Методы нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми 4 способа

Подставим координаты точки $(-1;0;1)$, принадлежащей прямой $L_2$, в общее уравнение плоскости:

$-2 \cdot (x+1) + (y-0) – 1 \cdot(z-1)=0$

Упрощаем и в конечном итоге имеем следующее уравнение плоскости:

Теперь, используя координаты точки $(2;-1;0)$, лежащей на первой прямой, можно воспользоваться формулой $(2)$ для вычисления расстояния между двумя скрещивающимися прямыми:

Координатная формула вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми

Также аналогичное уравнение для поиска расстояния между скрещивающимися прямыми можно использовать сразу в полной координатной форме:

$ρ=\frac<\begin <|ccc|>l_1 & m_1 &n_1\\ l_2 &m_2 &n_2\\ (x_2 – x_1) &(y_2-y_1) &(z_2-z_1) \\ \end><\sqrt<\begin <|cc|>m_1 &n_1 \\ m_2 &n_2 \\ \end^2 + \begin <|cc|>l_1 &n_1 \\ l_2 &n_2 \\ \end^2 + \begin <|cc|>l_1 &m_1 \\ l_2 &m_2 \\ \end^2>>\left(3\right)$

Для того чтобы воспользоваться данной формулой, возможно нужно освежить в памяти способы нахождения определителей матриц.

Найти расстояние между вышеприведёнными прямыми с помощью формулы $(3)$.

Выпишем сначала точки, принадлежащие данным прямым и их направляющие векторы:

$L_1$ имеет направляющий вектор $\<2; -3; -1\>$, а принадлежащая ей точка имеет координаты $(2; -1; 0)$.

$L_2$ имеет направляющий вектор $\<1; -2; 0 \>$, а принадлежащая ей точка имеет координаты $(-1; 0; 1)$.

Источник

Методы нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (11 класс) на тему

Одним из наиболее трудных вопросов учебной программы школьной геометрии является вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми. В данной презентации рассмотрены некоторые приемы и методы решения этой задачи. Материал можно использовать на уроках, при изучении темы, и при подготовке к ЕГЭ профильного уровня.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Методы нахождения расстояний между скрещивающимися прямыми. Автор : Сигодина Лариса Владимировна, учитель математики МБОУ «БСОШ №1 им. П. П. Корягина » Благовещенского района Алтайского края 2016

Методы нахождения расстояний между скрещивающимися прямыми. Определение 1: Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между ближайшими точками этих прямых. Определение2: Расстояние между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра. Определение 3: … называется расстояние между их проекциями на плоскость, перпендикулярную одной из этих прямых. Определение 4: …называется расстояние от одной из скрещивающихся прямых до параллельной плоскости, проходящей через другую прямую. Определение 5:… называется расстояние между параллельными плоскостями, в которых находятся скрещивающиеся прямые.

Опр2: Расстояние между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра. 1.  ( BB 1 ; DC 1 )  BC  a 2.  ( AA 1 ; DC )  AD  a 3 .  ( DC ; A 1 K )  DD 1  a A B 1 A 1 C B D D 1 C 1 К

Опр 3: Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между их проекциями на плоскость, перпендикулярную одной из этих прямых. Построим плоскость, перпендикулярную прямой a Проекция прямой а на плоскость – точка А Проекция прямой b на эту плоскость – прямая b 1 4 .  ( a ; b )   ( A ; b 1 ) Метод ортогонального проектирования

Опр 3: Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между их проекциями на плоскость, перпендикулярную одной из этих прямых.  ( B 1 D ; AC )  OK A B 1 A 1 C B D D 1 C 1 H O K 2) Проекция АС – О 3) Проекция В 1 D – В 1 D 4) OK B 1 D

4 В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 4, а боковое ребро 3. Найдите расстояние от стороны основания до противоположного бокового ребра. D B A C 3 4 3 Построим плоскость, перпендикулярную прямой АС. N Спроектируем на плоскость BDN обе прямые. Проекция А C – точка N , а проекция BD — BD NK – искомое расстояние. Кстати в этой задаче получился именно общий перпендикуляр . 4 3 K

D B A C 3 4 3 4 N 4 K 3 2 3 2 5 N D 3 2 К В 5 3 h x 3-x «–» Подставим во второе уравнение

Опр 4: Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние от одной из скрещивающихся прямых до параллельной плоскости, проходящей через другую прямую. A B 1 A 1 C B D D 1 C 1  ( A K ; B C )  CO  К О Проведем плоскость ADB 1 , в которой лежит прямая AK BC ║ AD, BC║ADB 1

Опр 4: Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние от одной из скрещивающихся прямых до параллельной плоскости, проходящей через другую прямую. A B 1 A 1 C B D D 1 C 1  ( DD 1 ; A K )  D 1 O К О H

Опр 5: Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между параллельными плоскостями, в которых находятся скрещивающиеся прямые. A B 1 A 1 C B D D 1 C 1 O

B 1 D D 1 С 1 1 O H

Метод координат Расстояние от точки до плоскости Вычисляется по формуле: Ввести «удобным» способом систему координат. Найти координаты «нужных» точек. Записать уравнение плоскости. Вычислить расстояние по формуле.

A B 1 A 1 C B D D 1 C 1 O x z y Найдем расстояние от точки D до плоскости В 1 С D 1 D(0,0,0); C(0,1,0); D 1 (0,0,1); B 1 (1,1,1) 0+1b+0+d=0; 0+0+1c+d=0; 1a+1b+1c+d=0 d=1 b=-1; c=-1; a=1; Уравнение плоскости В 1 С D 1 x-y-z+1=0

A B C A 1 C 1 B 1 Правильная призма, все ребра равны 1. М К О

A B C A 1 C 1 B 1 Правильная призма, все ребра равны 1. М y z x

A B S D O C Дана правильная пирамида АВ= 5 , SO=5 . х у z

Метод координат Расстояние от точки до плоскости Вычисляется по формуле: Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой. Расстояние между параллельными плоскостями. Расстояние между скрещивающимися прямыми.

http://www.myshared.ru/slide/478172/ http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2012/11/26/master-klass-nakhozhdenie-rasstoyaniya-mezhdu Интернет ресурсы:

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Мастер-класс: «Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми»

Способы нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми по УМК Е.В.Потоскуев, Л.И.Звавич.

Электронные дидактические материалы «Нахождение угла между скрещивающимися прямыми» для учащихся 10-11 классов

Дидактические материалы «Нахождение угла между скрещивающимися прямыми» для учащихся 10-11 классов состоят из 33 задач уровня С2 материалов ЕГЭ по математике.

Решение задач по теме «Расстояние между скрещивающимися прямыми»

Разработана совместно с учащимися 11 класса. Рассмотрены различные методы решения задач по данной теме.

Стереометрия Расстояние между скрещивающимися прямыми

Теория и практика по нахождению расстояния между скрещивающимися прямыми.

Расстояние между скрещивающимися прямыми.

Расстояние между скрещивающимися прямыми.

Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми методом координат

Статья посвящена актуальному вопросу о нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми методом координат. Данный метод удобно использовать при решении задачи № 14 на профильном ЕГЭ по математике.

Расстояние от точки до плоскости, от прямой до плоскости, расстояние между плоскостями, между скрещивающимися прямыми, между произвольными фигурами в пространстве

Материал для практической работы «Расстояние от точки до плоскости, от прямой до плоскости, расстояние между плоскостями, между скрещивающимися прямыми, между произвольными фигурами в пространств.

Источник

Расстояние между скрещивающимися прямыми: определение и примеры нахождения

Статья нацелена на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми методом координат. Будет рассмотрено определение расстояния между этими прямыми, получим алгоритм при помощи которого преобразуем нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми. Закрепим тему решением подобных примеров.

Расстояние между скрещивающимися прямыми – определение

Предварительно необходимо доказать теорему, которая определяет связь между заданными скрещивающимися прямыми.

Раздел взаимного расположения прямых в пространстве говорит о том, что если две прямые называют скрещивающимися, если их расположение не в одной плоскости.

Через каждую пару скрещивающихся прямых может проходить плоскость, параллельная данной, причем только одна.

По условию нам даны скрещивающиеся прямые a и b . Необходимо доказать проходимость единственной плоскости через прямую b , параллельную данной прямой a . Аналогичное доказательство необходимо применять для прямой a , через которую проходит плоскость, параллельная данной прямой b .

Для начала необходимо отметить точку Q на прямой b . Если следовать из определения параллельности прямых, то получаем, что через точку пространства можно провести прямую, параллельную заданной прямой, причем только одну. Значит, через точку Q проходит только одна прямая, параллельная прямой a . Примем обозначение а а 1 .

Раздел способов задания плоскости было говорено о том, что прохождение единственной плоскости возможно через две пересекающиеся прямые. Значит, получаем, что прямые b и а 1 – пересекающиеся прямые, через которые проходит плоскость, обозначаемая χ .

Исходя из признака параллельности прямой с плоскостью, можно сделать вывод, что заданная прямая a параллельна относительно плоскости χ , потому как прямая a параллельна прямой а 1 , расположенной в плоскости χ .

Плоскость χ является единственной, так как прямая, проходящая через заданную прямую, находящуюся в пространстве, параллельна заданной прямой. Рассмотрим на рисунке, предоставленном ниже.

При переходе от определения расстояния между скрещивающимися прямыми определяем расстояние через расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называют расстояние между одной из скрещивающихся прямых и параллельной ей плоскостью, проходящей через другую прямую.

То есть расстояние между прямой и плоскостью является расстоянием от заданной точки к плоскости. Тогда применима формулировка определения расстояния между скрещивающимися прямыми.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называют расстояние от некоторой точки скрещивающихся прямых к плоскости, проходящей через другую прямую, параллельную первой прямой.

Произведем подробное рассмотрение прямых a и b . Точка М 1 располагается на прямой a , через прямую b проводится плоскость χ , параллельная прямой a . Из точки М 1 проводим перпендикуляр М 1 Н 1 к плоскости χ . Длина этого перпендикуляра является расстоянием между скрещивающимися прямыми a и b . Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми – теория, примеры, решения

Расстояния между скрещивающимися прямыми находятся при построении отрезка. Искомое расстояние равняется длине этого отрезка. По условию задачи его длина находится по теореме Пифагора, по признакам равенства или подобия треугольников или другим.

Когда имеем трехмерное пространство с системой координат О х у z с заданными в ней прямыми a и b , то вычисления следует проводить, начиная с расстояния между заданными скрещивающимися при помощи метода координат. Произведем подробное рассмотрение.

Пусть по условию χ является плоскостью, проходящей через прямую b , которая параллельна прямой a . Искомое расстояние между скрещивающимися прямыми a и b равняется расстоянию от точки М 1 , расположенной на прямой a , к плоскости _ χ . Для того, чтобы получить нормальное уравнение плоскости χ , необходимо определить координаты точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) _, расположенной на прямой a . Тогда получим cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 , которое необходимо для определения расстояния M 1 H 1 от точки M 1 x 1 , y 1 , z 1 к плоскости χ . Вычисления производятся по формуле M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 — p . Необходимое расстояние равняется искомому расстоянию между скрещивающимися прямыми.

Данная задача предполагает получение координат точки М 1 , которая располагается на прямой a , нахождение нормального уравнения плоскости χ .

Определение координат точки М 1 необходимо и возможно при знании основных видов уравнений прямой в пространстве. Чтобы получить уравнение плоскости χ , необходимо остановиться подробней на алгоритме вычисления.

Если координаты x 2 , y 2 , z 2 будут определены при помощи точки М 2 , через которую проведена плоскость χ , получаем нормальный вектор плоскости χ в виде вектора n → = ( A , B , C ) . Следуя из этого, можно записать общее уравнение плоскости χ в виде A · x — x 2 + B · ( y — y 2 ) + C · ( z — z 2 ) = 0 .

Вместо точки М 2 может быть взята любая другая точка, принадлежащая прямой b , потому как плоскость χ проходит через нее. Значит, координаты точки М 2 найдены. Необходимо перейти к нахождению нормального вектора плоскости χ .

Имеем, что плоскость χ проходит через прямую b , причем параллельна прямой a . Значит, нормальный вектор плоскости χ перпендикулярен направляющему вектору прямой a , обозначим a → , и направляющему вектору прямой b , обозначим b → . Вектор n → будет равняться векторному произведению a → и b → , что значит, n → = a → × b → . После определения координат a x , a y , a z и b x , b y , b z направляющих векторов заданных прямых a и b , вычисляем

n → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Отсюда находим значение координат A , B , C нормального вектора к плоскости χ .

Знаем, что общее уравнение плоскости χ имеет вид A · ( x — x 2 ) + B · ( y — y 2 ) + C · ( z — z 2 ) = 0 .

Необходимо привести уравнение к нормальному виду cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 . После чего нужно произвести вычисления искомого расстояния между скрещивающимися прямыми a и b , исходя из формулы M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 — p .

Чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми a и b , необходимо следовать алгоритму:

• определение координат ( x 1 , y 1 , z 1 ) и x 2 , y 2 , z 2 точек М 1 и М 2 , расположенных на прямых a и b соответственно;
• получение координат a x , a y , a z и b x , b y , b z , принадлежащих направляющим векторам прямых a и b ;
• нахождение координат A , B , C , принадлежащих вектору n → на плоскости χ , проходящей через прямую b , расположенную параллельно a , по равенству n → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z ;
• запись общего уравнения плоскости χ в виде A · x — x 2 + B · ( y — y 2 ) + C · ( z — z 2 ) = 0 ;
• приведение полученного уравнения плоскости χ к уравнению нормального вида cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 ;
• вычисление расстояния M 1 H 1 от M 1 x 1 , y 1 , z 1 к плоскости χ , исходя из формулы M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 — p .

Пример 1

Имеются две скрещивающиеся прямые в прямоугольной системе координат О х у z трехмерного пространства. Прямая a определена параметрическим уравнением прямой в пространстве x = — 2 y = 1 + 2 · λ z = 4 — 3 · λ , прямая b при помощи канонического уравнения прямой в пространстве x 1 = y — 1 — 2 = z + 4 6 . Найти расстояние между скрещивающимися прямыми.

Понятно, что прямая а пересекает точку M 1 ( — 2 , 1 , 4 ) с направляющим вектором a → = ( 0 , 2 , — 3 ) , а прямая b пересекает точку M 2 ( 0 , 1 , — 4 ) с направляющим вектором b → = ( 1 , — 2 , 6 ) .

Для начала следует произвести вычисление направляющих векторов a → = ( 0 , 2 , — 3 ) и b → = ( 1 , — 2 , 6 ) по формуле. Тогда получаем, что

a → × b → = i → j → k → 0 2 — 3 1 — 2 6 = 6 · i → — 3 · j → — 2 · k →

Отсюда получаем, что n → = a → × b → — это вектор плоскости χ , который проходит через прямую b параллельно a с координатами 6 , — 3 , — 2 . Получим:

6 · ( x — 0 ) — 3 · ( y — 1 ) — 2 · ( z — ( — 4 ) ) = 0 ⇔ 6 x — 3 y — 2 z — 5 = 0

Находим нормирующий множитель для общего уравнения плоскости 6 x — 3 y — 2 z — 5 = 0 . Вычислим по формуле 1 6 2 + — 3 2 + — 2 2 = 1 7 . Значит, нормальное уравнение примет вид 6 7 x — 3 7 y — 2 7 z — 5 7 = 0 .

Необходимо воспользоваться формулой, чтобы найти расстояние от точки M 1 — 2 , 1 , 4 до плоскости, заданной уравнением 6 7 x — 3 7 y — 2 7 z — 5 7 = 0 . Получаем, что

M 1 H 1 = 6 7 · ( — 2 ) — 3 7 · 1 — 2 7 · 4 — 5 7 = — 28 7 = 4

Отсюда следует, что искомым расстоянием является расстояние между заданными скрещивающимися прямыми, является значение 4 .

Источник