Найти разность векторов двумя способами

Содержание

Вычитание векторов. Как найти разность векторов
Откладывание вектора от данной точки
Вычитание векторов. Правило первое
Готовые работы на аналогичную тему
Вычитание векторов. Правило второе
Пример задачи на понятие разности векторов
Вычитание векторов
Как происходит вычитание векторов
Как производится вычитание векторов по координатам
Основные правила вычисления
Правило треугольника
Правило параллелограмма
Примеры задач на понятие разности векторов
Сложение и вычитание векторов
Сумма векторов. Сложение векторов. Правило треугольника
Разность векторов. Вычитание векторов
Умножение вектора на число
Разность векторов

Вычитание векторов. Как найти разность векторов

Вы будете перенаправлены на Автор24

Откладывание вектора от данной точки

Для того, чтобы ввести разность векторов, сначала необходимо разобраться в таком понятии, как откладывание вектора от данной точки.

Введем следующую теорему:

От любой точки $K$ можно отложить вектор $\overrightarrow$ и притом только один.

Доказательство.

Существование: Здесь нужно рассмотреть два случая:

В этом случае, очевидно, что искомый вектор — вектор $\overrightarrow$.

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

Единственность: единственность сразу следует из построения, проведенного в пункте «существование».

Теорема доказана.

Вычитание векторов. Правило первое

Пусть нам даны векторы $\overrightarrow$ и $\overrightarrow$.

Готовые работы на аналогичную тему

Построение разности двух векторов рассмотрим с помощью задачи.

Решение.

Рисунок 3. Разность двух векторов

По правилу треугольника для построения суммы двух векторов видим, что

Из определения 2, получаем, что

Вычитание векторов. Правило второе

Вспомним следующее необходимое нам понятие.

Вектор $\overrightarrow$ называется произвольным для вектора $\overrightarrow$, если эти векторы противоположно направлены и имеют равную длину.

Для того чтобы ввести второе правило для разности двух векторов, нам необходимо в начале ввести и доказать следующую теорему.

Доказательство.

По определению 2, имеем

Прибавим к обеим частям вектор $\left(-\overrightarrow\right)$, получим

Так как векторы $\overrightarrow$ и $\left(-\overrightarrow\right)$ противоположны, то $\overrightarrow+\left(-\overrightarrow\right)=\overrightarrow<0>$. Имеем

Теорема доказана.

Читайте также: Нетривиальный способ решения задач
Пример задачи на понятие разности векторов

Рисунок 4. Параллелограмм

Решение.

а) Произведем сложение по правилу треугольника, получим

Из первого правила разности двух векторов, получаем

б) Так как $\overrightarrow=\overrightarrow$, получим

По теореме 2, имеем

Используя правило треугольника, окончательно имеем

Источник

Вычитание векторов

Как происходит вычитание векторов

Вычитание векторов — это арифметическое действие в геометрии, при котором из одного вектора отнимают другой.

Чтобы вычесть $\overrightarrow b$ из $\overrightarrow а$ , нужно найти такой $\overrightarrow с$ , сложение которого с вектором $\overrightarrow b$ составляло бы $\overrightarrow а$ .

Таким образом, формула разности будет выглядеть так:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

$\overrightarrow а-\overrightarrow b=\overrightarrow а+\left(-\overrightarrow b\right)$

Если задан $\overrightarrow а$ , то можно построить противоположный ему $-\overrightarrow а$ , равный по длине, но противоположно направленный. Тогда происходит сведение двух противоположно направленных векторов к нулевому:

$\overrightarrow а+\left(-\overrightarrow а\right)=0$

Как производится вычитание векторов по координатам

Если необходимо произвести вычитание векторов по координатам, то следует просто вычесть соответствующие точки. То есть если из $\overrightarrow а$ отнимается $\overrightarrow b$ , то из X₁ отнимаем X_2, из Y₁ Y₂ и из Z₁ Z₂.

Проиллюстрируем координатное пространство:

Основные правила вычисления

Для того, чтобы найти значение разности векторов, можно использовать несколько способов.

Правило треугольника

Чтобы графически продемонстрировать разность, необходимо отложить от произвольной точки вектор $\overrightarrow а$ , из его начала $\overrightarrow b$ . Тогда вектор, начало которого совпадает с концом $ \overrightarrow b$ , а конец — с концом $\overrightarrow a$ , и будет искомым вектором разности $\overrightarrow a\;-\;\overrightarrow b$ . Проиллюстрируем это:

Правило параллелограмма

Если два неколлинеарных, то есть непараллельных вектора $\overrightarrow а$ и $\overrightarrow b$ имеют общее начало, то их разностью является вектор, совпадающий с диагональю параллелограмма, построенного на $\overrightarrow а$ и $\overrightarrow b$ , причем начало этой диагонали совпадает с концом $\overrightarrow b$ , а конец — с концом $\overrightarrow а$ .

Читайте также: Способы накопления денег 365 дней
Если векторы $\overrightarrow а$ и $\overrightarrow b$ заданы в некотором промежутке:

$\overrightarrow a=\left(а_1;а_2\right),\;\overrightarrow b=\left(b_1;b_2\right)$

то, чтобы найти координаты их разности $\overrightarrow a\;-\;\overrightarrow b$ , необходимо от точек $\overrightarrow a$ отнять соответствующие точки $\overrightarrow b$ :

$\overrightarrow a\;-\;\overrightarrow b=\left(a_1;a_2\right)-\left(b_1;b_2\right)=\left(a_1-b_1;a_2-b_2\right)$

Проиллюстрируем правило многоугольника:

Примеры задач на понятие разности векторов

Задача 1

Дано

$\overrightarrow a\;=\left(2;-1\right),\;\overrightarrow b=\left(0;2\right)$

Найти: $\overrightarrow с=2\overrightarrow a-3\overrightarrow b\;$

Решение

Найдем координаты $2\overrightarrow a$ и $3\overrightarrow b$ . Для этого умножим каждую на два и три:

$2\overrightarrow а=2\times\left(2;-1\right)=\left(2\times2;2\times\left(-1\right)\right)=\left(4;-2\right), 3\overrightarrow b=3\times\left(0;2\right)=\left(3\times0;3\times2\right)=\left(0;6\right)$

Тогда искомый вектор:

$\overrightarrow с=2\overrightarrow a-3\overrightarrow b=\left(4;-2\right)-\left(0;6\right)=\left(4-0;\;-2-6\right)=\left(4;-8\right)$

Ответ: $\overrightarrow с=\left(4;-8\right).$

Задача 2

Дано

Найти: координаты $\overrightarrow-\overrightarrow.$

Решение

Для начала найдем проекции $\overrightarrow$ и $\overrightarrow$ .

Для этого от координат конца вектора, то есть точек B и D, нужно отнять соответствующие проекции его начала, то есть точек А и С.

Тогда для нахождения координат разности $\overrightarrow-\overrightarrow$ , от координат первого вычтем координаты второго:

Источник

Сложение и вычитание векторов

Теорема 1 От любой точки $ K $ можно отложить вектор единственный $ \overrightarrow $ .

Существование: Имеем два следующих случая:

Здесь получаем, что искомый нами вектор совпадает с вектором $ \overrightarrow $ .

Из данного выше построения сразу же будет следовать единственность данного вектора.

Сумма векторов. Сложение векторов. Правило треугольника

Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.

Суммой нескольких векторов $ \vec $ , $ \vec $ , $ \vec,\;\ldots $ называется вектор $ \vec $ , получающийся в результате последовательного сложения данных векторов.

Такая операция выполняется по правилу многоугольника.

Сумма векторов в координатах
При сложении двух векторов соответствующие координаты складываются.
$ \vec + \vec = \left( <+ , + , + > \right) $

Отметим несколько свойств сложения двух векторов:

Для произвольного вектора $ \overrightarrow $ выполняется равенство

Читайте также: Формы лица способы коррекции
Для произвольных точек $ A,\ B\ и\ C $ справедливо следующее равенство

Замечание Таким способом также можно строить сумму любого числа векторов. Тогда оно будет носить название правила многоугольника.

Разность векторов. Вычитание векторов

Разность двух одинаковых векторов равна нулевому вектору :
$ \vec — \vec = \vec <0>$

Длина нулевого вектора равна нулю:
$ \left| \vec <0>\right| = 0 $

Разность векторов в координатах
При вычитании двух векторов соответствующие координаты также вычитаются.
$ \vec — \vec = \left( <— , — , — > \right) $

Умножение вектора на число

Пусть нам дан вектор $ \overrightarrow $ и действительное число $ k $ .

Определение Произведением вектора $ \overrightarrow $ на действительное число $ k $ называется вектор $ \overrightarrow $ удовлетворяющий следующим условиям:

Длина вектора $ \overrightarrow $ равна $ \left|\overrightarrow\right|=\left|k\right||\overrightarrow| $ ;

Векторы $ \overrightarrow $ и $ \overrightarrow $ сонаправлены, при $ k\ge 0 $ и противоположно направлены, если $ k\le 0 $

Обозначение: $ \ \overrightarrow=k\overrightarrow $ .

Источник

Разность векторов

Разность векторов

— это такой вектор

который в сумме с вектором b даёт вектор a:

На основе определения находим координаты вектора

Как построить разность двух векторов?

Из равенства

правило построения разности двух векторов

Чтобы построить вектор, равный разности векторов

надо отложить оба вектора от одной точки. Разность векторов — вектор, проведённый от конца вычитаемого b к концу уменьшаемого a.

Противоположные векторы — это противоположно направленные векторы одинаковой длины.

Вектор, противоположный вектору

Примеры противоположных векторов:

Свойства противоположных векторов:

1) Противоположные векторы имеют противоположные координаты:

Пусть даны точки

2) Сумма противоположных векторов равна нулевому вектору:

2 способ построения разности векторов

Чтобы построить разность векторов

можно к вектору a прибавить вектор, противоположный вектору b:

То есть вычитание векторов заменяем сложением уменьшаемого с вектором, противоположным вычитаемому.

Источник