Математика способы устных вычислений

Различные способы устных вычислений

В данной работе описываются способы устного счета в школьном курсе — это приемы устных вычислений, основанные на законах и свойствах арифметических действий, и изучаются способы существующие в науке, не вошедшие в школьную программу.

Скачать:

Вложение	Размер
sveta_blagonravova.docx	67.91 КБ

Предварительный просмотр:

Да, путь познания не гладок.

Но знаем мы со школьных лет:

Загадок больше, чем разгадок,

и поискам предела нет!

В наше время бытует мнение, что вычислительная работа должна стать уделом компьютеров, а человек может отойти от этого рутинного занятия. Но существуют такие способы устных вычислений, которые выдают ответы моментально и не уступят никакому компьютеру.

Большой успех имеют на эстраде выступления счетчиков, которые удивляют зрителей своей высокой техникой счета и феноменальной памятью.

Все мы, конечно, понимаем, что это всего лишь фокус, основанный на свойствах чисел или на каких- либо математических законах. А на каких именно, хочется знать?

Немецкого ученого Карла Гаусса называли королем математиков. Его математическое дарование проявилось уже в детстве.

Рассказывают, что в трех летнем возрасте он удивил окружающих, поправив расчеты своего отца с каменщиками. Однажды в школе (Гауссу в то время было 10 лет) учитель подложил классу сложить все числа от 1 до 100. Пока он диктовал задание, у Гаусса уже был готов ответ. На его грифельной доске было написано: 101 х 50 = 5050. Интересно, как он быстро выполнил это задание?

У известного русского художника Богданова-Бельского есть картина «Устный счет», изображающая занятия устным счетом. Ученики заняты устным решением примера. Они сосредоточены и увлечены работой.

Здесь воспроизведена известная и любимая всеми учителями картина Богданова-Бельского «Устный счет». По поводу этой картины И. К. Андронов пишет так: «Одиннадцать бедных крестьянских учеников старой, досоветской школы с напряжением ищут в уме решение числовой формулы, написанной на доске учителем С. А. Рачинским. Как лучше сгруппировать слагаемые, как быстрее вычислить?

Немного из истории этой картины:

Устному счету уделял большое внимание известный русский деятель в области просвещения доктор естественных наук, профессор ботаники Московского университета Сергей Александрович Рачинский (1832-1902). В 1872 г. он переехал из Москвы в свое имение, село Татево Смоленской губернии. Там организовал начальную школу и сам преподавал в ней, стремясь развить у крестьянских детей математические способности и привить им интерес к математике. С.А. Рачинский написал ряд математических пособий. Наибольшую известность среди них приобрела книга «1001 задача для счета в уме».

Обратимся к картине. На доске записан пример для устного счета:

По-разному думают дети. Кто-то скорее мечтает, чем думает. Кто-то торопится шепнуть учителю свой ответ. Но внимание педагога поглощено одним мальчиком, вся поза которого напоминает охотника, идущего по следу,- столько в ней сдержанной страсти и предчувствия победы. Мальчик, конечно же, догадывается, что сумма квадратов первых трех натуральных чисел равна сумме квадратов следующих чисел, т.е. Таким образом, данное на картине числовое выражение равно 2.

Вспомним, как относились к устному счету ученики С. А. Рачинского. Он писал: «Не успел я приступить к упражнениям в умственном счете, которые до тех пор в школе не практиковались, как к ним развилась настоящая страсть… Стали меня преследовать то одна группа учеников, то другая, то все вместе с требованием умственных задач… Очень скоро оказалось, что они опережают меня, что мне нужно готовиться, самому упражняться».

На уроках математики учитель часто говорит: «Для выполнения этого громоздкого задания, примените рациональные методы, и тогда пример решается устно».

Все эти моменты и заставили меня изучить хотя бы некоторые методы для выполнения устных вычислений.

В своей работе я хочу показать некоторые способы устного счета.

1. Обобщить способы устного счета в школьном курсе и изучить существующие в науке (расширить знания по этому вопросу).

а) Некоторые приемы устных вычислений, основанные на законах и свойствах арифметических действий, а именно:

Использование свойства вычитания суммы из числа и числа из суммы.

Использование переместительного и сочетательного свойства сложения и умножения.

Использование распределительного свойства умножения относительно сложению и вычитанию

Использование таблицы квадратов и кубов однозначных чисел и таблицы квадратов двузначных чисел от 10 до 20.

б) Умножение двузначных чисел на 11.

в) Использование формул сокращенного умножения:

(a ± b)² = a² ± 2ab + b²

г) Возведение в квадрат чисел оканчивающихся на 5.

д) Умножение чисел на 5 (50), 25 (250).

е) Умножение двузначных чисел близких к 100.

2. Показать практическую значимость каждого метода.

3. Обобщить данное исследование.

1. Повышение вычислительной культуры учащихся (Пособие для учителя)М. Просвещение 1981г.
2. А. П. Подашов «Вопросы внеклассной работы по математике в школе». Учпедгиз 1962г.
3. Д. С. Фаермарк «Задача пришла с картины». М. Просвещение, 1977г.
4. О. С. Шенина , Г. М. Соловьева «Математика. Занятия школьного кружка.» М.Издательство НЦ ЭНАС 2007.
5. Журнал «Математика в школе» №2 1981г, Журнал «Математика в школе» №1 1992г.

Познакомившись с материалами по данной теме в указанной литературе, я решила показать в своей работе некоторые методы устных вычислений.

Некоторые приемы устных вычислений, основанные на законах и свойствах.

а. Использование свойств вычитания суммы из числа и числа из суммы.

а — (в + с) = (а + в) — с.

95837 — (95137 + 198) = (95837 — 95137) – 198 = 700 – 198 = 502.

(а + в) – с = (а — с) + в.

(6112 + 1596) – 496 = 6112 + (1596 — 496) = 6112 + 1100 = 7212.

б. Использование переместительного и сочетательного свойств сложения и умножения.

а + в + с = (а + в) + с = (а + с) + в = а + (с + в).

385 + 548 + 615 = (385 + 615) + 548 = 1000 + 548 = 1548.

2,31 + 7,65 + 8,69 = (2,31 + 8,69) + 7,65 = 11+7,65 = 18,65.

а х в х с = (ахв)с = а(вхс) = (ахс)в.

483 х2 х 5 = 483 х 10 = 4830.

25 х 86 х 4 = (25 х 4)86 = 860.

1,25 х 75 х 8 = (1,25 х 8)75 = 10 х 75 = 750.

в. Использование распределительного закона умножения относительно сложения и вычитания.

1. Чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

10(12 + 3) = 10 х 12 + 10 х 3 = 120 + 30 = 150,

(4,5 + 0,75)100 = 450 + 75 = 525,

3 х 3=(3 + )3 = 9 + 2 = 11.

Вычислите сумму, используя распределительный закон:

289 х 315 + 711 х 315 = 315(289 + 711) = 315 х 1000 = 315000,

14,8 х 36 + 14,8 х 64 = 14,8(36 + 64) = 14,8 х 100 = 1480,

3 + = (3 6 )= х 10 = 6,

— х(- 6,81) + (- 1,19)х(- ) = — х(- 6,81 – 1,19) = — (- 8) = 3,

2. Для того, чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе.

59 х 7 = (60 – 1)7 = 420 – 7 = 413,

126 х 5 – 96 х 5 = (126 – 96)5 = 30 х 5 = 150,

0,78 х 496,6 – 396,6 х 0,78 = (496,6 – 396,6)0,78 = 100 х 0,78 = 78,

14 х = (14 — 3 ) = 3.

Для того чтобы быстро и безошибочно находить значения выражений, необходимо запомнить таблицу квадратов и кубов и, желательно, таблицу квадратов чисел от 11 до 20.

Источник

Устные вычисления

Разделы: Математика

В методике математики различают устные и письменные приемы вычисления. К устным относят все приемы для случаев вычислений в пределах 100, а также сводящихся к ним приемы вычислений для случаев за пределами 100 (например прием для случая 900 умножить на 7 будет устным, так как он сводится к приему для случая 9 умножить на 7). К письменным, относят приемы для всех других случаев вычислений над числами большими 100.

Устная работа на уроках математики в начальной школе, а особенно в первом классе, имеет большее значение – это и беседы учителя с классом или отдельными учениками, и рассуждения учащихся при выполнении тех или иных заданий и т. п . Среди этих видов устной работы можно выделить так называемые устные упражнения. Ранее они сводились в основном к вычислениям, поэтому за ними закрепилось название «устный счет». И хотя в современных программах содержание устных упражнений весьма разнообразно и велико, за счет введения алгебраического и геометрического материала, а также за счет большего внимания к свойствам действий над числами и величинами и других вопросов, название «устный счет» по отношению к устной форме проведения упражнений сохранилось до сих пор. Это, по мнению В. С. Кравченко, приводит к некоторым неудобствам, так как термин «устный счет» используется, кроме того, и в своем естественном смысле, то есть вычисления, проводимые устно, в уме, без записей. В связи с этим вместо термина «устный счет», удобнее пользоваться термином «устные упражнения».

Как пишет опытный педагог Зайцева О. П. в своей статье «Роль устного счета в формировании вычислительных навыков и развития личности ребенка» важность и необходимость устных упражнений доказывать не приходиться. Значение их велико в формировании вычислительных навыков и в совершенствовании знаний по нумерации, и в развитии личностных качеств ребенка. Создание определенной системы повторения ранее изученного материала дает учащимся возможность усвоения знаний на уровне автоматического навыка. Устные вычисления не могут быть случайным этапом урока, а должны находиться в методической связи с основной темой и носить проблемный характер.

Для достижения правильности и беглости устных вычислений в течении всех трех, четырех лет обучения на каждом уроке математики необходимо выделять 5 – 10 минут для проведения упражнений в устных вычислениях, предусмотренных программой каждого класса.

Устные упражнения проводятся в вопросно – ответной форме, все учащиеся класса выполняют одновременно одни и те же упражнения. Устные упражнения важны и ещё и тем, что они активизируют мыслительную деятельность учащихся; при их выполнении активизируется, развивается память, речь, внимание, способность воспринимать сказанное на слух, быстрота реакции.

В сочетании с другими формами работы, устные упражнения позволяют создать условия, при которых активизируются различные виды деятельности учащихся: мышление, речь, моторика. И устные упражнения в этом комплекте имеют большое значение.

Так как устные упражнения или устный счет это этап урока, то он имеет свои задачи:

1. Воспроизводство и корректировка определенных ЗУН учащихся, необходимых для их самостоятельной деятельности на уроке или осознанного восприятия объяснения учителя.
2. Контроль учителя за состоянием знаний учащихся.
3. Психологическая подготовка учащихся к восприятию нового материала.

Так как уроки математики в начальных классах как правило имеют кроме основной задачи, связанной с изучением текущего материала, еще ряд задач относящихся к закреплению пройденного материала и подготовке к новым вопросам, а в нашем случае к повышению познавательного интереса, то с этой точки зрения и подбираются упражнения к уроку, продумывается вид устных упражнений. Для эффективного использования устных упражнений, нужно правильно определить их место в системе формирования понятий и навыков.

Виды упражнений для устных вычислений

Навыки устных вычислений формируются в процессе выполнения учащимися разнообразных упражнений. Рассмотрим основные их виды:

1. Нахождение значений математических выражений

Предлагается в той или иной форме математическое выражение, требуется найти его значение. Эти упражнения имеют много вариантов. Можно предлагать числовые математические выражения и буквенные (выражение с переменной), при этом буквам придают числовые значения и находят числовое значение полученного выражения, например:

• найдите разность чисел 100 и 9.
• найдите значение выражения С – К, если С = 100, К = 9.

Выражения могут предлагаться в разной словесной форме:

• из 100 – 9 ; 100 минус 9.
• уменьшаемое 100, вычитаемое 9, найдите разность.
• найти разность чисел 100 и 9.
• уменьшить 100 а 9 и т. д.

Эти формулировки использует не только учитель, но и ученики.

Выражения могут включить одно и более действий. Выражения с несколькими действиями могут включать действия одной ступени или разных ступеней, например:

• 47 + 24 – 56;
• 2 : 12 * 9;
• 400 – 7 * 4 и др.

Могут быть со скобками или без скобок: (90 – 42) : 3; 90 – 42 : 3. как и выражения в одно действие, выражения в несколько действий имеют разную словесную формулировку, например:

• из 90 вычесть частное чисел 42 и 3;
• уменьшаемое 90, а вычитаемое выражено частным чисел 42 и 3.

Выражения могут быть заданы в разной области чисел: с однозначными числами (7 – 4), с двузначными (70 – 40, 72 – 48), с трехзначными (700 – 400, 720 – 480) и т. д., с натуральными числами и величинами (200 15, 2м – 15см). Однако, как правило, приемы устных вычислений должны сводиться к действиям над числами в пределах 100. так, случай вычитания четырехзначных чисел 7200 – 4800 сводится к вычитанию двузначных чисел (72 сотни – 48 сотен) и значит его можно предлагать для устных вычислений.

Основное значение упражнений на нахождение значений выражений – выработать у учащихся твердые вычислительные навыки, а также они способствуют усвоению вопросов теории арифметических действий.

2. Сравнение математических выражений

Эти упражнения имеют ряд вариантов. Могут быть даны два выражения, а надо установить, равны ли их значения, а если не равны, то какое из них больше или меньше.

• 6 + 4 * 4 + 6;
• 20 + 7 * 20 + 5;
• 20 8 * 18 10;
• 8 9 * 8 10.

Вместо «*» поставить знак , =.

Могут предлагаться упражнения, у которых уже дан знак отношения и одно из выражений, а другое выражение надо составить или дополнить: 8 (10 + 2) = 8 10 +….

Выражения таких упражнений могут включать различный числовой материал: однозначные, двузначные, трехзначные числа и величины. Выражения могут быть с разными действиями.

Главная роль таких упражнений – способствовать усвоению теоретических знаний об арифметических действиях, их свойствах, о равенствах, о неравенствах и др. Также они помогают выработке вычислительных навыков.

3. Решение уравнений

Это прежде всего простейшие уравнения (х + 2 = 10) и более сложные (15х – 9 = 51)

Уравнение можно предлагать в разных формах:

• решение уравнения 24 : х = 3;
• из какого числа надо вычесть 18, чтобы получить 40?
• найдите неизвестное число: 73 – х = 73 – 18;
• я задумал число, умножил его на 5 и получил 85. какое число я задумал?

Назначение таких упражнений – выработать умение решать уравнение, помочь учащимся усвоить связи между компонентами и результатами арифметических действий.

Для устной работы предлагаются и простые и составные задачи.

Эти упражнения включаются с целью выработки умений решать задачи, они помогают усвоению теоретических знаний и выработке вычислительных навыков.

Разнообразие упражнений и возбуждает интерес у детей, активизирует их мыслительную деятельность.

Формы восприятия устного счета

1. Беглый слуховой (читается учителем, учеником, записано на магнитофоне) – при восприятии задания на слух большая нагрузка приходится на память, поэтому учащиеся быстро утомляются. Однако такие упражнения очень полезны: они развивают слуховую память.
2. Зрительный (таблицы, плакаты, записи на доске, счеты, диапозитивы) – запись задания облегчает вычисления (не надо запоминать числа). Иногда без записи трудно и даже невозможно выполнить задание. Например, надо выполнить действие с величинами, выраженными в единицах двух наименований, заполнить или выполнить действия при сравнении выражений.
3. Комбинированный.

• обратная связь (показ ответов с помощью карточек).
• задания по вариантам (обеспечивают самостоятельность).
• упражнения в форме игры (молчанка, продолжи цепочку, стук – стук, хлопки).

Организация занятий по устному счету

Чтобы навыки устных вычислений постоянно совершенствовались, необходимо установить, правильное соотношение в применении устных и письменных приемов вычислений, а именно: вычислять письменно только тогда, когда устно вычислять трудно.

Упражнения в устных вычислениях должны пронизывать весь урок. Их можно соединять с проверкой домашних заданий, закреплением изученного материала, предлагать при опросе. Особенно хорошо, если на ряду с этим, специально отводить 5 – 7 минут на уроке для устного счета. Материал для этого можно подобрать из учебника или специальных сборников. Устные упражнения должны соответствовать теме и цели урока и помогать усвоению изучаемого на данном уроке или ранее пройденного материала. В зависимости от этого учитель определяет место устного счета на уроке. Если устные упражнения предназначаются для повторения материала, формированию вычислительных навыков и готовят к изучению нового материала, то лучше их провести в начале урока до изучения нового материала. Если устные упражнения имеют цель закрепить изученное на данном уроке, то надо провести устный счет после изучения нового материала. Не следует проводить его в конце урока, так как дети уже утомлены, а устный счет требует большего внимания, памяти и мышления. Количество упражнений должно быть таким, чтобы их выполнение не переутомляло детей и не превышало отведенного на это времени урока.

При подборе упражнений для урока следует учитывать, что подготовительные упражнения и первые упражнения для закрепления, как правило, должны формироваться проще и прямолинейнее. Здесь ненужно стремиться к особенному разнообразию в формулировках и приемах работы. Упражнения для отработки знаний и навыков и особенно для применения их в различных условиях, наоборот должны быть однообразнее. Формулировки заданий, по возможности должны быть рассчитаны на то, чтобы они легко воспринимались на слух. Для этого они должны быть четкими и лаконичными, сформулированы легко и определенно, не допускать различного толкования. В случаях, когда задания все–таки трудны для усвоения на слух, необходимо прибегать к записям или рисункам на доске.

Вывод: Помимо того, что устный счет на уроках математики способствует развитию и формированию прочных вычислительных навыков и умений, он также играет немаловажную роль в привитии и повышении у детей познавательного интереса к урокам математики, как одного из важнейших мотивов учебно-познавательной деятельности, развития логического мышления, и развития личностных качеств ребенка. На наш взгляд, вызывая интерес и прививая любовь к математике с помощью различных видов устных упражнений, учитель будет помогать ученикам активно действовать с учебным материалом, пробуждать у них стремление совершенствовать способы вычислений и решения задач, менее рациональные заменять более совершенными. А это – важнейшее условие сознательного усвоения материала.

Источник