Начертить графики способом преобразования y 2tgx

Содержание

Преобразования графиков тригонометрических функций
п.1. Растяжение и сжатие графиков тригонометрических функций по оси OX
п.2. Растяжение и сжатие графиков тригонометрических функций по оси OY
п.3. Параллельный перенос графиков тригонометрических функций по оси OX
п.4. Параллельный перенос графиков тригонометрических функций по оси OY
п.5. Общее уравнение синусоиды
п.6. Общее уравнение тангенцоиды
п.7. Примеры
Калькулятор графиков. График функции онлайн
Начертить график функции
Для рисования графиков выполните следующие действия:
Таблица стандартных функций для калькулятора графиков
Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Преобразования графиков тригонометрических функций

Общие принципы преобразования графиков функций изучались нами в главе 8, (см. §47, §48, §50 справочника для 8 класса). В этом параграфе мы рассмотрим особенности тригонометрических функций при использовании этих преобразований.

п.1. Растяжение и сжатие графиков тригонометрических функций по оси OX

Общие принципы растяжения и сжатия графиков по оси OX:

При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x),\ \ y_2=f(\frac

),\ \ p\gt 1 $$ график второй функции растягивается в p раз по оси OX по сравнению с графиком первой функции.

Эти принципы справедливы и для тригонометрических функций.
Тригонометрические функции являются периодическими: синус и косинус с периодом 2π, тангенс и котангенс – с периодом π. Получаем следствие общих принципов:

При сравнении двух тригонометрических функций $$ y_1=f(x),\ \ y_2=f(px),\ \ p\gt 1 $$ период второй функции уменьшается в p раз: $$ T_2=\frac

При сравнении двух тригонометрических функций $$ y_1=f(x),\ \ y_2=f(\frac

),\ \ p\gt 1 $$ период второй функции увеличивается в p раз: $$ T_2=pT_1 $$

Построим в одной системе координат три графика: $$ f(x)=sinx,\ \ g(x)=sin2x,\ \ h(x)=sin\frac <2>$$
Период колебаний функции $g(x)=sin2x$ в 2 раза меньше: $T_g=\frac<2\pi><2>=\pi$.
Период колебаний функции $h(x)=sin\frac<2>$ в 2 раза больше: $T_h=2\cdot 2\pi=4\pi$.

п.2. Растяжение и сжатие графиков тригонометрических функций по оси OY

Общие принципы растяжения и сжатия графиков по оси OY:

Общий принцип сжатия графиков:

Эти принципы справедливы и для тригонометрических функций.
Т.к. для графиков синуса и косинуса (синусоиды) характерна амплитуда колебаний, то также говорят, что:

умножение на параметр $A\gt 1$ увеличивает амплитуду колебаний в $A$ раз;
деление на параметр $A\gt 1$ уменьшает амплитуду колебаний в $A$ раз.

Например:

1) Построим в одной системе координат три графика: $$ f(x)=cosx,\ \ g(x)=2cosx,\ \ h(x)=\frac<1><2>cosx $$
Умножение на $A=2$ увеличивает амплитуду колебаний в 2 раза.
Область значений функции $g(x)=2cosx:\ y\in[-2;2]$. График растягивается по оси OY.
Деление на $A=2$ уменьшает амплитуду колебаний в 2 раза. Область значений функции $h(x)=\frac12 cosx:\ y\in\left[-\frac12; \frac12\right]$. График сжимается по оси OY.

2) Теперь построим $$ f(x)=tgx,\ \ g(x)=2tgx,\ \ h(x)=\frac<1><2>tgx $$
В этом случае хорошей иллюстрацией растяжения по оси OY при умножении и сжатия по оси OY при делении на $A=2$ служит поведение функции при $x=\frac\pi4$. $$ f\left(\frac\pi4\right)=tg\left(\frac\pi4\right)=1,\ \ g\left(\frac\pi4\right)=2tg\left(\frac\pi4\right)=2,\ \ h\left(\frac\pi4\right)=\frac12 tg\left(\frac\pi4\right)=\frac12 $$ Аналогично – для любого другого значения аргумента x.

п.3. Параллельный перенос графиков тригонометрических функций по оси OX

Общие принципы переноса по оси OX:

Эти принципы справедливы и для тригонометрических функций.
При этом параметр x называют начальной фазой колебаний.
При сравнении двух тригонометрических функций $y_1=f(x)$ и $y_2=f(x\pm a)$ говорят, что у второй функции сдвиг по фазе равен $\pm a$.

1) Построим в одной системе координат три графика: $$ f(x)=sinx,\ \ g(x)=sin\left(x+\frac\pi4\right),\ \ h(x)=sin\left(x-\frac\pi4\right) $$
Функция $g(x)=sin\left(x+\frac\pi4\right)$ сдвинута на $\frac\pi4$ влево по сравнению с $f(x)$
Функция $h(x)=sin\left(x-\frac\pi4\right)$ сдвинута на $\frac\pi4$ вправо по сравнению с $f(x)$

п.4. Параллельный перенос графиков тригонометрических функций по оси OY

Общие принципы переноса по оси OY:

Эти принципы справедливы и для тригонометрических функций.

1) Построим в одной системе координат три графика: $$ f(x)=sinx,\ \ g(x)=sinx+1,\ \ h(x)=sinx-1 $$
Функция $g(x)=sinx+1$ сдвинута на 1 вверх по сравнению c $f(x)$
Функция $h(x)=sinx-1$ сдвинута на 1 вниз по сравнению с $f(x)$

п.5. Общее уравнение синусоиды

График $y(x)=Acos(cx+d)+B$ также называют синусоидой. Термин «косинусоида» употребляется относительно редко.
Поскольку график косинуса получается из графика синуса сдвигом по фазе на π/2 влево, вводить термин «косинусоида» излишне.

Построим график $g(x)=3sin\left(2x+\frac\pi2\right)-1$
По сравнению с $f(x)=sinx$:

$A=3$ — график растянут по оси OY в 3 раза
$c=2$ — период меньше в 2 раза T=π, график сжат в 2 раза по оси OX
$d=\frac\pi2$ – начальная фаза положительная, график сдвинут на $\frac<\pi><2\cdot 2>=\frac\pi4$ влево
$B=-1$ — график сдвинут по оси OY на 1 вниз

п.6. Общее уравнение тангенцоиды

График $y(x)=Actg(cx+d)+B$ также называют тангенцоидой.

Построим график $g(x)=\frac12 tg\left(\frac<2>-\frac\pi3\right)+1$
По сравнению с $f(x)=tgx$:

$A=\frac12$ — график сжат по оси OY в 2 раза
$c=\frac12$ — период больше в 2 раза T=2π, расстояние между асимптотами 2π, график растянут в 2 раза по оси OX
$d=-\frac\pi3$ – начальная фаза отрицательная, график сдвинут на $\frac<\pi><3\cdot 1/2>=\frac<2\pi><4>$ вправо
$B=1$ — график сдвинут по оси OY на 1 вверх

п.7. Примеры

Пример 1. Постройте в одной системе координат графики: $$ f(x)=sinx,\ \ g(x)=-sinx,\ \ h(x)=cosx $$ Найдите сдвиг по фазе для $g(x)$ и $h(x)$ в сравнении с $f(x)$.

Сдвиг по фазе удобно определять по главной арке синусоиды.
Для $f(x)=sin⁡x$ главная арка определена на отрезке $0\leq x\leq \pi$
Для $g(x)=-sin⁡x$ главная арка определена на отрезке $-\pi\leq x\leq 0$, т.е. сдвинута на π влево от $f(x)$. Это означает, что: $$ f(x)=g(x+\pi),\ \ sin⁡x=-sin⁡(x+\pi) $$ Для $h(x)=cos⁡x$ главная арка определена на отрезке $-\frac\pi2\leq x\leq \frac\pi2$, т.е. сдвинута на $\frac\pi2$ влево от $f(x)$. Это означает, что: $$ f(x)=h\left(x+\frac\pi2\right),\ \ sinx=cos\left(x+\frac\pi2\right) $$

Пример 2. Найдите наименьшие положительные периоды функций:
a) $y=sin5x$
Период синуса $2\pi$ уменьшается в 5 раз. Получаем: $T=\frac<2\pi><5>$

б) $y=cos\pi x$
Период косинуса $2\pi$ уменьшается в $\pi$ раз. Получаем: $T=\frac<2\pi><\pi>=2$

в) $y=tg\frac<4>$
Период тангенса $\pi$ увеличивается в 4 раза. Получаем: $T=4\pi$

г) $y=tg\left(2x+\frac<\pi><3>\right)$
Период тангенса $\pi$ уменьшается в 2 раза. Получаем: $T=\frac\pi2$

Пример 3. Используя правила преобразования графиков функций, постройте график $$ f(x)=2ctg\left(3x+\frac\pi6\right) $$ По сравнению с $g(x)=tg⁡x$:

$A=2$ — график растянут по оси OY в 2 раза
$c=3$ — период меньше в 3 раза $T=\frac\pi3$, расстояние между асимптотами $\frac\pi3$, график сжат в 3 раза по оси OX
$d=-\frac\pi6$ – начальная фаза положительная, график сдвинут на $\frac<\pi><6\cdot 3>=\frac<\pi><18>$ влево

Расположение нулей: $$ tg\left(3x+\frac\pi6\right)=0\Rightarrow 3x+\frac\pi6=\pi k\Rightarrow 3x=-\frac\pi6+\pi k\Rightarrow x =-\frac<\pi><18>+\frac<\pi k> <3>$$ Вертикального сдвига нет, нули расположены на оси OX.
Расположение асимптот: $$ 3x+\frac\pi6\ne\frac\pi2+\pi k\Rightarrow 3x\ne\frac\pi3+\pi k\Rightarrow x\ne\frac\pi9+\frac<\pi k> <3>$$ Пересечение главной ветви с осью OY: $x=0,\ y=2tg\frac\pi6=\frac<2><\sqrt<3>>$
С учетом периода $\frac\pi3$ получаем семейство дополнительных точек для построения графика $\left(\frac<\pi k><3>; \frac<2><\sqrt<3>>\right)$.

Пример 4. Определите графически, сколько корней имеет уравнение на отрезке: a) $sinx=sin2x$ при $0\leq x\leq 3\pi$

Ответ: 7 корней

б) $cos\frac<2>=cos2x$ при $-2\pi\leq x\leq 2\pi$

Ответ: 7 корней

Источник

Калькулятор графиков. График функции онлайн

Используя этот онлайн калькулятор для рисования графиков функции, вы сможете очень просто и быстро нарисовать график функции.

Воспользовавшись онлайн калькулятором для рисования графиков, вы получите удобное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на графики и закрепить пройденный материал.

Начертить график функции

Параметрический y ( t ), x ( t )

В полярной системе координат r ( θ )

Для рисования графиков выполните следующие действия:

введите значения функции y ( x ), используя стандартные математические операции и математические функции.
Если необходимо начертить более одного графика, добавьте еще функции и введите их значения
ВВедите интервал значений для переменной x .
Нажмите кнопку «Нарисовать график».
Через несколько секунд вы увидите график функции.

Таблица стандартных функций для калькулятора графиков

Оператор

Описание

Простейшие математические операции

Сложение, вычитание, умножение, деление и группирующие символы: + — * / () .
Знак умножения * — необязателен: выражение 2sin(3 x ) эквивалентно 2*sin(3* x ).
Cкобки используются для группирования выражений. Десятичные дроби записываются через точку:

0.5 — правильная запись;
0,5 — неправильная запись .

Элементарные функции

Возведение в степень: x ^ n ,
например, для ввода x 2 используется x ^2 Квадратный корень: \sqrt( x ) или x ^(1/2) Корень n -той степени из x : x ^(1/ n ) Натуральный логарифм (логарифм c основанием e ): log( x ) Логарифм от x по основанию a : log( x )/log( a ) Десятичный логарифм (логарифм по основанию 10): log( x )/log(10) Экспоненциальная функция: exp ( x )

Тригонометрические функции

Арккотангенс от x : \pi/2 — arctan( x )

Некоторые константы

Число π : \pi

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №5. Свойства и график функции y=tgx и y=ctg x

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

Изучение и объяснение свойств функций y=tgx и y=ctgx с помощью графика;
Определение свойств и положения графика тригонометрических функций вида y=|tg(k|x|+b)| y=|ctg(k|x|+b|;
Объяснение зависимости свойств и положения графика функции вида y=|tg(k|x|+b)| и y=|ctg(k|x|+b| от значения коэффициентов k,b.

Глоссарий по теме

Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой.

Тангенсоида –график функции у = tgx; плоская кривая, изображающая изменение тангенса в зависимости от изменения его аргумента (угла).

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2010.–336 с.

Шахмейстер, А.Х. Тригонометрия / А.Х. Шахмейстер.— СПб.: Петроглиф, 2014. — 750 с.

Открытые электронные ресурсы:

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ [Электронный ресурс].–Режим доступа: http://ege.fipi.ru/

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам [Электронный ресурс].– Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. ;

Ответ:

Объяснение нового материала

Изучение свойств функции y=tgx начнем с построения графика. Обратимся к единичной окружности:

рис.1 Тригонометрический круг

Переносим основные значения углов на координатную плоскость. По оси абсцисс откладываем угол в радианах, по оси ординат – значения тангенса угла.

рис.2 График y=tgx на промежутке

Как любая тригонометрическая функции, функция тангенса периодическая, делая параллельный перенос получаем:

рис.3 График y=tgx

Заметим, что график симметричен относительно начала координат, следовательно функция тангенса нечётная. Используя построенный нами график, выведем основные свойства y=tgx:

1. Область определения функции y = tgx все действительные числа, кроме чисел вида

2. Функция периодическая с периодом , т.к.

3. Функция нечётная, т.к. . График нечётной функции симметричен относительно начала координат;

4. Функция возрастает на всём интервале;

5. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

7. Функция принимает:

значение, равное 0, при ;
положительные значения на интервале
отрицательные значения на интервале

Для построения графика можно придерживаться алгоритму рассмотренному при построении графика , однако (формула приведения). Т.е. смещая тангенсоиду на единиц влево и делаем симметрию относительно оси Ох за счёт коэффициента –1, получаем: