Исследовательская работа «Необычные способы умножения»
Работа содержит исследование по заявленной теме, теоретические и практические аспекты исследования
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| Исследовательская работа | 813.55 КБ |
Предварительный просмотр:
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа №7 ЗАТО Углегорск Амурской области
Необычные способы умножения
Выполнил: Смирнов Иван Андреевич,
ученик 6А класса
Руководитель: Хитрова Диана Петровна,
Глава I. Теоретические аспекты исследования…………………………………..5
1.2. Умножение на пальцах……………………………………………. 6
1.3. Метод решетки («ревности»)………………………………………. 7
Глава II. Практические аспекты исследования………………………………. 11
Человеку в повседневной жизни невозможно обойтись без вычислений. Поэтому на уроках математики, нас в первую очередь учат выполнять действия над числами, то есть считать. Умножаем, делим, складываем и вычитаем мы привычными для всех способами, которые изучаются в школе.
Однажды, случайно увидев по телевизору передачу о различных способах умножения, захотелось изучить их более подробно, научиться их использовать для вычислений. Ведь оказалось, что можно умножать не только в столбик, как мы умеем, а существуют и другие способы умножения, более интересные и рациональные.
Постоянное применение современной вычислительной техники приводит к тому, что учащиеся затрудняются производить какие-либо расчеты, не имея в своем распоряжении таблиц или счетной машины. Знание упрощенных приемов вычислений дает возможность не только быстро производить простые расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результате механизированных вычислений. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память, повышает уровень математической культуры мышления, помогает полноценно усваивать предметы физико-математического цикла.
Цель исследования: изучить необычные способы умножения и создать учебное пособие по данной теме.
Объектом нашего исследования является математическое действие умножения; предметом исследования — необычные способы умножения.
Цель исследования определила задачи :
- изучить литературу по данной теме;
- провести анкетирование по теме исследования;
- научиться применять необычные способы умножения;
- научить одноклассников использовать эти способы при вычислениях:
- оформить информацию о необычных способах умножения в виде буклета для учащихся 5-7 классов.
При работе были использованы следующие методы исследования :
- теоретический метод (анализ научной и учебной литературы, а также поиск необходимой информации в сети Интернет);
- эмпирический метод (опрос, беседа);
- математический метод (визуализация данных).
Исследование осуществлялось в три этапа. На первом этапе исследования – поисковом (октябрь-ноябрь 2013 г.) изучались различные источники информации, по проблеме исследования, были определены актуальность и значимость исследования. На втором этапе исследования (декабрь 2013г.) – проводили опрос учащихся 5-7 классов, обрабатывался и систематизировался полученный материал. На третьем этапе – обобщающем (январь-февраль 2014 г.) были обобщены и проанализированы все сведения.
Актуальность данной темы заключается в том, что использование нестандартных приемов в формировании вычислительных навыков усиливает интерес учащихся к математике и содействует развитию математических способностей.
Глава I. Теоретические аспекты исследования
1.1. Немного истории
Те способы вычислений, которыми мы пользуемся сейчас, не всегда были так просты и удобны. В старину пользовались более громоздкими и медленными приемами. И если бы школьник 21 века мог перенестись на пять веков назад, он поразил бы наших предков быстротой и безошибочностью своих вычислений. Молва о нем облетела бы окрестные школы и монастыри, затмив славу искуснейших счетчиков той эпохи, и со всех сторон приезжали бы учиться у нового великого мастера.
Особенно трудны в старину были действия умножения и деления. Тогда не существовало одного выработанного практикой приема для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть не дюжина различных способов умножения и деления — приемы один другого запутаннее, запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый «магистр деления» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия.
В книге В. Беллюстина «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» изложено 27 способов умножения, причем автор замечает: «весьма возможно, что есть и еще способы, скрытые в тайниках книгохранилищ, разбросанные в многочисленных, главным образом, рукописных сборниках».
И все эти приемы умножения — «шахматный или органчиком», «загибанием», «крестиком», «решеткой», «задом наперед», «алмазом» и прочие соперничали друг с другом и усваивались с большим трудом.
Давайте рассмотрим наиболее интересные и простые способы умножения.
1.2. Умножение на пальцах
Древнерусский способ умножения на пальцах является одним из наиболее употребительных методов, которым успешно пользовались на протяжении многих столетий российские купцы. Они научились умножать на пальцах однозначные числа от 6 до 9. При этом достаточно было владеть начальными навыками пальцевого счета “единицами”, “парами”, “тройками”, “четверками”, “пятерками” и “десятками”. Пальцы рук здесь служили вспомогательным вычислительным устройством.
Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходит число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. Потом бралось число (суммарное) вытянутых пальцев и умножалось на 10, далее перемножались числа, показывавшие, сколько загнуто пальцев на руках, а результаты складывались.
Например, умножим 7 на 8. В рассмотренном примере будет загнуто 2 и 3 пальца. Если сложить количества загнутых пальцев (2+3=5) и перемножить количества не загнутых (2•3=6), то получатся соответственно числа десятков и единиц искомого произведения 56 . Так можно вычислять произведение любых однозначных чисел, больше 5.
1.3. Метод «решетки» (метод «ревности»)
Этот способ носит романтическое название «ревность», или «решётчатое умножение .
Сначала рисуется прямоугольник, разделённый на квадраты, причём размеры сторон прямоугольника соответствуют числу десятичных знаков у множимого и множителя. Затем квадратные клетки, делятся по диагонали, и «…получается картинка, похожая на решётчатые ставни-жалюзи, — пишет Пачиоли. – Такие ставни вешались на окна венецианских домов, мешая уличным прохожим видеть, сидящих у окон дам и монахинь». Итальянский математик Лука Пачиоли является основателем данного способа умножения.
«Метод решетки» («ревность») описал в своей «Книге об индийском счете» выдающийся арабский математик и астроном Абу Абдалах Мухаммед Бен Мусса аль – Хорезми.
Этот метод даже проще, чем применяемый сегодня.
Рассмотрим пример: перемножим 987 и 12:
— рисуем прямоугольник 3 на 2 (по количеству десятичных знаков у каждого множителя);
— затем квадратные клетки делим по диагонали;
— вверху таблицы записываем число 987;
— слева таблицы число 12 (см. рисунок );
— теперь в каждый квадратик впишем произведение цифр – сомножителей, расположенных в одной строчке и в одном столбце с этим квадратиком, десятки выше диагонали, единицы ниже;
— после заполнения всех треугольников, цифры в них складывают вдоль каждой диагонали;
— результат записываем справа и внизу таблицы (см. рисунок);
Этот алгоритмом умножения двух натуральных чисел был распространен в средние века на Востоке и в Италии.
Неудобство этого способа мы отметили в трудоемкости подготовки прямоугольной таблицы, хотя сам процесс вычисления интересен и заполнение таблицы напоминает игру.
1.4. Графический способ
Графические способ иногда называют умножение палочками. Достоинства графического способа — простота выполнения, наглядность, точность ответа.
Предположим надо умножить 32 на 21.
На листе бумаги поочередно рисуем линии, количество которых определяется из данного примера.
Сначала 32: 3 красные линии и чуть ниже — 2 синие. Затем 21: перпендикулярно уже нарисованным, рисуем сначала 2 зеленые, затем — 1 малиновую. ВАЖНО: линии первого числа рисуются в направлении из верхнего левого угла в нижний правый, второго числа — из нижнего левого, в верхний правый. Затем считаем количество точек пересечения в каждой из трех областей (на рисунке области обозначены в виде окружностей). Итак, в первой области (область сотен) — 6 точек, во второй (область десятков) — 7 точек, в третьей (область единиц) — 2 точки. Следовательно, ответ: 672.
1.5. Умножение крестиком
В одной старинной русской рукописи описывается интересный прием «умножения крестиком», применявшийся еще в древней Индии под названием «молниеносного».
Пример: 24 х 32 = 768 2 4
Последовательно производим следующие действия:
1. 4 х 2 = 8 – это последняя цифра результата.
2. 2 х 2 = 4; 4 х 3 = 12; 4 + 12 = 16.
6 – предпоследняя цифра в ответе, единицу запоминаем.
3. 2 х 3 = 6, 6 + 1 = 7 – это первая цифра в ответе.
Нами рассмотрены лишь некоторые необычные способы умножения. Используя некоторые из этих них на уроках или дома, можно развить скорость вычислений, привить интерес к математике, добиться успехов в изучении всех школьных предметов.
Глава II. Практические аспекты исследования
Для того чтобы выяснить, знают ли современные школьники другие способы умножения кроме умножения столбиком, был проведен опрос. Было опрошено 20 учащихся 6А класса. Для опроса были составлены следующие вопросы:
- Необходимо ли современному человеку уметь выполнять умножение?
- Умеете ли вы умножать?
- Знаете ли вы другие способы умножения кроме умножения в столбик?
- Хотели бы вы узнать другие способы умножения?
Обработав полученный материал, были составлены следующие результаты (Приложение №1). В результате исследования выяснилось, что все опрошенные считают, что современному человеку необходимо уметь выполнять умножение и умеют умножать. Также выяснилось, что о других способах умножения знают 4 опрошенных (20%) и 19 опрошенных (95%) хотят узнать о других способах.
На занятиях элективного курса рассмотренные выше способы были представлены одноклассникам (Приложение №2). Все ребята с интересом слушали и вникали в суть каждого способа. Большинству одноклассников они понравились и им тоже захотелось научиться умножать необычным способом, что привело на мысль о создании учебного пособия для учащихся 5-7 классов о необычных способах умножения.
В истории математики есть много интересных событий и открытий, к сожалению не вся эта информация доходит до нас, современных учеников. Этой работай, мы хотели хоть чуть — чуть заполнить этот пробел и донести до наших сверстников информацию о необычных способах умножения .
В ходе исследования были изучены различные источники информации по теме, анализ которых показал, что существуют различные необычные способы умножения, достаточно быстрые и надежные . В результате исследования подтвердилась его актуальность: существует потребность учащихся в ознакомлении с другими способами умножения и применении их при вычислениях.
Результатом нашей работы стал буклет «Необычные способы умножения». Смело, рекомендуем его вниманию любителей арифметики.
Источник
Научно-исследовательская работа «Необычные способы умножения»
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
Средняя общеобразовательная школа с. Шланлы
Муниципального района Аургазинский район РБ
«НЕОБЫЧНЫЕ СПОСОБЫ УМНОЖЕНИЯ»
2. Необычные способы умножения……………………………………….
6) Крестьянский способ умножения……………………….……….
7) Умножение способом «Маленький замок» ………….……………….
8) Умножение способом «Ревность» …………………………………….
9) Китайский способ умножения …………………………………………
10) Японский способ умножения …………………………………………
Человеку в повседневной жизни невозможно обойтись без вычислений. Поэтому на уроках математики, нас в первую очередь учат выполнять действия над числами, то есть считать. Умножаем, делим, складываем и вычитаем мы привычными для всех способами, которые изучаются в школе.
Однажды мне случайно попалась страница в Интернете с необычным способом умножения, которым пользуются дети в Китае (как там написано). Я прочитал, изучил и мне понравился этот способ. Оказалось, что можно умножать не только так как предлагают нам в учебниках математики. Мне стало интересно, а есть ли еще какие-нибудь способы вычислений. Ведь способность быстро производить вычисления вызывает откровенное удивление.
Постоянное применение современной вычислительной техники приводит к тому, что учащиеся затрудняются производить какие-либо расчеты, не имея в своем распоряжении таблиц или счетной машины. Знание упрощенных приемов вычислений дает возможность не только быстро производить простые расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результате механизированных вычислений. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память, повышает уровень математической культуры мышления, помогает полноценно усваивать предметы физико-математического цикла.
Показать необычные способы умножения.
Ø Найти как можно больше необычных способов вычислений.
Ø Научиться их применять.
Ø Выбрать для себя самые интересные или более легкие, чем те которые предлагаются в школе, и использовать их при счете.
Мне стало интересно, знают ли современные школьники, мои одноклассники и другие, иные способы выполнения арифметических действий, кроме умножения столбиком и деления «уголком» и хотели бы узнать новые способы? Я провел устный опрос. Было опрошено 20 учащихся 5-7 классов. Этот опрос показал, что современные школьники не знают других способов выполнения действий, так как редко обращаются к материалу, находящемуся за пределами школьной программы.
( На диаграммах представлены в процентах ответ «Да» учащихся).
1) Нужно ли уметь выполнять арифметические действия с натуральными числами
2) а) Умеете ли вы умножать, складывать,
вычитать числа столбиком, делить «уголком»?
б) Знаете ли вы другие способы выполнения арифметических действий?
3) а хотели бы узнать?
Необычные способы умножения.
Те способы вычислений, которыми мы пользуемся сейчас, не всегда были так просты и удобны. В старину пользовались более громоздкими и медленными приемами. И если бы школьник 21 века мог перенестись на пять веков назад, он поразил бы наших предков быстротой и безошибочностью своих вычислений. Молва о нем облетела бы окрестные школы и монастыри, затмив славу искуснейших счетчиков той эпохи, и со всех сторон приезжали бы учиться у нового великого мастера.
Особенно трудны в старину были действия умножения и деления. Тогда не существовало одного выработанного практикой приема для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть не дюжина различных способов умножения и деления — приемы один другого запутаннее, запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый «магистр деления» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия.
В книге В. Беллюстина «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» изложено 27 способов умножения, причем автор замечает: «весьма возможно, что есть и еще способы, скрытые в тайниках книгохранилищ, разбросанные в многочисленных, главным образом, рукописных сборниках».
И все эти приемы умножения — «шахматный или органчиком», «загибанием», «крестиком», «решеткой», «задом наперед», «алмазом» и прочие соперничали друг с другом и усваивались с большим трудом.
Давайте рассмотрим наиболее интересные и простые способы умножения.
Умножение для числа 9 — 9·1, 9·2 . 9·10 — легче выветривается из памяти и труднее пересчитывается вручную методом сложения, однако именно для числа 9 умножение легко воспроизводится «на пальцах». Растопырьте пальцы на обеих руках и поверните руки ладонями от себя. Мысленно присвойте пальцам последовательно числа от 1 до 10, начиная с мизинца левой руки и заканчивая мизинцем правой руки (это изображено на рисунке).
Допустим, хотим умножить 9 на 6. Загибаем палец с номером, равным числу, на которое мы будем умножать девятку. В нашем примере нужно загнуть палец с номером 6. Количество пальцев слева от загнутого пальца показывает нам количество десятков в ответе, количество пальцев справа — количество единиц. Слева у нас 5 пальцев не загнуто, справа — 4 пальца. Таким образом, 9·6=54. Ниже на рисунке детально показан весь принцип «вычисления».
Еще пример: нужно вычислить 9·8=?. По ходу дела скажем, что в качестве «счетной машинки» не обязательно могут выступать пальцы рук. Возьмите, к примеру, 10 клеточек в тетради. Зачеркиваем 8-ю клеточку. Слева осталось 7 клеточек, справа — 2 клеточки. Значит 9·8=72. Все очень просто.
7 клеток 2 клетки.
Умножение на пальцах
Древнерусский способ умножения на пальцах является одним из наиболее употребительных методов, которым успешно пользовались на протяжении многих столетий российские купцы. Они научились умножать на пальцах однозначные числа от 6 до 9. При этом достаточно было владеть начальными навыками пальцевого счета “единицами”, “парами”, “тройками”, “четверками”, “пятерками” и “десятками”. Пальцы рук здесь служили вспомогательным вычислительным устройством.
Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходит число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. Потом бралось число (суммарное) вытянутых пальцев и умножалось на 10, далее перемножались числа, показывавшие, сколько загнуто пальцев на руках, а результаты складывались.
Например, умножим 7 на 8. В рассмотренном примере будет загнуто 2 и 3 пальца. Если сложить количества загнутых пальцев (2+3=5) и перемножить количества не загнутых (2•3=6), то получатся соответственно числа десятков и единиц искомого произведения 56 . Так можно вычислять произведение любых однозначных чисел, больше 5.
Вспомним главное правило древнеегипетской математики, в котором сказано, что умножение производится при помощи удвоения и сложения полученных результатов; то есть каждое удвоение есть сложение числа с самим собой. Поэтому интересно посмотреть на результат подобного удвоения цифр и чисел, но полученному современным методом складывания « в столбик», известному даже в начальных классах школы.
Школьники смогут научиться устно складывать и умножать миллионы, биллионы и даже секстиллионы с квадриллионами. А поможет им в этом кандидат философских наук Василий Оконешников, по совместительству изобретатель новой системы устного счёта. Учёный утверждает, что человек способен запоминать огромный запас информации, главное – как эту информацию расположить.
По мнению самого учёного, наиболее выигрышной в этом отношении является девятеричная система – все данные просто располагают в девяти ячейках, расположенных, как кнопочки на калькуляторе.
По мысли учёного, прежде чем стать вычислительным «компьютером», необходимо вызубрить созданную им таблицу. Цифры в ней распределены в девяти клетках непросто. Как утверждает Оконешников, глаз человека и его память так хитро устроены, что информация, расположенная по его методике, запоминается во-первых, быстрее, а во-вторых – намертво.
Таблица разделена на 9 частей. Расположены они по принципу мини калькулятора: слева в нижнем углу «1», справа в верхнем углу «9». Каждая часть – таблица умножения чисел от 1 до 9 (опять же в левом нижнем углу на 1, рядом правее на 2 и т. д., по той же «кнопочной» система). Как ими пользоваться?
Например, требуется умножить 9 на 842. Сразу вспоминаем большую «кнопку» 9 (она вверху справа и на ней мысленно находим маленькие кнопочки 8,4,2 (они также расположены как на калькуляторе). Им соответствуют числа 72, 36, 18. Полученные числа складываем особо: первая цифра 7 (остаётся без изменения), 2 мысленно складываем с 3, получаем 5 – это вторая цифра результата, 6 складываем с 1, получаем третью цифру -7, и остаётся последняя цифра искомого числа – 8. В результате получилось 7578.
Если при сложении двух цифр получается число, превосходящее девять, то его первая цифра прибавляется к предыдущей цифре результата, а вторая пишется на «своё» место.
С помощью матричной таблицы Оконешникова по утверждению самого автора, можно изучать и иностранные языки, и даже таблицу Менделеева. Новая методика была опробована в нескольких российских школах и университетах. Минобразования РФ разрешило публиковать в тетрадях в клеточку вместе с привычной таблицей Пифагора новую таблицу умножения – пока просто для знакомства.
Русский крестьянский способ умножения
В России 2-3 века назад среди крестьян некоторых губерний был распространен способ, который не требовал знание всей таблицы умножения. Надо было лишь уметь умножать и делить на 2. Этот способ получил название крестьянского (существует мнение, что он берет начало от египетского).
Пример: умножим 47 на 35,
— запишем числа на одной строчке, проведём между ними вертикальную черту;
— левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем);
— деление заканчивается, когда слева появится единица;
— вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа;
— далее оставшиеся справа числа складываем – это результат.
35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645.
Умножение способом «МАЛЕНЬКИЙ ЗАМОК»
Умножение чисел сейчас изучают в первом классе школы. А вот в Средние века совсем немногие владели искусством умножения. Редкий аристократ мог похвастаться знанием таблицы умножения, даже если он окончил европейский университет.
За тысячелетия развития математики было придумано множество способов умножения чисел. Итальянский математик Лука Пачоли в своём трактате «Сумма знаний по арифметике, отношениям и пропорциональности» (1494г.) приводит восемь различных методов умножения. Первый из них носит название «Маленький замок», а второй не менее романтичное название «Ревность или решетчатое умножение».
Преимущество способа умножения «Маленький замок» в том, что уже с самого начала определяются цифры старших разрядов, а это бывает важно, если требуется быстро оценить величину.
Цифры верхнего числа, начиная со старшего разряда, поочередно умножаются на нижнее число и записываются в столбик с добавлением нужного числа нулей. Затем результаты складываются.
Умножение чисел методом «ревность».
Второй способ носит романтическое название «ревность», или «решётчатое умножение».
Сначала рисуется прямоугольник, разделённый на квадраты, причём размеры сторон прямоугольника соответствуют числу десятичных знаков у множимого и множителя. Затем квадратные клетки, делятся по диагонали, и «…получается картинка, похожая на решётчатые ставни-жалюзи, — пишет Пачоли. – Такие ставни вешались на окна венецианских домов, мешая уличным прохожим видеть, сидящих у окон дам и монахинь».
Умножаем, например, числа 6827 и 345:
1. Вычерчиваем квадратную сетку и пишем один из номеров над колонками, а второй по высоте. В предложенном примере можно использовать одну из этих сеток.
Сетка 1 Сетка 2
2. Выбрав сетку, умножаем число каждого ряда последовательно на числа каждой колонки. В этом случае последовательно умножаем 3 на 6, на 8, на 2 и на 7. Посмотри на этой схеме, как пишется произведение в соответствующей клетке.
3. Так выглядит сетка со всеми заполненными клетками.
4. В заключение складываем числа, следуя диагональным полосам. Если сумма одной диагонали содержит десятки, то прибавляем их к следующей диагонали.
Из результатов сложения цифр по диагоналям (они выделены жёлтым фоном) составляется число 2355315, которое и является произведением чисел 6827 и 345, то есть 6827 х 345 = 2355315.
Китайский способ умножения
А теперь представим метод умножения, бурно обсуждаемый в Интернете, который называют китайским. При умножении чисел считаются точки пересечения прямых, которые соответствуют количеству цифр каждого разряда обоих множителей.
Пример: умножим 21 на 13. В первом множителе 2 десятка и 1единица, значит, строим 2 параллельные прямые и поодаль 1 прямую.
 |
Во втором множителе 1 десяток и 3 единицы. Строим параллельно 1 и поодаль 3 прямые, пересекающие прямые первого множителя.
 | ||||||||||
|
Так как первая цифра второго множителя 3, а вторая 4, делим круги первого столбца на три части, второго столбца на четыре.
