Понятие множества. Способы задания множеств.
Данная тема содержит немало терминологии, поэтому я добавлю содержание темы, которое позволит легче ориентироваться в материале.
Начнём с того, что же, собственно, понимать под словом «множество». На интуитивном уровне под множеством понимают некую совокупность объектов, именуемых элементами множества. Например, можно говорить о множестве груш на столе, множестве букв в слове «множество» и так далее. Георг Кантор (немецкий математик, основатель современной теории множеств) писал, что под «множеством я понимаю вообще всё то многое, которое возможно мыслить как единое, т.е. такую совокупность определённых элементов, которая посредством одного закона может быть соединена в одно целое». Некоторое время понятие множества, введённое Кантором, полагалось довольно очевидным и не требующим дополнительных пояснений. Казалось, что появление работ Больцано, а затем и Кантора в конце 19 — начале 20 века, положит конец многим вопросам (например, окончательно разрешит апории Зенона, разрешит проблему бесконечности и т.д.) и станет началом новой математики. Гениальный немецкий математик Давид Гильберт отмечал, что «Никто не изгонит нас из рая, созданного Кантором».
Однако появление парадоксов (Рассел, Бурали-Форти) положило конец «канторовскому раю». Одна из формулировок парадокса Рассела, известная под названием «парадокс брадобрея» звучит так: в некотором селе брадобрей бреет тех и только тех жителей села, которые не бреются сами. Кто же тогда бреет самого брадобрея? Допустим, он бреет себя самостоятельно. Т.е. он принадлежит к тем жителям села, которые бреются сами, – а ведь согласно условию этих жителей брадобрей не имеет права брить. Следовательно, допущение о том, что брадобрей бреется сам, приводит к противоречию. Попробуем иначе: пусть брадобрей не бреется сам. Если он сам не бреется, то согласно условию его обязан брить брадобрей – вновь противоречие! Были предприняты попытки разрешить противоречия теории множеств, предложенной Кантором. Саму канторовскую теорию множеств математики назвали «наивной». Целью многих математических трудов стало построение такой системы аксиом, в которой подобные парадоксы были бы невозможны. Но задача оказалась не столь уж проста. На данный момент, насколько мне известно, единой аксиоматики теории множеств нет. Наиболее распространенной считается система аксиом Цермело-Френкеля (ZFC), в которой особняком стоит так называемая «аксиома выбора». Есть и вариации этой системы: например, автор B-метода Жан-Раймонд Абриал предложил типизированную теорию множеств, на основании которой создал формальный метод разработки программ.
Обозначение множеств. Принадлежность элемента множеству. Пустое множество.
Обычно множества записываются в фигурных скобках. Например, множество всех гласных букв русского алфавита будет записано так:
А множество всех целых целых чисел, больших 8, но меньших 15, будет таким:
Множество может вообще не содержать ни одного элемента. В этом случае его именуют пустым множеством и обозначают как $\varnothing$.
Чаще всего в математической литературе множества обозначаются с помощью больших букв латинского алфавита. Например:
Есть и устоявшиеся обозначения определённых множеств. Например, множество натуральных чисел принято обозначать буквой $N$; множество целых чисел – буквой $Z$; множество рациональных чисел – буквой $Q$; множество всех действительных чисел – буквой $R$. Есть и иные устоявшиеся обозначения, но к ним мы станем обращаться по мере необходимости.
Например, указанное выше множество $A=\<0, 5, 6, -9 \>$ – конечное множество, ибо содержит 4 элемента (т.е. конечное число элементов). Множество натуральных чисел $N$ является бесконечным. Вообще говоря, мы не всегда можем сразу с уверенностью сказать, бесконечно некое множество или нет. Например, пусть $F$ – множество простых чисел.
Простыми числами именуют такие натуральные числа большие 1, которые делятся лишь на 1 или на самое себя. Например, 2, 3, 5, 7 и так далее. Для сравнения: число 12 не является простым числом, так как оно делится не только на 12 и 1, а ещё и на иные числа (например, на 3). Число 12 является составным.
Возникает вопрос: бесконечно множество $F$ или нет? Существует ли наибольшее простое число? Для ответа на этот вопрос понадобилась целая теорема, доказанная Эвклидом, о том, что множество простых чисел – бесконечно.
Например, так как конечное множество $A=\<0, 5, 6, -9 \>$ содержит 4 элемента, то мощность множества $A$ равна 4, т.е. $|A|=4$.
Если нам известно, что некий объект $a$ принадлежит множеству $A$, то записывают это так: $a\in A$. Например, для вышеуказанного множества $A$ можно записать, что $5\in A$, $-9\in A$. Если же объект $a$ не принадлежит множеству $A$, то обозначается это следующим образом: $a\notin A$. Например, $19\notin A$. Кстати, сказать, элементами множеств могут быть и иные множества, например:
Элементами множества $M$ являются числа -9, 1, 0, а также множество $ \< a,\; g\>$ и пустое множество $\varnothing$. Вообще, для упрощения восприятия множество можно представлять как портфель. Пустое множество – пустой портфель. Эта аналогия пригодится чуть далее.
Подмножество. Универсальное множество. Равенство множеств. Булеан.
Например, рассмотрим множества $K=\< -9,5\>$ и $T=\<8,-9,0,5,p, -11\>$. Каждый элемент множества $K$ (т.е. -9 и 5) является также элементом множества $T$. Следовательно, множество $K$ есть подмножество множества $T$, т.е. $K\subseteq T$.
Так как все элементы любого множества $A$ принадлежат самому множеству $A$, то множество $A$ является подмножеством самого множества $A$. Пустое множество $\varnothing$ является подможеством любого множества. Т.е. для произвольного множества $A$ верно следующее:
$$A\subseteq A; \; \varnothing\subseteq A.$$
Введём ещё одно определение – универсальное множество.
Иными словами, универсум содержит в себе элементы всех множеств, которые рассматриваются в рамках некоей задачи. Например, рассмотрим такую задачу: проводится опрос студентов некоей академгруппы. Каждому студенту предлагается указать мобильных операторов РФ, сим-карты которых он использует. Данные этого опроса можно представить в виде множеств. Например, если студент Василий использует сим-карты от МТС и Life, то можно записать следующее:
Подобные множества можно составить для каждого студента. Универсумом в этой модели будет множество, в котором перечислены все операторы России. В принципе, в качестве универсума можно взять также множество, в котором перечислены все операторы СНГ, а также множество всех мобильных операторов мира. И это не будет противоречием, ибо любой оператор России входит в множество операторов как СНГ, так и всего мира. Итак, универсум определяется только в рамках некоей конкретной задачи, при этом зачастую можно рассмотреть несколько универсальных множеств.
Определение равенства множеств можно записать и по-иному: если $A\subseteq B$ и $B\subseteq A$, то $A=B$.
Рассмотрим пару множеств: первое будет $\<\Delta, k \>$, а второе – $\
Рассмотрим ещё пару множеств: $X=\
Используя понятие равенства множеств, можно классифицировать подмножества.
Если же некое подмножество множества $A$ совпадает с самим множеством $A$, то это подмножество называют несобственным. Иными словами, множество $A$ является несобственным подмножеством самого множества $A$.
Например, для рассмотренных выше множеств $K=\< -9,5\>$ и $T=\<8,-9,0,5,p, -11\>$ имеем: $K\subseteq T$, при этом $K\neq T$. Следовательно, множество $K$ является собственным подмножеством множества $T$, что записывается как $K\subset T$. Можно сказать и так: множество $K$ строго включено в множество $T$. Запись $K\subset T$ более конкретна, нежели $K\subseteq T$. Дело в том, что записывая $K\subset T$ мы гарантируем, что $K\neq T$. В то время как запись $K\subseteq T$ не исключает случая равенства $K=T$.
Примечание относительно терминологии: показать\скрыть
Вообще говоря, тут есть некая путаница в терминологии. Приведённое выше определение несобственных множеств принято в американской и части отечественной литературы. Однако в другой части отечественной литературы есть несколько иная трактовка понятия несобственных множеств.
Иными словами, пустое множество в такой трактовке исключается из собственных подмножеств и переходит в разряд несобственных. Выбор терминологии – дело вкуса.
Пусть множество $A$ содержит $n$ элементов. Булеан множества $A$ содержит $2^n$ элементов, т.е.
Рассмотрим пару примеров на использование введённых выше понятий.
Из предложенного списка выберите те утверждения, которые являются верными. Ответ аргументируйте.
- Нам заданы два множества: $\<-3,5, 9 \>$ и $\<-3, 9, 8, 5, 4, 6 \>$. Каждый элемент первого множества является также элементом второго множества. Следовательно, первое множество есть подмножество второго, т.е. $\<-3,5, 9 \>\subseteq \<-3, 9, 8, 5, 4, 6 \>$. Утверждение первого пункта – верное.
- В первом пункте мы выяснили, что $\<-3,5, 9 \>\subseteq \<-3, 9, 8, 5, 4, 6 \>$. При этом данные множества не равны между собой, т.е. $\<-3,5, 9 \>\neq \<-3, 9, 8, 5, 4, 6 \>$. Значит, множество $\<-3,5, 9 \>$ является собственным (в иной терминологии строгим) подмножеством множества $\<-3, 9, 8, 5, 4, 6 \>$. Этот факт записывается как $\<-3,5, 9 \>\subset \ <-3, 9, 8, 5, 4, 6 \>$. Итак, утверждение второго пункта истинно.
- Множество $\<-3,5, 9 \>$ не является элементом множества $\<-3, 9, 8, 5, 4, 6 \>$. Утверждение третьего пункта ложно. Для сравнения: утверждение $\<-3,5, 9 \>\in \<9, 8, 5, 4, \<-3,5,9\>, 6 \>$ истинно.
- Пустое множество является подможеством любого множества. Поэтому утверждение $\varnothing \subseteq \varnothing$ истинно.
- Утверждение ложно. Множество $\varnothing$ не содержит элементов, а множество $\<\varnothing \>$ содержит один элемент, посему равенство $\varnothing=\<\varnothing \>$ неверно. Чтобы это было нагляднее, можно обратиться к той аналогии, что я описал выше. Множество – это портфель. Пустое множество $\varnothing$ – пустой портфель. Множество $\<\varnothing \>$ – портфель, внутри которого лежит пустой портфель. Естественно, что пустой портфель и непустой портфель, внутри которого нечто есть – разные портфели 🙂
- Пустое множество не содержит элементов. Ни единого. Поэтому утверждение $\varnothing \in \varnothing$ ложно. Для сравнения: утверждение $\varnothing\in\<\varnothing \>$ истинно.
- Множество $A$ содержит 4 элемента, а именно: 9, -5, 8 и $\<7, 6 \>$. Поэтому мощность множества $A$ равна 4, т.е. $|A|=4$. Следовательно, утверждение о том, что $|A|=5$ – ложно.
Ответ: Утверждения в пунктах №1, №2, №4 – истинны.
Записать булеан множества $A=\<-5,10,9\>$.
Множество $A$ содержит 3 элемента. Иными словами: мощность множества $A$ равна 3, $|A|=3$. Следовательно, множество $A$ имеет $2^3=8$ подмножеств, т.е. булеан множества $A$ будет состоять из восьми элементов. Перечислим все подмножества множества $A$. Напомню, что пустое множество $\varnothing$ является подмножеством любого множества. Итак, подмножества таковы:
Напомню, что подмножество $\<-5, 10, 9 \>$ является несобственным, так как совпадает с множеством $A$. Все остальные подмножества – собственные. Все записанные выше подмножества являются элементами булеана множества $A$. Итак:
Булеан найден, остаётся лишь записать ответ.
Способы задания множеств.
Первый способ – это простое перечисление элементов множества. Естественно, такой способ подходит лишь для конечных множеств. Например, с помощью данного способа множество первых трёх натуральных чисел будет записано так:
Часто в литературе можно встретить обозначения такого характера: $T=\<0,2,4,6,8, 10, \ldots \>$. Здесь множество задаётся не перечислением элементов, как кажется на первый взгляд. Перечислить все чётные неотрицательные числа, которые и составляют множество $T$, невозможно, ибо этих чисел бесконечно много. Запись вида $T=\<0,2,4,6,8, 10, \ldots \>$ допускается только тогда, когда не вызывает разночтений.
Второй способ – задать множество с помощью так называемого характеристического условия (характеристического предиката) $P(x)$. В этом случае множество записывается в таком виде:
Запись $\
$$P(x)=»x\; – \;натуральное\; число,\; последняя\; цифра\; которого \;равна\; 7″$$
Подставим в это высказывание вместо $x$ число 27. Мы получим:
$$P(27)=»27\; – \;натуральное\; число,\; последняя\; цифра\; которого \;равна\; 7″$$
Это истинное высказывание, так как 27 действительно является натуральным числом, последняя цифра которого равна 7. Подставим в это высказывание число $\frac<2><5>$:
$$P\left(\frac<2><5>\right)=»\frac<2><5>\; – \;натуральное\; число,\; последняя\; цифра\; которого \;равна\; 7″$$
Это высказывание ложно, так как $\frac<2><5>$ не является натуральным числом. Итак, для некоторых объектов $x$ высказывание $P(x)$ может быть ложно, для некоторых – истинно (а для некоторых вообще не определено). Нас будут интересовать лишь те объекты, для которых высказывание $P(x)$ будет истинно. Именно эти объекты и образуют множество, заданное с помощью характеристического условия $P(x)$ (см. пример №3).
Третий способ – задать множество с помощью так называемой порождающей процедуры. Порождающая процедура описывает, как получить элементы множества из уже известных элементов или неких иных объектов (см. пример №4).
Записать множество $A=\
Множество $A$ теперь задано с помощью перечисления элементов.
Описать элементы множества $M$, которое задано такой порождающей процедурой:
- $3\in M$;
- Если элемент $x\in M$, то $3x\in M$.
- Множество $M$ – является подмножеством любого множества $A$, удовлетворяющего условиям №1 и №2.
Давайте пока оставим в покое условие №3 и посмотрим, какие элементы входят в множество $M$. Число 3 туда входит согласно первому пункту. Так как $3\in M$, то согласно пункту №2 имеем: $3\cdot 3\in M$, т.е. $9\in M$. Так как $9\in M$, то согласно пункту №2 получим: $3\cdot 9\in M$, т.е. $27\in M$. Так как $27\in M$, то по тому же пункту №2 имеем: $81\in M$. Короче говоря, построенное множество 3, 9, 27, 81 и так далее – это натуральные степени числа 3.
$$3^1=1; \; 3^2=9; \; 3^3=27; \; 3^4=81;\; \ldots$$
Итак, кажется, что искомое множество задано. И выглядит оно так: $\<3,9,27,81,\ldots \>$. Однако действительно ли условия №1 и №2 определяют только это множество?
Рассмотрим множество всех натуральных чисел, т.е. $N$. Число 3 – натуральное, посему $3\in N$. Вывод: множество $N$ удовлетворяет пункту №1. Далее, для любого натурального числа $x$ множество $N$ содержит также и число $3x$. Например, 5 и 15, 7 и 21, 13 и 39 и так далее. Значит, множество $N$ удовлетворяет условию №2. И, кстати сказать, не только множество $N$ удовлетворяет условиям №1 и №2. Например, множество всех нечётных натуральных чисел $N_1=\<1,3,5,7,9,11, \ldots\>$ тоже подходит под условия пунктов №1 и №2. Как же указать, что нам нужно именно множество $\<3,9,27,81,\ldots \>$?
Вот тут на помощь приходит пункт №3. Говоря огрублённо, он означает, что множество $M$ – наименьшее из всех возможных множеств. Так как множества $N$ и $\<3,9,27,81,\ldots \>$ удовлетворяют пунктам №1 и №2, но $N\nsubseteq \<3,9,27,81,\ldots \>$, то множество $N$ не удовлетворяет третьему пункту. Аналогично, так как $N_1\nsubseteq \<3,9,27,81,\ldots \>$, то множество $N_1$ также не удовлетворяет пункту №3. Можно показать (если это необходимо, отпишите мне на почту, я распишу подробнее), что всем трём пунктам удовлетворяет лишь множество $\<3,9,27,81,\ldots \>$, т.е.
Обычно при задании множества с помощью таких правил (которые часто называют рекурсивными или индуктивными) третий пункт подразумевается, но не оговаривается явно. Но нужно иметь его в виду.
Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).
Источник
