги будут переплетены в не более чем два цвета, а в трех случаях – в один цвет. По формуле включений и исключений в случаях книги будут переплетены в переплеты всех цветов.

26. Сколькими способами можно выбрать 12 человек из 17, если данные двое человек из этих 17 не могут быть выбраны вместе?

Ответ: .

27. Хор состоит из 10 участников. Сколькими способами можно в течение трех дней выбирать по 6 участников, так, чтобы каждый день были различные составы хора?

Ответ: .

28. Человек имеет 6 друзей и в течение 20 дней приглашает к себе 3 из них так, что компания ни разу не повторяется. Сколькими способами можно это сделать?

Ответ: Так как , то каждый способ выбора компании будет использован ровно один раз. Число перестановок этих способов равно 20!

29. Для премии по математической олимпиаде выбраны 3 экземпляра одной книги, 2 экземпляра другой и 1 экземпляр третьей книги. Сколькими способами могут быть вручены премии, если в олимпиаде участвовало 20 человек и никому не дают две книги сразу? Если никому не дают двух экземпляров одной и той же книги, но могут быть вручены две или три различные книги?

Решение: Сначала выберем призеров, а потом распределим между ними книги. В результате по принципу умножения получаем способов. Во втором случае сначала выберем, кто получил первую книгу, потом, кто получил вторую, и, наконец, кому достанется третья книга. Всего получаем способов распределения премий.

30. Сколькими способами можно выбрать из 16 лошадей шестерку для запряжки так, чтобы вошли 3 лошади из шестерки ABCA’B’C’, но ни одна из пар AA’, BB’, CC’?

Решение: Выберем по одной лошади из каждой пары AA’, BB’, CC’ (8 способов выбора), трех лошадей из остальных 10 ( способов) и выберем порядок запрягания лошадей (6! способов). Всего способов.

31. Сколькими способами можно переставить буквы в слове «фатеция» так, чтобы не менялся порядок гласных букв?

Решение: Выпишем сначала гласные в данном порядке. Тогда для буквы «ф» имеем 5 мест. После того как они выписаны, имеем 6 мест для буквы «ц» и, наконец, 7 мест для буквы «м». Всего способов.

32. Сколькими способами можно переставить буквы в слове «параллелизм» так, чтобы не менялся порядок гласных букв?

Ответ: (следует учесть, что буква «л» входит в слово трижды.

33. Сколькими способами можно переставить буквы слова «Юпитер» так, чтобы гласные шли в алфавитном порядке?

Ответ: .

34. Сколькими способами можно переставить буквы слова «пастух» так, чтобы между двумя гласными были две согласные?

Ответ: Сначала фиксируем порядок гласных (2 способа), затем поставим между этими гласными 2 согласные ( способов). Первую из оставшихся согласных букв можно поставить до или после обеих гласных (два способа), а для второй имеем уже три места. Всего получаем способа.

35. Сколькими способами можно распределить 3n предметов между тремя людьми так, чтобы каждый получил n предметов?

Ответ: Расставим предметы в некотором порядке и отдадим первому человеку первые n предметов, второму – вторые n предметов и последнему – оставшиеся предметы. Поскольку порядок элементов в группах не играет роли, получаем .

36. Сколькими способами можно разложить 10 книг на 5 бандеролей по 2 книги в каждой (порядок бандеролей не принимается во внимание)?

Ответ: .

37. Сколькими способами можно раздать 18 различных предметов 5 участникам так, чтобы четверо из них получили по 4 предмета, а пятый – два предмета. Если трое получают по 4 предмета, а двое – по 3 предмета?

Решение: Располагаем участников раздела в некотором порядке. После этого располагаем всеми способами 18 предметов по порядку и делим на 4 группы по 4 предмета и 1 группу в 2 предмета. Группу в 2 предмета отдаём одному из 5 участников раздела, а остальные группы даём остальным (первую группу – первому, вторую – второму и т. д.) Так как порядок элементов в группах не играет роли, получаем способов раздела. Во втором случае точно так же получаем способов.

38. Сколькими способами можно раздать 27 книг лицам A, B и C так, чтобы A и B вместе получили вдвое больше книг, чем C?

Решение: Сначала выберем 9 книг для C. Это можно сделать способами. Оставшиеся 18 книг можно разделить между A и B 218 способами. Всего имеем способов раздела.

39. Сколькими способами можно выбрать из чисел от 1 до 100 три числа так, чтобы их сумма делилась на 3?

Решение: Возможны следующие случаи: на 3 делятся все три слагаемых, одно слагаемое и ни одного из слагаемых. В первом случае слагаемые можно выбрать способами. Во втором случае одно слагаемое дает в остатке 1, а другое – 2. Так как чисел от 1 до 100, дающих в остатке 1, имеется 34, а чисел, делящихся на 3, а также дающих в остатке 2, имеется по 33, то во втором случае имеем способов. Если все три слагаемых не делятся на 3, то они дают либо остатки 1, 1 и 1, либо 2, 2 и 2. Соответственно получаем или способов. Всего имеем способа.

40. Сколькими способами можно выбрать из 3n последовательных целых чисел три числа так, чтобы их сумма делилась на 3?

Ответ: .

41. На плоскости проведены 4 прямые линии, из которых никакие две не являются параллельными и никакие 3 не проходят через одну точку. Сколько получится треугольников?

42. На плоскости задано n точек, из которых p лежат на одной прямой, а кроме них никакие 3 точки не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников, вершинами которых являются эти точки?

Решение: Если бы никакие три из n точек лежат на одной прямой, то было бы треугольников с вершинами в этих точках. Но p точек лежат на одной прямой, и поэтому треугольников надо отбросить. Остается треугольников.

43. На прямой взяты p точек, а на другой прямой – ещё q точек. Сколько существует треугольников, вершинами которых являются эти точки?

Ответ: Можно взять две вершины на одной прямой, а третью – на другой. Поэтому получаем треугольников.

44. Каждая сторона квадрата разбита на n частей. Сколько можно построить треугольников, вершинами которых являются точки деления?

Решение: Треугольники могут быть двух видов: либо все три вершины лежат на разных сторонах квадрата, либо две вершины лежат на одной стороне квадрата, а третья – на какой-либо другой. В первом случае надо выбрать три стороны квадрата из четырех (), а потом на каждой из трех сторон по одной точке из n–1. Всего имеем способов выбора. Во втором случае надо выбрать сторону, где лежат две вершины (4 способа выбора) и две точки из n–1 ( способов), после чего выбрать одну из трёх оставшихся сторон (три способа) и точку на ней ( способов). Всего во втором случае имеем способов выбора. Итого получим способов.

45. Переплётчик должен переплести 12 различных книг в красный, зеленый и коричневый переплеты. Сколькими способами он может это сделать, если в каждый цвет должна быть переплетена хотя бы одна книга?

Решение: 12 книг можно переплести в переплеты 3 цветов 312 способами. Из них в случаях книги будут переплетены в не более чем два цвета, а в 3 случаях – в один цвет. По формуле включений и исключений получаем, что случаях книги будут переплетены всех трех цветов.

46. На столе лежат 20 билетов. Какова вероятность того, что 3 наудачу взятых билета имеют номер не больше 5?

Ответ: .

47. В одной урне 3 белых и 5 черных шаров, в другой – 9 белых и 4 черных. Из каждой урны взяли по три шара. Какова вероятность того, что шары будут одного цвета?

Ответ: .

48. Восемь различных книг случайных образом расставляют на полке. Найти вероятность того, что три определенные книги окажутся рядом?

Ответ: .

49. Зенитная батарея, состоящая из 3 орудий, производит залп по группе, состоящей из 7 самолетам. Каждое из орудий выбирает себе цель наудачу независимо от остальных. Найти вероятность того, что все орудия выстрелят по одному и тому же самолетам.

Ответ: .

50. Для уменьшения общего количества игр 12 команд случайным образом разбиты на две равные подгруппы. Определить вероятность того, что две наиболее сильные команды окажутся в разных подгруппах.

Ответ: .

51. Для уменьшения общего количества игр 2n команд случайным образом разбиты на две равные подгруппы. Определить вероятность того, что две наиболее сильные команды окажутся: а) в разных подгруппах; б) в одной подгруппе.

Ответ: а) , б) .

52. Зенитная батарея, состоящая из k орудий, производит залп по группе, состоящей из l самолетов (k£l). Каждое орудие выбирает себе цель случайно и независимо от других. Найти вероятность того, все k орудий выстрелят по одной и той же цели.

Ответ: .

53. Из множества чисел <1, 2, . , n>последовательно выбирается два числа. Какова вероятность, что второе число больше первого, если выбор осуществляется: а) без возвращения; б) с возвращением?

Ответ: а) , б) .

54. Из множества чисел <1, 2, . , n>последовательно выбирается три числа. Какова вероятность того, что второе число будет заключаться между первым и третьим, если выбор осуществляется: а) без возвращения; б) с возвращением?

Ответ: а) , б) .

55. На бочонках лото написаны числа от 1 до N. Из этих N бочонков одновременно случайно выбираются два. Найти вероятность того, что: а) на обоих бочонках написаны числа, меньше чем k (2 2). Найти вероятность того, что два фиксированных лица А и В окажутся рядом.

Ответ: .

57. N человек случайным образом рассаживаются за прямоугольным столом вдоль одной из его сторон (N>2). Найти вероятность того, что два определенных лица А и В окажутся рядом.

Ответ: .

58. Урна содержит шары с номерами 1, 2, . , n. Из нее k (k£n) раз вынимается шар и каждый раз возвращается обратно. Найти вероятность того, что номера вынутых шаров образуют строго возрастающую последовательность.

Ответ: .

Источник