Математика способы разложение многочленов

Разложение многочлена на множители

Разложить многочлен на множители означает представить его в виде произведения двух или нескольких многочленов.

Примером разложения многочлена на множители является вынесение общего множителя за скобки, поскольку исходный многочлен обращается в произведение двух сомножителей, один из которых является одночленом, а другой многочленом.

Разложение многочлена на множители способом вынесения общего множителя за скобки

При вынесении общего множителя за скобки образуется произведение из двух сомножителей, один из которых является одночленом, а другой многочленом. Например:

В рамках изучения многочленов, одночлен принято считать многочленом, состоящим из одного члена. Поэтому, когда в многочлене выносится за скобки общий множитель, то говорят что исходный многочлен представлен в виде произведения многочленов.

В нашем примере многочлен 6x + 3xy был представлен в виде произведения многочленов 3x и (2 + y) . По-другому говорят, что многочлен 6x + 3xy разложен на множители 3x и (2 + y)

Существуют также многочлены, в которых можно вынести за скобки такой общий множитель, который является двучленом. Например, рассмотрим многочлен 5a(x + y) + 7a(x + y) . В этом многочлене общим множителем является двучлен (x + y) . Вынесем его за скобки:

Разложение многочлена на множители способом группировки

Некоторые многочлены содержат группу членов, имеющих общий множитель. Такие группы можно заключать в скобки и далее выносить общий множитель за эти скобки. В результате получается разложение исходного многочлена на множители, которое называют разложением на множители способом группировки.

Рассмотрим следующий многочлен:

Члены ax и ay имеют общий множитель a . Выпишем эти члены и заключим их в скобки:

Далее в многочлене ax + ay + 3 x + 3 y члены 3x и 3y имеют общий множитель 3. Выпишем эти члены и тоже заключим их в скобки:

Теперь соединим выражения (ax + ay) и (3x + 3y) знаком «плюс»

В многочлене (ax + ay) вынесем за скобки общий множитель a , а в многочлене (3x + 3y) вынесем за скобки общий множитель 3. Делать это нужно в исходном выражении:

Далее замечаем, что двучлен (x + y) является общим множителем. Вынесем его за скобки. Продолжаем решение в исходном примере. В результате получим:

Запишем решение покороче, не расписывая подробно, как каждый член был разделен на общий множитель. Тогда решение получится более компактным:

Чтобы проверить правильно ли мы разложили многочлен на множители, выполним умножение (x + y)(a + 3) . Если мы всё сделали правильно, то получим многочлен ax + ay + 3x + 3y

Пример 2. Разложить многочлен 9x + ax − 9y − ay на множители способом группировки.

Члены 9x и −9y имеют общий множитель 9. А члены ax и −ay имеют общий множитель a . Сгруппируем их с помощью скобок, и объединим с помощью знака «плюс»

В первой группе (9x − 9y) вынесем за скобки общий множитель 9. Во второй группе (ax − ay) вынесем за скобки за скобки общий множитель a

Далее вынесем за скобки двучлен (x − y)

Пример 3. Разложить многочлен ab − 3b + b 2 − 3a на множители способом группировки.

Сгруппируем первый член ab с четвёртым членом −3a . А второй член −3b сгруппируем с третьим членом b 2 . Не забываем, что объединять группы нужно с помощью знака «плюс»

В первой группе вынесем за скобки общий множитель a , во второй группе — общий множитель b

Во втором произведении b(−3 + b) в сомножителе (−3 + b) изменим порядок следования членов. Тогда получим b(b − 3)

Теперь вынесем за скобки общий множитель (b − 3)

Пример 4. Разложить многочлен x 2 y + x + xy 2 + y + 2xy + 2 на множители способом группировки.

Сгруппируем первый член многочлена со вторым, третий с четвёртым, пятый с шестым:

В первой группе вынесем за скобки общий множитель x , во второй группе — общий множитель y , в третьей группе — общий множитель 2

Далее замечаем, что многочлен (xy + 1) является общим множителем. Вынесем его за скобки:

Разложение многочлена на множители по формуле квадрата суммы двух выражений

Формулы сокращённого умножения, которые мы рассматривали в прошлом уроке, можно применять для разложения многочленов на множители.

Вспомним, как выглядит формула квадрата суммы двух выражений:

Поменяем местами левую и правую часть, получим:

Левая часть этого равенства является многочленом, а правая часть — произведением многочленов, поскольку выражение (a + b) 2 представляет собой перемножение двух сомножителей, каждый из которых равен многочлену (a + b).

Стало быть, если нам встретится выражение вида a 2 + 2ab + b 2 , то мы можем представить его в виде произведения (a + b) (a + b) . Иными словами, разложить на множители (a + b) и (a + b).

Пример 1. Разложить на множители многочлен 4x 2 + 12xy + 9y 2

Чтобы воспользоваться формулой a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 , нужно узнать чему в данном случае равна переменная a и чему равна переменная b .

Первый член многочлена 4x 2 + 12xy + 9y 2 является результатом возведения в квадрат одночлена 2x , поскольку (2x) 2 = 4x 2 . Третий член 9y 2 является результатом возведения в квадрат одночлена 3y , поскольку (3y) 2 = 9y 2 , а член 12xy это есть удвоенное произведение членов 2x и 3y , то есть 2 × 2x × 3y = 12xy .

Очевидно, что переменная a в данном случае равна 2x , а переменная b равна 3y

Тогда можно сделать вывод, что когда-то выражение 4x 2 + 12xy + 9y 2 выглядело в виде квадрата суммы (2x + 3y) 2 , но в результате применения формулы квадрата суммы оно обратилось в многочлен 4x 2 + 12xy + 9y 2 . Наша задача — вернуть ему былую форму, то есть представить в виде (2x + 3y) 2

А поскольку (2x + 3y) 2 это произведение двух сомножителей, каждый из которых равен многочлену (2x + 3y) , то исходный многочлен 4x 2 + 12xy + 9y 2 можно представить в виде разложения на множители (2x + 3y) и (2x + 3y)

Полностью решение можно записать так:

Пример 2. Разложить на множители многочлен x 2 + 12x + 36

Первый член данного многочлена является результатом возведения в квадрат одночлена x, поскольку x 2 = x 2 , третий член — результатом возведения в квадрат числа 6, поскольку 6 2 = 36 , а член 12x это удвоенное произведение членов x и 6 , поскольку 2 × x × 6 = 12x .

Воспользуемся формулой a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 . Роль переменной a играет одночлен x , а роль переменной b играет одночлен 6 . Отсюда:

А поскольку (x + 6) 2 это произведение двух сомножителей, каждый из которых равен многочлену (x + 6) , то исходный многочлен x 2 + 12x + 36 можно представить в виде разложения на множители (x + 6) и (x + 6)

Разложение многочлена на множители по формуле квадрата разности двух выражений

Как и по формуле квадрата суммы двух выражений, многочлен можно разложить на множители по формуле квадрата разности двух выражений.

Формула квадрата разности двух выражений выглядит так:

Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим:

Поскольку правая часть это произведение двух сомножителей, каждый из которых равен (a − b), то многочлен вида a 2 − 2ab + b 2 можно разложить на множители (a − b) и (a − b).

Пример 1. Разложить на множители многочлен 9x 2 − 12xy + 4y 2

Чтобы воспользоваться формулой a 2 − 2ab + b 2 = (a − b) 2 , нужно узнать чему в данном случае равна переменная a и чему равна переменная b .

Первый член данного многочлена является результатом возведения в квадрат одночлена 3x , поскольку (3x) 2 = 9x 2 . Третий член 4y 2 является результатом возведения в квадрат одночлена 2y , поскольку (2y) 2 = 4y 2 , а член 12xy это удвоенное произведение членов 3x и 2y , то есть 2 × 3x × 2y = 12xy .

Очевидно, что переменная a в данном случае равна 3x , а переменная b равна 2y

Тогда можно сделать вывод, что когда-то выражение 9x 2 − 12xy + 4y 2 выглядело в виде квадрата разности (3x − 2y) 2 , но в результате применения формулы квадрата разности оно обратилось в многочлен 9x 2 − 12xy + 4y 2 . Наша задача — вернуть ему былую форму, то есть представить в виде (3x − 2y) 2

А поскольку (3x − 2y) 2 это произведение двух сомножителей, каждый из которых равен многочлену (3x − 2y) , то исходный многочлен 9x 2 − 12xy + 4y 2 можно представить в виде разложения на множители (3x − 2y) и (3x − 2y)

Полностью решение можно записать так:

Пример 2. Разложить на множители многочлен x 2 − 4x + 4

Воспользуемся формулой квадрата разности двух выражений:

Разложение многочлена на множители по формуле куба суммы двух выражений

Вспомним, как выглядит формула куба суммы двух выражений:

Поменяем местами левую и правую часть, получим:

Левая часть этого равенства является многочленом, а правая часть — произведением многочленов, поскольку выражение (a + b) 3 представляет собой перемножение трёх сомножителей, каждый из которых равен многочлену (a + b).

Стало быть, если нам встретится выражение вида a 3 + 3a 2 b +3ab 2 + b 3 , то мы можем представить его в виде произведения (a + b)(a + b)(a + b) . Иными словами, разложить на множители (a + b), (a + b) и (a + b).

Пример 1. Разложить на множители многочлен m 3 + 6m 2 n + 12mn 2 + 8n 3

Прежде чем применять формулу куба суммы, следует проанализировать данный многочлен. А именно, убедиться что перед нами действительно куб суммы двух выражений.

Чтобы убедиться, что исходное выражение является кубом суммы двух выражений, следует узнать чему в данном случае равна переменная a и чему равна переменная b .

Первый член данного многочлена является результатом возведения в куб одночлена m

Последний член 8n 3 является результатом возведения в куб одночлена 2n

Второй член 6m 2 n является утроенным произведением квадрата первого выражения m и последнего 2n

Третий член 12mn 2 является утроенным произведением первого выражения m и квадрата последнего выражения 2n

То есть исходный многочлен m 3 + 6m 2 n + 12mn 2 + 8n 3 по всем параметрам соответствует кубу суммы двух выражений. Переменной a в данном многочлене соответствует m , а переменной b соответствует 2n

Тогда можно сделать вывод, что когда-то выражение m 3 + 6m 2 n + 12mn 2 + 8n 3 выглядело в виде куба суммы (m + 2n) 3 , но в результате применения формулы куба суммы оно обратилось в многочлен m 3 + 6m 2 n + 12mn 2 + 8n 3 . Наша задача — вернуть ему былую форму, то есть представить в виде (m + 2n) 3

А поскольку (m + 2n) 3 это произведение трёх сомножителей, каждый из которых равен многочлену (m + 2n) , то исходный многочлен m 3 + 6m 2 n + 12mn 2 + 8n 3 можно представить в виде разложения на множители (m + 2n), (m + 2n) и (m + 2n)

Пример 2. Разложить на множители многочлен 125x 3 + 75x 2 + 15x + 1

Первый член данного многочлена является результатом возведения в куб одночлена 5x

Последний член 1 является результатом возведения в куб одночлена 1

Второй член 75x 2 является утроенным произведением квадрата первого выражения 5x и последнего 1

Третий член 15x является утроенным произведением первого выражения 5x и квадрата второго выражения 1

Воспользуемся формулой a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 . Роль переменной a играет одночлен 5x , а роль переменной b играет одночлен 1

А поскольку (5x + 1) 3 это произведение трёх сомножителей, каждый из которых равен многочлену (5x + 1) , то исходный многочлен 125x 3 + 75x 2 + 15x + 1 можно представить в виде разложения на множители (5x + 1), (5x + 1) и (5x + 1)

Разложение многочлена на множители по формуле куба разности двух выражений

Как и по формуле куба суммы двух выражений, многочлен можно разложить на множители по формуле куба разности двух выражений.

Вспомним, как выглядит формула куба разности двух выражений:

Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим:

Поскольку правая часть это произведение трёх сомножителей, каждый из которых равен (a − b), то многочлен вида a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 можно разложить на множители (a − b), (a − b) и (a − b).

Пример 1. Разложить на множители многочлен 64 − 96x + 48x 2 − 8x 3

Прежде чем применять формулу куба разности, следует проанализировать данный многочлен. А именно, убедиться что перед нами действительно куб разности двух выражений.

Чтобы убедиться, что исходное выражение является кубом разности двух выражений, следует узнать чему в данном случае равна переменная a и чему равна переменная b .

Первый член данного многочлена является результатом возведения в куб одночлена 4

Последний член 8x 3 является результатом возведения в куб одночлена 2x

Второй член 96x является утроенным произведением квадрата первого выражения 4 и последнего 2x

Третий член 48x 2 является утроенным произведением первого выражения 4 и квадрата второго выражения 2x

3 × 4 × (2x) 2 = 3 × 4 × 4x 2 = 48x 2

Видим, что исходный многочлен 64 − 96x + 48x 2 − 8x 3 по всем параметрам соответствует кубу разности двух выражений. Переменной a в данном многочлене соответствует 4 , а переменной b соответствует 2x

Тогда можно сделать вывод, что когда-то выражение 64 − 96x + 48x 2 − 8x 3 выглядело в виде куба разности (4 − 2x) 3 , но в результате применения формулы куба разности оно обратилось в многочлен 64 − 96x + 48x 2 − 8x 3 . Наша задача — вернуть ему былую форму, то есть представить в виде (4 − 2x) 3

А поскольку (4 − 2x) 3 это произведение трёх сомножителей, каждый из которых равен (4 − 2x) , то исходный многочлен 64 − 96x + 48x 2 − 8x 3 можно представить в виде разложения на множители (4 − 2x) , (4 − 2x) и (4 − 2x)

Пример 2. Разложить на множители многочлен 27 − 135x + 225x 2 − 125x 3

Первый член данного многочлена является результатом возведения в куб одночлена 3

Последний член 125 является результатом возведения в куб одночлена 5x

Второй член 135x является утроенным произведением квадрата первого выражения 3 и последнего 5x

Третий член 225x 2 является утроенным произведением первого выражения 3 и квадрата второго выражения 5x

3 × 3 × (5x) 2 = 3 × 3 × 25x 2 = 225x 2

Воспользуемся формулой a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 = (a − b) 3 . Роль переменной a играет одночлен 3 , а роль переменной b играет одночлен 5x

А поскольку (3 − 5x) 3 это произведение трёх сомножителей, каждый из которых равен многочлену (3 − 5x) , то исходный многочлен 27 − 135x + 225x 2 − 125x 3 можно представить в виде разложения на множители (3 − 5x) , (3 − 5x) и (3 − 5x)

Разложение многочлена на множители по формуле разности квадратов двух выражений

Вспомним, как выглядит формула умножения разности двух выражений на их сумму:

Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим:

Эту формулу называют разностью квадратов. Она позволяет разложить выражение вида a 2 − b 2 на множители (a − b) и (a + b).

Пример 1. Разложить на множители многочлен 16x 2 − 25y 2

Чтобы воспользоваться формулой a 2 − b 2 = (a − b)(a + b), следует узнать чему в данном случае равна переменная a и чему равна переменная b .

Первый член 16x 2 является результатом возведения в квадрат одночлена 4x

Второй член 25y 2 является результатом возведения в квадрат одночлена 5y

То есть в данном случае переменной a соответствует одночлен 4x , а переменной b соответствует одночлен 5y

Теперь можно воспользоваться формулой a 2 − b 2 = (a − b)(a + b) . Подставим в неё наши значения a и b

Полностью решение можно записать так:

Для проверки можно выполнить умножение (4x − 5y)(4x + 5y) . Если мы всё сделали правильно, то должны получить 16x 2 − 25y 2

Пример 2. Разложить на множители многочлен x 2 − y 2

В данном случае переменной a соответствует x , а переменной b соответствует y . Тогда по формуле квадрата разности имеем:

Случай как в данном примере является наиболее простым, поскольку здесь сразу видно чему равно a и чему равно b .

Чаще всего члены, из которых состоит исходная разность, являются результатами возведения во вторую степень каких-нибудь одночленов. Чтобы узнать чему в таком случае равны a и b, нужно как в первом примере представить члены исходной разности в виде одночленов возведённых в квадрат.

Например, чтобы разложить многочлен 4x 4 − 9y 6 на множители, нужно исходные члены представить в виде одночленов возведённых в квадрат. Первый член в виде одночлена, возведенного в квадрат, можно записать как (2x 2 ) 2 , поскольку вычисление этого выражение даёт в результате 4x 4

А член 9y 6 в виде одночлена, возведенного в квадрат, можно записать как (3 y 3 ) 2 , поскольку вычисление этого выражение даёт в результате 9y 6

Теперь мы знаем, чему равны a и b . Они равны 2x 2 и 3y 3 соответственно. Подставим их в формулу a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)

Полностью решение можно записать так:

Несмотря на простоту разложения по формуле разности квадратов, частые ошибки приходятся именно на эти задачи. Чтобы убедиться, что задача решена правильно, не мешает выполнить умножение в получившемся разложении. Если задача решена правильно, то должен получиться изначальный многочлен.

Проверим умножением данный пример. У нас должен получиться многочлен 4x 4 − 9y 6

Пример 4. Разложить на множители многочлен 81 − 64

Представим члены исходной разности в виде одночленов возведенных в квадрат. Далее воспользуемся формулой разности квадратов:

81 − 64 = 9 2 − 8 2 = (9 − 8)(9 + 8)

Разложение многочлена на множители по формуле сумме кубов двух выражений

Мы помним, что произведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности равно сумме кубов этих выражений:

Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим формулу, называемую суммой кубов двух выражений:

Эта формула позволяет разложить выражение вида a 3 + b 3 на множители (a + b) и (a 2 − ab + b 2 ) .

Пример 1. Разложить на множители многочлен 27x 3 + 64y 3

Представим члены 27x 3 и 64y 3 в виде одночленов, возведённых в куб

Теперь воспользуемся формулой суммы кубов. Переменная a в данном случае равна 3x , переменная b равна 4y

Пример 2. Разложить на множители многочлен 125 + 8

Представим члены 125 и 8 в виде одночленов, возведённых в куб:

125 + 8 = 5 3 + 2 3

Далее воспользуемся формулой суммы кубов:

125 + 8 = 5 3 + 2 3 = (5 + 2)(25 − 10 + 4)

Разложение многочлена на множители по формуле разности кубов двух выражений

Произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы равно разности кубов этих выражений:

Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим формулу, называемую разностью кубов двух выражений:

Эта формула позволяет разложить выражение вида a 3 − b 3 на множители (a − b) и (a 2 + ab + b 2 ) .

Пример 1. Разложить на множители многочлен 64x 3 − 27y 3

Представим члены 64x 3 и 27y 3 в виде одночленов, возведённых в куб:

Теперь воспользуемся формулой разности кубов. Переменная a в данном случае равна 4x , переменная b равна 3y

Пример 2. Разложить на множители многочлен 64 − 27

Представим члены 64 и 27 в виде одночленов, возведённых в куб:

64 − 27 = 4 3 − 3 3 = (4 − 3)(16 + 12 + 9)

Пример 3. Разложить на множители многочлен 125x 3 − 1

Представим члены 125x 3 и 1 в виде одночленов, возведённых в куб:

Теперь воспользуемся формулой разности кубов. Переменная a в данном случае равна 5x , переменная b равна 1

Разложение многочлена на множители различными способами

К некоторым многочленам можно применять различные способы разложения на множители. Например, к одному многочлену можно применить способ вынесения общего за скобки, а затем воспользоваться одной из формул сокращённого умножения.

Пример 1. Разложить на множители многочлен ax 2 − ay 2

В данном многочлене содержится общий множитель a . Вынесем его за скобки:

При этом в скобках образовался многочлен, который является разностью квадратов. Применив формулу разности квадратов. Тогда получим:

Пример 2. Разложить на множители многочлен 3x 2 + 6xy + 3y 2

Вынесем за скобки общий множитель 3

В скобках образовался многочлен, который является квадратом суммы двух выражений, а именно выражений x и y . Тогда этот квадрат суммы можно представить как (x + y) 2 и далее записать в виде двух сомножителей, каждый из которых равен (x + y)

Источник