Найти все делители числа способы

Нахождение всех делителей числа, число делителей числа.

Материал этой статьи про нахождение всех делителей числа. Сначала доказана теорема, которая задает вид всех общих делителей данного числа, после чего рассмотрены примеры нахождения всех делителей. Дальше показано, как вычисляется число делителей числа. В заключение подробно разобраны примеры нахождения всех общих делителей нескольких чисел и их количества.

Навигация по странице.

Все делители числа, их нахождение

Дальнейшее изложение подразумевает хорошее владение информацией статьи делители и кратные числа. Мы будем говорить лишь о поиске всех делителей целых положительных чисел (натуральных чисел). Этого вполне достаточно, так как одно из свойств делимости утверждает, что множество делителей целого отрицательного числа −a совпадает со множеством делителей противоположного числа a (которое будет положительным). Напомним также, что число 0 имеет бесконечно много делителей, и нахождение всех делителей нуля не представляет интереса.

положительными делителями простого числа a являются лишь единица и само это число. Следовательно, любое простое число a имеет четыре делителя, среди которых два положительных и два отрицательных: 1 , −1 , a и −a . Например, число 11 – простое, оно имеет всего четыре делителя 1 , −1 , 11 и −11 . Еще пример. Число 367 тоже простое, все его делители – это числа 1 , −1 , 367 и −367 .

Интереснее проходит поиск всех делителей составных чисел. Теоретическая основа этого процесса заключается в следующей теореме.

С одной стороны, по определению делимости число a делится на любое такое число d , так как существует такое целое число q=p₁ (s₁−t₁) ·p₂ (s₂−t₂) ·…·p_n (s_n−t_n) , что a=d·q .

С другой стороны, всякое число d , которое делит a , имеет указанный вид, так как в силу свойств делимости оно не может иметь других простых множителей, кроме p₁, p₂, …, p_n , а показатели этих множителей не могут превышать s₁, s₂, …, s_n соответственно.

Из рассмотренной теоремы следует алгоритм нахождения всех положительных делителей данного числа. Чтобы найти все делители числа a нужно:

• получить его каноническое разложение на простые множители вида a=p₁ s₁ ·p₂ s₂ ·…·p_n s_n ;
• вычислить все значения выражения p₁ t₁ ·p₂ t₂ ·…·p_n t_n , в которых числа t₁, t₂, …, t_n принимают независимо друг от друга каждое из значений t₁=0, 1, …, s₁ , t₂=0, 1, …, s₂ , …, t_n=0, 1, …, s_n .

Обычно наибольшую трудность представляет именно процесс перебора всех возможных комбинаций значений чисел t₁, t₂, …, t_n . Сейчас мы последовательно рассмотрим решения нескольких примеров нахождения всех делителей чисел, откуда будут понятны все тонкости этого процесса.

Найдите все делители числа 8 .

Получить разложение на простые множители числа 8 не составляет труда: 8=2·2·2 . В канонической форме это разложение выглядит так: 8=2 3 . То есть, в нашем случае a=8 , p₁=2 , s₁=3 .

Тогда все делители числа 8 представляют собой значения выражения p₁ t₁ =2 t₁ , в котором t₁ принимает значения 0 , 1 , 2 и 3 ( 3 – последнее значение, так как s₁=3 ). Итак, при t₁=0 имеем 2 t₁ =2 0 =1 , при t₁=1 имеем 2 t₁ =2 1 =2 , при t₁=2 имеем 2 t₁ =2 2 =4 , наконец, при t₁=3 имеем 2 t₁ =2 3 =8 .

Весь процесс нахождения делителей удобно проводить, заполняя таблицу следующего вида:

Таким образом, 1 , 2 , 4 и 8 – это все положительные делители числа 8 . Отрицательными делителями числа 8 являются −1 , −2 , −4 и −8 .

±1 , ±2 , ±4 , ±8 – все делители числа 8 .

Рассмотрим более сложный пример нахождения всех делителей числа a , в нем разложение числа уже будет содержать два простых множителя.

Перечислите все натуральные делители числа 567 .

Сначала разложим на простые множители число 567 :

Каноническое разложение числа 567 на простые множители имеет вид 567=3 4 ·7 . Теперь для нахождения всех натуральных делителей числа 567 заставим t₁ и t₂ пробегать независимо друг от друга значения 0 , 1 , 2 , 3 , 4 и 0 , 1 соответственно, при этом будем вычислять значения выражения 3 t₁ ·7 t₂ . Все эти действия удобно поводить, заполняя следующую таблицу:

1 , 3 , 7 , 9 , 21 , 27 , 63 , 81 , 189 и 567 – все натуральные делители числа 567 .

Еще немного усложним пример.

Найдите все положительные делители числа 3 900 .

Разложив число 3 900 на простые множители, получим его каноническое разложение 3 900=2 2 ·3·5 2 ·13 . Все положительные делители найдем, вычисляя значения выражения 2 t₁ ·3 t₂ ·5 t₃ ·13 t₄ при t₁=0, 1, 2 , t₂=0, 1 , t₃=0, 1, 2 , t₄=0, 1 .

1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 10 , 12 , 13 , 15 , 20 , 25 , 26 , 30 , 39 , 50 , 52 , 60 , 65 , 75 , 78 , 100 , 130 , 150 , 156 , 195 , 260 , 300 , 325 , 390 , 650 , 780 , 975 , 1 300 , 1 950 , 3 900 — все положительные делители числа 117 000 .

Число делителей числа

Число положительных делителей данного числа a , каноническое разложение которого имеет вид a=p₁ s₁ ·p₂ s₂ ·…·p_n s_n , равно значению выражения (s₁+1)·(s₂+1)·…·(s_n+1) . Величина записанного выражения дает количество всех возможных наборов переменных t₁, t₂, …, t_n , где t₁=0, 1, …, s₁ , t₂=0, 1, …, s₂ , …, t_n=0, 1, …, s_n .

Приведем пример. Вычислим число натуральных делителей числа 3 900 из последнего примера, рассмотренного в предыдущем пункте. Мы выяснили, что 3 900=2 2 ·3·5 2 ·13 , тогда s₁=2 , s₂=1 , s₃=2 , s₄=1 . Осталось вычислить значение выражения (s₁+1)·(s₂+1)·(s₃+1)·(s₄+1) при данных значениях s₁ , s₂ , s₃ и s₄ , которое и даст нам искомое число натуральных делителей. Получаем (2+1)·(1+1)·(2+1)·(1+1)=3·2·3·2=36 . Следовательно, число 3 900 имеет 36 натуральных делителей. Если мы пересчитаем все делители числа 3 900 , полученные в предыдущем примере, то убедимся, что их количество действительно равно 36 . Число всех делителей (и положительных и отрицательных) числа 3 900 равно 36·2=72 , так как число 3 900 имеет 36 положительных делителей, и, следовательно, 36 отрицательных, противоположных каждому из положительных делителей.

Найдите число делителей числа 84 .

Разложим 84 на простые множители:

Таким образом, каноническое разложение имеет вид 84=2 2 ·3·7 . Тогда число положительных делителей равно (2+1)·(1+1)·(1+1)=12 . Следовательно, число всех делителей равно 2·12=24 .

число 84 имеет 24 делителя.

Нахождение всех общих делителей чисел и их количества

Из свойств наибольшего общего делителя следует, что множество делителей данных целых чисел совпадает со множеством делителей НОД этих чисел. Это утверждение относится как к двум числам, так и к трем, и к большему их количеству. Таким образом, чтобы найти все общие делители данных чисел, нужно определить НОД этих чисел и найти все его делители.

Рассмотрим решения примеров, в которых находятся все общие делители некоторых чисел.

Найдите все натуральные общие делители чисел 50 и 140 , а также их количество.

Сначала нам нужно найти наибольший общий делитель чисел 50 и 140 , для этого воспользуемся алгоритмом Евклида: 140=50·2+40 , 50=40·1+10 , 40=10·4 , то есть, НОД(50, 140)=10 .

Теперь определим все положительные делители числа 10 . Его разложение на простые множители имеет вид 10=2·5 . Тогда 2 0 ·5 0 =1 , 2 0 ·5 1 =5 , 2 1 ·5 0 =2 и 2 1 ·5 1 =10 – все делители числа 10 . Следовательно, числа 1 , 2 , 5 и 10 – это все положительные общие делители чисел 50 и 140 , количество этих делителей равно 4 .

1 , 2 , 5 и 10 – это все натуральные делители чисел 50 и 140 , их количество равно 4 .

Определите число всех положительных общих делителей четырех чисел 90 , 45 , 315 и 585 .

Сначала найдем НОД с помощью разложения чисел на простые множители. Так как 90=2·3·3·5 , 45=3·3·5 , 315=3·3·5·7 и 585=3·3·5·13 , то НОД(90, 45, 315, 585)=3·3·5=3 2 ·5 . Количество всех искомых положительных общих делителей исходных четырех чисел равно количеству всех положительных делителей НОД этих чисел. Вычислим количество делителей НОД(90, 45, 315, 585)=3 2 ·5 , оно равно (2+1)·(1+1)=6 .

Источник

Нахождение всех делителей числа

Все делители числа

Все делители, на которые данное число делится нацело, можно получить из разложения числа на простые множители.

Нахождение всех делителей числа выполняется следующим образом:

1. Сначала нужно разложить данное число на простые множители.
2. Выписываем каждый полученный простой множитель (без повторов, если какой-то множитель повторяется).
3. Далее, находим всевозможные произведения всех полученных простых множителей между собой и добавляем их к выписанным простым множителям.
4. В конце добавляем в качестве делителя единицу.

Например, найдём все делители числа 40. Раскладываем число 40 на простые множители:

40 20 10 5 1

2 2 2 5

Выписываем (без повторов) каждый полученный простой множитель — это 2 и 5.

Далее находим всевозможные произведения всех полученных простых множителей между собой:

2 · 2 = 4,

2 · 2 · 2 = 8,

2 · 5 = 10,

2 · 2 · 5 = 20,

2 · 2 · 2 · 5 = 40.

Добавляем в качестве делителя 1. В итоге получаем все делители, на которые число 40 делится без остатка:

1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.

Других делителей у числа 40 нет.

Калькулятор нахождения всех делителей

Данный калькулятор поможет вам получить все делители числа. Просто введите число и нажмите кнопку «Вычислить».

Источник

Делители и кратные

В данном уроке мы рассмотрим такие понятия как делители и кратные.

Что такое делитель?

Мы знаем, что делитель это число, показывающее на сколько частей нужно разделить делимое. Например, в выражении 8 : 2 = 4, делителем является число 2. Это число показывает на сколько частей нужно разделить число 8. После разделения получается ответ 4. Как видно из примера, число 8 делится на число 2 без остатка. Говорят, что число 2 является делителем числа 8.

Пример 1. Число 2 является делителем числа 8, поскольку 8 делится на 2 без остатка:

Пример 2. Число 3 является делителем числа 9, поскольку 9 делится на 3 без остатка:

Пример 3. Число 4 не является делителем числа 10 поскольку 10 не делится на 4 без остатка:

10 : 4 = 2 (2 в остатке)

Определение. Делителем числа а называется число, на которое число а делится без остатка.

Данное определение содержит переменную a . Подставим вместо этой переменной любое число, например число 12 и прочитаем определение:

Делителем числа 12 называется число, на которое 12 делится без остатка.

Попробуем перечислить эти числа:

Все эти числа являются делителями числа 12, поскольку число 12 делится на них без остатка. Покажем это:

12 : 1 = 12
12 : 2 = 6
12 : 3 = 4
12 : 4 = 3
12 : 6 = 2
12 : 12 = 1

Кратные числа

Если какое-нибудь число без остатка разделилось на другое, то его называют кратным этого числа. Например, 6 без остатка делится на 3. Поэтому 6 является кратным числа 3

Определение. Кратным числа а называется число, которое делится без остатка на а.

Данное определение содержит переменную a . Подставим вместо этой переменной любое число, например число 5 и прочитаем определение:

Кратным числа 5 называется число, которое делится без остатка на 5 .

У любого числа бесконечно много кратных. Например, первыми кратными числа 5, являются числа 5, 10, 15, 20, 25. Все они кратны 5, поскольку делятся на 5 без остатка:

5 : 5 = 1
10 : 5 = 2
15 : 5 = 3
20 : 5 = 4
25 : 5 = 5

Признаки делимости чисел

Признаки делимости чисел используются для того, чтобы ускорить процесс деления чисел. Существует множество признаков делимости и других интересных алгоритмов, значительно ускоряющих решение и освобождающих от излишней волокиты. Рассмотрим наиболее популярные из них.

Признак делимости на 10

Любое число, которое оканчивается нулем, делится без остатка на 10. Чтобы получить частное, достаточно отбросить цифру 0 в делимом.

Например, 380 : 10 = 38. Мы просто отбросили последний ноль в числе 380.

В случае, если мы имеем выражение такого вида 385 : 10, то получится 38 и 5 в остатке, поскольку 380 : 10 = 38, а пятерка это остаток, который не разделился.

Таким образом, если число оканчивается цифрой 0, то оно делится без остатка на 10. Если же оно оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10. Остаток в этом случае равен последней цифре числа. Действительно, в примере 385 : 10 = 38 (5 в остатке), остаток равен последней цифре в числе 385, то есть пятерке.

Признак делимости на 5 и на 2

Любое число, которое оканчивается нулем, делится без остатка и на 5, и на 2.

Признак делимости на 5

Если число оканчивается цифрой 0 или 5, то оно делится без остатка на 5.

Признак делимости на 3

Число делится на 3, если сумма цифр этого числа делится на 3. Например, рассмотрим число 27, сумма его цифр 2 + 7 = 9. Девять, как мы знаем делится на 3, значит и 27 делится на 3:

Признак делимости на 9

Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Например, рассмотрим число 18. Сумма его цифр 1 + 8 = 9. Девять делится на девять, значит и 18 делится на 9

Рассмотрим число 846. Сумма его цифр 8 + 4 + 6 = 18. Восемнадцать делится на девять, значит и 846 делится на 9:

Чётные и нечётные числа

Чётным называется число, которое делится без остатка на 2. Например, число 20 является четным, поскольку оно делится без остатка на 2:

Нечётным называется число, если при его делении на 2, остаётся остаток 1. Например число 21 является нечетным, поскольку после его деления на 2 остается остаток 1:

21 : 2 = 10 (1 в остатке)

Как распознать чётное число от нечетного, не выполняя деления на 2? Очень просто. Из однозначных чисел чётными являются числа 0, 2, 4, 6, 8, а нечетными являются 1, 3, 5, 7, 9. Если число оканчивается чётной цифрой, то это число является чётным. Если число оканчивается нечетной цифрой, то это число является нечетным.

Например, число 308 чётно, поскольку оно оканчивается чётной цифрой. Число 1024 тоже четно, поскольку оканчивается четной цифрой.

А числа 305 и 1027 являются нечётными, поскольку они оканчиваются нечётными цифрами.

Простые и составные числа

Простым называется число, которое делится без остатка на единицу и на само себя. Другими словами, имеет только два делителя. Например, число 5 делится без остатка на единицу и на само себя:

Значит, число 5 является простым числом.

Составным же называется число, которое имеет два и более делителя. Например, число 4 составное, поскольку у него два и более делителя: 4, 2 и 1

Значит, число 4 является составным числом.

Разложение составного числа на простые множители

Любое составное число можно разложить на простые множители. Чем-то похожим мы занимались в уроке замены в выражениях. Из этого урока мы узнали, что любое число, входящее в выражение, можно заменить на то же самое, но записанное в другом виде.

Например, число 6 можно записать в виде суммы 4 + 2 или в виде частного 12 : 2 или в виде произведения 2 × 3 . Последнюю запись 2 × 3 можно назвать разложением числа 6 на простые множители.

Суть разложения числа на простые множители заключается в том, чтобы представить это число в виде произведения нескольких простых множителей.

Разложим число 4 на простые множители. Для этого соберем данное число из других чисел, при этом соединим их знаком умножения (×). Число 4 состоит из чисел 2 и 2. Эти два числа и являются простыми множителями, из которых состоит число 4

Разложим на множители число 6. Число 6 можно собрать из чисел 2 и 3. Эти два числа и являются простыми множителями, из которых состоит число 6

Разложим на множители число 8. Это число можно разложить на множители 2 и 4, при этом множитель 4 можно разложить на два множителя: 2 и 2 . Поэтому вместо четвёрки записываем её разложение:

Большие числа раскладываются таким же образом. Сначала их раскладывают на большие множители, затем эти большие множители раскладывают на маленькие. И так до тех пор, пока каждый множитель не станет простым числом.

Например, разложим число 180 на простые множители. Число 180 это два множителя 18 и 10

Теперь раскладываем множители 18 и 10 на другие множители:

Теперь раскладываем выделенную синюю шестерку. Это последний большой множитель, который можно разложить на простые множители:

Теперь собираем все простые множители вместе:

На множители можно разложить только составное число. Простое число на множители не раскладывается. Именно поэтому, когда разложение доходит до простых чисел, мы эти простые числа дальше не раскладываем.

Есть и второй способ разложения на простые множители. Он проще и хорошо подходит для больших чисел. Суть этого способа заключается в том, что сначала проводится вертикальная линия. Затем слева от этой линии записываются делимые, а справа — делители, которые впоследствии собирают во множители.

При разложении числа этим способом, используют признаки делимости, такие как: признаки делимости на 2, на 3, на 5 и другие.

Например, разложим предыдущее число 180 этим способом.

Проводим вертикальную линию и слева записываем первое делимое 180

Теперь применяем признаки делимости. В первую очередь проверяем делится ли 180 на 2. Если делится, то нужно записать эту двойку справа от вертикальной линии.

180 делится на 2, поскольку 180 оканчивается нулём. Записываем двойку справа от вертикальной линии:

Теперь делим 180 на 2 и получаем второе делимое 90. Записываем это делимое слева от вертикальной линии:

Теперь делим 90. Снова применяем признаки делимости. Проверяем делится ли 90 на 2.

90 делится на 2, поскольку 90 оканчивается нулём. Записываем двойку справа от вертикальной линии:

Теперь делим 90 на 2, получаем третье делимое 45. Записываем это делимое слева от вертикальной линии:

Теперь делим 45. Снова применяем признаки делимости. Проверяем делится ли 45 на 2.

45 на 2 не делится. Тогда проверяем делится ли 45 на 3.

45 делится на 3, поскольку сумма цифр 4 и 5 делится на 3. Записываем тройку справа от вертикальной линии:

Делим 45 на 3, получаем четвёртое делимое 15. Записываем это делимое слева от вертикальной линии:

Теперь делим 15. Проверяем делится ли 15 на 2.

15 не делится на 2. Тогда проверяем делится ли 15 на 3.

15 на 3 делится, поскольку сумма цифр 1 и 5 делится на 3. Записываем тройку справа от вертикальной линии:

Делим 15 на 3, получаем пятое делимое 5. Записываем пятёрку слева от вертикальной линии:

Теперь делим 5. Проверяем делится ли 5 на 2.

5 не делится на 2. Тогда проверяем делится ли 5 на 3.

5 не делится на 3. Тогда проверяем делится ли 5 на 5.

5 делится на 5. Записываем эту пятёрку справа от вертикальной линии:

Делим 5 на 5, получаем шестое делимое 1. Записываем эту единицу слева от вертикальной линии:

На этом деление завершается, поскольку мы достигли единицы. Делители, которые записывают справа от вертикальной линии должны быть простыми числами. Поэтому, когда делимое 5 не разделилось на 2, а затем не разделилось на 3, мы попробовали разделить его на 5, не пробуя разделить на 4, поскольку 4 является не простым, а составным числом.

Теперь переписываем в один ряд все делители, которые записаны справа от вертикальной линии. Они и будут разложением числа 180 на простые множители. Желательно записывать их, начиная с самых малых. Это позволяет упорядочить их по возрастанию:

Не расстраивайтесь, если будете испытывать затруднения при разложении чисел на простые множители. Эта тема требует немного практики. Для тренировки можете разложить на простые множители следующие числа: 256, 378, 512.

Нахождение делителей числа

В начале данного урока было сказано, что делителем называется число, на которое другое число делится без остатка.

Например, число 2 является делителем числа 6, поскольку число 6 можно без остатка разделить на 2

6 : 2 = 3

Ещё делителем числа 6 является число 3

6 : 3 = 2

Ещё делителем числа 6 является число 1

6 : 1 = 6

Наконец, делителем числа 6 является само это число

6 : 6 = 1

Перечислим все делители числа 6

1, 2, 3, 6

Иногда возникает необходимость найти все делители какого-нибудь числа. Чтобы понять, как это делается, рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Найти делители числа 12

Во-первых, единица является делителем любого числа. Пусть и у нас первым делителем числа 12 будет 1

Теперь раскладываем число 12 на простые множители:

Получили разложение 2 × 2 × 3.

В процессе разложения числа 12 на простые множители, мы делили его на числа 2 и 3. На них число 12 разделилось без остатка, значит они тоже являются делителями числа 12. Внесём эти два числа в нашу таблицу делителей:

Чтобы получить остальные делители числа 12, нужно найти все возможные произведения его простых множителей между собой. Получаемые в результате ответы и будут остальными делителями числа 12.

Число 12 мы разложили на простые множители 2 × 2 × 3. Найдём все возможные произведения этих простых множителей между собой. Первое произведение это 2 × 2. Это произведение равно 4

Занесём число 4 в нашу таблицу делителей

Следующее возможное произведение из простых множителей числа 12 это произведение 2 × 3. Данное произведение равно 6. Занесём число 6 в нашу таблицу делителей:

Последнее возможное произведение из простых множителей числа 12 это произведение из всех его множителей, а именно 2 × 2 × 3. Это произведение равно 12. Занесём число 12 в нашу таблицу делителей:

Таким образом, делителями числа 12 являются числа 1, 2, 3, 4, 6, 12.

На основании приведённого примера можно сформировать правило для нахождения делителей числа:

Чтобы найти делители числа, нужно:

• записать в качестве первого делителя единицу;
• разложить исходное число на простые множители и выписать из полученных простых множителей те множители, которые являются делителями исходного числа (если множитель повторяется, то выписать его нужно только один раз);
• найти все возможные произведения полученных простых множителей между собой. Получаемые в результате ответы будут остальными делителями исходного числа.

Пример 2. Найти делители числа 6

Первым делителем числа 6 запишем единицу:

1

Теперь разложим число 6 на простые множители:

Выпишем из полученного разложения те множители, которые являются делителями числа 6. Видим, что это множители 2 и 3. Они будут следующими делителями числа 6. Допишем их к нашим делителям:

1, 2, 3

Теперь найдём все возможные произведения простых множителей числа 6. В данном случае имеется только одно произведение, а именно 2 × 3 . Это произведение равно 6. Допишем число 6 к нашим делителям:

1, 2, 3, 6

Таким образом, делителями числа 6 являются числа 1, 2, 3, 6 .

Источник