Для тех, кто хочет научиться находить пределы в данной статье мы расскажем об этом. Не будем углубляться в теорию, обычно её дают на лекциях преподаватели. Так что «скучная теория» должна быть у Вас законспектирована в тетрадках. Если этого нет, то почитать можно учебники взятые в библиотеке учебного заведения или на других интернет-ресурсах.
Итак, понятие предела достаточно важно в изучении курса высшей математики, особенно когда вы столкнетесь с интегральным исчислением и поймёте связь между пределом и интегралом. В текущем материале будут рассмотрены простые примеры, а также способы их решения.
Нам часто присылают эти пределы с просьбой помочь решить. Мы решили их выделить отдельным примером и пояснить, что данные пределы необходимо просто запомнить, как правило.
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Внимание «чайникам» 🙂 Чтобы вычислить предел любого типа и вида нужно подставить значение x, указанное под пределом, в функцию, стоящую под знаком предела. Давайте попробуем это сделать:
Как видим в итоге у нас вычислился предел, результатом стала двойка. Хорошо, когда так получается, но бывает так, что результатом становятся неопределенности. Попробуем разобраться с ними — это не так страшно как кажется 🙂
Ответ
$$ \lim \limits_ \frac= 2 $$
Что делать с неопределенностью вида: $ \bigg [\frac<0> <0>\bigg ] $
Пример 3
Решить $ \lim \limits_ \frac$
Решение
Как всегда начинаем с подстановки значения $ x $ в выражение, стоящее под знаком предела.
Что теперь дальше? Что же должно получиться в итоге? Так как это неопределенность, то это ещё не ответ и продолжаем вычисление. Так как в числители у нас многочлен, то разложим его на множители, помощью знакомой всем формулы ещё со школьной скамьи $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Вспомнили? Отлично! Теперь вперед и с песней применять её 🙂
Бесконечность получилась в результате — это следует из примера 1. Когда число делится на 0 под знаком предела, то получается бесконечность.
Ответ
$$ \lim \limits_\frac= \infty $$
Устремим предел в последних двух примерах к бесконечности и рассмотрим неопределенность: $ \bigg [\frac<\infty> <\infty>\bigg ] $
Пример 5
Вычислить $ \lim \limits_ \frac$
Решение
Что же делать? Как быть? Не стоит паниковать, потому что невозможное — возможно. Нужно вынести за скобки и в числителе и в знаменателе икс, а потом его сократить. После этого предел попытаться вычислить. Пробуем.
Используя определение из примера 2 и подставляя в место х бесконечность получаем:
Ответ
$$ \lim \limits_ \frac= \infty $$
Пример 6
$$ \lim \limits_\frac$$
Решение
Чтобы устранить такую неопределенность нужно вынести за скобки икс в числителе и в знаменателе, далее их сократить. В полученное выражение подставить икс равное бесконечности. Пробуем.
Ответ
$$ \lim \limits_\frac= 1 $$
Алгоритм вычисления лимитов
Подставить точку х в выражение, следующее после знака предела. Если получается определенное число, либо бесконечность, то предел решен полностью. В противном случае имеем неопределенность: «ноль делить на ноль» или «бесконечность делить на бесконечность» и переходим к следующим пунктам инструкции.
Чтобы устранить неопределенность «ноль делить на ноль» нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Сократить подобные. Подставить точку х в выражение, стоящее под знаком предела.
Если неопределенность «бесконечность делить на бесконечность», тогда выносим и в числителе, и в знаменателе x наибольшей степени. Сокращаем иксы. Подставляем значения икса из под предела в оставшееся выражение.
В этой статье Вы ознакомились с основами решения пределов, часто используемых в курсе Математического анализа. Конечно же это не все типы задач, предлагающихся экзаменаторами, а только простейшие пределы. В следующих статьях поговорим о других типах заданий, но сперва необходимо усвоить этот урок, чтобы двигаться далее. Обсудим, что делать, если есть корни, степени, изучим бесконечно малые эквивалентные функции, замечательные пределы, правило Лопиталя.
Если у Вас не получается самостоятельно решить пределы, то не паникуйте. Мы всегда рады помочь!
Источник
Предел последовательности и функции одной переменной
Что такое предел? Понятие предела
Все без исключения где-то в глубине души понимают, что такое предел, но как только слышат «предел функции» или «предел последовательности», то возникает легкая растерянность.
Не волнуйтесь, это всего лишь от незнаний! Через 3 минуты прочтения ниженаписанного, вы станете грамотнее.
Важно раз и навсегда понять, что имеют в виду, когда говорят о каких-то предельных положениях, значениях, ситуациях и вообще, когда по жизни прибегают к термину предела.
Взрослые люди это понимает интуитивно, а мы разберем на нескольких примерах.
Вспомним строки из песни группы «Чайф»: «… не доводи до предела, до предела не доводи …».
В данном случае по задумке автора предельная ситуацию в отношениях между людьми – это расставание.
Автор как бы предупреждает, что в результате последовательности конкретных действий мы придем к конкретному результату – расставанию.
Наверняка вы слышали фразу о предельно устойчивом положении предмета в пространстве.
Вы сами можете без труда смоделировать такую ситуацию с подручными вещами.
Например, слегка наклоните пластиковую бутылку и отпустите её. Она обратно встанет на днище.
Но есть такие предельные наклонные положения, за границами которых она просто упадет.
Опять же предельное положение в данном случае — это нечто конкретное. Важно это понимать.
Можно много приводить примеров использования термина предела: предел человеческих возможностей, предел прочности материала и так далее.
Ну а с беспределами так вообще каждый день сталкиваемся)))
Но сейчас нас интересуют предел последовательности и предел функции в математике.
Предел числовой последовательности в математике
Предел (числовой последовательности) — одно из основных понятий математического анализа. На понятии предельного перехода базируются сотни и сотни теорем, определяющие современную науку.
Сразу конкретный пример для наглядности.
Допустим есть бесконечная последовательность чисел, каждое из которых в два раза меньше предыдущего, начиная с единицы: 1, ½, ¼, .
Так вот предел числовой последовательности (если он существует) – это какое-то конкретное значение.
В процессе деления пополам каждое последующее значение последовательности неограниченно приближается к определенному числу.
Несложно догадаться, что это будет ноль.
Когда мы говорим о существовании предела (предельного значения), это не значит, что какой-то член последовательности будет равен этому предельному значению. Он может лишь только стремиться к нему.
Из нашего примера это более чем понятно. Сколько бы раз мы не делили единицу на два, мы никогда не получим ноль. Будет лишь число в два раза меньше предыдущего, но никак не ноль!
Предел функции в математике
В математическом анализе безусловно самое важное – это понятие предела функции.
Не углубляясь в теорию, скажем следующее: предельное значение функции не всегда может принадлежать области значений самой функции.
При изменении аргумента, функция будет стремиться к какому-то значению, но может его не принять никогда.
Например, гипербола 1/x не имеет значения ноль ни в какой точке, но она неограниченно стремится к нулю при стремлении x к бесконечности.
Нашей целью не является дать вам какие-то теоретические знания, для этого есть куча умных толстых книжек.
Но мы предлагаем вам воспользоваться онлайн калькулятором пределов, с помощью которого сможете сравнить ваше решение с правильным ответом.
Помимо всего, калькулятор выдает пошаговое решение пределов, применяя зачастую правило Лопиталя с использованием дифференцирования числителя и знаменателя непрерывной в точке или на некотором отрезке функции.
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам если нужно вычислить предел функции. Программа решения пределов не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс вычисления предела.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы. Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >>С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите выражение функции Вычислить предел
Немного теории.
Предел функции при \( x \to x_0 \)
Пусть функция \( f(x) \) определена на некотором множестве \(X\) и пусть точка \( x_0 \in X \) или \( x_0 \notin X \)
Возьмем из \(X\) последовательность точек, отличных от \(x_0\) : \(x_1 \;, \; x_2 \;, \; x_3 \;, . \; x_n \; , \; . \tag <1>\) сходящуюся к \(x^*\). Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность \( f(x_1) \;, \; f(x_2) \;, \; f(x_3) \;, . \; f(x_n) \; , \; . \tag <2>\) и можно ставить вопрос о существовании ее предела.
Определение. Число \(A\) называется пределом функции \(f(x)\) в точке \( x = x_0 \) (или при \( x \to x_0 \) ), если для любой сходящейся к \(x_0\) последовательности (1) значений аргумента \(x\), отличных от \(x_0\) соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к числу \(A\).
Символически это записывается так: $$ \lim_ < f(x)>= A $$
Функция \(f(x)\) может иметь в точке \(x_0\) только один предел. Это следует из того, что последовательность \( \left\ < f(x_n) \right\>\) имеет только один предел.
Существует другое определение предела функции.
Определение Число \(A\) называется пределом функции \(f(x)\) в точке \(x_0\), если для любого числа \( \varepsilon > 0 \) существует число \( \delta > 0 \) такое, что для всех \( x \in X, \; x \neq x_0 \), удовлетворяющих неравенству \( |x-x_0| 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Первое определение основано на понятии предела числовой последовательности, поэтому его часто называют определением «на языке последовательностей». Второе определение называют определением «на языке \( \varepsilon — \delta \)». Эти два определения предела функции эквивалентны и можно использовать любое из них в зависимости от того, какое более удобно при решении той или иной задачи.
Заметим, что определение предела функции «на языке последовательностей» называют также определением предела функции по Гейне, а определение предела функции «на языке \( \varepsilon — \delta \)» — определением предела функции по Коши.
Предел функции при \( x \to x_ <0->\) и при \( x \to x_ <0+>\)
В дальнейшем будут использованы понятия односторонних пределов функции, которые определяются следующим образом.
Определение Число \(A\) называется правым (левым) пределом функции \(f(x)\) в точке \(x_0\), если для любой сходящейся к \(x_0\) последовательности (1), элементы \(x_n\) которой больше (меньше) \(x_0\), соответствующая последовательность (2) сходится к \(A\).
Символически это записывается так: $$ \lim_> f(x) = A \; \left( \lim_> f(x) = A \right) $$
Можно дать равносильное определение односторонних пределов функции «на языке \( \varepsilon — \delta \)»:
Определение число \(A\) называется правым (левым) пределом функции \(f(x)\) в точке \(x_0\), если для любого \( \varepsilon > 0 \) существует \( \delta > 0 \) такое, что для всех \(x\), удовлетворяющих неравенствам \( x_0 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0 -\delta
Предел функции при \( x \to \infty \), при \( x \to -\infty \) и при \( x \to +\infty \)
Кроме рассмотренных понятий предела функции при \( x \to x_0 \) и односторонних пределов существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.
Определение. Число \(A\) называется пределом функции \(f(x)\) при \( x \to \infty \), если для любой бесконечно большой последовательности (1) значений аргумента соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к \(A\).
Символическая запись: $$ \lim_ f(x) = A $$
Определение. Число \(A\) называется пределом функции \(f(x)\) при \( x \to +\infty \; (x \to -\infty) \) , если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы \(x_n\) которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции сходится к \(A\).
Символическая запись: $$ \lim_ f(x) = A \; \left( \lim_ f(x) = A \right) $$
Теоремы о пределах функций
Определение предела функции «на языке последовательностей» дает возможность перенести доказанные выше теоремы о пределах последовательностей на функции. Покажем это на примере двух теорем.
Теорема. Пусть функции \(f(x)\) и \(g(x)\) имеют в точке \(x_0\) пределы \(B\) и \(C\). Тогда функции \( f(x) \pm g(x) \; , \; f(x) \cdot g(x) \) и \( \frac\) (при \( C \neq 0 \) ) имеют в точке \(x_0\) пределы, равные соответственно \( B \pm C \; , \; B \cdot C \), и \( \frac\).
Теорема. Пусть функции \( f(x) \; , \; g(x) \) и \( h(x) \) определены в некоторой окрестности точки \(x_0\), за исключением, быть может, самой точки \(x_0\), и функции \( f(x) \; , \; h(x) \) имеют в точке \(x_0\) предел, равный \(A\), т.е. $$ \lim_ f(x) = \lim_ h(x) = A $$ Пусть, кроме того, выполняются неравенства \( f(x) \leqslant g(x) \leqslant h(x) \). Тогда $$ \lim_ g(x) = A $$
Теорема Лопиталя. Если $$ \lim_ f(x) = \lim_ g(x) = 0 $$ или \(\infty \), \(f(x)\) и \(g(x)\) дифференцируемы в окрестности \(x_0\) , и \( g'(x) \neq 0 \) в окрестности \(x_0\) , и существует $$ \lim_ \frac$$ то существует $$ \lim_ \frac= \lim_ \frac$$
Т.е. теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных. Теорема Лопиталя позволяет раскрывать неопределённости вида \( \frac<0> <0>\) и \( \frac<\infty> <\infty>\).
