Что такое математика? Девять в периоде
Не секрет, что детьми лучше всего запоминается тот материал, который вызвал в их головах разрыв старых шаблонов и категорический отказ от принятия новых фактов. Но самое приятное в таких ситуациях, на наш взгляд, то, что вы чувствуете себя немножко Эйнштейном, раздвигающим горизонты сознания, но, в отличие от последнего, заставляющим (наконец-то!) вам не верить.
Выпуску 2013 от всего сердца
В конце концов, окружность бесконечно
большого круга и прямая линия — одно и то же.
Галилео Галилей
Слово «период» вызывает вполне определенную ассоциацию в головах у граждан, утомленных суровой окружающей действительностью. А именно — «время». То есть они, эти граждане, на вопрос «С чем ассоциируется слово “период”», как заведенные твердят: «время». Рассчитывать на фантазию, в общем-то, не приходится.
Как же заставить работать обленившееся в связи с ускоряющимся прогрессом правое полушарие? И тут спешит на помощь великая и ужасная МАТЕМАТИКА! Да-да, слово напускает страху на неокрепшую психику не менее живо, нежели сама математичка с треугольником в руке.
Но необходимо отметить, что именно эта почтенная дама (или уважаемый джентльмен) в свое время отчаянно пыталась обогатить ваш словарный запас, объясняя, что словом «период» можно назвать не только промежуток времени, но и «бесконечно повторяющуюся группу цифр» после запятой в записи десятичной дроби. И такие дроби называются периодическими.
Изнуренные средним образованием граждане, скорее всего, ведают, что любую обыкновенную дробь можно записать в виде десятичной — конечной или бесконечной. При этом в последнем случае и происходит чудесное явление периода.
Например, если долго делить «столбиком» два на три, то получится следующее:
2/3 = 2 : 3 = 0,666… = 0,(6).
Обратный процесс не менее увлекателен. Если возникает непреодолимое желание перевести периодическую дробь в обыкновенную, то стоит предпринять такие действия:
Поклон. Аплодисменты. Занавес. Все в восторге собираются расходиться. И тут — ехидный голос училки:
— А переведите мне, дорогие мои детишечки, 0,(9) в обыкновенную дробь.
Да проще пареной репы! По образцу работать — антресоли заполнять не надо:
пусть x = 0,(9), тогда 10x = 9,(9). Вычтем из второго уравнения первое:
10x – x = 9,(9) – 0,(9), то есть 9x = 9. Откуда x = 1. Значит, 0,(9) = 1.
В этом месте, как правило, возникает когнитивный диссонанс в головах отроков, доселе уныло взирающих на доску. Потому как среди прочего они видят:
0,(9) = 1.
Кто-то тоскливо подумал о том, что он так и знал, что учителям верить нельзя. Кто-то заплакал и выбежал. Некоторые счастливцы не слушали, поэтому сохранили свой мозг в девственной чистоте и продолжают пребывать в неведении относительно разразившейся катастрофы в головах коллег.
И тут голос, как из преисподней:
— Не верите мне? АХАХАХАХАХ А я вам сейчас с помощью суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии докажу.
И на доске возникает примерно следующее:
Как страшно жить! Если учитель при этом вздумал упомянуть о том, что можно доказать это равенство, используя понятие предела, то он — садист. Если еще проскользнуло что-то вроде «а это — бесконечно малое», то, вообще, монстр.
Оставляя российскому образованию радость разбираться с мучителями детей, необходимо сделать вывод относительно вышеописанных результатов.
Если в вашей обычной повседневной жизни вам потребуется выполнить какую-нибудь интересную, но, скорее всего, странную работу, поскольку вы будете манипулировать с 0,(9), то помните, что это — 1.
Всем — спасибо! Все свободны!
Спасибо за Вашу оценку. Если хотите, чтобы Ваше имя
стало известно автору, войдите на сайт как пользователь
и нажмите Спасибо еще раз. Ваше имя появится на этой стрнице.
Понравился материал?
Хотите прочитать позже?
Сохраните на своей стене и
поделитесь с друзьями
Вы можете разместить на своём сайте анонс статьи со ссылкой на её полный текст
Ошибка в тексте? Мы очень сожалеем,
что допустили ее. Пожалуйста, выделите ее
и нажмите на клавиатуре CTRL + ENTER.
Кстати, такая возможность есть
на всех страницах нашего сайта
Источник
Построение графиков функций
О чем эта статья:
11 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Понятие функции
Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.
Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:
- Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
- Графический способ — наглядно.
- Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
- Словесный способ.
Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.
Например, для функции вида 
область определения выглядит так
- х ≠ 0, потому что на ноль делить нельзя. Записать можно так: D (y): х ≠ 0.
Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.
Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.
Понятие графика функции
Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.
График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.
Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.
Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.
В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.
Отметим любые три точки на координатной плоскости, например: L (-2; -2), M (0; 0) и N (1; 1).
Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:
Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.
Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.
Исследование функции
Важные точки графика функции y = f(x):
- стационарные и критические точки;
- точки экстремума;
- нули функции;
- точки разрыва функции.
Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.
Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.
Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.
Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.
Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.
Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке: 
Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.
Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.
Схема построения графика функции:
- Найти область определения функции.
- Найти область допустимых значений функции.
- Проверить не является ли функция четной или нечетной.
- Проверить не является ли функция периодической.
- Найти нули функции.
- Найти промежутки знакопостоянства функции, то есть промежутки, на которых она строго положительна или строго отрицательна.
- Найти асимптоты графика функции.
- Найти производную функции.
- Найти критические точки в промежутках возрастания и убывания функции.
- На основании проведенного исследования построить график функции.
при х ≠ -1.
, т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.
, т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b | x | y |
| 0 | -1 |
| 1 | 2 |
Как видим, k = 3 > 0 и угол наклона к оси Ox острый, b = -1 — смещение по оси Oy.
| x | y |
| 0 | 2 |
| 1 | 1 |
k = -1 > 0 и b = 2 можно сделать аналогичные выводы, как и в первом пункте.
| x | y |
| 0 | 0 |
| 1 | 2 |
k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.
k = 0 — константная функция, прямая проходит через точку b = -1 и параллельно оси Ox.
Задача 5. Построить график функции 
Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.
Нули функции: 3, 2, 6.
Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.
Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.
Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.
Вот так выглядит график:
Задача 6. Построить графики функций:
б) 
г) 
д) 
Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.
а) 
Преобразование в одно действие типа f(x) + a.
Сдвигаем график вверх на 1:
б)
Преобразование в одно действие типа f(x — a).
Сдвигаем график вправо на 1:
В этом примере два преобразования, выполним их в порядке действий: сначала действия в скобках f(x — a), затем сложение f(x) + a.
Сдвигаем график вправо на 1:
Сдвигаем график вверх на 2:
г) 
Преобразование в одно действие типа 
Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:
д) 
Мы видим три преобразования вида f(ax), f (x + a), -f(x).
Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.
Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:
Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:
Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:
Источник
