Сложные проценты
Вычисление наращенной суммы.В финансовой практике широко используются сложные проценты. Основное отличие сложных процентов от простых заключается в том, что база для начисления процентов меняется от одного расчетного периода к другому. Сумма начисленных в каждом периоде процентов добавляется к капиталу предыдущего периода, а начисление процентов в последующем периоде производится на эту, уже наращенную величину первоначального капитала. Процесс наращения капитала в этом случае происходит с ускорением. Он описывается геометрической прогрессией. Механизм наращения первоначальной суммы (капитала) по сложным процентам называют капитализацией.
Различают годовую капитализацию (процентный платеж начисляется и присоединяется к ранее наращенной сумме в конце года), полугодовую, квартальную, месячную и ежедневную.
Так же, как и при вычислении простых процентов, существует два способа начисления сложных процентов: антисипативный
(предварительный) и декурсивный
(последующий).
Рассмотрим декурсивный метод. В этом случае начисление процентов на первоначальную сумму производится в конце периода наращения.
Величину первоначальной суммы (капитала), на которую начисляются проценты, т.е. текущую стоимость капитала, обозначим Р. Сумму, полученную в результате начисления сложных процентов на текущую стоимость, будем называть наращенной суммой или конечной стоимостью капитала S. Процентную ставку и срок ссуды обозначим соответственно i и n.
В конце 1-го года наращенная сумма составит:
.
В конце 2-го года проценты начисляются на уже наращенную сумму:
,
и т.д., т.е. в конце n-го года наращенная сумма будет равна:
(2.15)
Следовательно, наращенная сумма за весь период может быть получена, как сумма членов геометрической прогрессии, первый член который равен Р, а знаменатель — (1+i).
Величину (1+i) называют сложным декурсивным коэффициентом, а величину (1+i)n
— множителем наращивания сложных процентов.
Нестабильность экономической ситуации вынуждает банки использовать в кредитных сделках изменяющиеся во времени, на заранее фиксированные для каждого периода ставки сложных процентов. В этом случае наращенная сумма составит:
где i1, i2, ik — последовательные значения ставок процентов;
n1, n2, nk
— периоды, в течение которых используются соответствующие ставки.
Наряду с изменяющимися процентными ставками могут использоваться «плавающие» ставки, т.е. ставки, рост которых «привязывается» к темпам инфляции или какому-либо другому показателю, например, ставкам рефинансирования, устанавливаемых Центральным банком страны. В этом случае невозможно заранее рассчитать наращенную сумму.
Использование в финансовых вычислениях простых и сложных процентов дает неодинаковые финансовые результаты. Различия между ними обусловлены сроками сделок. Так, при равной величине простых и сложных процентных ставок (in = ic), при сроке ссуды менее одного года (n 1) наращение по сложным процентам опережает наращение по простым процентам, т.к.
.
Источник
Антисипативный метод начисления сложных процентов
(сложные учетные ставки)
Введем следующие обозначения:
dс – сложная учетная ставка;
f – номинальная годовая учетная ставка (применяется при начислении процентов по учетной ставке несколько раз в году);
Формула дисконтирования по сложной учетной ставке:
P = S (1 — dс) n .
Наращенная сумма через n лет: S = P / (1 — dс) n .
Здесь 1 / (1 — dс) n – коэффициент наращения по сложной учетной ставке.
При равенстве ссудного процента и учетной ставки наращение первоначальной суммы во втором случае (антисипативным методом) идет быстрее. Поэтому в литературе можно встретить утверждение о том, что декурсивный метод начисления процентов более выгоден заемщику, а антисипативный – кредитору. Однако это можно считать справедливым лишь для небольших процентных ставок, когда расхождение не столь значительно. Но с ростом процентной ставки разница в наращенных суммах становится огромной (и растет с ростом %), и сравнение этих двух методов теряет всякий смысл.
Из формулы следует, что учетная ставка может принимать значения только строго меньше 100%. Наращенная сумма быстро увеличивается с ростом учетной ставки, стремясь к бесконечности.
Если учетная ставка изменяется в течение срока ссуды:
Здесь n1, n2, … nN – продолжительность интервалов начисления в годах;
d1, d2, … dN – учетные ставки в этих интервалах;
Если начисление процентов m раз в году, то
Если провести расчеты S для разных видов процентных ставок (простых и сложных ссудных и учетных) при одинаковых Р и размерах процентных ставок, то наибольший рост капитала получится в случае начисления процентов по простой учетной ставке.
Задача 17
Первоначальная сумма долга – 25 тыс. р. Определить наращенную сумму через 3 года при применении декурсивного и антисипативного способов начисления процентов. Годовая процентная ставка – 25%.
S1 = 25 000 (1 + 0.25) 3 = 48 828,125 р.;
S2 = 25 000 (1 – 0.25) -3 = 59 255,747 р.
Решите самостоятельно
Задача 18
Определить современное значение суммы в 120 000 р., которая будет выплачена через 2 года при использовании сложной учетной ставки 20% годовых.
Задача 19 .
Определить наращенные суммы для различных видов процентных ставок при одинаковых начальных условиях: P = 10 000 р., процентная ставка = 10%.
Результаты расчетов свести в таблицу и сравнить скорости наращения.
| Вид ставки и формула расчета S | Срок n = 1 | Срок n = 3 | Срок n = 6 |
| Простая ссудная: S = P (1 + in) | 11 000 | 13 000 | 16 000 |
| Сложная ссудная: S = P (1 + iс) n | |||
| Непрерывный способ начисления %% S = P · e j n | 11 044 | ||
| Простая учетная: S = P / (1 – dn) | |||
| Сложная учетная: S = P / (1 – d) n |
Для примера в верхней строке приведены результаты расчетов наращенных сумм по простой ссудной ставке при сроках ссуды, равных одному, трем и шести годам. Пустые строки следует заполнить самостоятельно.
В формуле расчета для непрерывного начисления процентов e – основание натурального логарифма. Для n = 1: S = 10 000 х 2.7 0.1 х 1 = 11 044.
Эквивалентные процентные ставки
Эквивалентные процентные ставки – это такие ставки разного вида, применение которых при одинаковых начальных условиях дает одинаковые финансовые результаты. Их необходимо знать, когда существует возможность выбора условий финансовых операций и требуется инструмент для корректного сравнения различных процентных ставок.
Для нахождения эквивалентных процентных ставок используют уравнения эквивалентности. Выбирается величина, которую можно рассчитать при использовании различных видов ставок (обычно это наращенная сумма). На основании равенства двух выражений для данной величины составляется уравнение эквивалентности, из которого путем соответствующих преобразований получается соотношение, выражающее зависимость между процентными ставками различного вида. Например, для нахождения простой учетной ставки, эквивалентной простой ссудной ставке, уравнение эквивалентности будет иметь вид
P (1 + ni) = P/ (1 – nd) или (1 + ni) = 1 / (1 – nd),
т.е. необходимо приравнять соответствующие коэффициенты наращения.
Отсюда d = i / (1 + ni) и i = d / (1 – nd).
Задача 20
Срок уплаты по долговому обязательству – полгода, простая учетная ставка – 18%. Какова доходность данной операции, измеренная в виде простой ставки ссудных процентов?
i= 0.18 / (1 – 0.5 х 0.18) = 0.198 = 19.8%.
Для нахождения эквивалентности между собой годовой сложной ссудной ставки и годовой сложной номинальной ссудной ставки приравняем выражения:
S = P (1 + iс) n и S = P (1 + j/m) mn , т.е. (1 + iс) n = (1 + j/m) mn .
Отсюда iс = (1 + j/m) m – 1.
Полученная годовая ставка сложных процентов, эквивалентная номинальной процентной ставке, называется эффективной ставкой сложных процентов. Ее необходимо знать для определения реальной доходности или сравнения процентов, когда используются разные интервалы начисления.
Задача 21
Рассчитать эффективную ставку сложных процентов, если номинальная ставка 24% и начисление процентов ежемесячное.
iс = (1 + 0.24 / 12) 12 – 1 = 0.268 = 26.8%.
Задача 22
Определить, под какую ставку процентов выгоднее поместить капитал в 10 000 тыс. р. на 5 лет:
а) под простую ссудную ставку 20% годовых;
б) под сложную ссудную ставку 12% годовых при ежеквартальном начислении процентов.
Здесь не обязательно считать величину наращенной суммы при различных ставках. Поэтому не важна величина первоначального капитала. Достаточно, например, найти простую процентную ставку, эквивалентную данной сложной ставке, т.е. использовать формулу
i = [(1 + j / m) mn – 1] / n = [(1 + 0.12 / 4) 20 – 1] / 5 = 0.1612 = 16.12%.
Поскольку простая процентная ставка 16.12%, которая дала бы одинаковый с данной сложной процентной ставкой (12%) результат, значительно ниже предложенной в первом варианте ставки (20%), ясно, что гораздо выгоднее первый вариант вложения (под простую ставку 20% годовых).
Посчитаем теперь наращенные суммы в обоих случаях:
а) S = 10 000 (1 + 5 х 0.2) = 20 000 тыс. р.;
б) S = 10 000 (1 + 0.12 / 4) 20 = 18 061 тыс. р.
Полученный результат подтверждает ранее сделанный вывод о том, что первый вариант более выгоден, поскольку дает большую сумму наращения. При этом использование эквивалентных ставок вдвое сокращает расчеты.
Решите самостоятельно
Задача 23
Вексель учтен за три месяца до срока его погашения по учетной ставке 20% годовых. Определить значение эквивалентной ставки простых процентов, определяющей доходность операции учета.
Задача 24
Простая ставка процентов равна 20% годовых. Определить значение эквивалентной ей учетной ставки при выдаче ссуды на полгода.
Задача 25
Кредит на два года предоставлен по ставке сложных процентов 16% годовых. Определить значение эквивалентной учетной ставки при выдаче ссуды на полгода.
Задача 26
По депозитному сертификату сроком на пять лет начисляются простые ссудные проценты по ставке 15% годовых. Определить эквивалентную ставку сложных процентов.
Задача 27
Банк ежемесячно начисляет проценты на вклады по номинальной годовой ставке 12% годовых. Определить доходность вкладов по сложной годовой ставке процентов.
Можно сделать следующие выводы:
1. Значение эффективной ставки больше значения номинальной, а совпадают они при m = 1.
2. Простая учетная ставка всегда меньше эквивалентных ей других ставок (поскольку наращение по этой ставке при прочих равных условиях всегда быстрее).
3. Эквивалентность различных процентных ставок не зависит от величины первоначальной суммы Р (первоначальная сумма предполагается одинаковой).
4. Эквивалентность процентных ставок всегда зависит от продолжительности периода начисления процентов за исключением случаев эквивалентности между собой сложных процентных ставок разного вида (если период начисления один и тот же).
Источник
Антисипативный метод начисления процентов
Вы будете перенаправлены на Автор24
Антисипативный метод начисления процентов – это начисление процентов в начале каждого периода начисления на основании наращенной суммы денежных средств на конец периода.
Способы начисления процентов
Цена денег представляет собой плату за временное пользование «чужими» деньгами, которая может определяться простыми и сложными процентами.
Под процентами понимается доход от предоставления в долг денежных средств, т.е. плата, взимаемая за их использование. Когда проценты имеют стоимостное выражение, они называются процентными деньгами.
Предоставляя финансовые средства в долг, их владелец подвергается риску невозврата, т.е. не получения доходов от возможных инвестиций, тем самым снижая свою ликвидность. В связи с этим каждый кредитор стремится возместить свои потери – получить определенный доход от предоставления денежных средств взаймы. Данный доход – это процентные деньги.
Процентной ставкой является величина, которая характеризует интенсивность процентного начисления.
Периодом начисления процентов является временной промежуток, в котором начисляются проценты.
Проценты могут начисляться по одному из следующих способов:
Декурсивный метод заключается в наращении первоначальной суммы по ставке процента. Проценты выплачиваются по окончании каждого периода начисления.
Декурсивная ставка процента называется ссудным процентом и представляет собой выраженное в процентах отношение величины начисленного за конкретный период дохода I и суммы, имеющейся в начале данного периода PV.
Антисипативный метод рассмотрим в следующем разделе.
Сущность антисипативного метода начисления процентов
Антисипативный (предварительный) метод начисления процентов заключается в том, что проценты выплачиваются не в конце, а в начале периода начисления процентов. Поскольку начисление процентов происходит каждый период начисления, то заемщик получает сумму, уменьшенную на величину процентных денег. Данная операция называется дисконтированием. Разница стоимости векселя и суммы, которую банк предоставит по данному векселю, носит название дисконт.
Готовые работы на аналогичную тему
Антисипативная ставка процента называется учетной ставкой и рассчитывается по формуле:
где $FV$ – наращенная величина денежных средств на конец временного периода.
Учетные ставки могут быть простыми и сложными. Введем обозначения: $d$ – это относительная величина учетной ставки, $P$ – сумма, которую получает заемщик, $S$ – сумма, которую необходимо вернуть, $n$ – продолжительность интервала начисления (годы), $q$ – продолжительность интервала начисления (дни), $K$ – количество дней в году.
Простую учетную ставку рассчитывают по формулам:
Рисунок 1. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рисунок 2. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
В случае сложных учетных ставок используются следующие формулы:
Рисунок 3. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рисунок 4. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Где $d(c) $ – это относительная величина сложной ставки, а Kну – коэффициент наращения.
С позиции кредитора при проведении краткосрочных финансовых операций выгодно использование простых процентов, а в случае долгосрочных операций – сложных процентов. Применение антисипативного метода на практике
В большинстве случаев антисипативный метод применяется в чисто технических целях, например, для дисконтирования, при оплате факторинговых услуг, при учете банковских векселей. В других случаях более распространенным является декурсивный метод начисления. Использование антисипативного метода характерно для периодов высокой инфляции в странах с развитой экономикой, поскольку наращение с помощью антисипативного метода происходит гораздо быстрее, чем при декурсивном.
Источник
