Логические задачи по математике способы решения

Как решать логические и математические задачи

Решение задач на логику — отличная гимнастика для ума детей и взрослых на каждый день. На ЛогикЛайк более 3500 заданий с ответами и пояснениями, полноценный учебный комплекс для развития логики и способностей к математике.

Решаем логические задачи

Чтобы научиться решать типовые логические задачи, простые и нестандартные математические задачи, важно знать основные приемы и методы их решения. Ведь решить одну и ту же задачу и прийти к правильному ответу во многих случаях можно разными способами.

Знание и понимание различных методов решения поможет определить, какой способ подойдет лучше в каждом конкретном случае, чтобы выбрать наиболее быстрый и простой путь получения ответа.

К «классическим» логическим задачам относятся текстовые задачи, цель решения которых состоит в распознавании объектов или расположении их в определенном порядке в соответствии с заданными условиями.

Более сложными и увлекательными типами заданий являются задачи, в которых отдельные утверждения являются истинными, а другие ложными. Задачи на перемещение, перекладывание, взвешивание, переливание — самые яркие примеры широкого ряда нестандартных задач на логику.

Основные методы решения логических задач

• метод рассуждений;
• с помощью таблиц истинности;
• метод блок-схем;
• средствами алгебры логики (алгебры высказываний);
• графический (в том числе, «дерево логических условий», метод кругов Эйлера);
• метод математического бильярда.

Давайте рассмотрим подробнее с примерами три популярных способа решения логических задач, которые мы рекомендуем использовать в начальной школе (детям 6-12 лет):

• метод последовательных рассуждений;
• разновидность метода рассуждений — «с конца»;
• табличный способ.

Метод последовательных рассуждений

Самый простой способ решения несложных задач заключается в последовательных рассуждениях с использованием всех известных условий. Выводы из утверждений, являющихся условиями задачи, постепенно приводят к ответу на поставленный вопрос.

На столе лежат Голубой , Зеленый , Коричневый и Оранжевый карандаши.

Третьим лежит карандаш, в имени которого больше всего букв. Голубой карандаш лежит между Коричневым и Оранжевым .

Разложи карандаши в описанном порядке.

Рассуждаем. Последовательно используем условия задачи для формулирования выводов о позиции, на которой должен лежать каждый следующий карандаш.

• Больше всего букв в слове «коричневый», значит, он лежит третьим.
• Известно, что голубой карандаш лежит между коричневым и оранжевым. Справа от коричневого есть только одна позиция, значит, расположить голубой между коричневым и другим карандашом возможно только слева от коричневого.
• Следующий вывод на основе предыдущего: голубой карандаш лежит на второй позиции, а оранжевый — на первой.
• Для зеленого карандаша осталась последняя позиция — он лежит четвертым.

Метод «с конца»

Такой способ решения является разновидностью метода рассуждений и отлично подходит для задач, в которых нам известен результат совершения определенных действий, а вопрос состоит в восстановлении первоначальной картины.

Бабушка испекла для троих внуков рогалики и оставила их на столе. Коля забежал перекусить первым. Сосчитал все рогалики, взял свою долю и убежал.
Аня зашла в дом позже. Она не знала, что Коля уже взял рогалики, сосчитала их и, разделив на троих, взяла свою долю.
Третьим пришел Гена, который тоже разделил остаток выпечки на троих и взял свою долю.
На столе осталось 8 рогаликов.

Сколько рогаликов из восьми оставшихся должен съесть каждый, чтобы в результате все съели поровну?

Начинаем рассуждение «с конца».
Гена оставил для Ани и Коли 8 рогаликов (каждому по 4). Получается, и сам он съел 4 рогалика: 8 + 4 = 12.
Аня оставила для братьев 12 рогаликов (каждому по 6). Значит, и сама она съела 6 штук: 12 + 6 = 18.
Коля оставил ребятам 18 рогаликов. Значит, сам съел 9: 18 + 9 = 27.

Бабушка положила на стол 27 рогаликов, рассчитывая, что каждому достанется по 9 штук. Поскольку Коля уже съел свою долю, Аня должна съесть 3, а Гена — 5 рогаликов.

Решение логических задач с помощью таблиц истинности

Суть метода состоит в фиксации условий задачи и полученных результатов рассуждений в специально составленных под задачу таблицах. В зависимости от того, является высказывание истинным или ложным, соответствующие ячейки таблицы заполняются знаками «+» и «-» либо «1» и «0».

Три спортсмена ( красный , синий и зеленый ) играли в баскетбол.
Когда мяч оказался в корзине, красный воскликнул: «Мяч забросил синий».
Синий возразил: «Мяч забросил зеленый».
Зеленый сказал: «Я не забрасывал».

Кто забросил мяч, если только один из троих сказал неправду?

Сначала таблицу составляют: слева записывают все утверждения, которые содержатся в условии, а сверху — возможные варианты ответа.

Затем таблицу последовательно заполняют: верные утверждения отмечают знаком «+», а ложные утверждения — знаком «-«.

Рассмотрим первый вариант ответа («мяч забросил красный «), проанализируем утверждения, записанные слева, и заполним первый столбик.
Исходя из нашего предположения («мяч забросил красный «), утверждение «мяч забросил синий» — ложь. Ставим в ячейке «-«.
Утверждение «мяч забросил зеленый» также ложь. Заполняем ячейку знаком «-«.
Утверждение зеленого «Я не забрасывал» – истина. Ставим в ячейке «+».

Рассмотрим второй вариант ответа (предположим, что мяч забросил зеленый ) и заполним второй столбик.
Утверждение «мяч забросил Синий» — ложь. Ставим в ячейке «-«.
Утверждение «мяч забросил зеленый « — истина. Заполняем ячейку знаком «+».
Утверждение зеленого «Я не забрасывал» – ложь. Ставим в ячейке «-«.

И, наконец, третий вариант: предположим, что «мяч забросил синий «.
Тогда утверждение «мяч забросил синий « — истина. Ставим в ячейке «+».
Утверждение «мяч забросил зеленый» — ложь. Заполняем ячейку знаком «-«. Утверждение зеленого «Я не забрасывал» – истина. Ставим в ячейке «+».

Так как по условию лишь один из троих ребят сказал неправду, в заполненной таблице выбираем такой вариант ответа, где будет только одно ложное утверждение (в столбце один знак «-«). Подходит третий столбец.

Значит, правильный ответ – мяч забросил синий.

Метод блок-схем

Метод блок-схем считается оптимальным вариантом для решения задач на взвешивание и на переливание жидкостей. Альтернативный способ решения этого типа задач — метод перебора вариантов — не всегда является оптимальным, да и назвать его системным довольно сложно.

• графически (блок-схемой) описываем последовательность выполнения операций;
• определяем порядок их выполнения;
• в таблице фиксируем текущие состояния.

Подробнее об этом и других способах решения логических задач с примерами и описанием хода решения мы рассказываем в полном Курсе ЛогикЛайк по развитию логического мышления.

Отгадывайте самые интересные загадки на логику, собранные специально для постоянных читателей нашего блога и учеников LogicLike, решайте логические задачи онлайн вместе с тысячами детей и взрослых!

Учим детей 5-12 лет решать любые логические и математические задачи. Более 3500 занимательных заданий с ответами и пояснениями.

Источник

Время размять мозги: решаем задачи на логику

В детстве в учебниках по математике всегда были задачи, помеченные звездочкой, так называемые «задачи повышенной сложности». Некоторые учителя по какой-то причине их либо пропускали, либо уделяли очень мало внимания, либо оставляли на самостоятельный разбор в качестве домашнего задания, либо просто не располагали временем для их разбора. На самом деле эти задачи активно развивают мышление ребенка, его интеллектуальные способности, в особенности логику.

«Зачем вообще развивать логику?» – спросите вы. К примеру, человек работает бухгалтером или филологом, биологом или тренером в спортивном зале. Вот, к чему в его практике акцентировать внимание на логическом мышлении? Ответ прост: развитая логика означает развитое мышление, способность видеть очевидные вещи, приходить к ним самостоятельно, а не с чьей-то помощью, делать практические выводы, которые помогают в обыденных ситуациях. Иногда логически поразмыслив, мы приходим к, казалось бы, простым и очевидным вещам, хотя до этого их не замечаем.

Кстати, развитие логического мышления, а также других навыков поможет вам учиться быстрее, эффективнее и интереснее. Этот же результат вы получите по прохождении нашей 5-недельной онлайн-программы «Лучшие техники самообразования».

Хорошо. Допустим, момент с задачками со звездочкой упущен, не вернешь былые школьные годы. Означает ли это, что нам уже никак не получится развить логику, действительно ли поезд с интеллектуальным капиталом ушел? Однозначно нет! И в этой статье мы попытаемся потренировать нашу логику. Так что включайтесь в работу и айда решать задачки на развитие логического мышления.

Ниже вы увидите ряд заданий. Не торопитесь открывать окошко с ответом, подумайте над решением, попытайтесь подойти к решению нестандартно, рассмотрите возможные варианты, перенесите смысловые акценты в задании, в общем, постарайтесь мыслить с разнопланово. В любом случае, не отчаивайтесь, если не придете к правильному ответу. Терпение и труд все перетрут. А мы желаем вам успехов!

Задача №1

Представьте, перед вами четыре стакана, наполненных водой. В каждом стакане находятся предметы. Так:

• в первом стакане – металлические наручные часы;
• во втором стакане – канцелярская скрепка;
• в третьем стакане – металлические ножницы;
• в четвертом стакане – ластик.

При этом уровень воды во всех стаканах одинаковый. Визуально это выглядит следующим образом:

Вопрос: в каком стакане воды больше, чем в остальных?

Во втором стакане. Все дело в скрепке, которая по сравнению с другими предметами имеет меньший объём. Соответственно, для необходимого уровня воды требуется больше.

Размялись? Согласитесь, это было несложно. Продолжаем…

Задача №2

Давайте немного вспомним арифметические действия и применим их к задаче.

В кафе быстрого питания зашли четыре посетителя. При этом:

• первый посетитель купил три бургера и заплатил 300 рублей;
• второй посетитель купил один бургер и две порции картофеля фри и заплатил 200 рублей;
• третий посетитель купил два куска пиццы и одну порцию картофеля фри и заплатил 90 рублей;
• четвертый посетитель купил один бургер, одну порцию картофеля фри и один кусок пиццы.

Схематично эту ситуацию можно представить так:

Вопрос: сколько заплатил четвертый посетитель?

Если три бургера составили 300 рублей, то один бургер стоит 100 рублей (300/3). Если второй посетитель заплатил 100 рублей за бургер, то еще 100 рублей приходится на две порции картофеля, то есть одна порция картофеля фри стоит 50 рублей (100/2). Если третий посетитель заплатил 90 рублей, потратив 50 рублей на картофель, а сорок рублей на две пиццы, то одна пицца стоит 20 рублей (40/2). Соответственно четвертый посетитель заплатил: 100 + 50 + 20 = 170 рублей.

Задача №3

Мы располагаем сковородой, на которую помещается две колеты. Нам необходимо пожарить три котлеты за 3 минуты, при том, что одна сторона котлеты жарится ровно 1 минуту (котлеты необходимо прожарить с обеих сторон).

1 минута: кладем первую и вторую котлеты, жарим с одной стороны.

2 минута: переворачиваем первую котлету; вторую (прожаренную с одной стороны) убираем и вместо нее кладем третью котлету (полностью сырую).

3 минута: убираем со сковороды первую полностью прожаренную котлету; переворачиваем третью котлету, жарим до конца и возвращаем вторую прожаренную с одной стороны котлету, её тоже жарим до готовности.

Вуаля. Котлеты поданы.

Задача №4

Еще немного о еде.

Предположим, у нас имеется круглый торт. Нам нужно разрезать его на восемь кусков, при этом сделав только три надреза.

Вопрос: как это сделать?

Если мы подумаем немного нестандартным путём, а именно разрежем торт не только вертикально, как мы привыкли, но и горизонтально, то получится то, что нужно. Итак, мы совершаем два надреза – крест-накрест. Получается четыре куска. Затем режем торт горизонтально посередине. В таком случае каждый кусок из уже имеющихся четырех станет вдвое ниже (или тоньше). Вот такая нехитрая технология.

Задача №5

Мудрецы и колпаки.

Царь решил проверить своих троих мудрецов на мудрость, пригласил их и сказал: «Мудрецы, у меня есть 5 колпаков – 3 из них черные, а 2 белые. Сейчас вы закроете глаза, и я надену на ваши головы эти колпаки, при этом вы не будете знать, колпак какого цвета у вас на голове, но будете видеть колпаки других мудрецов». После осуществленных действий мудрецы открыли глаза и долго-долго молчали. Затем один из мудрецов произнес: «На моей голове черный колпак!» И он был прав.

Вопрос: как мудрец догадался?

После того, как мудрецы открыли глаза, они долго-долго молчали, что является ключевой фразой, потому что если бы один из мудрецов увидел на двух других белые колпаки, то он бы сразу понял, что на нем черный колпак. Поэтому первый важный вывод: на головах мудрецов нет двух белых колпаков. Соответственно, есть либо один белый, либо вообще нет.

Далее. Наши мудрецы: А, Б и В. Догадался о том, что на нем черный колпак мудрец А. Проследим ход его мыслей:

«Предположим на мне белый колпак, тогда мудрец Б, глядя на меня рассуждал бы так: «Возможно, на мне белый колпак, получается на мудреце А тоже белый колпак, тогда мудрец В сразу же сказал бы, что на нем черный колпак, но этого не происходит, значит на мне черный колпак», но ведь он не говорит, что на нем черный колпак! Значит, мое предположение неверно, и он не видит на мне белого колпака. Значит мой колпак черный!»

Да, такая вот интересная задача.

Помимо задач хотелось бы предложить загадки с подвохом. По возможности уделите время их решению, это будет увлекательно.

Загадка 1

Изначально в аквариуме плавает 10 рыбок. Однако спустя неделю 2 из них утонули, 4 – уплыли, а еще 3 – погибли. Сколько рыбок осталось в аквариуме?

10. Ни одна рыбка не покинула аквариума.

Загадка 2

Что проходит по полям и городам, но остается неподвижным?

Загадка 3

Возраст матери и дочери вместе составляет 77 лет. При этом возраст одной можно получить, если поменять цифры возраста другой. Сколько лет матери и сколько лет дочери?

Здесь возможно несколько вариантов ответа.

70 и 7; 61 и 16; 52 и 25. (Вариант 43 и 34 уже сложно представим).

Загадка 4

Перечислите 5 дней подряд, не пользуясь числами или названиями дней недели.

Загадка 5

Все пять сестер чем-то заняты:

• Катя играет на пианино.
• Маша стирает.
• Ольга играет в шахматы.
• Алиса готовит пирог.

Вопрос: Чем занята Наташа?

Помимо задачек для взрослых хотелось бы предложить задачи на логику для детей, ведь важно развивать логические мышление уже на ранних стадиях. Поэтому зовите своих детей, сестер, братьев и племянников младшего возраста, устраивайтесь поудобнее и начинайте думать.

Задача 1

Профессор всегда мечтал о домашнем животном, и он решил изобрести механических хомячков:

Хомячки, как видно, разного окраса: черный, рыжий и пятнистый. Профессор дал им имена: Уголёк, Рыжик и Пятнышко. Но цвет и имя не совпадают.

Вопрос: Как зовут хомячков, если самого темного зовут Пятнышко?

Задача 2

Сумма фруктов по вертикали и по горизонтали представлена на картинке:

Вопрос: сколько стоит клубника?

Задача 3

Каждой из четырёх девочек подарили одну куклу:

У Ани и Маши куклы с голубыми волосами, а у Оли и Даши – с желтыми. У Маши и Даши куклы в платьях, а у Ани и Оли – в блузках с юбками.

Вопрос: кому принадлежит какая кукла?

Задача 4

Давайте обратимся к примерам:

Вопрос: сколько стоит мишка?

Задача 5

Вновь обратимся к рисунку и посмотрим, что говорят Правдиш и Вруниш:

Правдиш всегда говорит правду.

Правдиш смотрит на пирамиду сбоку, а Вруниш – сверху.

Правдиш говорит, что нижнее кольцо красного цвета.

Вруниш говорит, что видит все кольца.

Вопрос: на какую пирамиду смотрят Правдиш и Вруниш?

Задача 6

Люда собирается на вечеринку. Она смотрит на свой гардероб:

Люда располагает четырьмя платьями и тремя парами туфель. Сколько вариантов наряда есть у Люды?

На этом мы заканчиваем наши задачки. Если вам понравилось решать подобные задания, обратите внимание на это видео:

Тут приводятся десять загадок, которые помогут поработать над логикой.

Помните, что логическое мышление имеет большое значение при принятии жизненных решений. Поэтому не ленитесь – проводите свое время за решением нескучных и полезных задачек.

Источник