Необычные способы решения квадратных уравнений

Содержание

«Нестандартные методы решения квадратных уравнений»
Скачать:
Предварительный просмотр:

«Нестандартные методы решения квадратных уравнений»

Теория уравнений занимает ведущее место в алгебре и математике в целом. Сила теории уравнений в том, что не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит практическим целям. Большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений, и чаще это уравнения квадратного вида.

Квадратное уравнение представляет собой большой и важный класс уравнений, решающих как с помощью формул, так и с помощью элементарных функций.

В учебниках учащиеся знакомятся с несколькими видами квадратных уравнений, и отрабатываем решение по формулам. Вместе с тем, современные научно – методические исследования показывают, что использование разнообразных методов и способов позволяет значительно повысить эффективность и качество изучения решений квадратных уравнений.

Данная работа показать различные способы решения квадратных уравнений, уделяеется особое внимание тем, которые не изучаются в школьной программе.

Скачать:

Вложение	Размер
Школьная конференция	239.72 КБ

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
Средняя общеобразовательная школа №72 г. Липецка

Название работы: Нестандартные методы решения квадратных уравнений

Камышов Даниил Николаевич

Зуев Егор Алексеевич

Учащиеся 8 Б класса

РуководителиьФедулова Ольга Николаевна

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

Для выявления актуальности моей темы я провела исследование. Учащимся 8-11 классов было предложено решение полного квадратного уравнения любым известным им способом. В исследовании приняло участие 114 учащихся из 8-х, 9-х,11-х классов. Результаты исследования выявили следующее:

Способы решения квадратного уравнения

Метод выделения квадрата двучлена

Метод разложения левой части уравнения на множители способом группировки

Решение уравнения по формулам дискриминанта и корней квадратного уравнения

Решение уравнения, используя теорему Виета.

Решение уравнения графическим способом.

Неверно решили уравнение

Актуальность темы исследования.

В учебниках мы знакомимся с несколькими видами квадратных уравнений, и отрабатываем решение по формулам. Вместе с тем, современные научно – методические исследования показывают, что использование разнообразных методов и способов позволяет значительно повысить эффективность и качество изучения решений квадратных уравнений.

Все это заинтересовало меня, и поэтому, для своей исследовательской работы выбрал тему «Способы решения квадратных уравнений».

Цель исследовательской работы : выявить способы решения квадратных уравнений, узнать можно ли решить любое квадратное уравнение данными способами и выделить особенности и недостатки этих способов.

Задачи исследовательской работы : проанализировать источники литературы для выявления способов решения квадратных уравнений, показать различные способы решения квадратных уравнений.

Познакомиться с историческими фактами, связанными с данным вопросом.
Описать технологии различных существующих способов решения уравнений второй степени.
Провести анализ этих способов, сравнить их.
Привести примеры применения различных способов решения уравнений.
Поделиться полученными данными работы с учащимися 8-х классов.

Объект исследовани я: квадратные уравнения.

Предмет исследования: способы решения квадратных уравнений.

Гипотеза: существуют ли другие способы решения квадратного уравнения и имеют ли они право на существование?

Практическая значимость: квадратные уравнения – это фундамент, на котором построен курс алгебры. К решению квадратных уравнений сводятся решения дробно-рациональных уравнений и текстовых задач, находят широкое применение при решении тригонометрических, логарифмических, иррациональных уравнений. Начинают изучать решение квадратных уравнений в 8 классе и решают их до окончания вуза.

Методы исследования: анализ литературы, социологический опрос, наблюдение, сравнение и обобщение результатов

Этапы выполнения исследовательской работы:

1. Этап «Сбор статистических данных».

Включает в себя: изучение поставленных задач, определение значимых понятий, подбор источников информации, сбор информации.

2. Этап «Обработка данных».

Включает в себя: практическое применение способов решения квадратных уравнений.

3. Этап «Анализ данных»

Включает в себя: анализ результатов, формулирование выводов

История возникновения квадратных уравнений

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Найденные древние вавилонские глиняные таблички, датированные где-то между 1800 и 1600 годами до н.э., являются самыми ранними свидетельствами об изучении квадратных уравнений. На этих же табличках изложены методы решения некоторых типов квадратных уравнений. Правило решения таких уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадают с современным, однако неизвестно, каким образом дошли они до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499 г. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Часто они были в стихотворной форме.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XIIв. Бхаскары.

Обезьянок резвых стая

Власть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась,

А двенадцать по лианам

Стали прыгать, повисая.

Сколько ж было обезьянок

Ты скажи мне, в этой стае?

Квадратные уравнения в Европе 13-17 вв. Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из этой книги переходили почти во все европейские учебники 14-17 веков. Общее правило решения квадратных уравнений вида было сформировано в Европе лишь в 1544 году Штифелем. Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики 16 века. учитывали помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в 17 веке благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

В алгебраическом трактате Аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

«Квадраты равны корням», т.е. ax 2 + c =bx (5х 2 =10х).
«Квадраты равны числу», т. е. ax 2 =c (5x 2 =80).
«Корни равны числу», т. е. ax=c (4х=20).
«Квадраты и числа равны корням»,т.е. ax 2 +c=bx (х 2 + 10х=39).
«Квадраты и корни равны числу», т. е. ax 2 +bx=c (x 2 +21=10x).
Корни и числа равны квадратам», т. е. bx+c=ax 2 (3х+4=х 2 )

Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. При решении полных квадратных уравнений Аль-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства. Трактат Аль-Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

На рубеже XVI—XVII вв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим предметом, методом, областями приложения, была уже сформирована. Дальнейшее ее развитие, вплоть до нашего времени, состояло в совершенствовании методов, расширении области приложений, уточнении понятий и связей их с понятиями других разделов математики.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х 2 +bх=с, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, c , было сформулировано в Европе в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых вXVIв. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь вXVIIв. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была сформулирована им впервые в 1591г.

Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако символика Виета ещё далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и поэтому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.

2.1. Определение квадратного уравнения и его виды.

1) Алгоритм – точное предписание (правило) о выполнении в определенном порядке указанных операций (шагов алгоритма), позволяющее решать все задачи определенного вида.

2) Квадратным уравнением называют уравнения вида:

ax 2 +bx-c=0 , где a, b, c – некоторые действительные числа.

а – первый или старший коэффициент;

b – второй коэффициент или коэффициент при х;

с – свободный член.

3) Квадратное уравнение называют приведенным , если старший коэффициент равен 1;квадратное уравнение называют непереведенным , если старший коэффициент отличается от 1.

4)Корнем квадратного уравнения называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен обращается в нуль.

5) Решить квадратное уравнение – значит найти все его корни или установить, что корней нет.

2.2. Решение квадратного уравнения общеизвестными способами.

Разложение левой части уравнения на множители.

Разложение на множители уравнения – это процесс нахождения таких членов или выражений, которые, будучи перемноженными, приводят к начальному уравнению.

Решим уравнение х 2 +10х-24=0.

Разложим левую часть уравнения на множители:

Х 2 +10х-24=х 2 +12х-2х-24=х(х+12)-2(х+12)=(х+12)(х-2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

Так как произведение равно нулю, то по крайней мере один из множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х=2,а уравнение х 2 +10х-24=0.

Решение квадратного уравнений по формуле

Умножим обе части уравнения ax 2 +bx+c=0 , а ≠ 0, на 4а и, следовательно, имеем :

4а 2 х 2 +4аbc+4ac=0

((2ax) 2 +2ax ∙ b + b 2 )-b 2 +4ac=0

Выражение b 2 — 4 ac называют дискриминантом и обозначают D, причем

Если D>0, то уравнение ax 2 +bx+c=0 имеет два различных корня;
Если D=0, то два одинаковых корня;
Если D

Решение уравнений с использование теоремы Виета (прямой и обратной)

1)Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид:

Его корни удовлетворяют теореме Виета , которая при а=1 имеет вид

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

А) Если свободный член q приведенного уравнения (1) положителен (q> 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента p.

Если p>0, то оба корня отрицательные, если p

х 2 -3x+2=0; x 1 = 2 bx 2 =1, так как q = 2>0 и q = 2 > 0 и p = – 3

х 2 +8х + 7 = 0; х 1 = – 7 и х 2 = – 1, так как q = 7 > 0 и p = 8 >0.

Б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q 0. Например, х 2 + 4х – 5 = 0; х 1 = – 5 и х 2 = 1, так как q = – 5 0; х 2 – 8х – 9 = 0; х 1 = 9 и х 2 = – 1, так как q = – 9 0.

2) Теорема Виета для квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0 имеет вид :

Справедлива теорема, обратная теореме Виета:

Если х 1 и х 2 таковы, что х 1 +х 2 = -p, х 1 х 2 = q, то х 1 и х 2 – корни квадратного уравнения

Эта теорема позволяет в ряде случаев находить корни квадратного уравнения без использования формулы корней.

Попробуем найти два числа х 1 и х 2 , такие, что

Такими числами являются 2 и 7. По теореме, обратной теореме Виета, они и служат корнями заданного квадратного уравнения.

Решить уравнение 😡 2 +3x-28

Попробуем найти два числа х 1 и х 2 , такие, что

Нетрудно заметить, что такими числами будут — 7 и 4. Они и являются корнями данного уравнения.

Нетрадиционных способы решения квадратных уравнений

1. Метод выделения полного квадрата

Решим уравнение х 2 + 6х — 7 = 0

Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение х 2 + 6х в следующем виде: х 2 + 6х = х 2 + 2 • х • 3 .

В полученном выражении первое слагаемое — квадрат числа х, а второе — удвоенное произведение х и 3. Поэтому, чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3 2 , т.к.

Преобразуем теперь левую часть уравнения

прибавляя к ней и вычитая 3 2 . Имеем:

х 2 +6х-7=х 2 +2• х • 3 +3 2 — 3 2 -7= (х+3) 2 — 9 -7= (х+3) 2 -16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х+ 3) 2 -16 = 0, т.е. (х+ 3) 2 = 1б.

Следовательно, х + 3 = 4, х 1 = 1, или х +3 = -4 , х 2 = — 7.

2. Решение уравнений способом «переброски»

Рассмотрим квадратное уравнение

ах 2 +Ьх+ с= 0, а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

а 2 х 2 + аЬх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = ; тогда приходим к уравнению

равносильному данному. Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получим х 1 = и х 2 = . При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как 6ы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски» . Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

2х 2 — 11х + 15 = 0.

«Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

Согласно теореме у 1 = 6 х 1 = х 1 = 3

У 2 = 5 х 2 = х 2 = 2,5

3. Учёт свойств коэффициентов квадратного уравнения

А. Пусть дано квадратное уравнение

1. Если, а + Ь + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то

Доказательство . Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведённое квадратное уравнение: х 2 + х + = 0.

Согласно теореме Виетаx 1 + x 2 = —

По условию, а + b + с = 0, откуда b = — a — с. Значит,

Получаем x 1 = 1, x 2 = , что и требовалось доказать.

2. Если, a — b + c = 0, или b = a + c, то x 1 = — 1, x 2 = — .

Доказательство. По теореме Виета

По условию, a — b + c = 0, откуда b = a + c . Таким образом,

т.е. х 1 = -1 и х 2 = , что и требовалось доказать.

1.Решим уравнение 345х 2 —137х — 208 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (345 — 137 — 208 = 0), то х 1 = 1, х 2 = = .

2. Решим уравнение 132x 2 + 247x + 115 = 0

Решение. Т.к. a – b + c = 0 (132 — 247 + 115 = 0 ), то x 1 = -1, x 2 = —

Б. Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней

X 1,2 = можно записать в виде х 1,2 =

Решим уравнение 3x 2 – 14x + 16 = 0

Решение. Имеем :a = 3, b = — 14, c = 16, k = — 7;

D=k 2 – ac = (-7) 2 – 3 • 16 = 49 -48 =1, D>0 , два различных корня ;

X = = ; X 1 = 2 , X 2 = .

В. Приведенное уравнение х 2 + px + q = 0

Совпадает с уравнением общего вида, в котором a=1, pи c = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней

принимает вид: x 1,2 = , или x 1,2 = — 2 – q. (2).

Формулу (2) особенно удобно использовать, когда p – чётное число.

1. Решим уравнение х 2 – 14х – 15 = 0.

Решение. Имеем: х 1,2 = 7 ± = 7 ± = 7 ± 8

Ответ. X 1 = 15, x 2 = -1.

4. Решение квадратного уравнения графическим способом

Если в уравнении : х 2 + px + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим х 2 = — px – q.

Построим графики зависимости у = х2 и у = — px — q.

График первой зависимости – парабола, проходящая через начало координат.

График второй зависимости – прямая.

Возможны следующие случаи :

-прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

— прямая и парабола могут качаться (только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

-прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

Решим графически уравнение : х 2 — 3х — 4 = 0

Решение. Запишем уравнение в виде : х 2 = 3х + 4.

Построим параболу у = х 2 и прямую у = 3х + 4.

Прямую у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и N (3; 13).

Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и В с абсциссами х 1 = -1 и х 2 = 4.

Ответ.х 1 = -1, х 2 = 4.

5. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы не всегда удобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точность получаемых результатов невелика. Существует способ нахождения корней квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки.

Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках В(х 1 ; 0 ) и D (х 2 ; 0), где х 1 и х 2 — корни уравнения ах 2 + bх + с = 0, и проходит через точки А(0; 1) и С(0; c/a) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OB • OD = OA • OC, откуда OC = OB • OD/ OA= х 1 х 2 / 1 = c/a.

Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому

1) построим точки (центр окружности) и A(0; 1);

2) проведем окружность с радиусом SA;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2a), окружность пересекает ось Ох в двух точках В (х 1 ; 0) и D(х 2 ; 0), где х 1 и х 2 — корни квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0.

2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2a), окружность касается оси Ох в точке В (х 1 ; 0), где х 1 — корень квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс, в этом случае уравнение не имеет решения.

Решим уравнение х 2 — 2х — 3 = 0

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).

Ответ: х 1 = — 1; х 2 = 3.

6. Решение квадратных уравнений с помощью номограмм

Это старый и незаслуженно забыты способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 ( см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. — М, Просвещение, 1990).

Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z 2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициент там определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам

Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см.), из подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение z 2 + pz + q = 0, причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

Если дано полное квадратное уравнение, то его надо привести к приведенному квадратному уравнению z 2 + pz + q = 0

Затем второй коэффициент и свободный член из уравнения отметить на соответствующих осях p и q, полученные точки соединить прямой.

Прямая пересекает кривую шкалу в двух точках – корнях данного уравнения, если корни положительные.

Если уравнение имеет корни разного знака, то прямая пересечет кривую шкалу в одной точке – это положительный корень. Отрицательный корень находят, вычитая положительный корень из –p.
Если же корни отрицательные, то по номограмме находят два положительных корня t 1 и t 2 для уравнения z 2 – pz + q = 0, а для уравнения z 2 + pz + q = 0 корнями будут z 1 = -t 1 , z 2 = -t 2

1) Для уравнения z 2 — 9z + 8 = 0 номограмма дает корни z 1 = 8,0 и z 2 = 1,0

2) Решим с помощью номограммы уравнение 2z 2 — 9z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение:

Номограмма дает корни z 1 = 4 и z 2 = 0,5.

3) Для уравнения z 2 — 25z + 66 = 0 коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5t, получим уравнение t 2 — 5t + 2,64 = 0, которое решаем посредством номограммы и получим t 1 = 0,6 и t 2 = 4,4, откуда z 1 = 5t 1 = 3,0 и z 2 = 5t 2 = 22,0.

7. Геометрический способ решения квадратных уравнений

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал — Хорезми. Уравнение х 2 + 10х = 39

В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39».

Строим квадрат со стороной х и на его сторонах – четыре прямоугольника высотой . В углах фигуры построим четыре квадрата со стороной . В углах фигуры построим четыре квадрата .

Подсчитаем площадь получившегося большого квадрата:

X 2 + 4 • • ( ) 2 = x 2 + 10x + ( ) 2 • 4

По условию x 2 + 10x = 39, т.е. площадь большого квадрата равна

39 + ( ) 2 • 4 = 39 + + 25 =64.

Значит, его сторона равна 8, тогда x + 2 • ( ) = 8, x = 3 (Ал–Хорезми не признавал отрицательных чисел)

А вот, например, как древние греки решали уравнение y 2 + 6y – 16 = 0

Решение представлено на рис., где у 2 + 6у = 16, или у 2 + 6у + 9 = 16 + 9.

Решение. Выражения у 2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение у2 + 6у — 16 + 9 — 9 = 0 — одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у 1 = 2, у 2 = — 8.

8. Решение уравнений с использованием теоремы Безу

Теорема Безу. Если уравнение a 0 x n + a 1 x n-1 … + a n-1 x + a n = 0, где все коэффициенты целые, имеет целые корни, то это делители свободный член.

Следствие 2: Если b является корнем многочлена f (x), то этот многочлен делится на (x-b) без остатка.

Теорема Безу даёт возможность, найдя один корень многочлена, искать далее корни многочлена, степень которого уже на единицу меньше.

Таким образом, один корень найден и далее находятся уже корни многочлена, степень которого на единицу меньше степени исходного многочлена. Иногда этим приёмом – он называется понижением степени – можно найти все корни заданного многочлена.

Решить квадратное уравнение: х 2 – 4х + 3 = 0

Делители свободного члена ±1, ±3.

Проверим 1, подставив в уравнение 1 – 4 + 3 = 0. Значит 1 – это корень данного уравнения. Тогда квадратный трёхчлен х 2 — 4х + 3 делится нацело на (х-1).

Разделим f(x) на (x-1), получим:

Х 2 – 4х + 3 = (х-1)(х-3)

x – 1 = 0; х 1 = 1, или х-3=0, х 2 =3

Ответ: х 1 = 1, х 2 =3.

Человечество прошло длинный путь от незнания к знанию, непрерывно заменяя на этом пути неполное и несовершенное знание всё более полным и совершенным.

Уравнения – язык алгебры, квадратные уравнения – это фундамент, на котором построено величественное здание алгебры. Изученные способы решения квадратных уравнений будут применяться и при дальнейшем изучении математики, при решении уравнений, сводящихся к решению квадратных.

В ходе выполнения работы с поставленной целью и задачами я справилась, мне удалось обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме. Проанализировав все новые способы решения квадратных уравнений, стало очевидным, что нельзя однозначно сказать, какой именно метод наиболее удобен или совершенен. Некоторые ( такие как, решение с использованием теоремы Безу и решение с помощью циркуля и линейки) удобно применять, когда коэффициенты невелики, другие – допускают большие коэффициенты ( например, учёт коэффициентов): графический не всегда точен, а геометрический понятен, но громоздок. Можно сделать вывод, что все способы надо иметь в своем арсенале и применять их по мере необходимости с точки зрения рациональности решения.

Данная работа помогла мне обобщить способы решения квадратных уравнений, которые не изучают в школе. Нужно отметить, что не все они удобны для решения, но каждый из них уникален. Некоторые способы решения помогают сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на ОГЭ и ЕГЭ.

С результатами моей работы я познакомлю одноклассников и учеников других 8-х классов. Они могут воспользоваться собранными материалами для изучения и закрепления рациональных способов решения квадратных уравнений. В дальнейшем я планирую провести опрос, насколько интересна информация, предложенная в буклете, и используют ли они данные способы для решения квадратных уравнений, если да, то какой способ они считают наиболее простым и понятным.

1.Брадис В.М. Четырёхзначные математические таблицы для средней школы.

Изд. 57-е. – М., Просвещение, 1990. С. 83.

2.Окунев А.К. Квадратные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. – М., Просвещение, 1972.

3.Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. – М., Квант, № 4/72. С. 34.

4.Соломник В.С., Милов П.И. Сборник задач по алгебре и элементарными функциям. Пособие для учителя. Изд. 2-е. – М., Просвещение, 1970.

Источник