Мгновенное значение скорости точки при векторном способе задания определяется по формуле

Векторный способ задания движения точки

Введение

Положение точки однозначно определяется заданием ее радиус-вектора , который изменяется со временем при движении точки. При векторном способе задания движения считается, что задан закон изменения радиус-вектора от времени . Векторный способ задания движения применяется для описания движения в общем виде, используя векторные формулы.

Например, для точки, движущейся с постоянным ускорением , радиус-вектор определяется одной векторной формулой:
,
где – постоянные векторы, не зависящие от времени. Применяя формулы, мы можем найти кинематические величины в векторном виде, не зависимо от выбранной системы координат.

При координатном способе задания движения, мы выбираем систему координат, и в ней задаем зависимости координат точки от времени . Таким образом, координатный способ привязан к выбранной системе координат, а векторный способ не зависит от системы координат.

Связь векторного способа задания движения с координатным осуществляется по формуле:
,
где – единичные векторы (орты) в направлении осей выбранной системы координат.

Основные формулы при векторном способе задания движения

Скорость точки

Выводы приведенных ниже формул и изложение теории приводится на странице “Кинематика материальной точки”. Здесь мы приводим основные результаты этой теории в векторном виде.

Итак, нам задана зависимость радиус-вектора материальной точки M от времени :
.

Дифференцируя радиус-вектор по времени, мы находим вектор скорости точки:
.
Модуль вектора скорости:
,
где в круглых скобках обозначено скалярное произведение векторов.

Скорость точки направлена по касательной к траектории. Пусть – единичный вектор в направлении касательной. Тогда скорость может быть направленной либо вдоль вектора :
,
либо в противоположную сторону:
.
Чтобы охватить эти два случая, вводят алгебраическую величину скорости :
.
Это скалярная величина, равная по абсолютной величине модулю скорости, но она может принимать как положительные, так и отрицательные значения:
.
При , вектор скорости сонаправлен с . При он направлен в противоположную сторону. Величина является проекцией вектора скорости на направление . Поскольку – это единичный вектор, то
.

Единичный вектор в направлении касательной к траектории:
.

Ускорение точки

Дифференцируя вектор скорости по времени, находим вектор ускорения точки:
.
Модуль вектора ускорения:
.

Разложим вектор ускорения на две взаимно перпендикулярные компоненты: – параллельную касательной к траектории; и – перпендикулярную к ней.
.
Компонента называется касательным, или тангенциальным ускорением, а компонента – нормальным ускорением.

Тангенциальное ускорение

Алгебраическая величина тангенциального ускорения – это скалярная величина, равная проекции полного ускорения на направление единичного вектора , касательного к траектории:
.
Тогда вектор тангенциального ускорения можно записать в следующем виде:
.
Величина может быть как положительной, так и отрицательной. При положительном , вектор касательного ускорения сонаправлен с единичным вектором . При отрицательном – вектор касательного ускорения направлен в противоположную сторону. Модуль равен модулю касательного ускорения:
.
Алгебраическая величина тангенциального ускорения равна производной по времени от алгебраической величины скорости:
.
Производная по времени модуля скорости:
.
Если между векторами скорости и ускорения острый угол, то движение ускоренное. Если между ними тупой угол, то движение замедленное.

Нормальное ускорение

Вектор нормального ускорения:
.
; .
Единичный вектор в направлении главной нормали траектории:
.
Вектор перпендикулярен вектору и направлен к центру кривизны траектории. Нормальное ускорение всегда направлено к центу кривизны траектории. Поэтому, если выразить его через единичный вектор главной нормали:
,
то . Поэтому .
Модуль нормального ускорения равен проекции полного ускорения на направление главной нормали:
.
Имеют место следующие формулы:
.

Радиус кривизны траектории:
.
Центр кривизны траектории:
.

Единичный вектор в направлении бинормали:
.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 06-03-2016 Изменено: 29-01-2020

Источник

2.1.2. Векторный способ задания движения точки

При векторном способе задания движения положение точки в пространстве определяется заданием радиуса-вектора , проведенного из неподвижного центраO в данною точку M (рис. 3).

Радиус-вектор – это тоже есть функция, зависящая от времени:

. (2)

Траектория точки является геометрическим местом концов радиуса-вектора .

2.1.3. Координатный способ задания движения точки

В координатном способе задания движения точки ее положение определяется тремя декартовыми координатами (x, y, z), которые могут быть выражены в функции параметра времени в виде (см. рис. 3).

Формула (3) – уравнение движения точки в декартовой системе координат. Если точка М движется в плоскости, то её движение определяется системой уравнений:

(4)

Прямолинейное движение выражается одним уравнением:

. (5)

Исключив параметр времени из системы (3) или (4), можно получить уравнение для траектории точки при ее движении в пространстве или на плоскости.

Взаимосвязь между векторным и координатным способами задания движения точки можно установить из известного выражения для радиуса-вектора точки

. (6)

Здесь координаты x,y,z в функции времени определяются из системы (3), для плоской задачи, соответственно, из системы (4).

Чтобы определить взаимосвязь между координатным и естественным способами задания движения точки, необходимо:

Определить траекторию точки.

Найти закон движения точки по траектории, для чего исключить параметр t из системы (3), применяя известное выражение дифференциала дуги.

, (6)

и после интегрирования получим

, (7)

где С – const, определяется из начальных условий задачи.

Основными кинематическими характеристиками движения точки являются ее скорость и ускорение. При различных способах задания движения точки они определяются различным образом.

2.2. Определение скорости точки

2.2.1. Определение скорости точки при задании её движения векторным способом

Скорость – это векторная величина, характеризующая быстроту и направление движения точки в данной системе отсчёта.

При векторном способе задания движения положение движущейся точки в каждый момент времени определяется радиусом – вектором, который в свою очередь является функцией времени.

Предположим, что в определённый момент времени t точка занимает положение М, а в момент времени – положениеМ₁. Из треугольника ОММ₁ , имеем ОМ₁ = ОМ+ММ₁, т.е. ,гдеММ₁ – приращение радиуса – вектора точки за промежуток времени∆t.

Можем найти среднюю скорость движение точки по хорде ММ₁, равную отношению к∆t, т.е:

, (9)

где направление совпадает по направлению с.

Чтобы определить скорость точки в данный момент времени, выполним предельный переход

(10)

Таким образом, вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной по времени от радиуса-вектора данной точки.

Источник

Методическое пособие по выполнению расчетно-графической работы по теме «Кинематика. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения.»

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
по выполнению расчетно-графической работы

по дисциплине «Механика. Теоретическая механика».

кафедры УЯР М.А.Микова

Основные понятия и определения.

При изучении раздела «Кинематика точки» рассматриваются характеристики движения точки и методы их определения при различных способах задания движения.

Важным понятием является понятие траектории движения.

Траекторией точки называется геометрическое место ее последовательных положений в пространстве с течением времени относительно рассматриваемой системы отсчета.

По виду траектории движения точки делятся на прямолинейные и криволинейные. Форма траектории зависит от выбранной системы отсчета. Одно и тоже движение точки может быть прямолинейным относительно одной системы координат и криволинейным относительно другой.

Скорость — это векторная величина, характеризующая быстроту изменения пройденного точкой расстояния.

Определение скорости зависит от способа задания движения.

При векторном способе задания движение точки определяется ее радиус – вектором, который изменяется с течением времени по заданному закону r = r ( t ), при этом мгновенная скорость точки в любой момент времени равна первой производной от ее радиус — вектора по времени

При задании движения в декартовой системе координат положение точки определяется ее координатами, которые изменяются с течением времени согласно заданным уравнениям: x = x ( t ), y = y ( t ), z = z ( t ).

Мгновенная скорость при координатном способе задания движения определяется через составляющие скорости по осям координат и равна их геометрической сумме.

Составляющие скорости по осям координат равны первой производной от соответствующей координаты точки.

v_x = dx / dt = ẋ ; v_y = dy / dt = ẏ ; v_z = dz / dt =ż

По известным проекциям скорости определяют ее модуль.

Направление вектора скорости определяют по направляющим косинусам.

cos (Ox, v) = v _x / v, cos (Oy, v) = v _y / v,

cos ( Oz , v ) = v _z / v .

При естественном способе задания движения положение точки по известной траектории определяется пройденным расстоянием согласно заданному закону ее движения по траектории s = s ( t ). Этот способ полностью определяет скорость точки по величине и направлению. Алгебраическую скорость находят дифференцированием по времени заданного закона движения. Вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории в данной точке.

Ускорение – это векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости движущейся точки.

Определение ускорения также зависит от способа задания движения.

При векторном способе задания движения ускорение точки определяется как первая производная скорости по времени.

При задании движения в декартовой системе координат мгновенное ускорение определяется через составляющие ускорения по осям координат и равно их геометрической сумме.

Составляющие ускорения по осям координат равны первой производной от соответствующей координаты точки.

а _x = dv_x / dt ; а _y = dv_y / dt ; а _z = dv_z / dt

По известным проекциям ускорения определяют его модуль.

Направление вектора ускорения определяют по направляющим косинусам.

cos ( Ox , а) = а _x / а, cos ( Oy , а) = а _y / а,

cos ( Oz , а) = а _z / а.

При естественном способе задания движения ускорение точки определяется в проекциях по осям естественного трехгранника. Проекция ускорения на положительное направление касательной называется касательным ускорением.

Касательное ускорение характеризует изменение вектора скорости по величине и направлено по касательной к траектории.

Проекция ускорения на главную нормаль называется нормальным ускорением. Нормальное ускорение характеризует изменение вектора скорости по направлению и направлено внутрь вогнутости траектории.

Проекция ускорения на бинормаль, направленная по единичному вектору b , равна нулю; следовательно, ускорение точки расположено в соприкасающейся плоскости траектории.

Т.к. касательная и главная нормаль взаимно перпендикулярны, модуль ускорения можно определить по формуле:

Движение является ускоренным, если скорость и касательное ускорение одинаковы по знаку.

Движение является замедленным, если скорость и касательное ускорение имеют разные знаки.

2. Расчетно – графическая работа

«Кинематика. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения».

В расчетно – графической работе требуется определить скорость и ускорение точки по заданным уравнениям ее движения.

2.1 Содержание работы.

Определить уравнение траектории движения точки и начертить ее.

Найти координаты точки в момент времени t и обозначить эту точку на траектории.

Найти проекции и модули векторов скорости V и ускорения точки a в момент времени t .

Построить из точки векторы скорости V и ускорения точки a , соблюдая масштаб величин.

Построить векторы касательного a _τ и нормального a _n ускорений точки и сделать вывод о темпе ее движения (ускоренное или замедленное).

Аналитически найти величины касательного a _τ и нормального a _n ускорений точки, а также радиус кривизны траектории в данной точке.

2.2. Таблица исходных данных по вариантам.

2.3. Пример выполнения работы.

Движение точки задано уравнениями (х и у задано в см)

Определить c корость и ускорение точки M при t = 1 c .

Определение уравнения траектории точки.

Из второго уравнения выразим время t через координату у и подставить в первое уравнение.

Получили квадратичную зависимость координаты х от у, которая представляет собой уравнение параболы, симметричной оси х. Ветви параболы направлены в сторону отрицательных значений оси х (влево), а вершина находится в точке (1, 0). График траектории показан на рис.1.

2. Координаты точки в момент времени t = 1с.

Подставляем t = 1с в уравнения движения и вычисляем координаты точки.

х = — 4*1+1 = -3 (см); у = -3*1 = -3 (см.)

3. Скорость и ускорение точки.

3 1. Скорость точки.

Проекции скорости вычисляем как производные по времени от уравнений движения.

V _x = ẋ = -4 * 2 t = -8 t при t = 1 c V _x = — 8 см/с

V _y = ẏ = -3 при t = lc V _y = — З см./с;

V = √ V _x 2 + V _y 2 = √ 64 t 2 +9 при t = 1 c V = 8,54 см/с

При графическом построении векторов V _x и V _y , составляющих вектор скорости V , следует учесть, что отношение длин этих векторов равно

T е. вектор V _y рисуем параллельно оси Y произвольной длины из точки вниз, а вектор V _x — параллельно оси X влево в 2,66 раза больше.

3.2 Ускорение точки

Проекции ускорения вычисляем как производные по времени от проекций скорости

при всех значениях t ускорение точки равно a = 8 см/с 2

Вектор ускорения имеет одну проекцию, поэтому изображаем его в точке произвольной длины параллельно оси Х влево. (см. рис. 2)

4.Построение касательного и нормального ускорений.

Проведем вдоль вектора скорости касательную к траектории движения точки. Перпендикулярно ей построим нормаль к траектории в заданной точке. Разложим вектор ускорения на две составляющих, опустив перпендикуляры на касательную и нормаль. (Рис. 3)

а _τ – касательное ускорение

а _n – нормальное ускорение.

Из чертежа (Рис. 3) видно, что вектор касательного ускорения совпадает по направлению с вектором скорости. Следовательно, движение точки является ускоренным.

5. Аналитическое определение величины касательного и нормального ускорений точки

Касательное ускорение определяется как производная от модуля скорости по времени.

а _τ = dV / dt = 1/2*[64 t 2 +9] -1/2 * 64*2 t

при t = 1 c а _τ = 7,5 см/с 2

Нормальное ускорение определим, зная величину полного ускорения и касательного ускорения.

a _n = √ a 2 — а _τ 2 = √ 64 – 51 = 2,8 см/с 2

6. Определение радиуса кривизны траектории в данной точке.

ρ = V 2 /a _n = 73/2,8 = 26,1 см

Курс повышения квалификации

Охрана труда

• Сейчас обучается 94 человека из 45 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Библиотечно-библиографические и информационные знания в педагогическом процессе

• Сейчас обучается 344 человека из 67 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Охрана труда

• Сейчас обучается 175 человек из 48 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Методическое пособие может быть использовано при выполнении расчетно-графической работы по теоретической механике по теме «Кинематика точки». Методическое пособие содержит основы теоретического материала по теме, содержание расчетно-графической работы, таблицу исходных данных по вариантам, пример выполнения задания.

Номер материала: ДБ-643945

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

В Минпросвещения предложили организовать телемосты для школьников России и Узбекистана

Время чтения: 1 минута

Вопрос о QR-кодах для сотрудников школ пока не обсуждается

Время чтения: 2 минуты

Минпросвещения будет стремиться к унификации школьных учебников в России

Время чтения: 1 минута

В Северной Осетии организовали бесплатные онлайн-курсы по подготовке к ЕГЭ

Время чтения: 1 минута

Путин попросил привлекать родителей к капремонту школ на всех этапах

Время чтения: 1 минута

В Москве запустили онлайн-проект по борьбе со школьным буллингом

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник