Найти длины дуг линий заданных указанным способом

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Длина дуги, угол между линиями, площадь области на поверхности

Краткие теоретические сведения

Зная первую квадратичную форму поверхности, мы можем решить три задачи:

2. Найти угол между двумя линиями на поверхности в точке их пересечения:
Если две линии, лежащие на поверхности с первой квадратичной формой $I_1=E\,du^2+2F\,du\,dv+G\,dv^2$, пересекаются в некоторой точке $P$ поверхности и имеют в этой точке направления $(du:dv)$ и $(\delta u:\delta v)$, то косинус угла между ними определяется по формуле: \begin \mbox\,\varphi = \displaystyle\frac<\sqrt\cdot\sqrt> \\ \mbox\,\varphi = \displaystyle\frac<\sqrt\cdot\sqrt>. \end Говорим, что кривая на поверхности $\vec=\vec(u,v)$ в точке $(u,v)$ имеет направление $(du:dv)$, если вектор $d\vec=\vec_udu+\vec_vdv$ является касательным вектором кривой в этой точке.

3. Найти площадь области $\Omega$ на поверхности: \begin S = \iint\limits_\sqrtdu\,dv, \end где $D$ — прообраз $\Omega$ на плоскости $(u,v)$.

Решение задач

Задача 1 (почти Феденко 684)

Найти длину дуги кривой, заданной уравнениями $v=3u$ на поверхности с первой квадратичной формой \begin I_1=du^2+\frac19\,\mbox^2u\,dv^2 \end между точками $M_1(u_1,v_1)$ и $M_2(u_2,v_2)$.

Решение задачи 1

Задача 2 (почти Феденко 682)

Под каким углом пересекаются линии $$ u+v=a, \,\, u-v=a,$$ лежащие на поверхности: \begin x=u\,\mboxv, \,\, y=u\,\mbox\,v, \,\, z=au. \end

Решение задачи 2

Первая квадратичная форма данной поверхности: \begin I_1=(1+a^2)\,du^2+u^2\,dv^2. \end

Данные линии пересекаются в точке: \begin \left\ < \beginu+v&=a,\\ u-v&=a. \end \right. \quad \Rightarrow \quad P(u=a,v=0). \end

Направления данных линий: \begin du+dv=0, \,\, \delta u-\delta v=0\,\, \Rightarrow \end \begin du = -dv, \,\, \delta u = \delta v. \end

Задача 3

Дана поверхность: $$z=axy.$$ Найти углы между координатными линиями.

Решение задачи 3

Координатные линии на данной поверхности задаются уравнениями: $x=x_0$, $y=y_0$. Запишем коэффициенты первой квадратичной формы: \begin &E=1+(z_x)^2=1+a^2y^2,\\ &F=z_xz_y=a^2xy, \\ &G=1+(z_y)^2=1+a^2x^2. \end

Направления координатных линий: \begin &x=x_0 \,\, \Rightarrow dx=0,\\ &y=y_0 \,\, \Rightarrow \delta y=0. \end

Задача 4 (Дополнение к Задаче 3)

Как мы вывели в примере выше, угол между координатными линиями равен

Из формулы следует, что координатная сеть поверхности ортогональна (координатные линии пересекаются под прямым углом), тогда и только тогда, когда $F$=0.

Задача 5 (Феденко 683)

Найти периметр и внутренние углы криволинейного треугольника $$ u=\pm av^2/2,\,\, v=1,$$ расположенного на поверхности $$I_1=du^2+(u^2+a^2)dv^2.$$

Вершины треугольника: \begin &A(u=0,\, v=0),\\ &B(u=-\frac<2>,\, v=1), \\ &C(u=\frac<2>,\, v=1). \end

Зная координаты вершин и уравнения сторон, найдем длины дуг, составляющих стороны треугольника $ABC$, и углы между линиями в точках их пересечения, то есть в вершинах треугольника: \begin &s_1 = |BC| = a,\\ &s_2 = |AC| = \frac76 a,\\ &s_3 = |BC| = \frac76 a,\\ &P_<\triangle ABC>=s_1+s_2+s_3=\frac<10><3>a. \end \begin &\mbox\,A = 1, \,\, \mbox\,B=\mbox\,C=\frac23. \end

Источник

Как найти длину дуги кривой с помощью интеграла

Задачи на вычисление длины дуги кривой — однотипные. Существуют чёткие схемы для решения таких задач по формулам, которые отличаются в зависимости от того, какими и сколькими уравнениями задана кривая. Формулы представляют собой интегралы от корня, под которым в тех или иных сочетаниях присутствуют производные функций, которыми задана кривая. Следовательно, для того, чтобы вычислять длину дуги кривой, требуется уметь вычислять производные и интегралы. При вычислении интегралов возможны типичные трудности, связанные, например, с выбором подходящей подстановки. Эти задачи будем решать в примерах к данному уроку.

Вычисление длины дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах

Пусть в прямоугольных координатах на плоскости уравнением y = f(x) задана кривая.

Найдём длину дуги AB этой кривой, заключённой между вертикальными прямыми x = a и x = b (рисунок ниже).

Возьмём на дуге AB точки A, M 1 , M 2 , . M i , . B с абсциссами x 0 = a, x 1 , x 2 , . x i , . b = x n и проведём хорды AM 1 , M 1 M 2 , . M n-1 B , длины которых обозначим соответственно через Δs 1 , Δs 2 , . Δs n . Тогда получим ломаную AM 1 M 2 . M n-1 B , вписанную в дугу AB. Длина ломаной равна

.

Длиной s дуги AB называется тот предел, к которому стремится длина вписанной ломаной, когда длина её наибольшего звена стремится к нулю:

.

Этот предел интегральной суммы равен определённому интегралу

(1).

Формула выше и есть формула для вычисления дуги кривой.

Пример 1. Найти длину дуги кривой , если .

Решение. Находим производную данной функции:

Используем формулу (1), подставляя найденную производную:

Ответ: длина дуги кривой равна 74.

Пример 2. Найти длину окружности .

Решение. Вычислим сначала длину четвёртой части окружности, лежащей в первом квадранте. Тогда уравнение дуги будет:

,

откуда находим производную функции:

Используем формулу (1) подставляя в неё производную, получаем:

Ответ: длина всей окружности равна .

Если в прямоугольных координатах уравнениями z = x(x) и y = y(x) задана пространственная кривая, то длина её дуги вычисляется по формуле:

. (2)

Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрически

Найдём теперь длину дуги кривой в том случае, когда кривая задана параметрическими уравнениями:

В этом случае длину дуги кривой следует находить по формуле

(3).

Пример 3. Найти длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями

если .

Решение. Рассчитаем интервал, в котором будет меняться значение t, если :

Вычислим производные функций x и y:

Используем формулу (3):

.

Ответ: длина дуги кривой равна 26.

Если параметрическими уравнениями

задана пространственная кривая, то длина её дуги вычисляется по формуле:

. (4)

Пример 4. Найти длину дуги винтовой линии, заданной параметрическими уравнениями

Решение. Вычислим производные функций x, y и z:

Используем формулу (4):

Вычисление длины дуги кривой, заданной в полярных координатах

Пусть кривая задана в полярных координатах:

Длина её дуги вычисляется по формуле:

(5).

Пример 5. Найти длину дуги кривой, заданной в полярных координатах .

Решение. Вычислим производную функции:

.

Заданная кривая — кардиоида (рисунок выше). Так как она симметрична, вычислим только ту часть длины дуги, у которой и и умножим её на 2. Используем формулу (5):

.

Источник

Вычисление длин дуг с помощью определённого интеграла. Теория, примеры и рисунки.

Первый случай (плоский). Пусть UАВ задана плоской кривой y = f(x). Аргумент функции изменятся в пределах от а до b и она непрерывно дифференцируема этом отрезке. Найдем длину L дуги UАВ (см. рис. 1а). Для решения этой задачи разбейте рассматриваемый отрезок на элементарные отрезки ∆xi, i=1,2,…,n. В результате UАВ разобьется на элементарные дуги ∆Ui, участков графика функции y=f(x) на каждом из элементарных отрезков. Найдете длину ∆Li элементарной дуги приближенно, заменив ее соответствующей хордой. При этом можно приращения заменить дифференциалами и использовать теорему Пифагора. После вынесения из квадратного корня дифференциала dx получите результат, приведенный на рисунке 1b.

Как вычислить длину кривой

Второй случай (дуга UАВ задана параметрически). x=x(t), y=y(t), tє[α,β]. Функции x(t) и y(t) имеют непрерывные производные на отрезке этом отрезке. Найдите их дифференциалы. dx=f’(t)dt, dy=f’(t)dt. Подставьте эти дифференциалы в формулу для вычисления длины дуги в первом случае. Вынесите dt из квадратного корня под интегралом, положите х(α)=а, x(β)=b и придете к формуле для вычисления длины дуги в данном случае (см. рис. 2а).

Третий случай. Дуга UАВ графика функции задана в полярных координатах ρ=ρ(φ) Полярный угол φ при прохождении дуги изменяется от α до β. Функция ρ(φ)) имеет непрерывную производную на отрезке ее рассмотрения. В такой ситуации проще всего использовать данные, полученные на предыдущем шаге. Выберите φ в качестве параметра и подставьте в уравнения связи полярных и декартовых координат x=ρcosφ y=ρsinφ. Продифференцируйте эти формулы и подставьте квадраты производных в выражение на рис. 2а. После небольших тождественных преобразований, основанных в основном, на применении тригонометрического тождества (cosφ)^2+(sinφ)^2=1, получите формулу для вычисления длины дуги в полярных координатах (см. рис.2b).

Четвертый случай (пространственная кривая, заданная параметрически). x=x(t), y=y(t), z=z(t) tє[α,β]. Строго говоря, здесь следует применить криволинейный интеграл первого рода (по длине дуги). Криволинейные интегралы вычисляют переводом их в обычные определенные. В результате ответ останется практическим таким же как и случае два, с тем лишь отличием, что под корнем появится добавочное слагаемое – квадрат производной z’(t) (см рис. 2с).

Пример 1. Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая АВ, уравнение которой у=ƒ(х), где а≤х≤ b.

Под длиной дуги АВ понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремится к нулю. Покажем, что если функция у=ƒ(х) и ее производная у’ = ƒ'(х) непрерывны на отрезке [а; b], то кривая АВ имеет длину, равную

Применим схему I (метод сумм).

1. Точками х 0 = а, х 1. х n = b (х 0 1 n) разобьем отрезок [а; b] на n частей (см. рис. 183). Пустьэтим точкам соответствуют точки М 0 = А, M 1. M n =В на кривой АВ. Проведем хорды М 0M 1, M 1M 2. М n-1М n, длины которых обозначим соответственно через ΔL 1, AL 2. ΔL n. Получим ломаную M 0M 1M 2 . M n-ιM n, длина которой равна L n=ΔL 1 + ΔL 2+. + ΔL n =

2. Длину хорды (или звена ломаной) ΔL 1 можно найти по теореме Пифагора из треугольника с катетами Δx i и Δу i:

По теореме Лагранжа о конечном приращении функции Δу i=ƒ'(с i)•Δх i, где ci є (x i-1;x i). Поэтому

а длина всей ломаной M 0M 1. М n равна

3.Длина l кривой АВ, по определению, равна

Заметим, что при ΔL i → 0 также и Δx i → 0 ΔLi = и, следовательно, |Δx i| i).

Функция непрерывна на отрезке [а; b], так как, по условию, непрерывна функция ƒ'(х). Следовательно, существует предел интегральной суммы (41.4), когда max Δx i → 0 :

Таким образом, или в сокращенной записи l =

Если уравнение кривой АВ задано в параметрической форме

где x(t) и y(t) — непрерывныефункции с непрерывными производными и х(а) = а, х(β) = b, то длина l кривой АВ находится по формуле

Формула (41.5) может быть получена из формулы (41.3) подстановкой x = x(t),dx = x'(t)dt,

Пример 2. Определить длину окружности x 2 + y 2 = r 2 . Решение. Вычислим сначала длину четвертой части окружности, лежащей в первом квадранте. Тогда уравнение дуги AB будет , откуда ,следовательно,

Длина всей окружности L = 2πr.

Пример 3. Найти длину дуги кривой y 2 = x 3 от x = 0 до x = 1 (y > 0). Решение. Дифференцируя уравнение кривой, найдем y’ = (3/2)x 1/2 , откуда

(1)

где y ‘ – производная функции y = f(x) по переменной x.

Длина дуги равна сумме длин составляющих ее элементов:

.

.

Пример 6.

Источник