Любой угол hk можно совместить наложением с равным ему углом h1k1 двумя способами

Об аксиомах планиметрии (продолжение)

Чтобы выяснить этот смысл, заметим, что при наложении фигуры Ф на равную ей фигуру Ф₁, как мы представляем его наглядно, каждая точка фигуры Ф накладывается на некоторую точку фигуры Ф₁. Иначе говоря, каждая точка фигуры Ф сопоставляется некоторой точке фигуры Ф₁. Но мы можем сопоставить каждую точку фигуры Ф некоторой точке фигуры Ф₁ и без непосредственного наложения Ф на Ф₁ (рис. 374). Такое сопоставление называется отображением фигуры Ф на фигуру Ф₁ (при этом подразумевается, что каждая точка фигуры Ф₁ оказывается сопоставленной некоторой точке фигуры Ф). Под наложением фигуры Ф на фигуру Ф₁ мы понимаем отображение Ф на Ф₁. Более того, мы считаем, что при этом не только точки фигуры Ф, но и любая точка плоскости отображается на определённую точку плоскости, т. е. наложение — это отображение плоскости на себя.

Однако не всякое отображение плоскости на себя мы называем наложением. Наложения — это такие отображения плоскости на себя, которые обладают свойствами, выраженными в аксиомах (см. ниже аксиомы 7—13). Чтобы сформулировать эти аксиомы, введём понятие равенства фигур. Пусть Ф и Ф₁ — две фигуры. Если существует наложение, при котором фигура Ф отображается на фигуру Ф₁, то мы говорим, что фигуру Ф можно совместить наложением с фигурой Ф₁, или фигура Ф равна фигуре Ф^₁. Сформулируем теперь аксиомы о свойствах наложений.

7. Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки. 8. На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.

Это означает, что если даны какой-то отрезок АВ и какой-то луч h с началом в точке О, то на луче h существует, и притом только одна, точка С, такая, что отрезок АВ равен отрезку ОС.

9. От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол, равный данному неразвёрнутому углу, и притом только один.

Это означает, что если даны какой-то луч ОА и какой-то неразвёрнутый угол CDE, то в каждой из двух полуплоскостей с границей ОА существует, и притом только один, луч ОВ, такой, что угол CDE равен углу АОВ.

10. Любой угол hk можно совместить наложением с равным ему углом h1k1 двумя способами: 1) так, что луч h совместится с лучом h1, а луч k — с лучом k1; 2) так, что луч h совместится с лучом k1, а луч k — с лучом h1. 11. Любая фигура равна самой себе. 12. Если фигура Ф равна фигуре Ф1, то фигура Ф1 равна фигуре Ф. 13. Если фигура Ф1 равна фигуре Ф2, а фигура Ф2 равна фигуре Ф3, то фигура Ф, равна фигуре Ф3.

Как видно, все приведённые аксиомы соответствуют нашим наглядным представлениям о наложении и равенстве фигур и поэтому не вызывают сомнений.

Следующие две аксиомы связаны с измерением отрезков. Прежде чем их сформулировать, напомним, как измеряются отрезки.

Пусть АВ — измеряемый отрезок, PQ — выбранная единица измерения отрезков. На луче АВ отложим отрезок АА₁ = PQ, на луче A₁B — отрезок A₁A₂ = PQ и т. д. до тех пор, пока точка А_n не совпадёт с точкой В либо точка В не окажется лежащей между А_n и А_{n + 1}. В первом случае говорят, что длина отрезка АВ при единице измерения PQ выражается числом n (или что отрезок PQ укладывается в отрезке АВ n раз). Во втором случае можно сказать, что длина отрезка АВ при единице измерения PQ приближённо выражается числом n. Для более точного измерения отрезок PQ делят на равные части, обычно на 10 равных частей, и с помощью одной из этих частей измеряют описанным способом остаток А_nВ. Если при этом десятая часть отрезка PQ не укладывается целое число раз в измеряемом остатке, то её также делят на 10 равных частей и продолжают процесс измерения. Мы предполагаем, что таким способом можно измерить любой отрезок, т. е. выразить его длину при данной единице измерения конечной или бесконечной десятичной дробью. Это утверждение кратко сформулируем так:

Источник

Аксиомы геометрии

Аксиома — исходное положение о свойствах геометрических фигур, которое принимается без доказательства и на основе которого далее доказываются теоремы и вообще строится вся геометрия. Все аксиомы являются наглядно очевидными и не вызывают сомнений.

Геометрия, в которой сначала формулируются исходные положения — аксиомы, а затем на их основе путем логических рассуждений доказываются другие утверждения, называется евклидовой геометрией.

К аксиомам относятся следующие утверждения:

Аксиомы о взаимном расположении точек и прямой

1. Каждой прямой принадлежит по крайней мере две точки.
2. Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.
3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.
4. Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
5. Каждая точка О прямой разделяет ее на две части (два луча) так, что любые две точки одного и того же луча лежат по одну сторону от точки О, а любые две точки разных лучей лежат по разные стороны от точки О.
6. Каждая прямаяразделяет плоскость на две части (две полуплоскости) так, что любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от прямой, а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от прямой.

Аксиомы о наложении и равенстве фигур

1. Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки.
2. На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному и притом только один.
3. От любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный данномунеразвернутому углу, и притом только один.
4. Любой угол hk можно совместить наложениемс равным ему углом h₁k₁двумя способами: 1) так, что луч h совместится с лучом h₁, а луч k — с лучом k₁; 2) так, что луч h совместится с лучом k₁, а луч k — с лучом h₁.
5. Любая фигура равна самой себе.
6. Если фигура Ф равна фигуре Ф₁, то фигура Ф₁ равна фигуре Ф.
7. Если фигура Ф₁ равна фигуре Ф₂, а фигура Ф₂ равна фигуре Ф₃, то фигура Ф₁равна фигуре Ф₃.

Аксиомы об измерении отрезков

1. При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом.
2. При выбранной единице измерения отрезков для любого положительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.

Аксиома параллельности

1. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

ПРИЛОЖЕНИЯ. Аксиомы взаимного расположения точек и прямых

АКСИОМЫ ПЛАНИМЕТРИИ

Аксиомы взаимного расположения точек и прямых.

nАксиома 1. Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки.

nАксиома 2. Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.

nАксиома 3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

nАксиома 4. Из трех точек прямой одна, и только одна, лежит между двумя другими.

●Аксиома 5. Каждая точка О прямой разделяет ее на две части (два луча) так, что любые две точки одного луча лежат по одну сторону от точки О, а любые две точки разных лучей лежат по разные стороны от точки О. При этом точка О не принадлежит ни одному из указанных лучей.

●Аксиома 6. Каждая прямая а, лежащая в плоскости, разделяет ее на две части (две полуплоскости) так, что любые две точки одной полуплоскости лежат по одну сторону от прямой а, а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от прямой а. При этом точки прямой а не принадлежат ни одной из указанных полуплоскостей.

Аксиомы наложения.

nАксиома 7. Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки.

nАксиома 8. На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.

nАксиома 9. От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один.

●Аксиома 10. Любой угол hk можно совместить наложением с равным ему углом двумя способами: 1) так, что луч h совместится с лучом , а луч k — с лучом ; 2) так, что луч h совместится с лучом , а луч k — с лучом .

Аксиомы равенства.

nАксиома 11. Любая фигура равна самой себе.

nАксиома 12. Если фигура Ф равна фигуре , то фигура равна фигуре Ф.

nАксиома 13. Если фигура равна фигуре , а фигура равна фигуре , то фигура равна фигуре .

Аксиомы измерения.

nАксиома 14. При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом.

nАксиома 15. При выбранной единице измерения отрезков для любого положительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.

Аксиома параллельных прямых.

*●Аксиома 16. В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

○Теорема (Чевы). Пусть в треугольнике АВС на сторонах ВС, СА и АВ или их продолжениях взяты соответственно точки , и , не совпадающие с вершинами треугольника. То прямые , и пересекаются в одной точке или попарно параллельны тогда и только тогда, когда выполнено равенство .

○Теорема (Менелая). Пусть в треугольнике АВС на сторонах ВС, СА и АВ или их продолжениях взяты соответственно точки , и , не совпадающие с вершинами треугольника. То точки , и лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполнено равенство .

Источник