Неопределенные интегралы способ замены

Метод замены переменной в неопределённом интеграле

Суть метода замены переменной

Во многих случаях подынтегральное выражение не позволяет сразу же найти интеграл по таблице. Тогда введение новой переменной интегрирования помогает свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной.

Вводится новая переменная, назовём её t . Например,

• в интеграле можем ввести новую переменную ;
• в интеграле можем ввести новую переменную ;
• в интеграле можем ввести новую переменную .

Далее dx определеяем как дифференциал по переменной t . После этого интеграл можно найти по таблице интегралов. Заменив обратно t на функцию от x , находим данный интеграл окончательно.

Прежде чем перейти к подробным решениям примеров, следует привести теорему, в которой обобщаются перечисленные выше действия.

Теорема. Пусть функция определена и дифференцируема на некотором промежутке Т и пусть Х – множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда, если на множестве Х функция f(x) имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула

(1)

Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределённом интеграле.

Метод замены переменной обычно применяется, когда подынтегральное выражение представляет собой независимую переменную, умноженную на многочлен от этой переменной, или на тригонометрическую функцию от этой переменной или на степенную функцию (в том числе корень) от этой переменной.

Применяем замену переменной вместе

Надо полагать, вы уже держите перед собой домашние задания и готовы применять к ним приёмы по аналогии с теми, которые мы ниже рассмотрим. При этом не обойтись без преобразований выражений. Для этого потребуется открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.

Пример 1. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:

Решение. Производим замену x − 1 = t ; тогда x = t + 1 . Отсюда dx = dt . По формуле (1)

Возвращаясь к переменной x , окончательно получаем

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Замечание. При замене переменной в неопределённом интеграле иногда более удобно задавать не х как функцию t, а, наоборот, задавать t как функцию от x.

Заметим, что удачный выбор подстановки обычно представляет известные трудности. Для их преодоления необходимо овладеть техникой дифференцирования и хорошо знать табличные интегралы.

Пример 2. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:

.

Решение. Положим . Отсюда
.
По формуле (1)

.

Возвращаясь к переменной x, окончательно получаем

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Если трудно уследить, куда в процессе решения примера 2 делись и , это признак того, что нужно повторить действия со степенями из элементарной (школьной) математики.

Пример 3. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:

.

Решение. Положим , откуда и .

Тогда , в свою очередь .

Заменяем переменную и получаем:

,

где степени при t складываются. Продолжаем преобразования и получаем:

Приводим дроби к общему знаменателю и возвращаемся к переменной x. Решаем и получаем ответ:

Применить замену переменной самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 4. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:

.

Пример 5. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:

.

Пример 6. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:

.

Снова применяем замену переменной вместе

Пример 7. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:

.

Решение. Положим , откуда , , .

Тогда

(не забываем о правиле дифференцирования сложной функции).

Заменяем переменную и получаем:

.

Возвращаясь к переменной х, получаем ответ:

.

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Пример 8. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:

.

Решение. Положим , откуда , .

Заменяем переменную и получаем:

Подставляя вместо t его выражение через x получаем ответ:

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Кому лишь смутно понятно или совсем не понятно, как преобразуются выражения в примере 5, пожалуйста, повторите из курса элементарной (школьной) математики действия с корнями, степенями и дробями!

И если вы ещё не открыли в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями, то сделайте это сейчас!

Пример 9. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:

.

Решение. Положим , тогда
.

Заменяем переменную и получаем:

Решение с переменной t получено с использованием формулы 21 из таблицы интегралов.

Подставляя вместо t его выражение через x получаем ответ:

.

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Источник

Лекция 2. Замена переменной и и интегрирование по частям в неопределенном интеграле

Сайт:	Навчальний сайт ХНАДУ
Курс:	Вища Математика (2 семестр) Вишневецький А.Л.
Книга:	Лекция 2. Замена переменной и и интегрирование по частям в неопределенном интеграле

Надруковано:	Гість
Дата:	четвер 18 листопад 2021 03:08

Зміст

Тема 1. Неопределенный интеграл, его свойства

1. Первообразная

Пусть f ( x ) – данная функция.

Определение . Функция F ( x ) называется первообразной для f ( x ) , если

Примеры . x 2 – первообразная для 2 x , т.к. ( x 2 )’ = 2 x . Впрочем, x 2 + 1 и x 2 — 5 – тоже первообразные для 2 x , т.к. ( x 2 + 1)’ = 2 x и ( x 2 — 5)’ = 2 x .

Теорема 1. Если F ( x ) – первообразная для f ( x ) , то

1) F ( x ) + С – тоже первообразная для f ( x ) .

2) Любая первообразная для f ( x ) имеет вид F ( x ) + С для некоторого С.

2. Неопределенный интеграл

Определение . Множество всех первообразных функции f ( x ) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается так:

Здесь f ( x) dx – подынтегральное выражение, f ( x ) – подынтегральная функция, x – переменная интегрирования.

Если функция непрерывна на некотором отрезке, то на этом отрезке существует её неопределенный интеграл.

Операции нахождения дифференциала и неопределенного интеграла – взаимно обратные:

3. Свойства неопределенного интеграла

Формул «интеграл от произведения» и «интеграл от частного» функций нет.

4. Таблица первообразных

Таблица проверяется с помощью (1). Формулы № 10, 12, 14 есть обобщение формул № 9, 11, 13. В формулах № 10, 12, 14, 15 a ≠ 0 .

Полная запись формулы №1:

Тема 2. Основные методы интегрирования

5. Интегрирование подстановкой (заменой переменной)

Суть метода: путем введения новой переменной интегрирования (т.е. подста­новки) свести данный интеграл к более простому (желательно – к табличному).

Начнем с формулы замены. Надо найти интеграл

Сделаем подстановку φ(t) = x , где φ(t) — функция, имеющая непрерывную производную. По определению дифференциала, dx = φ'(t)dt . Подставляем в (1):

– формула замены переменной в неопределенном интеграле. После ее примене­ния и вычисления полученного интеграла нужно вернуться к исходной перемен­ной. Формулу (2) применяют как «слева направо», так и «справа налево». Общих методов подбора подстановок не существует.

6. Интегрирование по частям

Теорема . Если функции u = u(x) , ν = ν (x) имеют непрерывные производные, то

Док-во . Интегрируя равенство d(uv) = udv + vdu , получим uv = ∫ udv — ∫ vdu , т.е. (5)

Формула (5) сводит нахождение ∫ udv к нахождению ∫ vdu , поэтому ее приме­няют тогда, когда последний интеграл не сложнее первого. Для применения этой формулы подынтегральное выражение представляют как произведение двух сомножителей, один из которых обозначают u , другой dv . Затем u дифференцируют (находят du ), а dv интегрируют (находят v ).

Укажем способ выбора u и dv в двух типичных случаях. Пусть P(x) – многочлен.

Формулу (5) можно применять повторно. Например, в случае а) это делают n раз, где n – степень многочлена P(x) .

7. Интегрирование простейших рациональных дробей

Простейшие рациональные дроби – это дроби:

1 рода: ( k N ) и 2 рода: (дискриминант знаменателя D n = 1 так:

• Заменить

• Разложить интеграл в сумму вида

К первому интегралу применить формулу (4), а второй – табличный (арктангенс).

Источник