Матричный способ решения систем n линейных уравнений с n неизвестными

Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений матричным методом.

Матричный метод решения СЛАУ применяют к решению систем уравнений, у которых количество уравнений соответствует количеству неизвестных. Метод лучше применять для решения систем низкого порядка. Матричный метод решения систем линейных уравнений основывается на применении свойств умножения матриц.

Этот способ, другими словами метод обратной матрицы, называют так, так как решение сводится к обычному матричному уравнению, для решения которого нужно найти обратную матрицу.

Матричный метод решения СЛАУ с определителем, который больше или меньше нуля состоит в следующем:

Предположим, есть СЛУ (система линейных уравнений) с n неизвестными (над произвольным полем):

Значит, её легко перевести в матричную форму:

AX=B, где A — основная матрица системы, B и X — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на A −1 — обратную матрицу к матрице A: A −1 (AX)=A −1 B.

Т.к. A −1 A=E, значит, X=A −1 B. Правая часть уравнения дает столбец решений начальной системы. Условием применимости матричного метода есть невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого есть неравенство нулю определителя матрицы A:

Для однородной системы линейных уравнений, т.е. если вектор B=0, выполняется обратное правило: у системы AX=0 есть нетривиальное (т.е. не равное нулю) решение лишь когда detA=0. Эта связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений называется альтернатива Фредгольма.

Т.о., решение СЛАУ матричным методом производится по формуле . Либо, решение СЛАУ находят при помощи обратной матрицы A −1 .

Известно, что у квадратной матрицы А порядка n на n есть обратная матрица A −1 только в том случае, если ее определитель ненулевой. Таким образом, систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными решаем матричным методом только в случае, если определитель основной матрицы системы не равен нулю.

Не взирая на то, что есть ограничения возможности применения такого метода и существуют сложности вычислений при больших значениях коэффициентов и систем высокого порядка, метод можно легко реализовать на ЭВМ.

Пример решения неоднородной СЛАУ.

Для начала проверим, не равен ли нулю определитель матрицы коэффициентов у неизвестных СЛАУ.

Далее вычисляем алгебраические дополнения для элементов матрицы, которая состоит из коэффициентов при неизвестных. Эти коэффициенты нужны будут для вычисления обратной матрицы.

Теперь находим союзную матрицу, транспонируем её и подставляем в формулу для определения обратной матрицы.

Подставляем переменные в формулу:

Теперь находим неизвестные, перемножая обратную матрицу и столбик свободных членов.

При переходе от обычного вида СЛАУ к матричной форме будьте внимательными с порядком неизвестных переменных в уравнениях системы. Например:

НЕЛЬЗЯ записать как:

Необходимо, для начала, упорядочить неизвестные переменные в кадом уравнении системы и только после этого переходить к матричной записи:

Кроме того, нужно быть внимательными с обозначением неизвестных переменных, вместо x₁, x₂, …, x_n могут оказаться другие буквы. К примеру:

в матричной форме записываем так:

Матричным методом лучше решать системы линейных уравнений, в которых количество уравнений совпадает с числом неизвестных переменных и определитель основной матрицы системы не равен нулю. Когда в системе более 3-х уравнений, на нахождение обратной матрицы потребуется больше вычислительных усилий, поэтому, в этом случае целесообразно использовать для решения метод Гаусса.

Источник

Матричный метод решения СЛАУ: пример решения с помощью обратной матрицы

В данной статье мы расскажем о матричном методе решения системы линейных алгебраических уравнений, найдем его определение и приведем примеры решения.

Метод обратной матрицы — это метод, использующийся при решении СЛАУ в том случае, если число неизвестных равняется числу уравнений.

Найти решение системы n линейных уравнений с n неизвестными:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n

Матричный вид записи: А × X = B

где А = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а n 1 а n 2 ⋯ а n n — матрица системы.

X = x 1 x 2 ⋮ x n — столбец неизвестных,

B = b 1 b 2 ⋮ b n — столбец свободных коэффициентов.

Из уравнения, которое мы получили, необходимо выразить X . Для этого нужно умножить обе части матричного уравнения слева на A — 1 :

A — 1 × A × X = A — 1 × B .

Так как А — 1 × А = Е , то Е × X = А — 1 × В или X = А — 1 × В .

Обратная матрица к матрице А имеет право на существование только, если выполняется условие d e t A н е р а в е н н у л ю . Поэтому при решении СЛАУ методом обратной матрицы, в первую очередь находится d e t А .

В том случае, если d e t A н е р а в е н н у л ю , у системы имеется только один вариант решения: при помощи метода обратной матрицы. Если d e t А = 0 , то систему нельзя решить данным методом.

Пример решения системы линейных уравнений с помощью метода обратной матрицы

Решаем СЛАУ методом обратной матрицы:

2 x 1 — 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 — 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 — x 2 + 5 x 3 = 2

• Записываем систему в виде матричного уравнения А X = B , где

А = 2 — 4 3 1 — 2 4 3 — 1 5 , X = x 1 x 2 x 3 , B = 1 3 2 .

• Выражаем из этого уравнения X :

• Находим определитель матрицы А :

d e t A = 2 — 4 3 1 — 2 4 3 — 1 5 = 2 × ( — 2 ) × 5 + 3 × ( — 4 ) × 4 + 3 × ( — 1 ) × 1 — 3 × ( — 2 ) × 3 — — 1 × ( — 4 ) × 5 — 2 × 4 — ( — 1 ) = — 20 — 48 — 3 + 18 + 20 + 8 = — 25

d e t А не равняется 0, следовательно, для этой системы подходит метод решения обратной матрицей.

• Находим обратную матрицу А — 1 при помощи союзной матрицы. Вычисляем алгебраические дополнения А i j к соответствующим элементам матрицы А :

А 11 = ( — 1 ) ( 1 + 1 ) — 2 4 — 1 5 = — 10 + 4 = — 6 ,

А 12 = ( — 1 ) 1 + 2 1 4 3 5 = — ( 5 — 12 ) = 7 ,

А 13 = ( — 1 ) 1 + 3 1 — 2 3 — 1 = — 1 + 6 = 5 ,

А 21 = ( — 1 ) 2 + 1 — 4 3 — 1 5 = — ( — 20 + 3 ) = 17 ,

А 22 = ( — 1 ) 2 + 2 2 3 3 5 — 10 — 9 = 1 ,

А 23 = ( — 1 ) 2 + 3 2 — 4 3 — 1 = — ( — 2 + 12 ) = — 10 ,

А 31 = ( — 1 ) 3 + 1 — 4 3 — 2 4 = — 16 + 6 = — 10 ,

А 32 = ( — 1 ) 3 + 2 2 3 1 4 = — ( 8 — 3 ) = — 5 ,

А 33 = ( — 1 ) 3 + 3 2 — 4 1 — 2 = — 4 + 4 = 0 .

• Записываем союзную матрицу А * , которая составлена из алгебраических дополнений матрицы А :

А * = — 6 7 5 17 1 — 10 — 10 — 5 0

• Записываем обратную матрицу согласно формуле:

A — 1 = 1 d e t A ( A * ) T : А — 1 = — 1 25 — 6 17 — 10 7 1 — 5 5 — 10 0 ,

• Умножаем обратную матрицу А — 1 на столбец свободных членов В и получаем решение системы:

X = A — 1 × B = — 1 25 — 6 17 — 10 7 1 — 5 5 — 10 0 1 3 2 = — 1 25 — 6 + 51 — 20 7 + 3 — 10 5 — 30 + 0 = — 1 0 1

Ответ: x 1 = — 1 ; x 2 = 0 ; x 3 = 1

Источник

Системы n линейных уравнений с n неизвестными.

Методы их решения

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными.

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … + а_1nx_n = b₁

Определение: Решением системы (1) называется совокупность чисел (х₁, х₂, …, х_n), которая обращает каждое уравнение системы в верное равенство.

Матрица А, составленная из коэффициентов при неизвестных, называется основной матрицей системы (1).

A = .

Матрица В, состоящая из элементов матрицы А и столбца свободных членов системы (1), называется расширенной матрицей.

В =

Матричный метод

Х = – матрица неизвестных;

С = – матрица свободных членов системы (1).

Тогда по правилу умножения матриц систему (1) можно представить в виде матричного уравнения

Решение уравнения (2) изложено выше, то есть Х = А -1 × С, где А -1 – обратная матрица для основной матрицы системы (1).

Решить системы уравнений матричным методом:

59. 60.

61. 62.

63. . 64. .

Метод Крамера

Система n линейных уравнений с n неизвестными, главный определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное, которое находится по формулам:

,

где D = det А – определитель основной матрицы А системы (1), который называется главным, Dх_i получаются из определителя D заменой i-ого столбца столбцом из свободных членов, т. е.

D = ;

Dх₁ = ;

Dх₂ = ;

Dх_n = ;

Пример. Решить систему уравнений методом Крамера:

2х₁ + 3х₂ + 4х₃ = 15

Решение.

Вычислим определитель основной матрицы системы

D = det A = = 44 ¹ 0

Вычислим вспомогательные определители

Dх₁ = = 0;

Dх₂ = = 44;

Dх₃ = = 132.

По формулам Крамера найдем неизвестные

; ; .

Решить системы уравнений методом Крамера:

65. . 66. .

67. . 68. .

69. . 70. .

71. . 72. .

73. . 74. .

Метод Гаусса

Суть метода Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы, т.е. приведении основной матрицы системы к треугольному виду, когда под ее главной диагональю стоят нули. Это достигается с помощью элементарных преобразований матрицы над строчками. В результате таких преобразований не нарушается равносильность системы, и она приобретает также треугольный вид, т. е. последнее уравнение содержит одну неизвестную, предпоследнее – две и т. д. Выражают из последнего уравнения n-ую неизвестную и с помощью обратного хода, используя ряд последовательных подстановок, получают значения всех неизвестных.

Пример. Решить систему уравнений методом Гаусса

3х₁ + 2х₂ + х₃ = 17

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и приведем содержащуюся в ней матрицу А к треугольному виду.

В = .

Поменяем местами первую и третью строки матрицы, что равносильно перестановке первого и третьего уравнений системы. Это позволит нам избежать появления дробных выражений при последующих вычислениях

.

Первую строку полученной матрицы умножим последовательно на (-2) и (-3) и сложим соответственно со второй и третьей строками, при этом В будет иметь вид:

.

После умножения второй строки на и сложения ее с третьей строкой матрица А примет треугольный вид. Однако, чтобы упростить вычисления, можно поступить следующим образом: умножим третью строку на (-1) и сложим со второй. Тогда получим:

.

Далее, умножая вторую строку матрицы на 10 и складывая с третьей, окончательно получим:

.

Восстановим из полученной матрицы В систему уравнений, равносильную данной

х₁ + 4х₂ — 3х₃ = 9

Из последнего уравнения находим Найденное значение х₃ = 1 подставим во второе уравнение системы, из которого х₂ = 2х₃ = 2 × 1 = 2.

После подстановки х₃ = 1 и х₂ = 2 в первое уравнение для х₁ получим х₁ = 9 — 4х₂ + 3х₃ = 9 — 4 × 2 + 3 × 1 = 4.

Замечание. Для проверки правильности решения системы уравнений необходимо подставить найденные значения неизвестных в каждое из уравнений данной системы. При этом, если все уравнения обратятся в тождества, то система решена верно.

3 × 4 + 2 × 2 + 1 = 17 верно

2 × 4 — 2 + 2 × 1 = 8 верно

4 + 4 × 2 — 3 × 1 = 9 верно

Итак, система решена верно.

Решить системы уравнений методом Гаусса:

75. . 76. .

77. . 78. .

79. . 80. .

81. . 82. .

83. . 84. .

Метод Жордана-Гаусса

Суть метода Жордана-Гаусса состоит в полном исключении переменных из каждого уравнения системы, кроме единственной, т. е. основная матрица системы приводится с помощью элементарных преобразований над строчками к единичной матрице и система (1) приобретает следующий вид:

откуда видно, что неизвестные х₁; х₂;…; х_n равны соответствующим свободным членам в₁ ‘ ; в₂ ‘ ;…; в_n ‘ , т.е. решением системы уравнений (1) является набор чисел (в₁ ‘ ; в₂ ‘ ;…; в_n ‘ ).

Источник