Проект на тему: «Необычные способы умножения натуральных чисел»
Проект на тему:
«Необычные способы умножения
натуральных чисел»
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| munitsipalnoe_byudzhetnoe_obrazovatelnoe_uchrezhdenie.doc | 340 КБ |
Предварительный просмотр:
Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
Наруксовская средняя общеобразовательная школа
«Необычные способы умножения
Работу выполнили: ученицы 5 класса
Руководитель: учитель математики
Познакомиться со старинными приемами умножения.
Расширить знания по различным приемам умножения.
Научиться выполнять действия с натуральными числами, используя старинные способы умножения .
Что такое умножение?
Это действие сложения.
Но не слишком-то приятное,
Потому что мно-го-крат-ное…
В современной жизни каждому человеку часто приходится выполнять огромное количество расчётов и вычислений. Ни один пример, ни одну задачу по математике, физике, химии нельзя решить, не обладая навыками элементарных способов вычисления. В разное время разные народы владели разными способами умножения натуральных чисел. Интересно, что наши способы умножения не является совершенными, можно придумать еще более быстрые и еще более надежные.
Давайте рассмотрим наиболее интересные и простые способы умножения.
Легко умножать нам помогают следующие свойства: умножение числа на ноль, на 1, на 10, 100,1000 , переместительное, сочетательное, распределительное свойства умножения.
1. Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр.
72 ( 11 = 7 ( 7 + 2 ) 2 = 792
35 ( 11 = 3 ( 3 + 5 ) 5 = 385
Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю ( третью) оставить без изменения.
94 ( 11 = 9 ( 9 + 4 ) 4 = 9 (13 ) 4 = (9 +1) 34 = 1034
73 ( 11 = 7 ( 7 + 3 ) 3 = 7 ( 10 ) 3 = ( 7 + 1) 03 = 803
2. Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, 44, , 99, надо последнее число представить в виде произведения однозначного числа ( от 2 до 9) на 11, т. е. 44 = 4 ( 11.
Затем произведение первых чисел умножить на 11.
48 ( 22 = 48 ( 2 ( 11 = 96 ( 11 = 9 ( 9 + 6 ) 6 = 9 ( 15) 6 = ( 9 + 1) 56 = 1056
23 ( 33 = 23 ( 3 ( 11 = 69 ( 11 = 6 ( 6 + 9 ) 9 = 6 ( 15 ) 9 = ( 6 + 1) 59 =759
16 ( 55 = 16 ( 5 ( 11 = 80 ( 11 = 8 ( 8 + 0 ) 0 = 880
3. Чтобы чётное двузначное число умножить на число, оканчивающееся на 5, следует применить правило: если один из сомножителей увеличить в несколько раз, а другое – уменьшить во столько же раз , произведение не изменится.
44 ( 5 = ( 44 : 2) ( 5 ( 2 = 22 ( 10 = 220
28 ( 15 = ( 28 : 2) ( 15 ( 2 = 14 ( 30 = 420
26 ( 35 = (26 : 2) ( 35 ( 2 = 13 ( 70 = 910
14 ( 85 = (14 : 2) ( 85 ( 2 = 7 ( 170 = 1190
4. Чтобы число умножить на 25 , надо это число разделить на 4 и умножить на 100.
( На 4 делятся те и только те числа, у которых две последние цифры числа выражают число, делящееся на 4).
124 ( 25 = 124 : 4 ( 100 = 3100
1716 ( 25 = 1716 : 4 ( 100 = 42900
5. Чтобы число разделить на 25 , надо это число разделить на 100 и умножить на 4.
12100 : 25 = 12100 : 100 ( 4 = 484
3100 : 25 = 3100 : 100 ( 4 = 124
6. Чтобы число умножить на 125 , надо это число разделить на 8 и умножить на 1000.
( На 8 делятся те и только те числа, у которых три последние цифры выражают число, делящаяся на 8).
32 ( 125 = 32 : 8 ( 1000 = 4000
3168 ( 125 = 3168 : 8 ( 1000 = 396 000
7. Чтобы число разделить на 125, надо это число разделить на 1000 и умножить на 8.
4000 : 125 = 4000 : 1000 ( 8 = 32
9000 : 125 = 9000 : 1000 ( 8 = 72
8 . Возведение в квадрат числа, оканчивающегося цифрой 5.
15 ( 15 = ( 1 ( 2) 25 = 225
25 ( 25 = ( 2 ( 3) 25 = 625
35 ( 35 = ( 3 ( 4) 25 = 1225
9. Правило. При умножении чисел, оканчивающихся на 1 , надо сначала перемножить цифры десятков и правее полученного произведения записать под этим числом сумму цифр десятков, а затем перемножить 1 на 1 и записать ещё правее. Сложив столбиком, получим ответ.
81 ( 31 = ? 81 ( 31 = 2511
21 ( 31 = ? 21 ( 31 = 651
91. ( 71 = ? 91 ( 71 = 6461
10. Умножение двухзначных чисел, близких к 100
Решение: чтобы получить необходимые последние цифры (единицы и десятки), необходимо: 100 – 94 = 6 100 – 78 = 22 и результаты перемножить 6 · 22 = 132 32 последние две цифры (1 запоминаем) Чтобы получить первые две цифры (тысячи и сотни), надо: 94 – 22 = 72 72+1 = 73 В результате имеем 94•78 = 7332
Пример: 67 • 93 100 – 67 = 33 100 – 93 = 7 33 • 7 = 231 (31 последние две цифры) 2 запоминаем 67 – 7 = 60 60 + 2 = 62 67 • 93 = 6231
11.Умножение на 9, 99, 999, 9999, 99999
786 • 9 = 786(10 — 1) = 786 • 10 – 786 = 7860 – 786 = 7074 (для умножения многозначного числа на 9 надо приписать к нему справа нуль и вычесть из результата множимое число).
При умножении на 99, приписывают два нуля, на 999, приписывают три нуля и т.д. 456 • 99 = 45600 – 456 = 45144 598 • 999 = 598000 – 598 = 597402
Умножение методом Ферроля.
Для умножения единиц произведения переумножения перемножают единицы множителей, для получения десятков, умножают десятки одного на единицы другого и наоборот и результаты складывают, для получения сотен перемножают десятки. Методом Ферроля легко перемножать устно двухзначные числа от 10 до 20.
б) 1х4+2х1=6, пишем 6
Умножение для числа 9 — 9·1, 9·2 … 9·10 — легче выветривается из памяти и труднее пересчитывается вручную методом сложения, однако именно для числа 9 умножение легко воспроизводится «на пальцах». Растопырьте пальцы на обеих руках и поверните руки ладонями от себя. Мысленно присвойте пальцам последовательно числа от 1 до 10, начиная с мизинца левой руки и заканчивая мизинцем правой руки (это изображено на рисунке).
Кто придумал умножение на пальцах
Допустим, хотим умножить 9 на 6. Загибаем палец с номером, равным числу, на которое мы будем умножать девятку. В нашем примере нужно загнуть палец с номером 6. Количество пальцев слева от загнутого пальца показывает нам количество десятков в ответе, количество пальцев справа — количество единиц. Слева у нас 5 пальцев не загнуто, справа — 4 пальца. Таким образом, 9·6=54. Ниже на рисунке детально показан весь принцип «вычисления»
Новый способ умножения.
Интересен новый способ умножения, о котором недавно появились сообщения. Изобретатель новой системы устного счёта кандидат философских наук Василий Оконешников утверждает, что человек способен запоминать огромный запас информации, главное – как эту информацию расположить. По мнению самого учёного, наиболее выигрышной в этом отношении является девятеричная система – все данные просто располагают в девяти ячейках, расположенных, как кнопочки на калькуляторе.
Считать по такой таблице очень просто. К примеру, умножим число 15647 на 5. В части таблицы, соответствующей пятёрке, выбираем числа, соответствующие цифрам числа по порядку: единице, пятёрке, шестёрке, четвёрке и семёрке. Получаем: 05 25 30 20 35
Левую цифру (в нашем примере — ноль) оставляем без изменений, а следующие цифры складываем попарно: пятёрку с двойкой, пятёрку с тройкой, ноль с двойкой, ноль с тройкой. Последняя цифра также без изменений.
В итоге получаем: 078235. Число 78235 и есть результат умножения.
Если же при сложении двух цифр получается число, превосходящее девять, то его первая цифра прибавляется к предыдущей цифре результата, а вторая пишется на «своё» место.
Умножение графическим методом (линейным, китайским)
Перемножим два двузначных числа: 15*23
Шаг 1. первое число 15:
Рисуем первую цифру – одной линией.
Рисуем вторую цифру – пятью линиями.
Шаг 2. второе число 23:
Рисуем первую цифру – двумя линиями.
Рисуем вторую цифру – тремя линиями.
Шаг 3. Подсчитываем количество точек в группах.
Шаг 4. Результат – 345
Математики тоже бывают с богатой фантазией. Когда им скучно умножать и делить в столбик, как нас всех и учили в школе, они придумывают более необычные способы математических вычислений. Кому-то они могут показаться интересными и подходящими, кому-то – сложными и неприемлемыми.
Умножение в уме крупных чисел
Способ запоминания таблицы умножения на 9
Работая над этой темой, мы узнали, что существует порядка 30 различных, забавных и интересных способов умножения. Некоторыми в различных странах пользуются до сих пор. Мы выбрали для себя некоторые интересные способы. Но не все способы удобны в использовании, особенно при умножении многозначных чисел. В общем, таблицу умножения все-таки знать нужно!
Математики тоже бывают с богатой фантазией. Когда им скучно умножать и делить в столбик, как нас всех и учили в школе, они придумывают более необычные способы математических вычислений. Кому-то они могут показаться интересными и подходящими, кому-то – сложными и неприемлемыми.
Умножение в уме крупных чисел
Способ запоминания таблицы умножения на 9
Сложение и вычитание дробей с помощью метода «бабочка»
Список использованных источников
Глейзер, Г. И. История математики в школе – М.: Просвещение, 1964.
Перельман Я. И. Занимательная арифметика: Загадки и диковинки в мире чисел. – М.: Издательство Русанова, 1994.
Аксенова М.Д. Энциклопедия для детей. – М.: Аванта+, 2003
Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 классов─М.:Просвещение,1989. ─ 287 с.
Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К. «Старинные занимательные задачи». – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985.
Источник
Необычный способ умножения натуральных чисел
Однажды мама показала мне интересное видео, в котором один профессор показывал метод умножения двузначных чисел. Так как мы еще не умножаем двузначные числа, мне было интересно посмотреть, как это происходит. Тем более, что многие дети не учат таблицу умножения и поэтому возникают трудности в вычислениях.
Чтобы привлечь внимание учащихся к математике и ответить на вопрос «Надо ли знать таблицу умножения?» я выбрал тему «Необычные способы умножения».
Гипотеза: Надо ли знать таблицу умножения современному ученику?
В нашем современном мире постоянное применение вычислительной техники приводит к тому, что учащиеся затрудняются производить какие-либо расчеты. Знание упрощенных приемов вычислений дает возможность не только быстро производить простые расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результате механизированных вычислений. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память, повышает уровень математической культуры мышления, помогает полноценно усваивать предметы физико-математического цикла
В разное время разные народы владели разными способами умножения натуральных чисел. Но в настоящее время все народы применяют один способ умножения «столбиком». У меня возникли вопросы:
Почему люди отказались от старых способов умножения в пользу современного? Имеют ли забытые способы умножения право на существование в наше время?
Цель работы: выявить наиболее удобный способ умножения.
Найти необычные способы умножения;
Научиться их применять;
Провести эксперимент и найти самый удобный и быстрый способ.
II . Необычные способы умножения
2.1. Немного истории
Те способы вычислений, которыми мы пользуемся сейчас, не всегда были так просты и удобны. В старину пользовались более громоздкими и медленными приемами. И если бы школьник 21 века мог перенестись на пять веков назад, он поразил бы наших предков быстротой и безошибочностью своих вычислений. Молва о нем облетела бы окрестные школы и монастыри, затмив славу искуснейших счетчиков той эпохи, и со всех сторон приезжали бы учиться у нового великого мастера.
Особенно трудны в старину были действия умножения и деления. Тогда не существовало одного выработанного практикой приема для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть не дюжина различных способов умножения и деления — приемы один другого запутаннее, запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый «магистр деления» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия.
В книге В. Беллюстина «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» изложено 27 способов умножения, причем автор замечает: «весьма возможно, что есть и еще способы, скрытые в тайниках книгохранилищ, разбросанные в многочисленных, главным образом, рукописных сборниках».
И все эти приемы умножения — «шахматный или органчиком», «загибанием», «крестиком», «решеткой», «задом наперед», «алмазом» и прочие соперничали друг с другом и усваивались с большим трудом.
Давайте рассмотрим наиболее интересные и простые способы умножения.
2.2. Умножение на пальцах.
Древнерусский способ умножения на пальцах является одним из наиболее употребительных методов, которым успешно пользовались на протяжении многих столетий российские купцы. Они научились умножать на пальцах однозначные числа от 6 до 9. При этом достаточно было владеть начальными навыками пальцевого счета “единицами”, “парами”, “тройками”, “четверками”, “пятерками” и “десятками”. Пальцы рук здесь служили вспомогательным вычислительным устройством.
Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходит число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. Потом бралось число (суммарное) вытянутых пальцев и умножалось на 10, далее перемножались числа, показывавшие, сколько загнуто пальцев на руках, а результаты складывались.
Например, умножим 7 на 8. В рассмотренном примере будет загнуто 2 и 3 пальца. Если сложить количества загнутых пальцев (2+3=5) и перемножить количества не загнутых (2•3=6), то получатся соответственно числа десятков и единиц искомого произведения 56 . Так можно вычислять произведение любых однозначных чисел, больше 5.
2.3. Умножение на 9.
Умножение для числа 9 — 9·1, 9·2 . 9·10 — легче выветривается из памяти и труднее пересчитывается вручную методом сложения, однако именно для числа 9 умножение легко воспроизводится «на пальцах». Растопырьте пальцы на обеих руках и поверните руки ладонями от себя. Мысленно присвойте пальцам последовательно числа от 1 до 10, начиная с мизинца левой руки и заканчивая мизинцем правой руки (это изображено на рисунке).
Допустим, хотим умножить 9 на 6. Загибаем палец с номером, равным числу, на которое мы будем умножать девятку. В нашем примере нужно загнуть палец с номером 6. Количество пальцев слева от загнутого пальца показывает нам количество десятков в ответе, количество пальцев справа — количество единиц. Слева у нас 5 пальцев не загнуто, справа — 4 пальца. Таким образом, 9·6=54. Ниже на рисунке детально показан весь принцип «вычисления».
По ходу дела скажем, что в качестве «счетной машинки» не обязательно могут выступать пальцы рук. Возьмите, к примеру, 10 клеточек в тетради. Зачеркиваем 8-ю клеточку. Слева осталось 7 клеточек, справа — 2 клеточки. Значит 9·8=72. Все очень просто.
7 клеток 2 клетки.
2.4. Умножение чисел методом «ревность» или «решетка».
Данный способ носит романтическое название «ревность», или «решётчатое умножение».
Сначала рисуется прямоугольник, разделённый на квадраты, причём размеры сторон прямоугольника соответствуют числу десятичных знаков у множимого и множителя. Затем квадратные клетки, делятся по диагонали, и «…получается картинка, похожая на решётчатые ставни-жалюзи, — пишет Пачоли. – Такие ставни вешались на окна венецианских домов, мешая уличным прохожим видеть, сидящих у окон дам и монахинь».
Умножим этим способом 347 на 29. Начертим таблицу, запишем над ней число 347, а справа число 29.
В каждую строчку запишем произведение цифр, стоящих над этой клеткой и справа от нее, при этом цифру десятков произведения напишем над косой чертой, а цифру единиц – под ней. Теперь складываем числа в каждой косой полосе, выполняя эту операцию, справа налево. Если сумма окажется меньше 10, то ее пишем под нижней цифрой полосы. Если же она окажется больше, чем 10, то пишем только цифру единиц суммы, а цифру десятков прибавляем к следующей сумме. В результате получаем искомое произведение 10063.
Источник
