Нерациональный способ решения задачи

Нерациональный способ решения задачи

Пример оформления решения задач «Нулевого варианта»

Задача 1. К моменту прихода читателя в библиотеку в ней было 2000 различных книг, причем из них: 50 — приключенческие романы и 30 — научно-фантастические романы. Читатель взял 6 книг. Какова вероятность того, что среди них — 2 приключенческих и 3 научно-фантастических романа?

Пусть А — интересующее нас событие, состоящее в том, что читатель взял в библиотеке 6 книг, среди которых: 2 — приключенческие романы и 3 — научно-фантастические романы.

Нетрудно заметить, что в данном случае можно использовать классическое определение вероятности; если ввести пространство элементарных событий W = <ω>, где ω — элементарное событие, состоящее в том, что читатель взял 6 конкретных книг из 2000.

Всего таких различных элементарных событий будет С 6 ₂₀₀₀ (смотри 1.4), причем все они равновероятны.

Число элементарных событий, благоприятствующих событию А, будет равно С 2 ₅₀·С 3 ₃₀·С 1 ₁₉₂₀ (смотри 1.1, 1.4).

Следовательно, P(A) = k/n = (C 2 ₅₀·C 3 ₃₀·C 1 ₁₉₂₀) / C 6 ₂₀₀₀.

Задача 2. В мастерской 4 станка, которые включаются независимо друг от друга. Вероятность того, что в момент времени t станок работает, равна:0,7 для первого станка; 0,6 для второго; 0,8 для третьего; 0,9 для четвертого. Какова вероятность того, что в момент времени t работает хотя бы один станок?

Пусть A_i — событие, состоящее в том, что в момент времени t в мастерской работает i станок; i = 1, 2, 3, 4.

Тогда интересующее нас событие А, состоящее в том, что в момент времени t в мастерской работает хотя бы один станок; можно представить двумя различными способами, а соответственно, получить два различных метода решения этой задачи.

1 способ (нерациональный).

где _i — событие, состоящее в том, что в момент времени t i-ый станок не работает.

Заметим, что событие А представлено в виде суммы несовместных событий, каждое из которых является произведением независимых событий.

P(A) = 0,7·0,6·0,8·0,9 + 0,3·0,6·0,8·0,9 + 0,7·0,4·0,8·0,9 +
+ 0,7·0,6·0,2·0,9 + 0,7·0,6·0,8·0,1 + 0,3·0,4·0,8·0,9 + 0,3·0,6·0,2·0,9 +
+ 0,3·0,6·0,8·0,1 + 0,7·0,4·0,2·0,9 + 0,7·0,4·0,8·0,1 + 0,7·0,6·0,2·0,1 +
+ 0,3·0,4·0,2·0,9 + 0,3·0,4·0,8·0,1 + 0,3·0,6·0,2·0,1 + 0,7·0,4·0,2·0,1 = 0,9976.

2 способ (рациональный).

= 1 — 0,3·0,4·0,2·0,1 = 0,9976.

Задача 3. Детали для конвейерной линии поставляют 4 цеха, причем первый цех — 25% всех деталей, второй — 15%, третий — 20%, четвертый — 40%.

Вероятность брака для первого цеха равна 0,2; второго 0,15; третьего -0,17; четвертого — 0,25. Контролер ОТК взял для проверки одну деталь. Какова вероятность того, что она не имеет брака?

Пусть А — интересующее нас событие, состоящее в том, что деталь не имеет брака.

В_i — событие, состоящее в том, что деталь изготовлена i-м цехом; i = 1, 2, 3, 4.

Заметим, что в данном случае можно применить формулу полной вероятности, так как A М B₁ + B₂ + B₃ + B₄ и B_i З B_j = Ø, i j; W = B₁ + B₂ + B₃ + B₄ (смотри 2.4).

P(B1) = 25/100 = 0,25	P(A/B1) = 1 — 0,2= 0,8;
P(B2) = 15/100 = 0,15	P(A/B2) = 1 — 0,15 = 0,85;
P(B3) = 20/100 = 0,2	P(A/B3) = 1 — 0,17 = 0,83;
P(B4) = 40/100 = 0,4	P(A/B4) = 1 — 0,25 = 0,75.

Задача 4. В зрительном зале 2 вентилятора, которые включаются независимо друг от друга. Вероятность того, что вентилятор включен в момент времениt, равна: 0,8 для одного и 0,6 для второго. Какова вероятность того, что в момент времени t включен только один их этих вентиляторов?

Пусть А — интересующее нас событие, состоящее в том, что в момент времени t в зале включен только один вентилятор.

A_i — событие, состоящее в том, что в момент времени t в зале включен i-й вентилятор; i = 1, 2.

Тогда

Так как A представлено в виде суммы несовместных событий, каждое из которых — произведение независимых событий; то

= 0,8·0,4 + 0,2·0,6 = 0,44.

Задача 5. В магазине «Товары для дома» к моменту прихода покупателя было: 25 пылесосов марки «Уралец», 20 пылесосов марки «Ракета» и 15 пылесосов марки «Чайка». Вероятность того, что пылесос не сломается в период гарантийного срока, равна: 0,8 для «Уральца»; 0,7 для «Ракеты»; 0,85 для «Чайки». Покупатель приобрел один пылесос, который не сломался в период гарантийного срока. Какова вероятность того, что это — «Уралец»?

Пусть А — событие, состоящее в том, пылесос не сломался в период гарантийного срока.

B₁ — событие, состоящее в том, что куплен пылесос марки «Уралец»;

B₂ — событие, состоящее в том, что куплен пылесос марки «Ракета»;

B₃ — событие, состоящее в том, что куплен пылесос марки «Чайка».

Нетрудно заметить, что мы находимся в условиях возможности применения формулы полной вероятности:

A М B₁ + B₂ + B₃, B₁ + B₂ + B₃ = W , B_i З B_j = Ø, i j.

P(B1) = 25/60	P(A/B1) = 0,8;
P(B2) = 20/60	P(A/B2) = 0,7;
P(B3) = 15/60	P(A/B3) = 0,85. Следовательно,

Мы, решая задачу, фактически использовали формулу Байесcа (смотри 2.4).

© Центр дистанционного образования ОГУ, 2000

Источник

Нестандартные решения сложных задач

Меня интересуют различные методы системного и творческого мышления, которое можно использовать в реальной жизни для решения сложных задач. О нескольких методах расскажу в данной статье.
Недавно прочитал книгу Торп С. — Учебник креативного мышления. Простой подход к нестандартным решениям – 2010. В ней предлагается интересный подход для развития навыков решения сложных задач.

Основная мысль автора – чтобы решать сложные задачи, нужно сворачивать с колеи шаблонного мышления, нарушать правила, которые зачастую нам не дают взглянуть на проблему шире. Вот что пишет автор:

Неспособность разрешить какую-то проблему вполне может объясняться тем, что вы застряли в «колее» правил. Мы все живем по правилам — укоренившимся в нас шаблонам мышления, которые ошибочно принимаем за истину. Наши правила формируются естественным образом в результате многократного использования одних и тех же идей. Следуя правилам, мы постепенно увязаем в глубокой «колее», и тогда любые неординарные идеи остаются вне нашего поля зрения.

Как нарушать правила, отлично показано на примере игры «Крестики-нолики».
Многие неразрешимые проблем похожи на игру в «крестики-нолики»» Выигрыш кажется невозможным, как бы ты не играл. Однако нарушив (или расширив) правила можно получить победу множеством путей.

Ход вне очереди

В «крестики-нолики» выиграть очень просто, если делать ходы вне очереди! Конечно в контексте крестиков-ноликов, нарушение правил – это обман. Однако речь идет не о моральных принципах, а о правилах, которые предписывают нам, как следует решать проблему.

Если правила не работают, то почему бы не сыграть на опережение, делая дополнительные ходы.
Мало кому приходит в голову сделать ход вне очереди в реальном мире, но, в сущности, этот прием используется с незапамятных времен. Например, после одного из сражений гражданской войны в Америке генерал Роберт Ли объявил своим офицерам, что генерал Грант двинется на Спотсильванию, так как это наилучшее для него решение. Ли разработал кратчайший маршрут к этому пункту и приказал войскам двигаться туда. Войска Ли сделали, так сказать, ход вне очереди и прибыли в Спотсильванию прежде, чем туда смогла добраться армия Гранта.

Ходы вне очереди — распространенное явление в мире бизнеса. Когда изготовители Тайленола узнали, что аналогичное обезболивающее средство Датрил будет продаваться со значительной скидкой, они сделали ход вне очереди. Они установили цену ниже стоимости Датрила еще до того, как изготовители последнего смогли объявить о своей цене. Рекламная кампания нового лекарства провалилась, и Тайленол удержал свои позиции на рынке.

Мы в компании, часто играем на опережение – ещё на предварительном изучении объекта автоматизации разрабатываем прототип системы. Такой подход нам позволяет глубже понять, что нужно сделать, а заказчику увидеть серьёзность наших намерений.

Используйте активы соперника

Выстроить в ряд три значка совсем не трудно, если к своим двум ноликам прибавить чужой крестик. Зачем ограничивать себя собственными ресурсами? )

Адмирал военно-морского флота США Гарри Ярнелл был первым, кто разработал план нападения японцев на Перл-Харбор. Он определил наиболее перспективные направления и стратегию атаки. В 1932 году он даже провел показательные учения с участием двух авианосцев США. Императорский военно-морской флот Японии превратил план американского адмирала в собственную успешную атаку на базу ВМС США. Японцы не постеснялись воспользоваться американским планом сражения. Если план эффективен, осознано используйте его, независимо от источника.

В шашках и шахматах победная комбинация основывается на расположении, как своих фигур, так и противника, причем именно использование фигур противник зачастую является ключевым элементом победного плана.
В бизнесе предприниматели часто изучают что сдали конкуренты, учитывают их ошибки и создают более прибыльную систему.

Проявите гибкость (и правильно ставьте задачи)

Вы сможете выиграть в «крестики-нолики» или разрешить другие сложные задачи, если примените гибкое определение термина «победа». Позвольте вашему ряду изогнуться, и победа у вас в кармане. Иногда определенные нами условия победы слишком строги или не соответствуют характеру сложившейся ситуации. Измените определение успеха и решение станет возможным.
Кроме того, если задача была поставлена неправильно, то возможно никому не под силу её решить. Задача должна ставиться конструктивно, в расчете на нетривиальные решения, отличные от ваших первоначальных ожиданий. Деструктивная постановка задач связана с таким количеством условий и ограничений, что достижение цели оказывается за пределами человеческих возможностей. Примером деструктивной постановки задачи может быть желание «летать, махая руками, словно крыльями».
При конструктивной постановке задачи приемлемым будет любое решение, позволяющее вам «оторваться от земли». Правильная постановка задачи расширяет диапазон возможных решений.

Сотрудничайте

Правило, ведущее к обязательному проигрышу одной стороны, может оказаться самым большим препятствием на пути к победе любого из участников игры. Сотрудничество с соперником может обеспечить выигрыш вам обоим.
Однажды я услышал фразу на всегда запавшую мне в душу: «В одного можно вырастить только супер-картошку!!». Имеется ввиду, что для решения действительно сложных задач нужна команда и желание сотрудничать.

Пробуйте решать сложные проблемы – нарушайте правила!

Источник

Приемы рациональных вычислений на уроках математики в начальной школе

В школьной практике мы постоянно сталкиваемся с тем, что ребенок использует привычные, во многом навязанные ему способы решения. Так, например, некоторые дети, после того как изучены приемы письменных вычислений, начинают применять эти способы и при устном решении примеров. Это заставляет задуматься, что же побуждает детей обращаться к такому нерациональному приему решения? Думаю, стремление действовать в соответствии с определенными алгоритмами, избегая при этом активных усилий мысли. Т.о. перед нами встает одна из главнейших задач обучения математике – пробудить у школьника потребность активно мыслить, искать наиболее рациональные пути решения.

Прививая любовь к устным упражнениям, учитель будет помогать ученикам активно действовать с учебным материалом, пробуждать у них стремление совершенствовать способы вычислений и решения задач, менее рациональные заменять более совершенными и экономичными. А это – важнейшее условие сознательного усвоения материала. Направленность мыслительной деятельности ученика на поиск рациональных путей решения проблемы свидетельствует о вариативности мышления.

Важно показать ученикам красоту и изящество устных вычислений, используя разнообразные вычислительные приемы, помогающие значительно облгчить процесс вычисления. Некоторые из таких приемов не предусмотрены программой начальной школы, а между тем детей довольно легко подвести к ознакомлению с ними, используя современную программу и учебник.

Успешное применение различных приемов зависит в значительной мере от находчивости, изобретательности и умения подмечать особенности чисел и их сочетаний. Приемы устных вычислений основываются на знании нумерации, основных свойств действий, на сведении вычислений к более простым, результаты которых могут быть получены из табличных результатов.

Работа над приемами устных вычислений должна вестись с первого класса. Например, познакомив детей с натуральным рядом чисел и имея его перед глазами, легко закрепить состав чисел. Например, ряд чисел от 0 до 7. Поставив пальчики на крайние числа и передвигая их к центру, дети хором говорят: 7 – это 0 и 7; 1 и 6; 2 и 5 и т.д. Отработав таким образом состав чисел в пределах 10 и познакомившись с приемами перестановки слагаемых, дети легко справляются с заданием: найти сумму чисел от 1 до 10. Важно показать детям при этом и вычисления по порядку для сравнения, чтобы выделить более легкий и рациональный чисел. В дальнейшем, используя переместительное и сочетательное свойства сложения, легко можно найти сумму чисел: 18 + 23 + 22 + 17.

При выполнении устных вычислений иногда полезно округлять числа, прибавляя к ним несколько единиц или убавляя их. Подготовка к округлению чисел происходит на таких заданиях: сколько не хватает до 20, 30, . Далее навыки сложения и вычитания углубляются, ученики знакомятся с округлением компонентов арифметических действий. При выполнении таких заданий внимание обращается на выявление закономерности и нахождении более рационального приема вычислений.

Например: 27 + 59 = 27 + 50 + 3 + 6 (традиционный способ)

53 – 28 = 53 – 20 – 3 – 5 (традиционный способ)

А можно: 53 – 28 = 53 – 30 + 2 и т.д.

Здесь приемы следующие:

— округление одного или нескольких слагаемых;

— округление уменьшаемого или вычитаемого.

Существуют приемы, основанные на знаниях некоторых свойств чисел или результатов действий. Наблюдая примеры:

1 + 3 + 5 = 9 = 3 * 3

1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4 * 4 и т.д.,

легко находить сумму любого количества последовательных нечетных чисел, начиная с 1. Она равна произведению количества слагаемых на самого себя.

Можно использовать для вычислений такую закономерность:

9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15 и т.д.

Зная число Шахразады: 1001 = 7 * 11 * 13, сразу можно получить результат такого примера: 7 * 11 * 13 * 678 = 678678. Сразу можно написать ответ к выражению: 3* 7* 37 , зная, что 37 * 3 = 111 и т.д. Отсюда становится понятным моментальный ответ на задание: (10 2 + 11 2 + 12 2 + 13 2 + 14 2 ) : 365 = 2.

Рационализация может осуществляться за счет возможности выполнять некоторые арифметические действия в исходной вычислительной программе.

Например: 6 + 2 – 2; 7580 : 20 * 20; 783 * 4 + 783 * 6 – 703 * 8 * 0 и т.п.

Для этого очень важно научить детей внимательно рассматривать условие задания, суметь подметить все его особенности. Здесь главным является формирование установки на предварительный анализ условия задания. Этому помогают упражнения такого вида: 16 . 17 = 33. (Необходимо выбрать нужное арифметическое действие и обосновать). Рассуждения: было 16, стало 33, сумма увеличилась, значит выполняю действие сложения. Далее задания усложняются: 8 . 6 . 33 = 15.

Задания можно давать и в занимательной форме, например “Математический лабиринт”. Дети, выбирая то или иное арифметическое действие, сравнивают числа, им приходится мыслить целенаправленно, обосновывать сказанное.

Для рационализации вычислений существуют частные приемы умножения и деления:

• приемы деления на 3, 6, 9, 5 и т.д.;
• приемы умножения на 5, 9, 99, 999, 11, 101 и т.д.;
• прием замены множителя или делимого разностью 68 * 5 = ( 70 – 2) * 5;
• прием замены множителя или делителя произведением:
  • 75 * 8 = 75 * 2 * 2 * 2;
  • 960 : 15 = 960 : 3: 5;
  • 84 * 84 = 7 * 12 * 7 * 12 = 49 * 144 = 50 * 144 – 144 = 100 * 72 – 144 = 7056.

Все эти приемы основаны на конкретном смысле умножения и помогают расширять знания детей о свойствах умножения и возможности рациональных вычислений задолго до знакомства с этими приемами в средней школе.

Вот как можно просто и быстро перемножать числа от 10 до 20: к одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, умножить на 10 и прибавить произведение единиц чисел. Например: 16 * 18 = (16+8)*10 + 6*8 = 240 + 48 = 288

Используя описанный прием, ученик умножает на 10 и применяет табличное умножение, т.е. выполняет довольно простые мыслительные операции.

Овладение некоторыми приемами тождественных преобразований и рациональных вычислений готовит детей к успешному изучению математики в средней школе, а кроме того, перед учениками открывается совсем другая математика: живая, полезная и понятная. И очень жаль, если непонимание математических связей начинается в начальной школе. Как правило, к сожалению, такие дети не могут предложить нестандартное решение. Им трудно объяснить свой выбор, потому что они бояться ошибиться.

Источник