Чтобы найти координаты точки пересечения графиков функций нужно приравнять обе функции друг к другу, перенести в левую часть все члена, содержащие $ x $, а в правую остальные и найти корни, полученного уравнения.
Второй способ заключается в том, что нужно составить систему уравнений и решить её путём подстановки одной функции в другую
Третий способ подразумевает графическое построение функций и визуальное определение точки пересечения.
Случай двух линейных функций
Рассмотрим две линейные функции $ f(x) = k_1 x+m_1 $ и $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Эти функции называются прямыми. Построить их достаточно легко, нужно взять любые два значения $ x_1 $ и $ x_2 $ и найти $ f(x_1) $ и $ (x_2) $. Затем повторить тоже самое и с функцией $ g(x) $. Далее визуально найти координату точки пересечения графиков функций.
Следует знать, что линейные функции имеют только одну точку пересечения и только тогда, когда $ k_1 \neq k_2 $. Иначе, в случае $ k_1=k_2 $ функции параллельны друг другу, так как $ k $ — это коэффициент угла наклона. Если $ k_1 \neq k_2 $, но $ m_1=m_2 $, тогда точкой пересечения будет $ M(0;m) $. Это правило желательно запомнить для ускоренного решения задач.
Пример 1
Пусть даны $ f(x) = 2x-5 $ и $ g(x)=x+3 $. Найти координаты точки пересечения графиков функций.
Решение
Как это сделать? Так как представлены две линейные функции, то первым делом смотрим на коэффициент угла наклона обеих функций $ k_1 = 2 $ и $ k_2 = 1 $. Замечаем, что $ k_1 \neq k_2 $, поэтому существует одна точка пересечения. Найдём её с помощью уравнения $ f(x)=g(x) $:
Переносим слагаемые с $ x $ в левую часть, а остальные в правую:
Получили $ x=8 $ абциссу точки пересечения графиков, а теперь найдём ординату. Для этого подставим $ x = 8 $ в любое из уравнений хоть в $ f(x) $, либо в $ g(x) $:
$$ f(8) = 2\cdot 8 — 5 = 16 — 5 = 11 $$
Итак, $ M (8;11) $ — является точкой пересечения графиков двух линейных функций.
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Ответ
$$ M (8;11) $$
Пример 2
Дано $ f(x)=2x-1 $ и $ g(x) = 2x-4 $. Найти точки пересечения графиков функций.
Решение
Как найти? Опять же обращаем внимание на то, что угловые коэффициенты равны $ k_1 = k_2 = 2 $. Это означает, что линейные функции параллельны между собой, поэтому у них нет точек пересечения!
Ответы
Графики функций параллельны, нет точек пересечения.
Случай двух нелинейных функций
Пример 3
Найти координаты точки пересечения графиков функций: $ f(x)=x^2-2x+1 $ и $ g(x)=x^2+1 $
Решение
Как быть с двумя нелинейными функциями? Алгоритм простой: приравниваем уравнения друг к другу и находим корни:
Разносим по разным сторонам уравнения члены с $ x $ и без него:
Найдена абцисса искомой точки, но её недостаточно. Ещё нехватает ординаты $ y $. Подставляем $ x = 0 $ в любое из двух уравнений условия задачи. Например:
$$ f(0)=0^2-2\cdot 0 + 1 = 1 $$
$ M (0;1) $ — точка пересечения графиков функций
Источник
Как найти координаты точек пересечения графика функции: примеры решения
Вы будете перенаправлены на Автор24
В практике и в учебниках наиболее распространены нижеперечисленные способы нахождения точки пересечения различных графиков функций.
Первый способ
Первый и самый простой – это воспользоваться тем, что в этой точке координаты будут равны и приравнять графики, а из того что получится можно найти $x$. Затем найденный $x$ подставить в любое из двух уравнений и найти координату игрек.
Найдём точку пересечения двух прямых $y=5x + 3$ и $y=x-2$, приравняв функции:
Теперь подставим полученный нами икс в любой график, например, выберем тот, что попроще — $y=x-2$:
$y=-\frac<1> <2>– 2 = — 2\frac12$.
Точка пересечения будет $(-\frac<1><2>;- 2\frac12)$.
Второй способ
Второй способ заключается в том, что составляется система из имеющихся уравнений, путём преобразований одну из координат делают явной, то есть, выражают через другую. После это выражение в приведённой форме подставляется в другое.
Узнайте, в каких точках пересекаются графики параболы $y=2x^2-2x-1$ и пересекающей её прямой $y=x+1$.
Решение:
Второе уравнение проще первого, поэтому подставим его вместо $y$:
Вычислим, чему равен x, для этого найдём корни, превращающие равенство в верное, и запишем полученные ответы:
Подставим наши результаты по оси абсцисс по очереди во второе уравнение системы:
Точки пересечения будут $(2;3)$ и $(-\frac<1><2>; \frac<1><2>)$.
Третий способ
Готовые работы на аналогичную тему
Перейдём к третьему способу — графическому, но имейте в виду, что результат, который он даёт, не является достаточно точным.
Для применения метода оба графика функций строятся в одном масштабе на одном чертеже, и затем выполняется визуальный поиск точки пересечения.
Данный способ хорош лишь в том случае, когда достаточно приблизительного результата, а также если нет каких-либо данных о закономерностях рассматриваемых зависимостей.
Найдите точку пересечения графиков на общем рисунке.
Рисунок 1. Точка пересечения двух функций. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Решение:
Тут всё просто: ищем точки пересечения пунктиров, опущенных с графиков с осями абсцисс и ординат и записываем по порядку. Здесь точка пересечения равна $(2;3)$.
Источник
Точки пересечения графика функции с осями координат
Точки пересечения графиков функций
В алгебре и начале анализа можно встретить множество задач на поиск точек пересечения графиков функций с помощью их построения или другими методами. Благодаря определенному алгоритму действий, найти ответ достаточно просто. В большинстве случаев решение заключается в определении корней различного вида уравнений.
График функции \(y = f(x)\) является множеством точек \((x; y)\) , координаты которых связаны соотношением \(y = f(x).\)
Равенство \(y = f(x)\) называют уравнением данного графика. Таким образом, график функции представляет собой множество точек (x; y), где x — является аргументом, а y — определяется как значение функции, соответствующее данному аргументу.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
В том случае, когда графики пересекаются в какой-то точке, можно сделать вывод о существовании общего решения системы уравнений. Определить координаты точки можно с помощью графического или аналитического метода. В первом случае требуется построить график уравнения с переменной. Аналитический метод поиска координат точек, в которых графики функций пересекаются, подразумевает решение уравнения, а найденные корни и являются искомыми точками.
Как найти координаты, примеры решения
Существует несколько способов решения подобных задач:
Поиск точек пересечения графиков функций заключается в приравнивании обеих функций друг к другу. При этом все члены с х переносят в левую сторону, а оставшиеся – в правую. Затем остается найти корни уравнения, которое получилось после преобразований.
Второй метод состоит в записи системы уравнения для ее последующего решения с помощью подстановки одной функции в другую.
Третий способ подразумевает построение графиков функций, чтобы определить точки их пересечения визуально.
В качестве примера можно рассмотреть две линейные функции:
Данные функции являются прямыми. Их можно графически изобразить, если принять какие-либо два значения \(x_1\) и \(x_2\) и найти \(f(x_1)\) и \((x_2)\) . Далее действия необходимо повторить с функцией \(g(x)\) . Затем достаточно легко определить визуально координаты точки пересечения рассматриваемых функций.
Важно отметить, что для линейных функций характерна лишь одна точка пересечения только в том случае, когда \(k_1 \neq k_2\) . В противном случае \(k_1=k_2\) , а функции будут параллельными друг другу, в связи с тем, что k является коэффициентом угла наклона. При \( k_1 \neq k_2\) и \(m_1=m_2\) точка пересечения будет соответствовать \(M(0;m)\) . Данная закономерность упрощает решение многих подобных задач.
Имеются функции: \(f(x) = 2x-5\)
Требуется определить координаты точки, в которой пересекаются графики рассматриваемых функций.
В первую очередь стоит отметить, что функции являются линейными. Важно обратить внимание на коэффициент угла наклона рассматриваемых функций:
По этой причине имеется лишь одна точка пересечения графиков функций. Определить ее можно путем решения уравнения:
Необходимо перенести члены с x в левую часть, а остальные — в правую:
В результате удалось найти x=8, что соответствует абсциссе точки пересечения графиков. Требуется определить ординату y с помощью подстановки x = 8 в любое из уравнений – в \(f(x)\) , либо в \(g(x)\) :
\(f(8) = 2\cdot 8 — 5 = 16 — 5 = 11\)
Таким образом, M (8;11) – представляет собой точку, в которой пересекаются графики пары линейных функций.
Записаны две функции: \(f(x)=2x-1\)
Необходимо определить точки, в которых графики рассматриваемых функций пересекаются.
Таким образом, линейные функции параллельны между собой, что объясняет отсутствие точек пересечения их графиков.
Ответ: графики функций параллельны, точки пересечения отсутствуют.
Требуется определить координаты точки, в которой пересекаются графики следующих функций: \(f(x)=x^2-2x+1\)
В данном случае функции являются нелинейными. Поэтому алгоритм решения задачи будет несколько отличаться от предыдущих примеров. В первую очередь следует приравнять уравнения:
Далее необходимо разнести в разные стороны уравнения члены с x и без него:
Таким образом, будет определена абсцисса искомой точки. Затем необходимо найти ординату у. Для этого нужно подставить \(x = 0\) в какое-либо из двух начальных уравнений. К примеру:
\(f(0)=0^2-2\cdot 0 + 1 = 1\)
M (0;1) является точкой, в которой пересекаются графики функций.
Приравнивание функций друг к другу и нахождение корней
Выяснить, имеют ли точки пересечения графики функций, можно путем сравнения соответствующих тождеств и решения уравнения. Однако при этом допускается получение различных равенств с неизвестными. Тогда целесообразно воспользоваться специальными методиками.
Когда уравнение относится к первой степени или является линейным, решение получить достаточно просто. Метод заключается в переносе переменных величин в одну часть уравнения, а известных – в другую. Алгоритм действий:
раскрытие скобок, приведение подобных коэффициентов;
перенос членов с неизвестными в одну сторону, а с известными – в другую;
математические преобразования;
определение корня.
Квадратные уравнения решают с помощью одного из способов:
разложение на множители;
выделение полного квадрата;
поиск дискриминанта;
теорема Виета.
В первом случае представляется возможным понизить степень при неизвестной величине. Второй метод заключается в выделении квадрата по одной из формул сокращенного умножения. Каждая из этих методик реализуема при наличии знаний соответствующих тождеств, в том числе правил разложения на множители.
Третий способ состоит в поиске корней через дискриминант (Д), который является дополнительным параметром, позволяющим сразу решить задачу. Дискриминант определяется с помощью формулы:
В том случае, когда Д>0, переменная может иметь пару значений, которые превращают равенство в справедливое тождество. Если Д=0, то корень является единственным. Когда Д Примечание
Распространенной ошибкой является пренебрежение проверкой результатов решения. Некорректные действия могут привести к образованию ложных корней.
Существует несколько методик решения тождеств кубического и биквадратного типов:
понижение степени, то есть разложение на множители;
замена переменной.
Первый вариант решения подразумевает выполнение преобразований для последующего применения одной из формул сокращенного умножения. Такой способ применяют нечасто. Второй способ состоит в том, что при решении необходимо ввести переменную с более низкой степенью, которая упрощает выражение. Порядок действий при этом следующий:
выполнение математических преобразований;
выражение переменной через другую;
решение квадратного или линейного уравнения;
подстановка промежуточных корней, которые получилось найти на третьем шаге, во второй;
вычисление искомых корней;
проверка;
исключение ложных решений;
запись ответа.
Путем составления системы уравнений
Данный метод определения точек пересечения графиков функций предполагает запись системы уравнения. К примеру:
Решение системы уравнений представляет собой пару чисел (х, у), являющуюся одновременно решением для первого и второго уравнения системы. Решить систему уравнений – значит, отыскать все ее решения, либо установить их отсутствие.
Порядок действий при решении системы уравнений можно рассмотреть на примере:
Решение будет иметь следующий вид:
Данные уравнения являются линейными, поэтому график каждого из них представляет собой прямую. График первого уравнения проходит через точки (0; 1) и (-1; 0). График второго уравнения проходит через точки (0; -1) и (-1; 0). Прямые пересекаются в точке (-1; 0), это и является решением системы уравнений.
Решение системы представляет сбой единственную пару чисел:
Если подставить данные числа в любое из уравнений, то получится справедливое равенство. Таким образом, имеется единственное решение линейной системы. Можно записать отчет: (-1;0).
В процессе решения линейной системы можно столкнуться с разными ситуациями:
система обладает единственным решением, прямые пересекаются;
решения системы отсутствуют. прямые параллельны;
система обладает бесчисленным множеством решений, прямые совпадают.
При рассмотрении частного случая системы p(x; y) и q(x; y) являются линейными выражениями от x и y.
В задачах нередко требуется решить нелинейную систему уравнений. К примеру, необходимо решить следующую систему:
Решение имеет следующий вид:
График первого уравнения будет иметь вид прямой, а второго – являться окружностью. Можно построить первый график по точкам:
Центр окружности в точке О(0; 0), радиус равен 1.
Графики пересекаются в точке А(0; 1) и в точке В(-1; 0).
Можно решить систему графическим способом:
В первую очередь необходимо построить график первого уравнения, который будет представлять собой окружность с центром в точке О (0; 0) и радиусом 2. График второго уравнения является параболой, которая смещена относительно начала координат на 2 вверх, то есть ее вершина – точка (0; 2).
Графики обладают одной общей точкой А(0; 2). Данная точка является решением системы. Если подставить два числа в уравнение, можно проверить корректность ответа и записать его. Ответ: (0; 2).
В качестве еще одного примера можно решить следующую систему:
Первым шагом является построение графика первого уравнения, который будет представлять собой окружность с центром в точке О (0; 0) и радиусом 1.
Далее необходимо построить график функции:
График будет являться ломанной:
Далее следует сместить ее на 1 вниз по оси oy. В результате получится график функции:
При помещении обоих графиков в одну систему координат получится следующая ситуация:
Таким образом, получились три точки пересечения: А(1; 0), т. В(-1; 0), т. С(0; -1)
Нахождение через графическое построений функций
Любой определенный график задают с помощью соответствующей функции. Найти точки, в которых пересекаются графики, можно путем решения уравнения, имеющего вид:
Решение данного уравнения будет являться искомой точкой.
Построить график можно с помощью бумаги и ручки. В процессе необходимо обратить внимание на то, что количество точек пересечения пары графиков определяется видом функции. Линейные функции обладают лишь одной точкой пересечения, линейная и квадратная – двумя, квадратные – двумя, либо четырьмя.
В общем случае двух линейных функций можно предположить, что:
Для поиска точки пересечения графиков необходимо решить уравнение:
\(y1=y2 \ или \ k1x+b1=k2x+b2\)
После преобразований получится, что:
Далее нужно выразить x:
При известной координате точки по оси абсцисс следует определить координату по оси ординат. Таким образом, можно найти координаты точки пересечения графиков:
График функции y = f (х) представляет собой множество точек плоскости, координаты (х, у) которых соответствуют выражению y = f(x). График функции наглядно иллюстрирует поведение и свойства функции. Для построения графика определяют несколько значений довода х и для них рассчитывают соответствующие значения функции y=f(x). Для больше точного и наглядного построения графика следует обнаружить его точки пересечения с осями координат.
С целью определить точку пересечения графика функции с осью y, нужно определить значение функции при х=0, то есть обнаружить f(0). В качестве примера можно рассмотреть график линейной функции, изображенной на рисунке:
В данном случае при х=0 \((y=a*0+b)\) функция равна b. Таким образом, график пересекает ось ординат (ось Y) в точке (0,b). Когда пересекается ось абсцисс (ось Х) функция равна 0, то есть \(y=f(x)=0\) . Для того чтобы определить х, следует решить уравнение \(f(x)=0\) . В случае линейной функции получаем уравнение \(ax+b=0\) , откуда и находим \(x=-b/a\) . В результате можно сделать вывод, что ось Х пересекается в точке \((-b/a,0).\)
При наличии квадратичной зависимости y от х, уравнение \(f(x)=0\) обладает двумя корнями. Таким образом, ось абсцисс пересекается два раза. В случае периодической зависимости y от х, например, \(y=sin(x)\) , график функции обладает бесконечным количеством точек пересечения с осью Х. Проверить корректность расчета координат точек, в которых пересекаются графики функций, можно с помощью подстановки найденных значений х в выражение f(x). Значение выражения при любом из вычисленных х должно быть равно 0.
