Моделирование как способ анализа задачи

Содержание

Моделирование как способ анализа задачи
Моделирование как способ анализа задачи
Использование моделирования в обучении решению задач.

Моделирование как способ анализа задачи

Одним из основных приемов в анализе задачи является моделирование, которое помогает ученику не только понять задачу, но и самому найти рациональный способ решения.

Предметное и графическое моделирование математических ситуаций при решении текстовых задач давно применяется в школьной практике, но, к сожалению, без должной системы и последовательности.

Действующие программы по математике требуют развития у детей самостоятельности в решении текстовых задач. Каждый выпускник начальной школы должен уметь кратко записывать условия задачи, иллюстрируя ее с помощью рисунка, схемы или чертежа, обосновывать каждый шаг в анализе задачи и ее решении, проверять правильность решения.

Экспериментально проверенным и оправданным практикой средством преодоления затруднений является подготовительные упражнения к решению задач. Эти упражнения целесообразно проводить с начала обучения решению задач, уделяя им на 2-3 уроках в неделю по 6-8 минут в каждом.

Упражнения, готовящие учеников начальной школы к решению математических задач

Мы предлагаем комплекс заданий, состоящих из трех частей.

Первая часть предполагает:

развитие графических навыков учащихся, то есть отработку умений пользоваться линейкой и карандашом, чертить прямые линии, отрезки, ставить точки, чертить равные отрезки;
развитие зрительного восприятия, то есть совершенствование у учащихся умения определять длину отрезка, сравнивать отрезки на глаз;
развитие мышления, потому что для выполнения любого, даже элементарного, действия (например, соединить две точки отрезком) требуется включение мышления.

Вторая часть предполагает непосредственное обучение учащихся решать задачи с помощью моделирования. Процесс ведется от простого к сложному, от конкретного к абстрактному, то есть от предметного моделирования к графическому.

Третья часть комплекса направлена на отработку умения решать задачи с помощью моделирования и включает различные задания на преобразование задач, на обучение учащихся самостоятельному составлению задач, сравнение задач, выбор соответствующей модели к задаче и т.д.

Первая часть комплекса

Обучение решению текстовых задач с помощью моделирования необходимо начинать тогда, когда учащиеся научаться четко и аккуратно выполнять графические построения (ставить точки, строить отрезки). Для формирования вышеперечисленных умений мы предлагаем следующие задания:

Поставь в тетради две точки, проведи через них прямую линию.
Поставь в тетради точку. Проведи через нее прямую линию. Проведи еще одну прямую линию.
Поставь две точки на листе бумаги. Согни лист бумаги так, чтобы точки лежали на линии сгиба.
Нарисуй две ленты: одну ленту длиной 3 см и шириной 1 см, вторую длиной 5 см и шириной 1 см.
Нарисуй три квадрата и два треугольника. Обведи их кривой замкнутой линией.
Начерти один под другим три отрезка так, чтобы первый отрезок был длиннее двух других, а третий — короче двух других.
Начерти отрезок. Поставь:
- точку А ближе к началу отрезка;
- точку В ближе к середине отрезка;
- точку С ближе к концу отрезка.
Начерти отрезок длиной 10 см, раздели его на пять равных частей.
Начерти отрезок. Поставь точку К ближе к концу отрезка. Соедини дугой:
- начало отрезка и точку К (дугу проводим над отрезком);
- точку К и конец отрезка (дугу проводим над отрезком);
- начало и конец отрезка (дугу проводим под отрезком).

Вторая часть комплекса

Мы предлагаем упражнения, которые подготавливают учащихся к решению задач с помощью моделирования.

В вазе лежали 3 груши, потом положили еще 2. Закрась красным цветом груши, которые доложили.

В волейбольной команде были 2 девочки и 5 мальчиков. Закрась столько квадратиков, сколько участников в команде.

В одном наборе 6 карандашей, а в другом на 3 больше. Обозначь каждый карандаш кругом и закрась карандаши второго набора.
Обведи на каждой схеме красным цветом отрезок, который соответствует данному выражению.

Вилка длиннее ложки на 2 см. Отметь на схеме отрезок, который обозначает 2 см.

У Кати 3 конфеты, у Маши — 5, а у Лены на 4 конфеты больше, чем у Кати. Закрась синим цветом конфеты каждой девочки, если каждая конфета обозначена квадратом.

Третья часть комплекса

Цель следующей группы заданий — закрепить умение решать задачи с помощью моделирования.

На одной полке 15 книг, на второй на 4 книги больше, чем на первой.
Поставь вопрос к условию задачи и реши ее, используя схему.
На сколько больше ящиков огурцов привезли в первый магазин, чем во второй?
Составь условие по данному вопросу и реши задачу с помощью схемы.
В коробке 9 мячей. Из них 3 красных, а остальные зеленые. Сколько зеленых мячей в коробке? Выбери соответствующую схему и реши задачу.

Таким образом, процесс моделирования задачи повышает мыслительную активность детей, способствует развитию логического, абстрактного мышления, а, значит, делает процесс решения задач более приятным и интересным. Использование графического моделирования при решении текстовых задач обеспечит более качественный анализ задачи, осознанный поиск ее решения, обоснованный выбор арифметических действий и предупредит многие ошибки в решении задач. Также весьма важным является создание моделей на глазах у детей или самими учащимися в процессе решения задачи, поскольку это обеспечивает глубокое понимание задачи, усвоение связей между данными и искомым.

Источник

Моделирование как способ анализа задачи

Упражнения, готовящие учеников начальной школы к решению математических задач

Мы предлагаем комплекс заданий, состоящих из трех частей.

Первая часть предполагает:

развитие графических навыков учащихся, то есть отработку умений пользоваться линейкой и карандашом, чертить прямые линии, отрезки, ставить точки, чертить равные отрезки;
развитие зрительного восприятия, то есть совершенствование у учащихся умения определять длину отрезка, сравнивать отрезки на глаз;
развитие мышления, потому что для выполнения любого, даже элементарного, действия (например, соединить две точки отрезком) требуется включение мышления.

Первая часть комплекса

Поставь в тетради две точки, проведи через них прямую линию.
Поставь в тетради точку. Проведи через нее прямую линию. Проведи еще одну прямую линию.
Поставь две точки на листе бумаги. Согни лист бумаги так, чтобы точки лежали на линии сгиба.
Нарисуй две ленты: одну ленту длиной 3 см и шириной 1 см, вторую длиной 5 см и шириной 1 см.
Нарисуй три квадрата и два треугольника. Обведи их кривой замкнутой линией.
Начерти один под другим три отрезка так, чтобы первый отрезок был длиннее двух других, а третий — короче двух других.
Начерти отрезок. Поставь:
- точку А ближе к началу отрезка;
- точку В ближе к середине отрезка;
- точку С ближе к концу отрезка.
Начерти отрезок длиной 10 см, раздели его на пять равных частей.
Начерти отрезок. Поставь точку К ближе к концу отрезка. Соедини дугой:
- начало отрезка и точку К (дугу проводим над отрезком);
- точку К и конец отрезка (дугу проводим над отрезком);
- начало и конец отрезка (дугу проводим под отрезком).

Вторая часть комплекса

Мы предлагаем упражнения, которые подготавливают учащихся к решению задач с помощью моделирования.

В вазе лежали 3 груши, потом положили еще 2. Закрась красным цветом груши, которые доложили.

В волейбольной команде были 2 девочки и 5 мальчиков. Закрась столько квадратиков, сколько участников в команде.

В одном наборе 6 карандашей, а в другом на 3 больше. Обозначь каждый карандаш кругом и закрась карандаши второго набора.
Обведи на каждой схеме красным цветом отрезок, который соответствует данному выражению.

Вилка длиннее ложки на 2 см. Отметь на схеме отрезок, который обозначает 2 см.

У Кати 3 конфеты, у Маши — 5, а у Лены на 4 конфеты больше, чем у Кати. Закрась синим цветом конфеты каждой девочки, если каждая конфета обозначена квадратом.

Третья часть комплекса

Цель следующей группы заданий — закрепить умение решать задачи с помощью моделирования.

На одной полке 15 книг, на второй на 4 книги больше, чем на первой.
Поставь вопрос к условию задачи и реши ее, используя схему.
На сколько больше ящиков огурцов привезли в первый магазин, чем во второй?
Составь условие по данному вопросу и реши задачу с помощью схемы.
В коробке 9 мячей. Из них 3 красных, а остальные зеленые. Сколько зеленых мячей в коробке? Выбери соответствующую схему и реши задачу.

Источник

Использование моделирования в обучении решению задач.

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Школа №2» города Алушты Республики Крым

Методическая разработка по алгебре:

при решении текстовых задач»

Учитель математики: Самарина Е.Т.,

2016 – 2017 учебный год

Мы живём в постоянно обновляющемся мире, стремительно мелькают события и исторические личности, одна экономическая формация сменяется другой. Наше поколение является свидетелем кардинальных изменений в политике, экономике, технике, культуре и духовных ценностях людей. Очевидно, что сложившаяся система образования не отвечает требованиям современного времени. Те полумеры, что внедрялись на протяжении последних лет не способствуют качественному образованию как в средней школе, так и в высшей. Требуются радикальные изменения в системе образования и, прежде всего, не в системе оценивания и контроля знаний учащихся, а в самом способе их получения.

Наступает время активного внедрения на законодательном уровне инновационных образовательных технологий, основанных не столько на интенсивных способах получения знаний, сколько на формировании развитой личности, способной и талантливой, умеющей думать, анализировать и созидать. Активизация познавательной деятельности учащихся – основной дидактический принцип развивающего обучения, элементы которого будут использованы в этой работе.

Перед математикой стоит особая задача — задача математического развития, являющегося основой формирования любого мышления человека. Для решения этой задачи успешно используется метод математического моделирования – важный метод научного познания и сильное средство активизации учебной деятельности.

Наиболее эффективно метод математического моделирования применяется при решении текстовых задач – основного вида учебных заданий в школьной программе. Использование метода предполагает формирование логического и абстрактного мышления, умения выделять главное, обобщать, делать выводы, развитие творческих способностей ученика. Моделирование является научным, прогрессивным и доступным способом получения знаний. Нестандартный подход к уроку, включение ребёнка в исследовательскую работу вызывают у учащихся интерес к обучению. Эффективность метода ещё более очевидна, если элементы моделирования внедрять с начальных классов. Но он мало изучен, редко встречается в литературе, материалы не всех учебников можно для него использовать.

Тема этой работы для меня актуальна ещё и потому, что является

частью работы по самообразованию «Обобщение и систематизация знаний на уроках математики». Конкретно меня интересует создание графических моделей, как способ обобщения и классификации текстовых задач по способу их решения.

Таким образом, цели работы: изучить основные вопросы и проблемы обучения элементам математического моделирования в школьной программе; рассмотреть реализацию способа математического моделирования на примерах решения текстовых задач за курс основной школы.

Для достижения этих целей передо мной стоят конкретные задачи:

— дать понятие математической модели; раскрыть суть метода математического моделирования;

— определить основные функции и цели обучения методу в школе;

— обосновать роль изучения элементов математического моделирования в школьном курсе математики;

— классифицировать основные типы текстовых задач на основе создания их графической и алгебраической моделей.

I . Теоретические основы математического моделирования

1.1. Понятие модели. Классификация моделей. Виды моделирования.

Моделирование – один из важнейших способов познания окружающего мира. В настоящее время находит широкое применение во многих областях знаний: от философских и гуманитарных, физических и технических, физиологических и биологических наук до образовательных технологий.

Понятие «модель» широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет много смысловых значений.Слово «модель» произошло от латинских слов « modus » и « modulus », означающих меру, образ, способ. Само понятие возникло в процессе опытного изучения окружающего нас мира. В европейских языках употреблялось для обозначения образа или вещи, похожей по каким-то признакам с другой вещью.

Существуют различные определения понятия «модель».Философ Чарльз Лейв даёт такое определение: «Модель – это упрощённая картина реального мира. Она обладает некоторыми, но не всеми свойствами изучаемых предметов или процессов. Модель проще тех явлений, которые она по замыслу отображает или объясняет».

Большинство психологов под моделью понимают систему объектов или знаков, воспроизводящую некоторые существенные свойства системы оригинала. Иногда под моделью понимают такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе изучения замещает объект – оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные черты. Приведём примеры моделей: макет архитектурного сооружения, чертёж самолёта, глобус и т. д..

Моделирование – это процесс использования моделей для изучения тех или иных свойств оригинала. Например, чтобы доказать теорему Пифагора, катеты и гипотенузу временно заменяют буквами: + =.

Таким образом, основными признаками модели являются:

1) некоторое объективное соответствие с познаваемым объектом;

2) способность заменить его в определённом отношении;

3) исследование модели даёт информацию о самом моделируемом объекте.

Исходя из этого, можно сформулировать цели моделирования:

1) понимание устройства конкретной системы, её структуры, свойств, законов развития и взаимодействия с окружающим миром;

2) управление системой, определение наилучших способов её изменения;

3) прогнозирование результатов воздействия на изучаемую систему.

Очевидно, что подразумевается наличие механизма обратной связи: необходима возможность не только переноса элементов, свойств, отношений моделируемого объекта на саму модель, но и наоборот.

Существует несколько классификаций моделей. В. А. Штоф предлагает следующую классификацию:

1) по способу их построения (по форме);

2) по качественной специфике (содержание модели).

По способу построения различают материальные и идеальные модели.

Материальные – созданные человеком, их назначение – отразить динамику изучаемых процессов.

Материальные делятся на:

-образные (с помощью наглядных элементов);

-знаковые (с помощью знаков и символов);

К материальным относятся те, которые построены из вещественных предметов: металл, стекло, дерево и т. д.. Все эти модели могут быть изучены непосредственно, так как существуют реально и являются вещественным продуктом человеческой деятельности (например, прямоугольный параллелепипед является моделью бассейна).

Материальные модели можно разделить на статистические (макеты, муляжи, геометрические модели, модели машин и молекул) и динамические, изучающие процессы и явления (модель корабля в воде, модель реки и плотины и т. д.)

Идеальные модели автор делит на три вида:

К образным, или картинным моделям относятся рисунки, схемы, чертежи, передающие в образной форме структуру или другие особенности модулируемых предметов или явлений. К этому виду идеальных моделей относятся географические карты, планы, структурные формулы в химии, модели атомов в физике и другие.

Знаково-символические модели представляют собой запись структуры или некоторых особенностей моделируемых объектов с помощью знаков-символов, специфических для свойств изучаемого объекта. Например, формула пути S = vt формула площади S = ab , химические уравнения.

Мысленные, умственные, воображаемые модели- представления о каком-либо явлении, процессе или предмете. Мысленной моделью является любое научное представление объекта или явления, описанное естественным языком.

Очевидно, что понятие модели в науке и технике имеет множество различных значений, среди учёных нет единой точки зрения на классификацию моделей, в связи с этим невозможно однозначно классифицировать и виды моделирования.

Классификацию можно проводить по различным основаниям:

— по характеру моделей;

— по характеру моделируемых обьектов;

— по сферам приложения моделирования (наука, техника, психология и т.д.);

— по уровням («глубине») моделирования.

Наиболее известной является классификация по характеру моделей:

1. Предметное моделирование, при котором модель воспроизводит геометрические, физические, динамические и функциональные характеристики объекта. Например, модель моста, крыла самолёта.

2. Аналоговое моделирование, при котором модель и оригинал описываются единым математическим соотношением. Примером могут служить электрические модели, модели механических и гидротехнических сооружений.

3. Знаковое моделирование (например, схемы, графики, чертежи, таблицы, формулы).

4. Мысленное моделирование (например, модель галактики, модели атомов, словесные модели процессов и явлений).

5. Особый вид моделирования – включение в эксперимент не самого объекта, а его точную копию (модель скелета человека, модель сердца).

Можно сделать вывод, что в процессе школьного образования все эти виды могут иметь широкое применение.

1.2. Математическое моделирование.

Математическое моделирование является важнейшим видом образно-знакового моделирования, осуществляемого средствами языка математики.

Понятие «математическая модель» и «моделирование» широко используется в науке и на производстве. Роль знаковых моделей особенно возросла с всеобщей компьютеризацией всех сфер человеческой деятельности.

Предметом исследования при математическом моделировании является система «оригинал — математическая модель». Например, оригинал: «К a кг муки добавили b кг муки, получили с кг муки», математическая модель: a + b = c .

Для математического исследования процессов и явлений, реально происходящих в действительности, надо уметь описать их на языке математики, т. е. построить математическую модель. Математические модели и являются объектами математического исследования.

Математической моделью называется описание какого-либо реального процесса или некоторой исследуемой ситуации на языке математических понятий, формул и отношений. Это упрощённый вариант действительности, используемый для изучения её основных свойств. Математическая модель не тождественна объекту, а является его приближённым отражением. Благодаря этому можно решить поставленную задачу математическим аппаратом, который не зависит

Например, купили 54 карандаша в 3 коробках. Сколько карандашей в

Таким образом, одним из основных способов познания окружающего мира является метод математического моделирования, основанный на математических моделях. Заключается он в том, что для исследования какого-либо объекта выбирают или строят другой объект, в каком-то смысле подобный исследуемому. Построенный объект изучают и с его помощью решают исследуемые задачи, а затем результаты решения этих задач переносятся на первоначальное явление или объект.

Математическое моделирование является мощным методом познания, а так же управления и прогнозирования. Метод значительно расширяет возможности специалистов при решении целого ряда профессиональных задач. Современному специалисту необходимо не только хорошо знать математику, уметь её применять, но и хорошо разбираться в математических методах исследования и их возможностях.

1.3. Математическое моделирование в школьном образовании.

Одним из основных программных требований к обучению математики в школе является развитие у учащихся правильных представлений о природе математики и отражении математической наукой явлений и процессов реального мира. Основным средством достижения этой цели является метод математического моделирования, и заключается он в интеллектуальном умении учащихся заменять изучаемые объекты, их отношения, способы действия моделями в виде изображения отрезками, графиками, схемами, таблицами, значками, уравнениями, неравенствами.

Математическое моделирование находит широкое применение при решении сюжетных задач, где краткая запись является графической моделью, а уравнение ( выражение) – алгебраической моделью.

Наступит время когда математическому моделированию как научному методу познания будет уделено должное внимание как в учебных программах, так и в школьных учебниках.

Использование метода значительно облегчает решение текстовых задач. При построении модели работают такие операции мышления, как анализ через синтез, сравнение, классификация, обобщение, что и способствует его развитию. Такая учебная деятельность готовит учащихся к моделированию реальных процессов и явлений в их будущей профессиональной жизни.

Рассмотрим этапы процесса моделирования в общем случае:

Первый этап: Постановка задачи и определение свойств оригинала, подлежащих исследованию.

Второй этап: Констатация затруднительности или невозможности исследовать оригинал.

Третий этап: Выбор модели, достаточно хорошо фиксирующей существенные свойства оригинала и легко поддающейся исследованию.

Четвёртый этап: Исследование модели в соответствии с поставленной задачей.

Пятый этап: Перенос результатов исследования модели на оригинал.

Шестой этап: Проверка этих результатов.

Можно рассматривать более упрощённую схему процесса математического моделирования:

Первый этап: Перевод предложенной задачи с естественного языка на математический (создание графической и алгебраической модели).

Второй этап: Решение задачи в рамках математической теории (внутри модели).

Третий этап: Перевод полученного результата (математического решения) на язык, которым была сформулирована исходная задача.

Самым сложным и ответственным является первый этап – само построение математической модели. Оно осуществляется логическим путём на основе глубокого анализа изучаемого процесса или явления и требует описать его свойства математическим языком.

Процесс создания модели можно описать пошагово:

Шаг первый: индуктивный: отбор наблюдений, относящихся к исследуемым свойствам объекта; принятие решения, что следует принимать во внимание, а чем можно пренебречь.

Шаг второй: построение неформальной модели: ищутся различные способы установления логического соответствия между моделью и объектом.

Шаг третий: перевод неформальной модели в математическую посредством математического языка и выбор подходящей математической структуры. Самый важный момент: выбранная модель может быть неоднозначной. При этом язык математики лишён двусмысленности и более точен, чем естественный язык.

Шаг четвёртый: решение задачи в рамках математической теории. Здесь применяется весь набор математических методов – логических, алгебраических, геометрических.

Шаг пятый: полученные результаты переводятся с математического языка обратно на естественный.

Рассмотрим на примере реализацию всех этапов процесса математического моделирования.

Длина земельного участка прямоугольной формы на 22 м больше ширины. Площадь участка составляет 1560 . Найти длину и ширину земельного участка.

1 этап: создание графической и математической модели.

Пусть ширина земельного участка х м, тогда длина участка ( х + 22 ) . Известно, что площадь участка составляет х * ( х + 22 ) или 1560 .

Составим и решим уравнение:

х * ( х + 22 ) = 1560 — математическая модель

2 этап: внутримодельное решение.

D = 484 + 6240 = 6724 =

3 этап: интерпретация результатов решения.

Ширина участка не может быть отрицательным числом, то есть = — 52 не является решением задачи, таким образом ширина земельного участка 30 м, а длина участка 30 + 22 = 52 м.

1.4 Функции и цели обучения математическому моделированию в школе.

Применение метода математического моделирования в школьном образовании предполагает, что учащиеся должны чётко понимать значение каждого из вышеописанных этапов метода. Возможно осознание того, что они решают не просто математическую задачу, а конкретную жизненную ситуацию математическими методами; математика выступает не как абстрактная наука, а как инструмент для решения практических задач. Идеальная теория метода предполагает достаточно высокий уровень математической подготовки учеников, что вызывает определённые трудности при изучении материала. Иллюстрация метода, материалы для его применения должны прослеживаться во всех учебниках на протяжении изучения всего курса математики. При этом, использование даже элементов метода математического моделирования предполагает следующие дидактические функции:

1) Познавательная функция.

Методической целью этой функции является формирование познавательного образа изучаемого объекта. Процесс осуществляется при переходе от простого к сложному. Мысль учащегося направляется по кратчайшим и наиболее доступным путям к целостному восприятию объекта.

2) Функция управления деятельностью учащихся.

Математическое моделирование конкретно, поэтому облегчает ориентировочные, контролирующие и коммуникативные действия.

Ориентировочные: осуществляются, например, при построении чертежа, соответствующего данному условию, внесение в него дополнительных элементов.

Контролирующие: направлены на поиск ошибок при сравнении модели с оригиналом или другой моделью.

Коммуникативные: наступают на той стадии управления деятельностью учащихся, когда происходит анализ полученных результатов, когда учащийся объясняет себе и другим суть построенной модели.

3. Интерпретационная функция.

Один и тот объект можно выразить с помощью различных моделей. Например, окружность можно задать с помощью центра и радиуса, уравнением окружности и с помощью чертежа или рисунка. При решении одних задач используется аналитическая модель, при других – геометрическая. Рассмотрение каждой из этих моделей является её интерпретацией. Чем сложней объект, тем целесообразней дать больше его интерпретаций, раскрывающих объект со всех сторон.

Применение нескольких функций математической модели способствует наиболее плодотворной деятельности учащихся и развитию их мышления.

Несмотря на то, что проблемами использования моделирования в обучении математики занимались известные учёные и математики (Л. М. Фридман, В. В. Давыдов и др.), вопросы обучения приёму моделирования, эффективной реализации всех его потенциальных возможностей остаются не достаточно разработанными.

Считается, что в условиях развивающего обучения моделирование является существенным приёмом интеллектуальной деятельности учащихся.

Значимость данного метода подтверждается так же психолого – педагогическими соображениями. Известный психолог П. Я. Гальперин разработал психологическую теорию учения, теорию поэтапного формирования умственных действий. Эта теория исходит из того, что процесс обучения — это процесс овладения системой умственных действий в результате интериоризации (перехода во внутрь) соответствующего внешнего практического действия.

Согласно этой теории, знакомство ученика с каким-либо действием надо начинать с выполнения этого действия соответствующими материальными предметами, а от них – перейти к моделям, свободным от всех ненужных свойств. Это может быть какая-то графическая схема, образная или знаковая модель, при которой ученик выполняет изучаемое действие.

Очевидно, что роль математического моделирования в научном познании и в практике имеет большое значение для формирования диалектико-материалистического, психологического и общего развития.

II . Использование элементов математического моделирования при обучении решению задач.

2.1. Решение задач на проценты в 5 – 6 классах с помощью метода математического моделирования.

Наиболее благоприятной для начала изучения математического моделирования является программа 5-6 класса, так как именно в этом возрасте у школьников происходят определённые психические изменения. Формируется отношение к учебной деятельности, вырабатываются навыки самостоятельного получения знаний. Кроме того, в 5-6 классах изучается такой материал, который является фундаментом математики. От уровня знаний и умений зависит успешное овладение всего курса математики.

Рассмотрим способы создания графической и алгебраической моделей на примере решения задач на проценты. Для этого введём необходимые понятия и построим математические модели основных арифметических действий.

a + b = c a = c – b b = c – a

a – часть, b – часть, c – целое

a * b = c a = c : b b = c : a

Рассмотрим три основных вида задач на проценты:

а) нахождение b % от числа с:

б) нахождение числа с по его процентам b %:

с) нахождение процентного отношения числа а к числу с:

Рассмотрим способы решения некоторых задач.

1. Сплав содержит b % меди. Сколько кг меди содержится в с кг сплава?

2. Дед Панас собрал со своего огорода с кг овощей. Из них b % составляли огурцы, k % — картофель, а остальное — капуста. Сколько кг капусты собрал дед Панас?

3. Пётр положил в банк с рублей под b % годовых. Какая сумма будет на его счёте через год?

х = с + с : 100 * b

4. В саду росли яблони и вишни, причём яблони составляли b % всех деревьев. Вишен было на m деревьев больше, чем яблонь. Сколько деревьев росло в саду?

х = m : ( (100 – b ) – b ) * 100

5. В первый день Вася прочитал b % всей книги, во второй — k % оставшихся страниц, а в третий день – последние m страниц. Сколько всего страниц в книге?

х =( ( m : (100 – к)) *100) : (100 – b )) * 100.

В качестве графической модели использовалась схема, алгебраическая модель представлена в виде математического выражения.

Такой вид учебной деятельности вызывает интерес у учащихся, развивает творческие способности и навыки конструирования. Успешная, увлекательная работа несёт позитивное отношение к решению сюжетных задач.

2.2 Решение основных типов задач за курс основной школы с помощью математического моделирования.

Первый этап математического моделирования является самым сложным. В школе больше времени уделяется алгебраическому решению уже внутри модели. Сюжетные задачи являются важным средством обучения моделирования на этапе формализации и интерпретации. В школьной программе этот этап практически отсутствует, сразу представляется словесная модель задачи. Поэтому решение задач у школьников вызывает большие затруднения. Рассмотрим реализацию этого этапа моделирования на примерах решения текстовых задач за курс основной школы.

1) Задачи на движение.

1. Из города А в город В выехал велосипедист. Через 3 часа из города А выехал мотоциклист, который прибыл в город В одновременно с велосипедистом. Найдите скорость мотоциклиста, если она на 45 км/ч больше скорости велосипедиста, а расстояние между городами составляет 60 км.

S = 60 км, t = 3 ч, b = 45 км/ч, х – скорость велосипедиста

2. Первые 280 км дороги от пункта А до пункта В автобус проехал с некоторой скоростью, а остальные 480 км – со скоростью на 10 км/ч больше. Найдите первоначальную скорость автобуса, если на весь путь от пункта А до пункта В он потратил 10 ч.

= 280 км, = 480 км, t = 10 ч, b = 10км/ч, х – первоначальная скорость

3. Из пункта А в пункт В автомобиль ехал по шоссейной дороге длиной 210 км, а возвращался по грунтовой дороге длиной 160 км, потратив на обратный путь на 1 час больше, чем на путь по шоссейной дороге. С какой скоростью ехал автомобиль по грунтовой дороге, если она на 30 км/ч меньше, чем его скорость по шоссе?

= 210 км, = 160 км, t = 1 ч, b = 30 км/ч, х – скорость по грунтовой дороге

4. Турист проплыл на моторной лодке 25 км против течения реки и вернулся назад на плоту. Найдите скорость течения реки, если на плоту турист плыл на 10 ч больше, чем на лодке, а собственная скорость лодки составляет 12 км/ч.

S = 25 км, b = 12 км/ч, t = 10 ч, х – скорость течения реки

5. Из села А в село В, расстояние между которыми равно 70 км, выехал мотоциклист. За 10 мин до этого на встречу ему из села В выехал велосипедист, который встретился с мотоциклистом через 1 ч после своего выезда. Найдите скорость каждого из них, если мотоциклист за 2 ч проезжает на 104 км больше, чем велосипедист за 4 часа.

S = 70 км, = 104 км, t = 1 ч, = 10 мин = ч, = 4 ч, х – скорость мотоциклиста, у – скорость велосипедиста

2) Задачи на проценты.

1. Сколько кг 25 — процентного и сколько кг 50 — процентного сплавов меди надо взять, чтобы получить 20 кг 40 – процентного сплава?

b = 25%, k = 50%, l = 40%, с = 20 кг, х – 25-процентный сплав, у – 50 –процентный сплав

2. Вкладчик положил в банк деньги на два различных счёта, по одному из которых начисляли 5% годовых, а по другому – 4%, и получил через год по двум вкладам 1160 рублей прибыли. Если бы внесённые на разные счета деньги поменяли местами, то годовая прибыль составила бы 1180 рублей. Сколько всего денег внёс в банк вкладчик?

l = 5%, k = 4%, а = 1160 руб., b = 1180 руб., х – вклад на 5% -ный счёт, у- вклад на 4% — ный счёт, с – годовая прибыль

3) Задачи на работу.

1. Бассейн наполняется водой с помощью двух труб. Когда первая труба проработала 7 ч, включили вторую трубу, Вместе они проработали 2 ч до полного наполнения бассейна. За сколько часов может наполнить бассейн каждая труба, работая отдельно, если первой надо для этого на 4 ч больше, чем второй?

А = 1, t = 4 ч, = 7 ч, = 2 ч, х – время наполнения бассейна первой трубой

2. Тракторист должен был вспахать поле площадью 200 га. Каждый день он вспахивал на 5 га больше, чем планировал, и поэтому закончил вспашку на 2 дня раньше срока. За сколько дней тракторист вспахал поле?

с = 200 га, t = 2 дня, а = 5 га, х – количество вспаханных га за один день по плану

4) Задача на стоимость.

З а 5 кг конфет и 4 кг печенья заплатили 2300 рублей. Сколько стоит 1 кг конфет и сколько стоит 1 кг печенья, если 3 кг конфет дороже, чем 2 кг печенья на 500 рублей?

а = 2300 руб., с = 500 руб., b = 5 кг, k = 4 кг, p =3 кг, l = 2 кг, х – стоимость 1 кг конфет, у – стоимость 1 кг печенья графическая модель:

5) C мешанная задача на стоимость и проценты.

За два стола и четыре стула заплатили 4000 рублей. После того, как столы подешевели на 10 %, а стулья – на 20 %, за один стол и за два стула заплатили 1720 рублей. Какой была первоначальная цена одного стола и одного стула?

А = 4000 руб., b = 1720 руб., d = 10%, с = 20%, k = 2, b =4, l = 1, р = 2, х – стоимость одного стола, у – стоимость одного стула

(x — x)l + (y — y)p = b

Проанализировав вышеизложенный материал можно сделать вывод, что всё многообразие сюжетных задач за курс основной школы решается по очень похожим графическим моделям – схемам.

В основе схем лежат два основных математических действия:

Первое: часть + часть = целое.

Второе: мерка * количество = целое.

Для установления логических связей между элементами модели используются следующие понятия: сравнение, разница, больше, меньше, уменьшить, увеличить, вместе, дороже, дешевле, и т. д.. Создав одну модель – схему сюжетной задачи, можно предложить учащимся подобрать другие задачи по этой схеме. Развивающие функции задач усилятся, если изменить условия задачи, рассмотреть её частные случаи, найти все возможные её решения, составить свою текстовую задачу.

Источник