Конспект лекций по основам теории множеств
Конспект лекции Основы теории множеств
Элементы и множества
Понятие множества принадлежит к числу фундаментальных неопределяемых понятий математики. О множестве известно, как минимум, что оно состоит из элементов. Можно сказать:
Определение1: Множеством называется любая совокупность каких-либо объектов, обладающим общим для всех характеристическим свойством.
Определение2: Множество – это неопределяемое понятие, которое задается перечислением предметов, входящих в него, либо их свойствами.
Определение3: Объекты, из которых составлено множество, называются его элементами.
Элементы, составляющие множество, обозначаются строчными латинскими буквами: a , b , m , x , y …; множество часто обозначают прописными латинскими буквами А, В, М, Х, У… .
Знак обозначает вхождение или принадлежность; запись х Е читается: «элемент х принадлежит множеству Е», или короче: «х— элемент множества Е». Если х не принадлежит Е, будем писать х Е, что читается « х не является элементом множества Е» или «х не принадлежит множеству Е».
Существует два способа задания множества:
перечисление элементов (только для конечных множеств):
указание характеристических свойств:
— Множество М состоит из таких элементов х, обладающих свойством х≤6, где х – натуральное число.
– множество натуральных чисел;
Z – множество целых чисел;
R – множество вещественных чисел;
Множество студентов в группе.
Определение 4: Множество называется конечным , если оно одержит конечное число элементов. Все остальные множества называются бесконечными .
Перечислением можно задавать только конечные. Бесконечные множества задаются характеристическим свойством (предикатом) или порождающей процедурой.
Определение 5: Множества, не содержащие элементы, называются пустыми множествами . Пустое множество обозначают символом или <>.
Определение 6: Универса́льное мно́жество (универсум) — в математике множество , содержащее все объекты и все множества. В тех аксиоматиках, в которых универсальное множество существует, оно единственно.
Универсальное множество обычно обозначается U (от англ. universe, universal set), реже E.
Определение 7. Множество А называется подмножеством множества В, если всякий элемент из А является элементом В. Обозначают
.
Пример: 1)В=<1,2,3,4,5,6,7>, A =<2,4,6>, то ; 2) Принято считать, что пустое множество является подмножеством любого множества, А , где А – любое множество; 3) само множество А является своим подмножеством,
т.е. А А; 4) Универсальное множество U обладает свойством: все рассматриваемые множества являются его подмножеством А U, где А – любое множество.
Определение 8. Множества А и В считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Равенство множеств обозначают так: А = В.
Для того, чтобы доказать равенство множеств А и В нужно:
1) доказать, что каждый элемент множества А является элементом множества В;
2) доказать, что каждый элемент множества В является элементом множества А.
То есть, м ножества А и В считаются равными , если 
Определение 9: В случае, когда и 
, то это записывают 
и говорят, что А есть собственное подмножество В.
Определение 10: Мощность множества А обозначается | А |.
Для конечных множеств мощность – это число его элементов.
Пример: 1) В=<1,2,3>, | В |=3; 2) | Z |= 
; 3) | |=0.
Определение 11: Равные множества являются равномощными. Если А=В, то 
.
Определить все подмножества множества В=
Приведите примеры бесконечного множества.
Конспект лекции Операции над множествами
1. Операции над множествами
Диаграммы Эйлера-Венна – геометрические представления множеств. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри его – кругов (или каких-нибудь других замкнутых фигур), представляющих множества.
Для получения новых множеств из уже существующих, используют операции над множествами. Рассмотрим основные из них.
Определение: Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В без повторения:
Пример, А=<1,2,6,7>, B =<2,4,6,8>, тогда 
=
Определение: Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно как множеству А, так и множеству В: 
Пример, А=<1,2,6,7>, B =<2,4,6,8>, тогда 
=
Определение: Разностью множеств А и В называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В (рис. 3):
Определение: Дополнением множества А называется множество 
(или А ’ ) всех тех элементов универсума , которые не принадлежат множеству А :
Замечание . 
.
Определение: Симметрической разностью (или кольцевой суммой) множеств А и В называется множество элементов этих множеств, которые принадлежат либо только множеству А, либо только множеству В (рис. 4):
.
Пример, А=<1,2,6,7>, B =<2,4,6,8>, тогда 
=
2. Основные тождества алгебры множеств
Для произвольных множеств А, В, и С справедливы следующие соотношения (табл. 1):
1. Коммутативность объединения
1’. Коммутативность пересечения
2. Ассоциативность объединения
2’. Ассоциативность пересечения
3. Дистрибутивность объединения относительно пересечения
3’. Дистрибутивность пересечения относительно объединения
4. Законы действия с пустым и универсальным множествами
4’. Законы действия с пустым и универсальным множествами
5. Закон идемпотентности объединения
5’. Закон идемпотентности пересечения
6. Закон де Моргана
6’. Закон де Моргана
7. Закон поглощения
7’. Закон поглощения
8. Закон склеивания
8’. Закон склеивания
9. Закон Порецкого
9’. Закон Порецкого
10. Закон двойного дополнения
Одним из важных понятий теории множеств является понятие декартова произведения множеств.
Определение: Декартовым (прямым) произведением множеств X и Y называется множество упорядоченных пар вида ( x , y ), таких что x 
и 
.
<( x , y ) 
x и >.
Пример . Пусть X =<1,2>, Y =<3,4,5>. Тогда <(1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5)>, 
<(3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (5,1), (5,2)>, 
<(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)>.
Две пары ( x , y ) и ( u , v ) считаются равными тогда и только тогда, когда x = u и y = v
Аналогично можно определить декартово произведение n множеств 
: 
Если 
, то n -я степень множества X определяется как 
Пример . Пусть X =<1,2,3>, тогда Х 2 =
Источник
