Начальная школа синтетический способ решения задач

Начальная школа синтетический способ решения задач

На основе аналитического и синтетического методов решения задач при работе над поиском решения задачи применяются два основных способа разбора задачи: аналитический (анализ) и синтетический (синтез). Однако на практике чаще употребляют аналитическо-синтетический разбор задачи.

Под анализом подразумевают способ рассуждений от общего к частному (анализировать – разбивать на составляющие), таким образом при разборе текста задачи от вопроса к данным применяется аналитический способ.

Под синтезом подразумевают способ рассуждений от частного к общему (синтезировать – получать из частей). В задачах это разбор от данных к вопросу, однако, назвать этот метод чисто синтетическим нельзя, т.к. прежде, чем получать метод разбора от данных к вопросу, эти данные нужно предварительно вычленить из задачи, т.е. проанализировать условие задачи.

Непосредственно сам разбор задачи представляет собой цепочку рассуждений, основанных на анализе и синтезе. Организуя разбор задачи вместе с детьми, учитель должен продумать систему специально подобранных вопросов, при помощи которых организуется выбор решения задачи. Эти вопросы не должны быть наводящими, должны вести к самостоятельному выбору решения. Разбор составной задачи заканчивается составлением плана решения. Если вы разбираете задачу с одновременным составлением схемы разбора, то план решения прослеживается прямо по схеме.

Проиллюстрируем различные способы разбора задач на примере следующей задачи: «За день туристы преодолели 100 км. 84 км они проехали автобусом, а остальной путь прошли пешком за 4 часа. Сколько километров туристы проходили за 1 час?» [Б3, №716].

В результате анализа содержания задачи появляется ее краткая запись в виде чертежа:

Направление рассуждений будет следующим:

1) Разбор от вопроса к данным.

Что спрашивается в задаче? (Сколько км туристы проходили за 1 час?) Что нужно знать, чтобы ответить на этот вопрос? (Путь, который прошли туристы и время, которое они затратили на этот путь). Можно ли сразу узнать, сколько км туристы проходили за 1 час? (Нельзя, т.к. мы не знаем путь, который они прошли). Можно ли сразу узнать путь, пройденный пешком? (Можно). Почему вы думаете, что можно? (Так как мы знаем общий путь и путь, пройденный пешком). Далее осуществляется наметка плана решения.

Источник

Лекция 3. Методы решения задач повышенной трудности в начальной школе

Учебные вопросы:
1. Общий план работы (этапы) над задачей повышенной трудности.
2. Методы решения задач повышенной трудности.

Цель лекции: рассмотреть методику обучения решению задач повышенной трудности в начальной школе.

Задачи лекции:
1) Дать представление об этапах решения задачи повышенной трудности в начальной школе;
2) Познакомить с методами, применяемыми при решении задач повышенной трудности в начальной школе;

Скачать:

Вложение	Размер
LEKCIYa_3_0.doc	64.5 КБ

Предварительный просмотр:

Лекция 3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

1. Общий план работы (этапы) над задачей повышенной трудности.
2. Методы решения задач повышенной трудности.

Цель лекции: рассмотреть методику обучения решению задач повышенной трудности в начальной школе.

1) Дать представление об этапах решения задачи повышенной трудности в начальной школе;

2) Познакомить с методами, применяемыми при решении задач повышенной трудности в начальной школе;

Список литературы по теме:

1. Лавлинскова Е.Ю. Методика работы с задачами повышенной трудности в начальной школе. – Волгоград, 2006.

2. Лехов В.П. Дедуктивные рассуждения в курсе математики начальных классов.// Начальная школа. – 1988. — № 5. – С. 28 – 30.

3. Хомякова Л.В. Индуктивные рассуждения в курсе математики начальных классов.// Начальная школа. – 1988. — № 5. – С. 31 – 36.

1. Общий план работы (этапы) над задачей повышенной трудности.

Общий план работы над любой задачей повышенной трудности может выглядеть следующим образом:

1. Самостоятельное обдумывание и поиск путей решения задачи каждым учеником;
2. Коллективное обсуждение полученных результатов;
3. Обсуждение и исправление допущенных ошибок;
4. Поиск других способов решения (если это возможно).

Эта схема может значительно варьироваться в зависимости от результатов, достигнутых на первом этапе решения задачи. Так, если дети затруднились в анализе задачи и не нашли путей решения, лучше предложить им для самостоятельного обдумывания упрощенный вариант задачи, и дальше работать с ней, а первоначальную задачу отложить на некоторое время. Вернуться к первой задаче можно будет когда дети поднимутся в своем развитии на более высокую ступень.

Если решение получено незначительным числом учеников, то с их помощью проводится коллективный анализ задачи, после чего ученики самостоятельно выполняют решение, а уже решившие ищут другие способы решения той же задачи или выполняют другое задание.

Таким образом, наиболее эффективным видом работы с задачами повышенной трудности является самостоятельное решение задачи учащимися. Сначала решение задачи связано с применением указанных учителем средств, методов и способов решения, а затем – с самостоятельным выбором средств, методов, способов и форм решения.

1. Методы решения задач повышенной трудности.

Метод, в данном контексте, рассматривается как способ решения задач.

В решении задач повышенной трудности можно выделить три основным метода:

Аналитический метод решения задач повышенной трудности

Аналитический метод решения задачи представляет собой стройную логическую цепь заключений, органически связанных между собой. Аналитический метод характеризуется тем, что рассуждения начинаются с вопроса задачи.

Таким образом, в основе данного метода решения задачи лежит умении строить дедуктивные рассуждения (от общего к частному). В дедуктивных рассуждениях нельзя получить ложное заключение из истинных посылок. Именно поэтому дедуктивные рассуждения используются в математических доказательствах.

Примеры задач повышенной трудности, решаемые аналитическим способом.

В кружках этого треугольника расставьте все девять значений цифр так, чтобы суммы их на каждой стороне составляла 20.

1. Какие два числа, если разделить большее из них на меньшее, дают столько же, сколько получится при их перемножении.
2. Число 30 легко выразить тремя пятерками: 5х5+5. Трудно это сделать тремя другими одинаковыми цифрами. Попробуй. Может быть, тебе удастся отыскать несколько решений.

Дедуктивные рассуждения используются, как правило, при решении задач на активный подбор вариантов отношений.

Анализ задачи состоит в том, что мы предполагаем её уже решенной и находим различные следствия этого решения, а затем, в зависимости от вида этих предположений, пытаемся найти путь отыскания решения поставленной задачи.

Синтетический метод решения задач повышенной трудности

Сущность синтетического метода поиска решения задачи состоит в установлении связей между данными условия задачи и получение, таким образом, новых данных. Затем устанавливаются связи между полученными данными и так до тех пор, пока не будет получено требуемое.

В основе синтетического метода решения задачи лежит умение строить индуктивные рассуждения. Выводы, полученные индуктивным путем, связаны с наблюдением, анализом. Сравнением и выявлением общих закономерностей с их последующим обобщением.

В начальной школе возможно использование двух видов индукции: полной (когда частные посылки исчерпывают все возможные случаи) и неполной. Неполная индукция является мощным эвристическим средством.

Индуктивные рассуждения, как правило, используются в решении задач на комбинаторные действия.

Аналитико-синтетический метод решения задач повышенной трудности

Большинство задач решается не аналитическим или синтетическим способом в чистом виде, а сочетанием этих способов.

Аналитико-синтетический способ используется в частности при решении задач на установление соответствий между элементами различных множеств. Под множеством здесь понимается коллекция, собрание объектов, объединенных по некоторому признаку. Предметы, входящие во множество, называются его элементами.

Решению таких задач помогает использование таблиц и графиков. Если в рассматриваемой задаче каждому элементу первого множества должен соответствовать единственный элемент второго множества, а двум различным элементам первого множества соответствуют два различных элемента второго множества, то такое соответствие называется взаимнооднозначным.

Пример задачи, решаемой аналитико-синтетическим методом.

Беседуют трое друзей: Белокуров, Рыжов и Чернов. Брюнет сказал Белокурову: «Любопытно, что один из нас блондин, другой – брюнет, третий рыжий, но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии». Какой цвет волос у каждого из друзей?

Решение. Для решения задачи мы воспользуемся таблицей, отмечая по горизонтали фамилии, а по вертикали – цвет волос. Заполняя таблицу, мы в каждой строке (столбце) должны получить только одну клетку со знаком «+». Таблица принимает вид:

Источник

Обучение учащихся решению задач с использование синтетического метода

Мы рассмотрим реализацию описанных методов путей обучения математике посредством использования диалогического метода. Обратимся вначале к задачам, которые решаются с помощью синтеческого подхода.

Просмотр содержимого документа
«Обучение учащихся решению задач с использование синтетического метода»

В данной главе мы рассмотрим реализацию описанных методических путей обучения математике посредством использо­вания диалогического метода. Обратимся вначале к задачам, которые реша­ются с помощью синтетического подхода. Рассмотрим ряд задач.

Задача 1. Катя купила 7 корзин яблок по 10 килограммов в каждой. Кило­грамм яблок она покупала по 30 рублей; переложив все яблоки в меньшие корзины по 5 килограммов в каждую, она продала каждую корзину по 200 рублей. Сколько прибыли получила Катя от продажи всех яблок?

Эта задача решается синтетическим методом, и поэтому начинаем рас­суждать, отталкиваясь от условия. Из условия, нам известно количество кор­зин и килограммов в каждой, значит, мы можем узнать, сколько всего кило­граммов яблок у Кати. Нам также известно, сколько рублей Катя заплатила за килограмм, значит, мы можем найти, сколько она потратила. Далее Катя пе­реложила все яблоки в корзины по пять килограммов и продавала каждую кор­зину яблок по 200 рублей. Зная массу яблок, несложно найти количество кор­зин. Чтобы узнать, сколько Катя получила денег, нужно стоимость каждой корзины умножить на их количество. И наконец, чтобы найти прибыль, нуж­но из тех денег, что Катя получила при продаже, вычесть количество потра­ченных денег.

Учитель: Если мы знаем, что куплено 7 корзин яблок и что в каждой корзине

было по 10 килограммов, что мы можем узнать?

Ребята: Мы можем узнать, сколько всего килограммов яблок (в 7 корзинах).

7 · 10 = 70 (кг) — всего яблок.

Учитель: Далее в задаче сказано, что Катя купила 1 килограмм яблок за 30 рублей, что мы можем найти из этого?

Ребята: Мы можем найти количество денег, потраченных Катей.

70 · 30 = 2100 (руб.) – потратила Катя.

Учитель: Что же потом сделала Катя?

Ребята: Она переложила все яблоки в корзины по 5 кг.

Учитель: А как мы найдем количество этих корзин?

Ребята: Мы знаем, что всего 70 кг яблок. Для того, чтобы найти количество корзин по 5 кг, нужно 70 : 5 = 14 (корзин) по 5 кг получилось у Кати.

Учитель: Что Катя сделала потом с этими корзинами?

Ребята: Она продала их по 200 рублей за каждую. И для того, чтобы найти, сколько денег Катя получила, нужно 14 • 200 = 2800 (руб.) — количество денег, полученных Катей.

Учитель: А как мы найдем прибыль Кати?

Ребята: Нам нужно из денег, которые она получила, вычесть потраченные

деньги, 2800 – 2100 = 700 (руб.) — прибыль Кати.

Ответ: от продажи яблок Катя получила прибыль 700 рублей.

В синтетическом методе решения геометрических задач можно условно выделить: а) непосредственное синтетическое решение несложных геометрических за­дач; б) запись в виде синтетического решения более сложных задач.

а) Непосредственное синтетическое решение несложных геометрических за­дач. Примером таких задач может быть следующая задача.

Задача 2. Найдите смежные углы, если один из них в два раза больше другого?

Мы знаем из условия задачи, что нам даны смежные углы, один из кото­рых в два раза больше другого, значит, один угол мы можем заменить на уд­военный второй. Зная, что сумма смежных углов равна 180°, легко найдем значения неизвестных углов.

Учитель: что мы имеем из условия?

Ребята: из условия задачи мы имеем:  1 и  2 – смежные и  l = 2  2.

Учитель: что требуется найти в задаче?

Ребята: В задаче требуется найти эти смежные углы.

Учитель: А какими свойствами обладают смежные углы?

Ребята: Из свойства 1 можно записать l + 2 = 180° (по определению смежных углов).

Учитель: Если учитывать данное свойство, а также условие задачи, как мож­но найти эти углы?

Ребята: l = 22; 2 + 22 = 180°. Получаем, 2 = 60°; 1 = 120°.

Ответ:  1 = 120° и 2 = 60°.

б) Запись в виде синтетического решения более сложных задач, где появле­ние вспомогательных суждений часто связано с использованием нестандарт­ных математических идей – анализа. Важно, чтобы эти идеи были подготов­лены и учащиеся самостоятельно к ним приходили.

Содержание этих задач можно обсуждать отдельно, а вот форма дея­тельности в них определяется практически чистым синтезом или очень про­стым использованием приема «синтеза через анализ».

Задача 3. Треугольники BCD и АКЕ равны. В Δ АКЕ АК = 20 см,  K =54°,  E = 60°. Найдите соответствующие стороны и углы Δ BCD .

Зная из условия, что треугольники равны, сторону и два угла Δ АКЕ, мы можем определить, какие углы и стороны первого треугольника равны сторонам и углам второго треугольника, и отсюда найти соответст­вующие стороны и углы Δ BCD.

Учитель: Что мы имеем из условия задачи?

Ребята: Из условия задачи мы имеем, что Δ BCD = Δ АКЕ; АК = 20 см;  К = 54°; E = 60°.

Учитель: Какой вывод можно сделать из того, что треугольники равны?

ВС = АК = 20 см (1, 2);

Ответ: АК = 20 см, K = 54°, E = 60°.

Задача 4. В прямоугольном Δ ABC (ВС – гипотенуза) угол В ра­вен 30°. Чему равен угол С?

Зная, что нам дан прямоугольный треугольник, какая сторона является гипотенузой, легко сказать, какой угол равен 90°. А далее, ис­пользуя теорему о сумме острых углов в прямоугольном треугольнике, легко найти искомый угол.

Учитель: Что имеем из условия задачи?

Ребята: Из условия нам дано, что Δ АВС – прямоугольный; ВС – гипотенуза Δ ABC; B = 30°;  C – ?

Учитель: какое следствие можно записать из п. 2?

Ребята: Используя п. 2, можно сразу записать простое следствие  А = 90°.

Учитель: Если А = 90°, то какую теорему можно вспомнить о других углах в этом треугольнике?

Ребята: Здесь можно применить теорему о сумме углов треугольника для прямоугольных треугольников.

 В + C = 90°. Отсюда, мы можем найти: С = 90° –  B = 60°.

Задача 5. Найдите неизвестный угол треугольника, если у него два угла равны 50 ° и 30°.

Зная из условия два угла треугольника, мы, применив теорему о сумме углов треугольника, легко можем найти третий угол.

Решение. Учитель: что нам дано по условию?

Ребята: нам известно, что дан треугольник, два угла которого равны 50° и 30°.

Учитель: Какую теорему вы знаете о сумме углов в треугольнике?

Ребята: мы знаем, что сумма углов в треугольнике равна 180°. Мы можем найти третий угол, 180° – (50° + 30°) = 100°.

Ответ:  С равен 100°.

Задача 6. Найдите углы треугольника, зная, что внешние углы при двух его вершинах равны 120° и 150°.

По условию в треугольнике нам известны только два внешних угла. Но зная, что внешний угол смежен с внутренним при этой вершине и что сумма смежных углов равна 180°, легко найдем два внутренних угла треугольника. А затем по теореме о сумме углов в треугольнике най­дем и третий угол.

Учитель: Что нам дано в задаче?

Ребята: Нам дан треугольник, у которого внешние углы при двух вершинах равны 120° и 150°.

Учитель: Если это внешние углы, что можно о них сказать?

Ребята: Внешний угол смежен с внутренним углом при этой же вершине.

Учитель: А что мы знаем о смежных углах?

Ребята: Сумма смежных углов равна 180°. Значит, мы можем найти B и C : B = 180° – 120° = 60°, C = 180° – 110° = 70°.

Учитель: Хорошо, теперь мы знаем два угла треугольника. Как найти третий

Ребята: По теореме о сумме углов треугольника найдем  А.

A + B + С = 180°, тогда  А = 180° – (В + С),

А = 180° – (60° + 70°) = 50°.

В преподавании математики синтетический метод должен занять важ­ное место. Обучение надо вести так, чтобы учащиеся не только практически научились пользоваться синтетическим методом, но поняли его сущность и особенности, так как владение им очень важно в практической деятельности человека. Синтетическое изложение доказательств отличается исчерпываю­щей полнотой, сжатостью и краткостью. Однако вести все преподавание ма­тематики в таком стиле малоэффективно. Это связано в первую очередь с тем, что для начинающих изучать математику синтетические доказательства кажутся искусственными и непонятными.

Источник