Найдите сколькими способами ребенок
За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.
Пусть первой за стол сядет девочка, рядом с ней есть два места, на каждое из которых может сесть 8 человек, из которых только одна девочка. Таким образом вероятность, что девочки будут сидеть рядом равна 
Приведём другое решение (перестановки).
Число способов рассадить 9 человек по девяти стульям равно 
Благоприятным является случай, когда на «первом» стуле сидит «первая» девочка, на соседнем справа сидит «вторая» девочка, а на остальных семи стульях произвольным образом рассажены мальчики. Поскольку выбрать «первую» девочку можно двумя способами, количество таких исходов равно 
А так как «первым» стулом может быть любой из девяти стульев (стулья стоят по кругу), количество благоприятных исходов нужно умножить на 9. Таким образом, вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом, равна 
Приведём другое решение (круговые перестановки).
Напомним, что число способов, которыми можно расположить n различных объектов по n расположенным по кругу местам равно (n − 1)! Поэтому посадить за круглым столом 9 детей можно 8! способами. Объединим двух девочек в пару, это можно сделать двумя способами; рассадить по кругу 7 мальчиков и эту неделимую пару можно 7! способами. Тем самым, посадить детей требуемым образом можно 2 · 7! способами, поэтому искомая вероятность равна 
Рассуждая аналогично, получим, что в общем случае для n девочек и m мальчиков, сидящих девочки с девочками, а мальчики с мальчиками, количество способов занять места за круговым столом равно n!m!, а вероятность случайной рассадки требуемым образом равна 
Источник
Найдите сколькими способами ребенок
Комбинаторика для начинающих. МФТИ. Разбор ряда задач недель 2-3
Эти недели были о тех самых четырёх формулах сочетания и размещения.
В семье семеро детей: старший −мальчик, дальше − девочка, девочка, мальчик, мальчик, мальчик и младшая − девочка. Сколькими способами родители могут выбрать имена, если они выбирают из 10 мужских и 13 женских имен и хотят, чтобы имена не повторялись?
Ответ: 8648640.
Решение: можно отвлечься на перечисление детей по возрасту. Не стоит. Соль в их количестве и условии различия имён. Все. Следовательно, обращаемся к числу размещений без повторений, а по правилу умножения размещению 4 мужских имён из 10 известных соответственно 3 женских из 13.
Жених и невеста выбирают трехъярусный свадебный торт. На выбор имеются 5 типов ярусов (бисквитный, йогуртовый, чизкейк и т.д.). Сколько различных тортов может предложить кондитер, если бисквитных ярусов может быть не больше двух, а ярусов любого другого типа не больше одного?
Ответ: 72.
Решение: используем правило сложения и суммируем результаты по трём вариантам — бисквитных ярусов нет, он один, их два.
Если их нет, мы просто размещаем по трём слоям четыре типа. Нам нельзя иметь более одного одинакового слоя из оставшихся. Это размещение без повторений из 4 по 3. Равно 24.
Один ярус может быть занят 3 способами, кроме того, каждому варианту соответствует размещение из 4 уже по 2. Это 3*12=36.
Наконец, бисквитных ярусов два. Они так же могут быть в составе торта 3 способами (чисто интуитивно 1-2, 2-3, 3-1) и им соответствует размещение уже из 4 по 1. 3*4=12.
Итого 24+36+12=72.
В университете десятибальная система оценок: 1−2 −»неудовлетворительно», 3−4 − «удовлетворительно», 5−7 − «хорошо» и 8−10 −»отлично». Сколькими способами можно поставить оценки 5 студентам, если известно, что экзамен сдали все (т.е. нет неудовлетворительных оценок)?
Ответ: 32768.
Решение: задача уже на размещение с повторениями. Ведь оценок у нас хоть сколько, а студенты разные. Здесь варианты 88889 и 88988 это не одно и то же.
Если неудовлетворительных оценок нет, но мы рассматриваем лишь 8 вариантов оценивания, а не 10. И «разместить» эти оценки мы должны по 5 студентам. С возможными повторениями. То бишь, это 8^5.
Группа из 8 студентов пришла в столовую. Сколькими способами они могут занять очередь друг за другом, если Маша и Таня хотят стоять рядом, а Коля не хочет быть последним?
Ответ: 8640.
Решение: Машу и Таню разделять нельзя — они, хоть убей, должны стоять вместе. Давайте для удобства считать, что они японские студентки в коротких юбках и вдвоем пилотируют огромного робота. Можно сказать, что из 8 мест становится 7, так как студентов у нас как будто стало 7.
Но у Коли нет варианта встать на последнее место из 7. У него вариантов вообще 6 — все, кроме последнего.
У всех остальных нет подобных заоморочек. На остальные оставшиеся ребята могут разместиться 6! способами — не 7!, т.к. Коля явно очень голоден и последним в очереди не будет.
Уточним. Маша и Таня могут поменяться местами между собой. Поэтому нам надо не просто умножить 6 на 6!, но и ещё на 2 — есть большая разница между тем, кто пилотирует робота и тем, кто находиться за прицелом и ведёт огонь по вражеским силам. Поэтому 6*6!*2.
У королевы есть 12 одинаковых зеркал. Сколькими способами их можно повесить в 8 разных залах замка так, чтобы в каждом зале было хотя бы одно зеркало?
Ответ: 330.
Решение: внимательно прочитайте — ХОТЯ БЫ одно зеркало. То есть, или одно или два. Здесь нельзя вслепую выбрать сочетание (а порядок не важен и количество зеркал ограничено) 8 из 12. Нет.
Залов меньше, чем зеркал. Очевидно, будут залы с не одним зеркалом.
«Первые восемь» зеркал мы уже, давайте считать, повесили. Уточнение — да, залы разные, но сами зеркала одинаковые. Эти восемь взяли и повесили и, как потом не меняй их местами, суть не меняется.
А вот оставшиеся зеркала это уже другой вопрос. Их 4.
У нас есть 4 оставшихся зеркала. И 8 залов. Мы не обязаны раскидывать эти зеркала равномерно или через раз или ещё как. Мы вообще можем их все отнести в один зал. Это тонкий момент — если мы эти четыре зеркала можем отнести в один зал, то этот зал ПОВТОРЯЕТСЯ. Но при этом порядок тут не имеет значения.
Как вы уже догадываетесь — это сочетание с повторениями. Надо выбрать, в какой из восьми залов нести четыре зеркала. То есть, тут мы выбираем, по сути зал. Они разные, а зеркала одинаковые. Стало быть, это сочетание из 8 по 4 с повторами.
Сколькими способами в течение 5 дней можно выбирать на дежурство по 4 ученика из класса в 20 человек так, чтобы каждый день состав дежурных был разным?
Ответ: скрин.
Решение: легче, чем кажется. Без привязки к дням — как можно выбрать дежурных? Сочетание без повторений из 20 по 4. А дальше? А дальше просто из каждого нового дня вычитаем вариант, который был вчера. А затем это все умножить, ведь надо знать количество способов всего. И обратите внимание, как ловко сочетания тут свернулись в размещения.
Источник
КОМБИНАТОРИКА
Комбинаторика – раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Формулы и принципы комбинаторики используются в теории вероятностей для подсчета вероятности случайных событий и, соответственно, получения законов распределения случайных величин. Это, в свою очередь, позволяет исследовать закономерности массовых случайных явлений, что является весьма важным для правильного понимания статистических закономерностей, проявляющихся в природе и технике.
Правила сложения и умножения в комбинаторике
Правило суммы. Если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причем действие А можно выполнить m способами, а В – n способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо А, либо В) можно n + m способами.
Пример 1.
В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить одного дежурного?
Дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку, т.е. дежурным может быть любой из 16 мальчиков, либо любая из 10 девочек.
По правилу суммы получаем, что одного дежурного можно назначить 16+10=26 способами.
Правило произведения. Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие n2 способами, третье – n3 способами и так до k-го действия, которое можно выполнить nk способами, то все k действий вместе могут быть выполнены:
Пример 2.
В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?
Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. Т.к. в классе учится 16 мальчиков и 10 девочек, то назначить первого дежурного можно 16+10=26 способами.
После того, как мы выбрали первого дежурного, второго мы можем выбрать из оставшихся 25 человек, т.е. 25-ю способами.
По теореме умножения двое дежурных могут быть выбраны 26*25=650 способами.
Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями
Классической задачей комбинаторики является задача о числе сочетаний без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать m из n различных предметов ?
Пример 3.
Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?
Нам из 10 книг нужно выбрать 4, причем порядок выбора не имеет значения. Таким образом, нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 4:
.
Рассмотрим задачу о числе сочетаний с повторениями: имеется по r одинаковых предметов каждого из n различных типов; сколькими способами можно выбрать m (
) из этих (n*r) предметов?
.
Пример 4.
В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?
Т.к. среди 7 пирожных могут быть пирожные одного сорта, то число способов, которыми можно купить 7 пирожных, определяется числом сочетаний с повторениями из 7 по 4.
.
Размещения без повторений. Размещения с повторениями
Классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n различных предметов?
Пример 5.
В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?
В данной задаче мы не просто выбираем фотографии, а размещаем их на определенных страницах газеты, причем каждая страница газеты должна содержать не более одной фотографии. Таким образом, задача сводится к классической задаче об определении числа размещений без повторений из 12 элементов по 4 элемента:
Таким образом, 4 фотографии на 12 страницах можно расположить 11880 способами.
Также классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n предметов, среди которых есть одинаковые?
Пример 6.
У мальчика остались от набора для настольной игры штампы с цифрами 1, 3 и 7. Он решил с помощью этих штампов нанести на все книги пятизначные номера– составить каталог. Сколько различных пятизначных номеров может составить мальчик?
Можно считать, что опыт состоит в 5-кратном выборе с возращением одной из 3 цифр (1, 3, 7). Таким образом, число пятизначных номеров определяется числом размещений с повторениями из 3 элементов по 5:
.
Перестановки без повторений. Перестановки с повторениями
Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок без повторения, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно разместить n различных предметов на n различных местах?
Пример 7.
Сколько можно составить четырехбуквенных «слов» из букв слова«брак»?
Генеральной совокупностью являются 4 буквы слова «брак» (б, р, а, к). Число «слов» определяется перестановками этих 4 букв, т. е.
Для случая, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые (выборка с возвращением), задачу о числе перестановок с повторениями можно выразить вопросом: сколькими способами можно переставить n предметов, расположенных на n различных местах, если среди n предметов имеются k различных типов (k
Пример 8.
Сколько разных буквосочетаний можно сделать из букв слова «Миссисипи»?
Здесь 1 буква «м», 4 буквы «и», 3 буквы «c» и 1 буква «п», всего 9 букв. Следовательно, число перестановок с повторениями равно
ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ ПО РАЗДЕЛУ «КОМБИНАТОРИКА»
Источник
