Математические способы описания систем

Рассмотренные на предыдущей лекции примеры свидетельствуют о том, что абстрактная характеристика данной системы может быть получена с помощью полезных типов математического описания. Однако при этом естественно возникает вопрос: а для чего вообще нужно какое-либо математическое описание? Ответ на этот вопрос в значительной степени связан с нетривиальностью современных научных результатов и необходимостью уметь выделять существенные свойства описательных моделей. Кроме того, использование именно математического описания обусловлено следующими важными соображениями:

Компактность. Словесное (или вербальное) описание системы (или процесса), как правило представляет собой нагромождение нечетких высказываний, которые лишь затуманивают существо дела. Избавиться от таких нечетких и не до конца продуманных соображений помогает компактная математическая символика. Математическое описание дает нам аналог знакомой картины и оказывается информативнее любого словесного описания.
Ясность. Использование математического описания позволяет каждому аспекту изучаемого процесса поставить в соответствие определенный математический символ, в результате чего становится нагляднее взаимосвязь, существующая между различными параметрами процесса. Более того, подобное сопоставление позволяет гораздо проще, чем словесное описание, установить, не были ли упущены какие-либо существенные переменные, или, напротив, не были ли внесены какие-либо дополнительные несущественные сложности при построении описания.

Возможность численного анализа. Как только сделан выбор какого-либо математического описания, последнее «начинает жить» собственной жизнью, более или менее независимой от самого исследуемого процесса.

Другими словами, математическим описанием можно манипулировать в соответствии с обычными законами логики в надежде получить нетривиальное представление о самой системе. Кроме того, математическая модель дает основу для численного анализа, с помощью которого могут быть получены данные не только описательного, но и прогностического характера. Рассмотрим кратко некоторые типы математического описания, которые чаще других используются в математических конструкциях больших систем.

Внутреннее описание

Со времен Ньютона динамические процессы описывали на языке дифференциальных (или разностных) уравнений, т.е. в терминах некоторых естественно выбранных переменных, таких как положение, температура, скорость и т.д. В общем виде такое описание может быть представлено как:

dz/dt = f[z(t), x(t), t], z(0) = z₀, y(t) = h[z(t), x(t), t],

где z(t) — n-мерный вектор, компоненты которого описывают состояние системы в момент времени t; y(t) — p-мерный вектор наблюдаемых выходов системы; x(t) — m-мерный вектор входов системы, z₀ — начальное состояние системы.

В дискретном времени динамика системы может быть описана с помощью разностных соотношений z(k+1) = F[z(k), x(k), k], z(0) = z₀, y(k) = H[z(k), x(k), k].

Наиболее важным свойством такого описания является то, что оно дает нам представление о поведении системы в некоторой локальной окрестности текущего состояния. При этом неявно предполагается, что локальная информация может быть каким-то образом «собрана воедино», что позволит понять глобальное (во времени или пространстве) поведение системы. Такой подход оказался достаточно обоснованным для анализа многих физических и технических задач. Простые примеры локального описания можно найти в элементарной физике. Известно, например, что колебательное движение груза (маятника) единичной массы, подвешенного на нерастяжимой и невесомой нити единичной длины, описывается уравнением (4.1):

d 2 z/dt 2 + a⋅dz/dt + sin(z) = x(t)

где а — коэффициент трения, x(t) — внешня сила, действующая на груз, z(t) — отклонение груза от положения равновесия.

Таким образом, уравнение (4.1) описывает мгновенное изменение положения и скорости маятника как функцию его текущего состояния (положения) и скорости, т.е. мы имеем локальное описание в координатах «положение-скорость», что характерно для всех описаний динамических процессов на языке дифференциальных или разностных уравнений.

Интересно отметить, что математические описания такого типа начали использовать только со времен Ньютона. До этого при описания физических процессов придерживались точки зрения, высказанной Аристотелем, согласно которой важность целого превыше важности его составляющих. Другими словами, значимость элементов, составляющих некоторое множество, трактовалась через значимость самого множества как целого. Однако возможность использования такого подхода в случае менее изученных объектов, в особенности систем социально-экономической природы, вовсе не очевидна.

Взгляды Аристотеля господствовали в физике на протяжении многих столетий, пока Галилей не высказал иную точку зрения, которая впоследствии была обоснована Ньютоном: целое объясняется свойствами его элементарных (локальных) составляющих, так называемый холистский подход. Сложность современной жизни, проявляющаяся в политике, экономике, социологии стимулирует возрождение интереса к холистским теориям.

Внешнее описание

Тип математического описания, с которым чаще всего приходится иметь дело ученому-экспериментатору, — это связь «вход-выход». Во многих отношениях такое описание диаметрально противоположно частному, локальному описанию, поскольку оно не содержит деталей и единственным доступным источником информации является закономерность (отображение), связывающая выходы системы с ее входами. При этом ничего не известно о внутреннем механизме преобразования входов в выходы. По этой причине связь вход-выход часто называют «внешним описанием» системы в отличие от «внутреннего» (или локального) описания (см. рис.4.1).

Внутреннее и внешнее описания позволяют рассматривать систему как устройство, образующее входы и выходы в соответствии с правилами, определенными внутренним описанием. Иными словами, система является информационным процессом в некотором обобщенном смысле.

Рис.4.1 — Внешнее и внутреннее описание системы

Очевидно, что внутреннее описание говорит нам гораздо больше о способе действия системы, поскольку каждое такое описание порождает внешнее описание. Тем не менее построение модели системы часто связано с решением диаметрально противоположного вопроса: может ли внутренняя модель «объяснить» каждое внешнее описание? Ответом на этот вопрос по существу является решение так называемой «задачи реализации», которая представляет собой один из важнейших аспектов теории систем.

Наиболее «сырая» возможная ситуация, при которой возникает необходимость в описании типа «вход-выход», имеет место, когда мы располагаем всего лишь таблицей элементов (часто чисел), характеризующих реакцию (выходы) системы на различные внешние воздействия (входы). В этом случае внешнее описание системы эквивалентно отображению:

где через X обозначено множество возможных входов, а через Y множество возможных выходов системы. Как отмечалось во многих задачах (в частности, психологии, экономики и общественных наук) множества X и Y представляют собой конечный набор элементов, связь между которыми описывается с помощью функции f.

Пример

Предположим, что эксперт, изучающий «черный» ящик не имеет ни малейшего представления ни о его природе, ни о его содержимом. Вместе с тем эксперт может производить над ним некоторые действия (входы) и наблюдать их результаты (выходы). Предположим для определенности, что

элементами множества X и множества Y являются показания различных измерительных приборов. Тогда описание эксперимента типа «вход-выход» могло бы быть таким:

Время	Вход	Выход
10:05	Эксперт не производит никаких действий	Прибор издает звуковой сигнал частотой 240 Гц
10:06	Эксперт нажал на кнопку «A»	Частота сигнала возросла до 480 Гц
10:07	Эксперт случайно нажал на кнопку «B»	Ящик нагрелся на 20°C и начал вибрировать

Этот довольно тривиальный пример показывает, что входы и выходы системы являются функциями времени, т.е. нельзя один и тот же эксперимент провести дважды! Единственное, что можно сделать, — это провести следующий эксперимент, который хотя и незначительно, но будет отличаться от предыдущего.

Менее тривиальный пример внешнего описания системы дает «бихевиористская» школа психологов, для которой характерным является проведение эксперимента и запись его результатов в формате «воздействие-реакция». По мнению представителей этой школы, такое внешнее описание системы дает максимум информации, которую вообще можно получить о ее структуре и функционировании. В то же время «познавательная» школа придерживается другой точки зрения, утверждая, что единственным удовлетворительным описанием системы может быть только внутренняя модель.

Основываясь на довольно общих результатах теории систем, можно показать, что это спор ни о чем. Обе школы, в сущности, утверждают одно и то же, и с точки зрения теории систем эти дебаты столь же содержательны, как и дискуссии относительно того, какая сторона монеты наиболее полно отражает ее стоимость.

Описание систем с конечным числом состояний

В тех случаях, когда предположение конечномерности пространства состояний заменяется предположением о конечности числа его элементов, мы имеем дело с классом систем, анализ которых возможен с помощью чисто алгебраических методов. Важность такой замены трудно переоценить, поскольку совокупность систем с конечным числом состояний включает все последовательные цифровые вычислительные машины.

Математическое описание системы с конечным числом состояний включает:

множество допустимых входов — X,
множество допустимых выходов — Y,
множество состояний — Z,
функцию перехода — : Z X Z,
функцию выхода — : Z X Y,

При этом предполагается, что множества X, Y и Z конечны. Это позволяет представить описание системы в виде:

В литературе такое представление часто называют схематическим.

Как отмечалось, ограничения вычислительного характера с неизбежностью вынуждают нас явно или неявно сводить каждую системную задачу к виду, указанному выше. Поэтому необходимы тщательное изучение и понимание алгебраической структуры подобных «конечных» описаний, которая основывается на теории конечных полугрупп. Рассмотрение этой теории выходит за рамки настоящего курса лекций.

Пример

Пусть система состоит из симметрий вращения правильного треугольника. Тогда некоторые возможные конечные пространства состояний могут иметь вид:

Рис.4.2 — Конечные пространства

Для описания системы достаточно любого из этих пространств состояний, однако только некоторые из них удобнее использовать для вычислений результата воздействия на состояние системы. Следовательно, пространство состояний вовсе не обязательно должно быть непосредственно привязано к реальному физическому процессу. Это чисто математическая условность, введенная для упрощения проблемы определения реакции системы на заданные внешние воздействия.

Пусть имеются два возможных отображения σ₁ и σ₂, переводящие одно состояние системы в другое и соответствующие повороту треугольника вокруг центра тяжести на 120 и 240 градусов соответственно. Результаты применения этих отображений к различным пространствам состояний можно представить в виде таблицы:

z_i	σ₁(z_i)	σ₂(z_i)
z₁ →	[a, b, c] [c, a, b] [b, c, a]	[c, a, b] [b, c, a] [a, b, c]	[b, c, a] [a, b, c] [c, a, b]
z₂ →	0 2π/3 4π/3	2π/3 4π/3 0	4π/3 0 2π/3
z₃ →	0 1 2	1 2 0	2 0 1

Пространство z₁ на первый взгляд излишне сложное, оказывается вполне пригодным для более сложных систем, например в случае симметрий более общего вида, где могут присутствовать отображения типа σ. В то же время пространства z₂ и z₃ не допускают очевидных обобщений на более сложные случаи с сохранением простоты вычислений.

Способ выбора конкретного пространства состояний системы называется ее координатизацией. При этом важно установить, всегда ли существует координатизация, которую можно считать «хорошей» с точки зрения описания поведения системы. Ключевым моментом проблемы координатизации является алгебраическая структура модели системы в пространстве состояний.

Источник

Система. Элементы системы. Математические модели динамических систем. Входные воздействия. Математическое описание объектов или систем с помощью графов. Математическое описание многомерных объектов или систем

Страницы работы

Содержание работы

Балаковский институт техники, технологии и управления (филиал)

ГОУ ВПО Саратовский государственный технический университет

по дисциплине «МОТС»

специальности 220201.65-Управление и информатика в технических системах

для студентов очной формы обучения

Автор: к.т.н. доцент Ефремова Т.А.

Система. Элементы системы. 1

Способы математического описания систем. 2

Воздействия и сигналы. 4

Классификация САУ. 5

Математические модели динамических систем. 7

Линейные динамические системы. 9

Передаточная функция системы. 11

Операторная форма записи передаточной функции. 11

Стандартная форма записи передаточной функции. 12

Передаточная функция в форме изображений по Лапласу. 13

Частотная форма записи передаточной функции. 15

Входные воздействия. 15

Сведение входных воздействий к типовым. 19

Структурные схемы и их преобразования. 20

Математическое описание объектов или систем с помощью графов. 20

Математическое описание дискретных динамических систем или элементов. 24

Описание дискретных систем с помощью дискретных передаточных функций. 31

Передаточная функция дискретной системы. 32

Математическое описание многомерных объектов или систем. 35

Передаточная функция многомерной системы. 37

Анализ систем автоматического управления. 38

Анализ устойчивости. 38

Анализ качества. 40

Косвенные оценки качества. 41

Математическое описание стохастических систем. 42

Свойства функции распределения вероятности: 43

Плотность распределения вероятности. 44

Свойства функции и плотности распределения вероятности многомерной случайной величины. 46

Числовые характеристики случайной величины. 47

Числовые характеристики для случайных функций или процессов. 49

Стационарные случайные функции или процессы. 50

Эргодические случайные функции или процессы. 50

Прохождение случайного сигнала через линейную непрерывную систему. 50

ЛЕКЦИЯ 1.

СИСТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ СИСТЕМЫ.

Цель. Изучение систем и элементов систем.

1. Изучить способы математического описания систем управления;

2. Изучить классификацию систем управления;

3. Изучить виды воздействий на системы.

Система – это совокупность элементов, взаимодействующих между собой и, обладающие свойствами, отличными от свойств элементов.

Система автоматического управления – это совокупность объекта управления и устройства управления.

Объект управления (ОУ) – это устройство, требуемый режим работы которого должен поддерживаться извне с помощью некоторых управляющих воздействий.

Устройство управления (УУ) – это устройство, поддерживающее требуемый режим работы объекта управления.

При математическом описании систем используется 2 возможных вида рассмотрения систем:

1. Анализ системы – то есть определение свойств спроектированной системы.

2. Синтез системы – это проектирование системы по заданным свойствам.

Способы математического описания систем.

В этом случае составляются математические модели отдельных элементов системы и не учитываются взаимосвязи между этими элементами.

Математическая модель системы представляет собой совокупность математических моделей или математических описаний элементов и математических описаний и моделей связей между элементами.

Математической моделью системы является набор дифференциальных, интегральных, алгебраических и конечно-разностных уравнений.

Описание динамических систем производится с помощью дифференциальных уравнений.

При описании системы с сосредоточенными параметрами используют обыкновенные дифференциальные уравнения, а системы с распределенными параметрами – дифференциальные уравнения с частными производными.

При математическом описании процессов различной физической природы могут использоваться одни и те же уравнения.

Рассмотрим математическое описание двух различных процессов.

1. Колебание маятника.

Процесс колебания маятника можно описать с помощью дифференциального уравнения 2 порядка:

2. Электрический колебательный контур.

Процессы, происходящие в контуре можно описать с помощью дифференциального уравнения второго порядка:

Введем обозначения. Обозначим через:

— коэффициент при 2 производной

— коэффициент при 1 производной

— коэффициент при самой функции

— изменяемая величина.

В результате и для первой и второй системы получим следующее дифференциальное уравнение.

В том случае если на систему извне подается некоторое воздействие x(t), то уравнение примет вид:

Воздействия и сигналы.

Рассмотрим некоторую систему и воздействие, оказываемое на нее. Воздействия являются переменными системы. Состояние системы в любой момент времени можно описать с помощью следующих воздействий:

— задающее воздействие x(t) – это планируемое воздействие на систему.

— управляющее воздействие u(t) – воздействие устройства управления на объект управления.

— возмущающее воздействие f(t) – это не планируемое воздействие на систему или элемент.

— выходной сигнал y(t) – это величина, характеризующая состояние объекта управления.

— внутреннее состояние системы z(t) – это воздействие одной системы на другую.

Классификация САУ.

Все САУ можно разделить на:

1. линейные и нелинейные.

Линейные системы – это системы, которые можно описать с помощью линейных уравнений.

Нелинейные системы – это системы, которые можно описать с помощью нелинейных уравнений.

2. непрерывные и дискретные.

Непрерывные системы – это системы, состояние которых задано на непрерывном множестве. Эти системы описываются с помощью алгебраических, дифференциальных, интегральных уравнений.

Для дискретных систем характерно наличие дискретных или импульсных элементов. При математическом описании таких систем используются конечно-разностные уравнения.

3. стационарные и нестационарные.

Стационарные системы описываются с помощью уравнений с постоянными коэффициентами.

4. с распределенными и с сосредоточенными параметрами.

Для описания систем с сосредоточенными параметрами используются обыкновенные дифференциальные уравнения; с распределенными – дифференциальные уравнения с частными производными.

5. детерминированные и стохастические.

Детерминированные системы – это системы, в которых отсутствуют случайные воздействия, и в этом случае в каждый момент времени есть только одно значение выходной величины; в стохастических системах, то есть в системах с наличием случайных воздействий выходная величина в каждый момент времени может принимать несколько различных значений.

6. статические и динамические.

Статические системы описываются однородными уравнениями, а динамические – неоднородными.

Источник